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Dinâmica – Parte 1 
Dinâmica 1 
 
Equações Básicas para um Volume de Controle 
 
Equações Locais e Equações Globais 
 
Equações Locais - Aplicam-se a cada ponto do domínio 
do fluido, definindo as condições locais do escoamento. 
 
Equações Globais - Aplicam-se a certas regiões bem 
individualizadas do domínio fluido. 
 
Equações Diferenciais e Equações Integrais 
 
Equações Diferenciais - Aplicações de princípios gerais a 
trechos infinitesimais do domínio do fluido ou a variações 
infinitesimais de outros parâmetros. Podem estar sob 
forma de equações diferenciais ou de equações de 
derivadas parciais. 
 
Equações Integrais - Integração das Equações 
diferenciais numa certa região ou num dado intervalo de 
variação dos parâmetros. 
 
Dinâmica 2 
 
Equações de Conservação e Equação de Balanço 
 
Volume de Controle - V.C. 
 
Sistemas Fechados 
Para certas grandezas, o V.C. funciona como sistema fechado. 
Portanto, o valor global destas grandezas mantém-se invariável no 
interior dessas regiões. É possível escrever as Equações de 
Conservação da massa, da energia e da quantidade de movimento. 
 
Exemplo: 
Sistema 
fechado 
 
 
 
 
Em Hidrologia, a Terra constitui um sistema fechado em relação à 
quantidade de água. 
Dinâmica 3 
 
Sistemas Abertos
Em outras ocasiões as regiões de controle (ou V.C.) funcionam, em 
termos das mesmas grandezas, como sistemas abertos, com 
entradas e saídas através de suas fronteiras. 
 
 
 
 
 
 
GES Δ=Φ−ΦEquação de Balanço: 
 
O fluxo da grandeza G na saída (ΦS) menos o fluxo da grandeza G 
na entrada (ΦE) é igual à variação da grandeza G no volume de 
controle 
Dinâmica 4 
 
Leis Básicas para um Sistema Aberto 
 
Equação de Balanço de Massa na Forma Integral 
 
0=⎟
⎠
⎞
sistemadt
dM
 
 
onde a massa do sistema, M , é dada por, 
 
∫∫
∀
∀==
)()( sistemasistemaM
sistema ddmM ρ
 
 
Escrevendo esta variação da massa do sistema em função do 
tempo e utilizando a formulação de volume de controle: 
 
 
∫∫ +∀
∂
∂
=⎟
⎠
⎞
SCVCSistema
AdVd
tdt
dM rr
.ρρ
 
 
Considerando que a massa se conserva, pode-se escrever a 
Equação do Balanço de Massa 
 
∫∫ +∀
∂
∂
=
SCVC
AdVd
t
rr
.0 ρρ
 
 
 
Dinâmica 5 
 
Equação do Balanço de Massa para Escoamentos Permanentes 
 
0=
∂
∂
t 
∫=
SC
AdV
rr
.0 ρ
 
 
A integral de é chamada de AdV
rr
.ρ taxa de fluxo de massa ou vazão 
em massa.
 
Portanto, para um escoamento permanente, a vazão em massa 
( ) que entra no Volume de Controle deve ser igual à vazão em 
massa que sai do Volume de Controle. 
m&
 
Definindo-se a vazão em massa ( ) passando por uma seção da 
Superfície de Controle de área A: 
m&
 
∫=
A
AdVm
rr
& .ρ
 
 
Considerando-se escoamento uniforme cruzando uma seção n do 
Volume de Controle: 
 
nnn
A
AVAdV
n
rrrr
.. ρρ =∫
 
ou, em termos das grandezas escalares: 
Dinâmica 6 
 
 
αρρ cos.. nnn
A
AVAdV
n
=∫
rr
 
 
onde α é o ângulo entre o vetor Velocidade e o vetor Área. 
 
dA V 
dA 
V 
Entrada Saída 
1 2
3 
4
 
 
Na entrada (0180=α 1cos −=α ); na saída (00=α 1cos =α ) 
 
Considerando a parede inferior (3) e a parede superior (4) como 
impermeáveis, pode-se resolver a integral da equação de balanço 
de massa, para as superfícies de controle, da seguinte forma: 
 
0.. 222111 =+− AVAV ρρ 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica 7 
 
Equação do Balanço de Massa para Escoamentos Incompressíveis 
 
∫=
SC
AdV
rr
.0
 
 
A integral de AdV
rr
. é chamada de taxa de fluxo de volume ou vazão 
volumétrica
 
Portanto, para um escoamento incompressível, a vazão volumétrica 
(Q) que entra no Volume de Controle deve ser igual à vazão 
volumétrica que sai do Volume de Controle. 
 
Definindo-se a vazão volumétrica (Q) passando por uma seção da 
Superfície de Controle de área A: 
 
∫=
A
AdVQ
rr
.
 
 
Define-se a Velocidade Média: 
 
∫==
A
AdV
AA
QV
rr
.1
 
Dinâmica 8 
 
Equação de Balanço de Massa na Forma Diferencial 
 
a) Escoamento Unidimensional 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Quando a massa do fluido em B B* se move para C C*, o princípio 
da conservação da massa pode ser aplicado como segue: 
222111 dSAdSA ρρ = 
 
Dividindo-se pelo tempo que ocorreu este movimento: 
dt
dSA
dt
dSA 2
22
1
11 ρρ = 
 
Sabendo-se que: 
 
 
Equação da Continuidade 
222111 VAVA ρρ = 
dS1 
dS2 
A1 A2
V2 
B C 
B* C* 
V1 
ρ1 
ρ2 
1
1 V
dt
dS
=
 2
2 V
dt
dS
=
 
Dinâmica 9 
 
A equação da continuidade pode ser reescrita: 
 
( ) 0=AVd ρ 
ρ A V = constante 
 
Ou seja, 
 
( ) ( ) ( ) 0=
∂
∂
+
∂
∂
+
∂
∂ dV
V
AVdA
A
AVdAV ρρρ
ρ
ρ
 
Efetuando-se as derivadas parciais: 
 
0=++ AdVVdAAVd ρρρ 
 
Dividindo por ρ A V: 
 
0=++
V
dV
A
dAd
ρ
ρ
 
Dinâmica 10 
 
Equação de Balanço de Massa na Forma Diferencial 
 
b) Escoamento bidimensional 
 
 y 
C 
uC 
vC 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assumindo escoamento permanente 0=
∂
∂
t , determinam-se as 
componentes da velocidade e a massa específica para cada vértice 
do volume de controle representado acima: 
 
Vértice Direção x Direção y Densidade 
A uuA = vvA = ρρ =A 
B dx
x
uuuB ∂
∂
+= dx
x
vvvB ∂
∂
+= dx
xB ∂
∂
+=
ρρρ 
 
C dy
y
udx
x
uuuC ∂
∂
+
∂
∂
+= dy
y
vdx
x
vvvC ∂
∂
+
∂
∂
+= dy
y
dx
xC ∂
∂
+
∂
∂
+=
ρρρρ
 
D dy
y
uuuD ∂
∂
+= dy
y
vvvD ∂
∂
+= dy
yD ∂
∂
+=
ρρρ 
 
B 
uB 
vB
A 
uA 
vA 
D 
x 
uD 
vD 
dy 
dx 
Dinâmica 11 
 
 
y 
C 
uC 
vC
B
uB 
vB
A 
uA 
vA 
D 
uD 
vD 
x 
dx 
dy uBCuDA
vCD
vAB
 
 
Face 
Velocidade média 
cruzando a face 
Massa Específica ao 
longo da face 
AB 
2
BA vv +
 2
BA ρρ +
 
BC 
2
CB uu +
 2
CB ρρ +
 
CD 
2
DC vv +
 2
DC ρρ +
 
DA 
2
DA uu +
 2
DA ρρ +
 
 
Dinâmica 12 
 
O princípio da continuidade afirma que a massa que entra no 
volume de controle é exatamente e massa que sai, ou seja: 
 
 Velocidade m
cruzando AB 
édia Densidade média 
ao longo de AB 
x dx +
Velocidade m
cruzando AD 
 
 
 
édia Densidade média 
ao longo de AD 
x dy =
Velocidade m
cruzando BC 
 
 
 
édia Densidade média 
ao longo de BC 
x dy +
Velocidade m
cruzando CD 
 
 
 
édia Densidade média 
ao longo de CD 
x dx 
 
 
Substituindo os valores das tabelas, expandindo os produtos e 
tomando apenas somente os termos de maior ordem de grandeza, 
obtém-se a equação da continuidade bidimensional. 
( ) ( ) 0=
∂
∂
+
∂
∂ v
y
u
x
ρρ 
 
Para escoamento incompressível: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 0=Vdiv
r
 
 
Equação da continuidade na forma geral: 
0=+
∂
∂ Vdiv
t
r
ρρ
 
Dinâmica 13 
 
Função Corrente ψ 
É conveniente descrever matematicamente qualquer configuração 
de escoamento. Pode-se estudar a trajetórias das partículas, a 
história destas partículas no escoamento ou a curva tangente dos 
vetores do campo de velocidades. 
 
Define-se Linha de Emissão como sendo uma linha imaginária 
que une as partículas fluidas que passam por um ponto fixo no 
espaço. 
 
Define-se como Trajetória a linha traçada por uma partícula fluida 
durante um tempo determinado do escoamento. 
 
Define-se Linha de Corrente a linha desenhada no campo do 
escoamento de forma que, num dado instante, é tangente à direção 
do escoamento em cada ponto do campo. 
 
Em um escoamento permanente, Linha de Emissão, Trajetória e 
Linha de Corrente são coincidentes. 
 
Existe um dispositivo matemático que contempla a forma das linhas 
de corrente (incluindo as fronteiras) e a escala das componentes da 
velocidade em pontos representativos do escoamento. Este 
dispositivo é a função corrente, ψ, definida a seguir: 
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
=
ψψ
 
Onde ( tyx ,, )ψ é uma função contínua. 
 
Pode-se escrever, então, a equação de balanço de massa em 
termos da função corrente: 
0
22
=
∂∂
∂
−
∂∂
∂
=
∂
∂
+
∂
∂
xyyxy
v
x
u ψψ
 
Dinâmica 14 
 
Expressar a equação do balanço de massa em termos de função 
corrente: 
 
Vantagem: Reduz o número das variáveis dependentes para 
somente uma. 
 
Desvantagem: Aumenta, em uma ordem, as derivadas 
parciais.Efetuando a derivada total da função ψ 
dy
y
dx
x
d
∂
∂
+
∂
∂
=
ψψψ 
Sabendo-se que ψ = constante ao longo de uma linha de corrente: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
= dy
y
dx
x
d ψψψ 
e que, por definição, não há fluxo através da linha de corrente, é 
possível determinar a vazão que passa entre duas linhas de 
corrente adjacentes. A vazão (em volume) entre as linhas de 
corrente ψ1 e ψ2 pode ser determinada considerando-se o fluxo 
através de AB ou de BC. 
 
y 
x 
A B 
C 
ψ1
ψ2
 
 
Dinâmica 15 
 
Para uma profundidade unitária, a vazão através de BC é 
dy
y
udyQ
y
y
y
y
∫∫ ∂
∂
==
2
1
2
1
ψ
 
 
Ao longo de BC, x é constante e dy
y
d
∂
∂
=
ψψ . Portanto, 
∫∫ −==
∂
∂
=
2
1
2
1
12
ψ
ψ
ψψψψ ddy
y
Q
y
y
 
 
Propriedades das linhas de corrente 
 
 Q = A.V = constante entre 2 linhas de corrente 
 
 
Linhas de corrente mais espaçadas, 
menor a velocidade. 
Linhas de corrente menos 
espaçadas, maior a velocidade. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica 16 
 
Propriedades das linhas de corrente 
Linhas de corrente coincidentes → Velocidade Infinita 
Linhas de corrente NUNCA se interceptam. 
Um ponto no espaço não pode estar animado 
com duas velocidades distintas 
V1
V2
A.V > 0 
A.V < 0 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica 17 
 
Rotação de Fluido 
A rotação de uma porção de fluido é uma quantidade vetorial: 
kji zyx
rrrr
ωωωω ++= 
Onde, 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
z
v
y
w
x 2
1ω 
 
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
x
w
z
u
y 2
1ω 
 
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
∂
∂
−
∂
∂
=
y
u
x
v
z 2
1ω 
Em notação vetorial: 
V
rr
×∇=
2
1ω 
 
A tensão de cisalhamento está relacionada com a taxa de 
deformação angular gerada pelo efeito da viscosidade, fazendo com 
que ω seja não nulo. Portanto, a presença de forças viscosas 
significa que o escoamento é rotacional. 
 
Escoamento Irrotacional 
 
Define-se escoamento irrotacional quando ocorrer: 
0=== zyx ωωω 
 
Na prática, será uma hipótese válida para as regiões de um 
escoamento nas quais as forças viscosas são desprezíveis. 
 
 
Dinâmica 18 
 
Escoamento Potencial 
 
Potencial de Velocidade 
Em um escoamento irrotacional, o campo de velocidade pode ser 
definido por uma função potencial de velocidade, φ, definido a 
seguir: 
 
Rotacional (grad φ) = 0=∇×∇ φ 
 
φ é uma função escalar com as derivadas primeira e segunda 
contínuas. 
 
Para um escoamento irrotacional: 
0=×∇ V
r
 
Deve existir uma função escalar φ tal que o gradiente de φ seja 
proporcional ao vetor velocidade. 
 
Para que o sentido positivo do escoamento seja o de φ decrescente, 
define-se φ tal que: 
φ−∇=V
r
 
 
Então, 
z
w
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
φφφ
 
 
Para coordenadas cilíndricas: 
z
V
r
V
r
V zr ∂
∂
−=
∂
∂
−=
∂
∂
−=
φ
θ
φφ
θ
1
 
 
Dinâmica 19 
 
Definição de Função Corrente e Potencial de Velocidade 
x
v
y
u
∂
∂
−=
∂
∂
=
ψψ
 (1) 
 
y
v
x
u
∂
∂
−=
∂
∂
−=
φφ
 (2) 
 
Substituindo a Eq.(1) na condição de irrotacionalidade, a seguir: 
0=
∂
∂
−
∂
∂
y
u
x
v
 
 
Resulta em: 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
ψψ
 
 
Substituindo a Eq.(2) na equação da continuidade (fluido 
incompressível), a seguir: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
y
v
x
u
 
 
Resulta em: 
02
2
2
2
=
∂
∂
+
∂
∂
yx
φφ
 
 
Qualquer função ψ ou φ que satisfaça a Equação de Laplace 
representa um possível campo de escoamento bidimensional, 
incompressível e irrotacional. 
Dinâmica 20 
 
Relação entre Função Corrente e Potencial de Velocidade 
 
Sabendo-se que ψ é constante ao longo de uma linha de corrente: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
= dy
y
dx
x
d ψψψ
 
 
A inclinação de uma linha de corrente é dada por: 
u
v
u
v
y
x
dx
dy
=
−
−=
∂
∂
∂
∂
−=⎟
⎠
⎞
ψ
ψ
ψ 
 
Da mesma forma, ao longo de uma linha de φ constante: 
0=
∂
∂
+
∂
∂
= dy
y
dx
x
d φφφ
 
 
A inclinação de uma linha de potencial é dada por: 
v
u
y
x
dx
dy −
=
∂
∂
∂
∂
−=⎟
⎠
⎞
φ
φ
φ 
 
Pode-se concluir que a função corrente (ψ) é ortogonal à função 
potencial (φ). 
Dinâmica 21 
 
Escoamentos Planos Elementares 
 
Escoamento Uniforme 
 
Uxv
UyUu
−==
==
φ
ψ
0 
 
 
Fonte 
 
rqV
q
r
qVr
ln
2
0
22
π
φ
θ
π
ψ
π
θ −==
==
 
 
q é a vazão volumétrica por unidade de profundidade. 
 
Sorvedouro 
 
rqV
q
r
qVr
ln
2
0
22
π
φ
θ
π
ψ
π
θ ==
−=−=
 
 
q é a vazão volumétrica por unidade de profundidade. 
Dinâmica 22 
 
Escoamentos Planos Elementares 
 
Vórtice 
 
θ
π
φ
π
π
ψ
θ 22
ln
2
0
K
r
KV
rKVr
−==
−==
 
 
K é a intensidade do vórtice. 
 
Dipolo 
 
r
sen
r
V
r
sen
r
Vr
θφθ
θψθ
θ
cos
cos
2
2
Λ
−=
Λ
−=
Λ
−=
Λ
−=
 
 
Λ é a intensidade do dipolo. 
 
Dinâmica 23 
 
Dinâmica 24 
Superposição de Escoamentos Planos Elementares 
 
Foi demonstrado que as funções ψ e φ satisfazem a equação de 
Laplace (equação diferencial parcial, linear e homogênea). 
Portanto, as soluções podem ser superpostas para desenvolver 
configurações de escoamento mais complexas. 
Como não há escoamento na direção transversal a uma linha de 
corrente, qualquer contorno de linhas de corrente pode ser 
imaginado como representando uma superfície sólida. 
 
Escoamentos potenciais produzem corpos com sustentação, mas 
com arrasto nulo. Isto é um paradoxo, pois se não há atrito 
(escoamento invíscido), não deve haver nem sustentação nem 
arrasto. Este paradoxo é conhecido como “Paradoxo de 
D’Alambert”. 
 
Existem dois métodos para realizar a combinação de escoamentos 
elementares: 
 
Método Direto consiste na combinação de escoamentos 
elementares, seguida do cálculo direto da configuração de linhas de 
correntes, forma do corpo, campo de velocidade, ponto de 
estagnação e distribuição de pressão. 
 
Método Inverso calcula a forma do corpo que produzirá uma 
desejada distribuição de pressão. Singularidades distribuídas 
(vórtices, fontes e sorvedouros) localizadas no eixo ou na superfície 
do corpo são usadas para modelar o corpo. 
 
 
Superposição de Escoamentos Planos Elementares 
 
 
 
 
 
Fonte e Escoamento Uniforme 
(escoamento sobre meio corpo) 
 
θ
π
φ
θθ
π
ψ
cosln
2
2
Urrq
Ursenq
−−=
+=
 
 
 
Dinâmica 25 
 
Superposição de Escoamentos Planos Elementares 
 
 
 
 
 
Fonte, Sorvedouro e Escoamento Uniforme 
(escoamento sobre um corpo de Rankine) 
 
( )
θ
π
φ
θθθ
π
ψ
cosln
2
2
1
2
21
Ur
r
rq
Ursenq
−=
+−=
 
 
 
Dinâmica 26 
 
Superposição de Escoamentos Planos Elementares 
 
 
 
 
 
Dipolo e Escoamento Uniforme 
(escoamento sobre um cilindro) 
 
θφ
θψ
cos⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Λ
+−=
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛ Λ
−=
Ur
rU
sen
Ur
rU
 
 
 
Dinâmica 27 
Dipolo, Vórtice (sentido horário) e Escoamento 
Uniforme 
(escoamento sobre um cilindro com circulação) 
 
θθ
π
θφ
θ
π
θψ
cos
2
cos
ln
2
UrK
r
UrsenrK
r
sen
−+
Λ
−=
++
Λ
−=
 
 
Dinâmica 28 
 
Superposição de Escoamentos Planos Elementares 
 
 
 
 
 
 
 
 
Dinâmica 29 
	Equação de Balanço de Massa na Forma Integral
	 Equação de Balanço de Massa na Forma Diferencial
	 Equação de Balanço de Massa na Forma Diferencial
	Vértice
	B
	Face
	Propriedades das linhas de corrente
	 Propriedades das linhas de corrente