Problemas de Matemática

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23. Encontre a área da região no primeiro quadrante limitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) 
e \( y = x^2 \). 
 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{6} \). 
 
24. Calcule a matriz \( A \) elevada à potência 3, onde \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 
\end{bmatrix} \). 
 
 Resposta: \( A^3 = \begin{bmatrix} 1 & 6 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \). 
 
25. Determine a solução para a equação diferencial homogênea \( y'' - 4y' + 4y = 0 \). 
 
 Resposta: A solução é \( y(x) = (A + Bx)e^{2x} \), onde \( A \) e \( B \) são constantes 
arbitrárias. 
 
26. Qual é a transformada de Laplace da função \( f(t) = e^{3t} \)? 
 
 Resposta: A transformada de Laplace é \( F(s) = \frac{1}{s - 3} \). 
 
27. Encontre o volume do sólido gerado pela rotação da região delimitada por \( y = x^2 \) 
e \( y = 4 \) em torno do eixo \( x \). 
 
 Resposta: O volume é \( \frac{512}{15} \pi \). 
 
28. Determine a matriz de rotação \( R \) que gira um vetor \( \mathbf{v} = \langle 1, 0 
\rangle \) em torno da origem por \( \frac{\pi}{4} \) no sentido anti-horário. 
 
 Resposta: \( R = \begin{bmatrix} \frac{\sqrt{2}}{2} & -\frac{\sqrt{2}}{2} \\ \frac{\sqrt{2}}{2} & 
\frac{\sqrt{2}}{2} \end{bmatrix} \). 
 
29. Calcule a derivada de \( f(x) = \ln(\sin(x)) \).