Detalhamento de Lajes

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Resolução Exercício lajes 
Calcular e detalhar a armadura das lajes indicadas. 
Dados: 
1) Carregamentos: 
1.1) Contrapiso de espessura 2 cm e peso específico = 18 kN/m3 
1.2) Piso com peso de 0,20 kN/m2 
2) Obra urbana, classe de agressividade moderada – cobrimento nominal de 25 mm 
3) fck = 20 MPa 
4) Aço CA50 
5) Dimensões das vigas bw = 12 cm e h=50 cm 
6) Utilização para escritórios 
 
 
1) Discretização das lajes 
Laje L1 
 Lajes no mesmo nível 
 Lajes com mesma (ou aproximadamente) espessura 
 Dimensão próxima das demais lajes 
Considerar engastada nos bordos L2 e L3 e simplesmente apoiada nos demais 
 
 
lx = 6 m e ly = 6 m 
ly / lx = 1 < 2, ou seja, laje armada nas 2 direções 
Laje L2 
 Lajes no mesmo nível 
 Lajes com mesma (ou aproximadamente) espessura 
 Dimensão próxima das demais lajes 
Considerar engastada nos bordos L1 e L3 e simplesmente apoiada nos demais 
 
 
lx = 4 m e ly = 6 m 
ly / lx = 1,5 < 2, ou seja, laje armada nas 2 direções 
 
Laje L3 
 Lajes no mesmo nível 
 Lajes com mesma (ou aproximadamente) espessura 
 Dimensão próxima das demais lajes 
Considerar engastada nos bordos L1 e L2 e simplesmente apoiada nos demais 
 
 
lx = 5 m e ly = 10 m 
ly / lx = 2 < 2, ou seja, laje armada nas 2 direções 
Definição do tipo 
 Laje L1 = Caso 4 
 Laje L2 = Caso 4 
 Laje L3 = Caso 3 
 
2) Pré-dimensionamento das lajes 
 
𝑑 ≥ 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
 
Laje L1 
 
λ = ly/lx = 6/6=1 
L1 é Caso4 
Slide 16 – ψ2 = 1,80 
 
Aço CA50 e laje maciça – ψ3 = 25 (slide 17) 
 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
 =0,133 m 
 
Adotando ϕ = 10 mm, temos: 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,133 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,173𝑚 = 17,3 cm 
 
Laje L2 
 
λ = ly/lx = 6/4=1,5 
L2 é Caso4 
Slide 16 – ψ2 = 1,60 
 
Aço CA50 e laje maciça – ψ3 = 25 (slide 17) 
 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
 =0,10 m 
 
Adotando ϕ = 10 mm, temos: 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,10 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,14𝑚 = 14 cm 
 
Laje L3 
 
λ = ly/lx = 10/5=2 
L3 é Caso3 
Slide 16 – ψ2 = 1,40 
 
Aço CA50 e laje maciça – ψ3 = 25 (slide 17) 
 
𝑑 ≥ 
𝑑 ≥ 
, ∗
 =0,14 m 
 
Adotando ϕ = 10 mm, temos: 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
ℎ = 0,14 + 0,025 + 0,01 +
, 
ℎ = 0,18𝑚 = 18 cm 
 
Temos 3 espessuras pré-dimensionadas: 
L1 = h = 17,3 cm 
L2 = h = 14 cm 
L3 = h = 18 cm 
 
Adotando h = 16 cm para as 3 lajes 
 
 
3) Carregamentos 
3.1) Carga permanente (peso específico do concreto γ = 25 kN/m3) 
Carga peso próprio da laje (g1) = 0,16 m * 25 kN/m3 = 4 kN/m2 
Carga do contrapiso (g2) = 0,02m * 18 kN/m3 = 0,36 kN/m2 
Carga piso (g3) = 0,20 kN/m2 
Total (g) = g1+g2+g3 = 4,56 kN/m2 
 
3.2) Carga acidental 
Tab 02 – NBR 6120:1980 
q = 2 kN/m2 
 
3.3) Combinação quase permanente (necessária na verificação do estado limite de deformação) 
p = g + ψ1*q = 4,56 +0,4*2 = 5,36 kN/m2 
 
3.4) Carga total 
Será utilizada no ELU e será calculada após a verificação das flechas das lajes. 
 
4) Verificação das flechas 
4.1) Valores limites de deslocamento 
 
 
Laje L1: 
lx =6 m= 600cm 
 
Deslocamento para combinação quase permanente = l / 250 = 600 /250 = 2,4 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3) * 2,4 = 1,6 cm 
 
Deslocamento devido a carga acidental = l /350 = 600 / 350 = 1,71 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento devido carga acidental = (2/3) 
* 1,71 = 1,14 cm 
 
Laje L2: 
lx =4 m= 400cm 
 
Deslocamento para combinação quase permanente = l / 250 = 400 /250 = 1,6 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3) * 1,6 = 1,07 cm 
 
Deslocamento devido a carga acidental = l /350 = 400 / 350 = 1,14 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento devido carga acidental = (2/3) 
* 1,14 = 0,76 cm 
 
Laje L3: 
lx =5 m= 500cm 
 
Deslocamento para combinação quase permanente = l / 250 = 500 /250 = 2 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento para combinação quase 
permanente = (2/3) * 2 = 1,33 cm 
 
Deslocamento devido a carga acidental = l /350 = 500 / 350 = 1,43 cm 
Considerando 2/3 do deslocamento para laje – deslocamento devido carga acidental = (2/3) 
* 1,43 = 0,95 cm 
 
Tabela Resumo – Flechas limite 
Laje 
Flechas limites (em cm) 
Comb quase permanente Carga acidental 
L1 1,60 1,14 
L2 1,07 0,76 
L3 1,33 0,95 
 
4.2) Cálculo da flecha elástica 
 
𝑓 = 
 
 
4.2.1) Módulo de deformação longitudinal a compressão 
 
𝐸 = 𝑀ó𝑑𝑢𝑙𝑜 𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎çã𝑜 𝑡𝑎𝑛𝑔𝑒𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑛𝑖𝑐𝑖𝑎𝑙 𝑑𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑟𝑒𝑡𝑜 
 
𝐸 = 5600 𝑓 
𝐸 = 5600√20 
𝐸 = 25043 𝑀𝑃𝑎 
 
 
𝐸 = 0,85𝐸 
𝐸 = 0,85 ∗ 25043 
𝐸 = 21287 𝑀𝑃𝑎 
𝐸 = 21287000 𝑘𝑁/𝑚2 
 
4.2.2) Flecha para laje L1 
𝑓 = 
 
 
Para λ = 1 e caso 4 – α = 2,42 
 
4.2.2.1) Flecha para carga obtida com a combinação quase permanente 
 
𝑓 = 𝑓 =
, 
∗ ,
, = 0,0019 m = 0,19 cm 
 
4.2.2.2) Flecha para carga acidental 
 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0007𝑚 = 0,07 𝑐𝑚 
 
4.2.2.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
 
𝛼 = 
∆
∗
 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
14 dias – início da retirada do escoramento 
to = 14 / 30 = 0,47 
 
ξ (t) =0,68 *0,996 ∗ 𝑡 , para t< 70 meses 
 
ξ (to) =0,68 *0,996 , ∗ 0,47 , = 0,53 
 
ξ (∞) =2 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
∆𝜉 = 2 − 0,53 = 1,47 
 
𝜌 = 0 – não há armadura comprimida 
𝛼 = 
∆𝜉
1 + 50 ∗ 𝜌
 
𝛼 = 
1,47
1 + 50 ∗ 0
 
𝛼 = 1,47 
 
4.2.2.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanentes 
𝑓 , = 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
 
𝑓 , = 0,19 ∗ (1 + 1,47) 
𝑓 , = 0,47 𝑐𝑚 
 
 
 
 
4.2.3) Flecha para laje L2 
 
𝑓 = 
 
 
Para λ = 1,5 e caso 4 – α = 4,38 
 
4.2.3.1) Flecha para carga obtida com a combinação quase permanente 
 
𝑓 = 𝑓 =
, 
∗ ,
, = 0,0007 m = 0,07 cm 
 
4.2.3.2) Flecha para carga acidental 
 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0002𝑚 = 0,02 𝑐𝑚 
 
4.2.3.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
 
𝛼 = 
∆
∗
 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
14 dias – início da retirada do escoramento 
to = 14 / 30 = 0,47 
 
ξ (t) =0,68 *0,996 ∗ 𝑡 , para t< 70 meses 
 
ξ (to) =0,68 *0,996 , ∗ 0,47 , = 0,53 
 
ξ (∞) =2 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
∆𝜉 = 2 − 0,53 = 1,47 
 
𝜌 = 0 – não há armadura comprimida 
𝛼 = 
∆𝜉
1 + 50 ∗ 𝜌
 
𝛼 = 
1,47
1 + 50 ∗ 0
 
𝛼 = 1,47 
 
4.2.3.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanentes 
𝑓 , = 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
 
𝑓 , = 0,07 ∗ (1 + 1,47) 
𝑓 , = 0,17 𝑐𝑚 
 
 
4.2.4) Flecha para laje L3 
𝑓 = 
 
 
Para λ = 2 e caso 3 – α = 5,66 
 
4.2.4.1) Flecha para carga obtida com a combinação quase permanente 
 
𝑓 = 𝑓 =
, 
∗ ,
, = 0,0022 m = 0,22 cm 
 
4.2.4.2) Flecha para carga acidental 
 
𝑓 = 
∗ ( )
∗ ,
,
= 0,0008𝑚 = 0,08 𝑐𝑚 
 
4.2.4.3) Flecha considerando a fluência do concreto 
 
𝛼 = 
∆
∗
 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
14 dias – início da retirada do escoramento 
to = 14 / 30 = 0,47 
 
ξ (t) =0,68 *0,996 ∗ 𝑡 , para t< 70 meses 
 
ξ (to) =0,68 *0,996 , ∗ 0,47 , = 0,53 
 
ξ (∞) =2 
 
∆𝜉 = 𝜉(𝑡) − 𝜉(𝑡 ) 
∆𝜉 = 2 − 0,53 = 1,47 
 
𝜌 = 0 – não há armadura comprimida 
𝛼 = 
∆𝜉
1 + 50 ∗ 𝜌
 
𝛼 = 
1,47
1 + 50 ∗ 0
 
𝛼 = 1,47 
 
4.2.4.3.1) Flecha considerando a fluência do concreto – utilizando as cargas quase 
permanentes 
𝑓 , = 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
 
𝑓 , = 0,22 ∗ (1 + 1,47) 
𝑓 , = 0,54 𝑐𝑚 
 
 
 
Tabela resumo 
Laje 
Flechas limites (em cm) Flecha (em cm) 
Comb quase 
permanente Carga acidental Devido a carga 
quase permanente 
Devido a carga 
acidental Total, ∞ 
L1 1,60 1,14 0,19 0,07 0,47 
L2 1,07 0,76 0,07 0,02 0,17 
L3 1,33 0,95 0,22 0,08 0,54 
 
Todas as flechas calculadas são menores que as flechas limite, o que abre espaço para 
diminuição da espessura das lajes. 
Vamos considerar a maior flecha (laje L3 = f = 0,54 cm) e, para esta laje , a flecha limite 
máxima é 1,33 cm (0,0133 m), faz-se o cálculo inverso (tendo a flecham acha-se a espessura 
da laje). 
 
𝑓= 𝑓 ∗ (1 + 𝛼 ) 
0,0133 = 𝑓 ∗ (1 + 1,47) 
𝑓 = 0,0054 𝑚 
 
𝑓 = 
 
0,0054 = 
, ∗ 
∗
, 
h3 = 0,001654 
h = 0,118m = 11,8 cm 
 
vamos adotar h = 12 cm 
 
ℎ = 𝑑 + 𝑐 + 𝜙 + 
12 = d + 2,5 + 1 + 0,5 
d = 8 cm para armadura positiva 
 
Para armadura negativa, podemos considerar d um valor um pouco maior na região central 
do apoio e portanto adotaremos d = 9 cm para armadura negativa. 
 
 
5) Carregamento total 
Considerando a nova espessura adotada de h = 12 cm, temos que o carregamento total passa ser: 
Carga peso próprio laje (g1) = 0,12 * 25 = 4 kN/m2 
Carga do contrapiso (g2) = 0,02 * 18 = 0,36 kN/m2 
Carga piso (g3) = 0,2 kN/m2 
Carga acidental (q) = 2 kN/m2 
 
Carga total = 0,12*25 + 0,36*0,2+2 =5,56 kN/m2 
 
 
 
6) Determinação dos momentos 
 
Os momentos máximos positivo e negativo nas lajes por unidade de comprimento (faixa 
unitária) são calculados por: 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
 
 
Utilizaremos o d = 8 cm 
 
6.1) Dados do concreto 
 
fck = 20 MPa = 2 kN/cm2 = 20000 kN/m2 
 
𝑓𝑐𝑑 = =20000/1,4 = 14285,71 kN/m2 
 
6.2) Dados do aço - Aço CA50 ( 500MPa = 50 kN/cm2) 
 
𝑓𝑦𝑑 = = 50/1,15 = 43,48 kN/cm2 
Eaço = 210 GPa = 210.000 MPa = 21.000 kN/cm2 
 
𝜎 = 𝐸 ∗ 𝜀 
𝑓𝑦𝑑 = 𝐸 ∗ 𝜀𝑦𝑑 
43,48 = 21000 ∗ 𝜀𝑦𝑑 
 
𝜀𝑦𝑑 =0,00207 = 2,07‰ 
 
 
 
 
 
 
6.3) Laje L1; λ= 1; caso 4; lx = 6m 
 
Do slide 29 temos: 
𝜇 = 2,81 
𝜇′ =6,99 
𝜇 = 2,81 
𝜇′ =6,99 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 2,81 ∗
, ∗
 = 5,62 kNm/m 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ = 5,62 kNm/m 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 6,99 ∗
, ∗
= 14 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ = 14kNm/m 
 
6.4) Laje L2; λ= 1,5; caso 4; lx = 4m 
 
Do slide 29 temos: 
𝜇 = 4,81 
𝜇′ =10,62 
𝜇 = 2,47 
𝜇′ =8,06 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 4,81 ∗
, ∗
 = 4,28 kNm/m 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 2,47 ∗
, ∗
= 2,20 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 10,62 ∗
, ∗
= 9,45 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 8,06 ∗
, ∗
= 7,17 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
 
6.5) Laje L3; λ= 2; caso 3; lx = 5m 
 
Do slide 29 temos: 
𝜇 = 6,51 
𝜇′ =12,34 
𝜇 = 1,48 
𝜇′ = Não aplicável 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 6,51 ∗
, ∗
 = 9,05 kNm/m 
 
𝑚 = 𝜇 ∗
∗ 
𝑚 = 1,48 ∗
, ∗
= 2,06 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
 
𝑥 = 𝜇′ ∗
∗ 
𝑥 = 12,34 ∗
, ∗
= 17,15 𝑘𝑁𝑚/𝑚 
 
 
Tabela resumo 01 - momentos máximos 
Laje 
Momentos máximos positivos 
(kNm/m) 
Momentos máximos negativos 
(kNm/m) 
mx my xx xy 
L1 5,62 5,62 14,00 14,00 
L2 4,28 2,20 9,45 7,17 
L3 9,05 2,06 17,15 - 
 
6.6) Determinação da altura mínima (dmin) 
 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
𝑀𝑑
𝑏𝑤 ∗ 𝑓𝑐𝑑
 
6.6.1) Para armadura positiva utilizaremos o máximo momento positivo atuante no 
pavimento, ou seja, mx = 9,05 kNm/m na laje L3 
bw = 1 m (faixa unitária) 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
1,4 ∗ 9,05
1 ∗ 14285,71
 = 0,060 𝑚 = 6 𝑐𝑚 
Estamos adotando d = 8 cm para armaduras positivas, d > dmin – Armadura simples 
 
6.6.2) Para armadura negativa utilizaremos o máximo momento negativo atuante no 
pavimento, ou seja, xx= 17,15 kNm/m na laje L3. 
𝑑𝑚𝑖𝑛 = 2 ∗
1,4 ∗ 17,15
1 ∗ 14285,71
 = 0,082 𝑚 = 8,2 𝑐𝑚 
Estamos adotando d = 9 cm para armaduras negativas, d > dmin – Armadura simples 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
7) Cálculo das armaduras longitudinais 
Há 2 alturas úteis nas lajes (uma para cada direção). 
Nos cálculos das armaduras recomenda-se que a altura útil da laje seja a distância entre a borda 
comprimida superior e o centro das barras da camada superior da armadura positiva (isto possibilita 
que, ao montar a laje, as barras de cada direção sejam posicionadas em qualquer camada). Altura 
útil menor resulta em área de aço maior. 
 
Para cálculo adotaremos d= 8 cm para armaduras positivas quanto para as negativas (caso tenhamos 
um d= 9 cm estaremos cobertos) 
 
𝐾𝑀𝐷 = 
𝑀
𝑏 ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
7.1) Laje L1; λ = 1; caso 4; lx =6m 
7.1.1) Armadura positiva – mx = 5,62 kNm/m e my=5,62 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,086 (adotar 0,085 + próximo) 
KZ= 0,9472 
s (‰) = 10‰ 
 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 2,388 cm2/m 
 
7.1.2) Armadura negativa – xx = 14 kNm/m e xy = 14 kNm/3 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗
∗ , ∗ ,
 = 0,214 (adotar 0,215 + próximo) 
KZ= 0,8515 
s (‰) = 5,9255‰ 
Como s (‰) = 5,9255‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗
( , )∗ , ∗ ,
 = 6,617 cm2/m 
 
7.2) Laje L2; λ = 1,5; caso 4; lx =4m 
7.2.1) Armadura positiva – mx = 4,28 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,066 (adotar 0,065 + próximo) 
KZ= 0,9602 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 1,794 cm2/m 
7.2.2) Armadura positiva – my = 2,20 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,035 (adotar 0,040) 
KZ= 0,9759 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 0,907 cm2/m 
 
7.2.3) Armadura negativa – xx = 9,45 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,145 
KZ= 0,9058 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 4,20 cm2/m 
7.2.4) Armadura negativa – xy = 7,17 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,110 
KZ= 0,9305 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 3,10 cm2/m 
 
7.3) Laje L3; λ = 2; caso 3; lx =5m 
7.3.1) Armadura positiva – mx = 9,05 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,139 (adotar 0,140 + próximo) 
KZ= 0,9094 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 4,00 cm2/m 
7.3.2) Armadura positiva – my = 2,06 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,031 
KZ= 0,9820 
s (‰) = 10‰ 
Como s (‰) = 10‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 0,844 cm2/m 
 
7.3.3) Armadura negativa – xx = 17,15 kNm/m 
d = 8 cm = 0,08 m 
bw=1m 
𝐾𝑀𝐷 = 
, ∗ ,
∗ , ∗ ,
 = 0,263 (adotar 0,265 + próximo – está acima x/d=0,45) 
KZ= 0,8068 
s (‰) = 3,7459‰ 
Como s (‰) = 3,7459‰ > yd (‰) = 2,07‰ fs’ = fyd 
𝐴 = 
𝑀
(𝐾𝑍) ∗ 𝑑 ∗ 𝑓
 
𝐴 = 
, ∗ ,
( , )∗ , ∗ ,
 = 8,56 cm2/m 
 
 
 
 
 
Tabela Resumo 02 
Laje 
Momentos máximos positivos Momentos máximos negativos 
mx (kNm/m) As 
(cm2/m) my (kNm/m) As 
(cm2/m) xx (kNm/m) As 
(cm2/m) xy (kNm/m) As 
(cm2/m) 
L1 5,62 2,388 5,62 2,388 14,00 6,617 14,00 6,617 
L2 4,28 1,794 2,20 0,907 9,45 4,20 7,17 3,10 
L3 9,05 4,00 2,06 0,844 17,15 8,56 - 
 
 
 
8) Detalhamento das armaduras 
 
8.1) Diâmetro máximo das barras 
 
 Ø max < h/8 
Ø max < 12/8 = 1,5 cm = 15 mm 
 
8.2) diâmetros adotados 
Adotaremos: 
Ø 6,3 mm e Ø 10 mm 
 
8.3) Armadura mínima 
 
Para fck=20 MPa e uma estrutura retangular de bw=1 m e h = 12 cm temos ρ min = 0,15% 
 
𝜌 = 
𝐴 ,
𝐴
 
𝐴 , = 𝜌 ∗ 𝐴 
𝐴 , = (0,15/100) ∗ 𝑏𝑤 ∗ ℎ 
𝐴 , = (0,15/100) ∗ 100 ∗ 12 
𝐴 , = 1,8 𝑐𝑚2/𝑚 
 
8.4) Espaçamento para armadura mínima 
 
Para Ø = 6,3 mm 
 
𝑠 = 
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴
 
𝑠 = 
1
𝑛
=
0,315
1,8
= 0,18𝑚 = 18𝑐𝑚 
 
Para Ø = 10 mm 
 
𝑠 = 
1
𝑛
=
𝐴 ,Ø
𝐴
 
𝑠 = 
1
𝑛
=
0,8
1,8
= 0,44𝑚 = 44 𝑐𝑚 
 
8.5) Espaçamento máximo adotado 
 
s < 20 cm ou 2*h 
No nosso exemplo, s < 20 cm ou 2*12 = 24 – deve respeitar o menor valor. 
 
smax = 20 cm 
 
8.6) Espaçamento das barras 
 
8.6.1) Laje L1; λ = 1; caso 4; lx=6m 
 
8.6.1.1) Armadura positiva – mx = 5,62 kNm/m e my = 5,62 kNm/m – As = 2,388 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,132 m =13,2 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximoindicado de 20 cm 
 
8.6.1.2) Armadura negativa – xx = 14 kNm/m e xy = 14 kNm/m – As = 6,617 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,120 m =12 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.2) Laje L2; λ = 1,5; caso 4; lx=4m 
 
 
8.6.2.1) Armadura positiva – mx = 4,28 kNm/m– As = 1,794 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,175 m =17,5 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.2.2) Armadura positiva – my = 2,2 kNm/m– As = 0,907 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,347 m =34,7 cm 
 
Espaçamento calculado acima do máximo indicado de 20 cm (adotar 20 cm) 
 
 
8.6.2.3) Armadura negativa – xx = 9,45 kNm/m– As = 4,2 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,19 m =19 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
 
8.6.2.4) Armadura negativa – xy = 7,17 kNm/m– As = 3,1 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,25 m =25 cm 
 
Espaçamento calculado acima do máximo indicado de 20 cm (adotar 20 cm) 
 
 
8.6.3) Laje L3; λ = 2; caso 3; lx=5m 
 
 
8.6.3.1) Armadura positiva – mx = 9,05 kNm/m– As = 4 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= , =0,07 m =7 cm (espaçamento muito pequeno) 
 
Adotando Ø 10mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= , =0,2 m =20 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
8.6.3.2) Armadura positiva – my = 2,06 kNm/m– As = 0,844 cm2/m 
Adotando Ø 6,3mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,377 m =37,7 cm 
 
Espaçamento calculado acima do máximo indicado de 20 cm (adotar 20 cm) 
 
 
8.6.3.3) Armadura negativa – xx = 17,15 kNm/m– As = 8,56 cm2/m 
Adotando Ø 10mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,09 m = 9 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
 
 
Adotando Ø 12,5mm 
 
𝑠 = = ,Ø
,
= ,
,
=0,149 m = 15 cm 
 
Espaçamento calculado respeita o máximo indicado de 20 cm 
Tabela resumo 03 
Laje L1 L2 L3 
Momento mx my xx xy mx my xx xy mx my xx xy 
kNm/m 5,62 5,62 14,00 14,00 4,28 2,20 9,45 7,17 9,05 2,06 17,15 - 
As (cm2/m) 2,388 2,388 6,617 6,617 1,794 0,907 4,2 3,1 4,00 0,844 8,56 - 
Ø adotado Ø 6,3 Ø 6,3 Ø 10 Ø 10 Ø 6,3 Ø 6,3 Ø 10 Ø 10 Ø 10 Ø 6,3 Ø 10 - 
s calculado (cm) 13,2 13,2 12 12 17,5 20 19 20 20 20 9 - 
s adotado (cm 12 12 12 12 17,5 17,5 20 20 20 20 10 -