aula Mec Flu

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Fenômenos de TransporteFenômenos de Transporte
Equações Básicas na Forma 
Integral - I
Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio
Objetivos
• Entender a utilidade do teorema de Transporte 
de Reynolds.
• Aplicar a equação de conservação da massa 
Equações Integrais Básicas - Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio 2
• Aplicar a equação de conservação da massa 
para balancear as vazões de entrada e saída de 
um sistema fluido.
Introdução
• Até o momento trabalhamos com SISTEMAS FECHADOS.
• Dinâmica dos fluidos trabalha com VOLUMES DE 
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CONTROLE na maior parte do tempo.
• O Teorema de Transporte de Reynolds oferece a ligação 
entre a abordagem por SISTEMAS e a abordagem por 
volume de controle.
Teorema de Transporte de 
Reynolds (TTR)
• Considere uma propriedade extensiva N relativa 
a um sistema.
• E a propriedade intensiva correspondente n
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• E a propriedade intensiva correspondente n
definida como:
m
N=η
Onde:
• N = Propriedade extensiva
• η = Propriedade intensiva
• M = massa
Teorema de Transporte de 
Reynolds (TTR)
• Seja um volume de controle 
indeformável que constitui a região 
II.
• A região I é definida de tal forma que 
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• A região I é definida de tal forma que 
sua massa (carregando a 
propriedade N) entra no V.C. no 
intervalo de tempo ∆t.
• A região III constitui a massa que sai do V.C. (carregando a 
propriedade N) no mesmo intervalo de tempo.
Teorema de Transporte de 
Reynolds (TTR)
• O Teorema de Transporte de Reynolds afirma 
que:
– A taxa de variação com o tempo da quantidade total 
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– A taxa de variação com o tempo da quantidade total 
de N é igual às variações instantâneas de N no 
interior do volume de controle, somadas à integral 
(em toda a superfície de controle) da taxa na qual N 
está sendo transportada através da superfície de e 
para a vizinhança.
Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo
AdVd
tdt
dN
SCVCsistema
rr
∫∫ ⋅+∀
∂
∂=

 ηρηρ (Eq. 1)
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Onde:
• N = propriedade extensiva
• η = propriedade intensiva
• ∀ = volume
• ρ = massa específica
• V = velocidade
• A = área
Teorema de Transporte de Reynolds
Volume de Controle Fixo
AdVd
tdt
dN
SCVCsistema
rr
∫∫ ⋅+∀
∂
∂=

 ηρηρ (Eq. 1)
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Taxa de variação da 
propriedade extensiva N 
dentro do volume de controle
Taxa de variação da 
propriedade extensiva N do 
sistema
Taxa líquida de fluxo da 
propriedade extensiva N 
através da superfície de 
controle 
Discussão I
O teorema de Transporte de Reynolds 
pode nos ajudar a determinar a mudança 
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pode nos ajudar a determinar a mudança 
de massa dentro de um volume de 
controle?
Conservação da Massa
• Considerando:
– N = m (massa)
– η = 1 (massa dividida por massa)
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– η = 1 (massa dividida por massa)
– Conservação da massa em um sistema
0=


sistemadt
dN
Conservação da Massa
• Aplicando o Teorema de Transporte de 
Reynolds, teremos:
rr∂
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AdVd
t SCVC
rr
∫∫ ⋅−=∀
∂
∂ ρρ
Conservação da Massa
• Aplicando o Teorema de Transporte de 
Reynolds, teremos:
rr∂
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AdVd
t SCVC
rr
∫∫ ⋅−=∀
∂
∂ ρρ
Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Fluido Incompressível ρ = constante
AdVd
t
rr
∫∫ ⋅−=∀
∂
∂
AdV
t
rr
∫ ⋅−=
∂
∂∀
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• Se o volume de controle for fixo e indeformável
t SCVC
∫∫∂ t SC
∫∂
0=⋅∫ AdV
SC
rr
Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Fluido Incompressível ρ = constante
AdVd
t
rr
∫∫ ⋅−=∀
∂
∂
AdV
t
rr
∫ ⋅−=
∂
∂∀
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• Se o volume de controle for fixo e indeformável
t SCVC
∫∫∂ t SC
∫∂
0=⋅∫ AdV
SC
rr
Vazão em Volume
Conservação da Massa
Fluido Incompressível
• Velocidade média
A
Q
V =
AdV
V SC
rr
∫ ⋅
=
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A
V =
A
V SC=
Conservação da Massa
Fluido Compressível – Regime Permanente
• Nenhuma propriedade do fluido varia com o 
tempo.
0=⋅⋅∫
SC
AdV
rr
ρ
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• Caso o escoamento seja uniforme numa 
seção...
SC
AVAdV
SC
rrrr
⋅⋅=⋅⋅∫ ρρ
Exemplo 1
Determinação da velocidade média
• Determinar a velocidade média correspondente ao diagrama de 
velocidades a seguir. 
• Supor que não haja variação da velocidade segundo a direção 
normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).
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normal ao plano da figura (escoamento bidimensional).
Exemplo 2
Escoamento em Regime Permanente Compressível
• Um gás escoa em regime permanente no trecho de tubulação da 
figura. 
• Na seção (1), tem-se A1 = 20 cm², ρ1 = 4 kg/m³ e V1 = 30 m/s.
• Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³.
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• Na seção (2), tem-se A2 = 10 cm², ρ1 = 12 kg/m³.
• Qual é a velocidade na seção (2)?
Exemplo 3
Escoamento em Regime Permanente Incompressível
• O Venturi é um tubo convergente/divergente, como é mostrado na 
figura. 
• Determinar a velocidade na seção mínima (garganta) de área 5 
cm², se na seção de entrada de área 20 cm², a veloc idade é 2 m/s.
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cm², se na seção de entrada de área 20 cm², a veloc idade é 2 m/s.
• O fluido é incompressível.
Exemplo 4
Fluxo de massa em uma junção de tubos
• Considere o escoamento permanente de água em uma junção de 
tubos, conforme mostrado no diagrama.
• As áreas das seções são: A1 = 0,2 m², A2 = 0,2 m² e A3 = 0,15 m².
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• O fluido também vaza para fora do tubo através de um orifício em 
(4), com uma vazão volumétrica estimada em 0,1 m³/s. 
• As velocidades médias nas seções (1) e (3) são V1 = 5 m/s e V3 = 
12 m/s, respectivamente.
• Determine a velocidade do escoamento na seção (2).
Exemplo 4
Fluxo de massa em uma junção de tubos
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Referências
• BRAGA FILHO, W. Fenômenos de Transporte para Engenharia. Rio de 
Janeiro: LTC, 2006.
• ÇENGEL, Y. A.; CIMBALA, J. M. Mecânica dos Fluidos: Fundamentos e 
Aplicações. São Paulo: McGraw-Hill, 2007.
• FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed. 
Equações Integrais Básicas - Prof. M. Sc. Lúcio P. Patrocínio 22
• FOX, R.; McDONALD, A. T. Introdução a Mecânica dos Fluidos. 3ª. Ed. 
Rio de Janeiro: Ed. Guanabara, 1988.
• POTTER, M.C.;SCOTT, E. P. Ciências Térmicas: Termodinâmica, 
mecânica dos fluidos e transmissão de calor. São Paulo:Thomson 
Learning, 2007.
• STREETER, V. L.; WYLIE, E. B. Mecânica dos Fluidos. 7ª.ed. São Paulo: 
McGraw-Hill, 1982.