7- Equações

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Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
Equações 
Desde o início dos tempos, antes mesmo de a civilização compor suas primeiras cidades, o ser humano 
utilizou-se de números para representar tudo o que podia ser medido, contado ou codificado. Dessa forma, 
com o objetivo de desenvolver a sociedade e resolver problemas sociais, a aritmética (campo da Matemática 
que estuda os números e suas operações) e a geometria (campo da Matemática que cuida, basicamente, das 
formas e medidas) se fizeram presentes no cotidiano humano, desde o primórdio dos tempos. 
Com o avanço da sociedade e das várias ciências, 
percebeu-se a necessidade de se representar certas quantidades 
desconhecidas com símbolos diferentes dos utilizados para 
representar numerais. Muitos matemáticos procuraram 
desenvolver um estudo sobre essas variáveis desconhecidas. 
Entre eles, destaca-se Mohammed ibn-Musa al Khwarizmi, um 
dos mais notáveis e referenciado historicamente. 
Por volta do ano 825, al Khwarizmi escreveu um texto 
 
sobre variáveis desconhecidas e como resolver problemas que façam uso de tais variáveis. Foi ele que 
apresentou o termo árabe Al-Jabr, que em nossa língua portuguesa, Al-Jabr tornou-se Álgebra. 
No estudo da álgebra, é muito comum estabelecer igualdade entre sentenças, pois, dessa forma, 
podemos realizar alguns cálculos que identificam o valor numérico de uma incógnita, ou valor desconhecido. 
Isso é feito por meio do que se chama de equação, palavra que vem do latim aequalis, que significa balança 
de dois pratos equilibrada, igualdade. 
O estudo das balanças de dois pratos foi importante no desenvolvimento das equações. 
Em uma balança de dois pratos equilibrada, observa-
se no primeiro prato dois sacos iguais de ração e, no outro 
prato, 4 pesos de 500 g. Dessa forma, cada um dos sacos de 
ração é equivalente a dois pesos de 500 g. Assim, cada saco 
tem a massa de 1000 g ou 1 kg. 
Algebricamente, de acordo com o equilíbrio 
observado, chamando-se de x (incógnita da equação) a massa 
de cada pacote de ração, pode-se representar a situação por 
meio da seguinte sentença: 
 
x + x = 500 + 500 + 500 + 500 
2x = 4 · 500 
2x = 2.000 
x = 2.000 / 2 
x = 1.000 
 
Determinar o valor da incógnita x é encontrar a solução para a equação. Logo, x = 1.000, ou seja, a 
massa de cada pacote de ração é de 1.000 g ou 1 kg. 
 
Resolvendo uma equação de 1º grau com uma incógnita 
Tendo x como uma massa desconhecida num dos pratos de uma balança, 19 como uma massa 
conhecida de 19 g e 42 como uma massa conhecida de 42 g, para determinar o valor de x, massa incógnita ou 
desconhecida da equação (igualdade), x + 19 = 42, pensa-se em colocar ou retirar massas da balança, de modo 
que o equilíbrio não se altere. 
Fonte: COC – 7º ano 
 
Fonte: COC – 7º ano 
 
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Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
Assim, tendo x e 19 g no primeiro prato e 42 g no segundo prato, algebricamente, tem-se: 
x + 19 = 42 
em que x + 19 está no primeiro membro e 42 no segundo membro (os pratos na balança são os membros na 
equação) 
Se retirarmos pesos de mesma massa em cada um dos dois pratos, o equilíbrio não se altera. 
x + 19 − 𝟏𝟗 = 42 − 19 
x + 0 = 23 
x = 23 
Com isso, a massa desconhecida é de 23 kg. 
Seguindo o mesmo raciocínio aplicado, podemos também multiplicar ou dividir os dois membros de 
uma igualdade por um mesmo número diferente de zero, em que a igualdade não se altere. 
 
a) 7x = 112 
7x = 112 
Dividindo-se ambos os membros por 7 
7𝑥
𝟕
=
112
𝟕
 
x = 16 
 
b) 
𝑥
9
= 15 
𝑥
9
= 15 
Multiplicando-se ambos os lados por 9 
𝑥
9
∙ 𝟗 = 15 . 𝟗 
x = 135 
Exemplos: 
❖ Resolvendo uma equação somando, subtraindo, multiplicando ou dividindo ambos os membros, de 
maneira que a igualdade não se altere. 
 
16 – x = 32 
Subtraindo 16 de ambos os membros 
–x = 32 – 16 
–x = 16 
Multiplicando-se por (– 1) em ambos os membros 
x = –16 
 
❖ Resolver a equação com parênteses 5(x – 4) + 3(x + 4) = 16 + 4x 
 
5(x – 4) + 3(x + 4) = 16 + 4x 
Aplicando a propriedade distributiva para eliminar 
os parênteses. 
5x – 20 + 3x + 12 = 16 + 4x 
Adicionar, em cada membro, os termos algébricos 
semelhantes. 
8x – 8 = 16 + 4x 
Subtraindo 4x de ambos os membros 
8x – 4x – 8 = 16 
4x – 8 = 16 
Somando 8 em ambos os membros 
4x = 16 + 8 
4x = 24 
Por fim, dividindo ambos os lados por 24 
x = 6 
De forma análoga, aplicando as operações inversas, 
e fazendo mentalmente os cancelamentos, tem-se: 
 
 
 
 
3 
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❖ Resolver equações com frações 
a) Resolver equação com fração 
𝑥
2
+ 15 = 3𝑥 − 10 
 
𝑥
2
+ 15 = 3𝑥 − 10 
Primeiramente, determina-se o MMC dos denominadores: MMC (2, 1) = 2, a fim de transformar cada termo 
em uma fração equivalente de denominador 2, da mesma forma que se faz na adição e subtração de frações. 
As frações equivalentes são determinadas em ambos os membros. 
𝑥
2
+
15
1
=
3𝑥
1
−
10
1
⇔
(2 ÷ 2) ∙ 𝑥
2
+
(2 ÷ 1) ∙ 15
2
=
(2 ÷ 1) ∙ 3𝑥
2
−
(2 ÷ 1) ∙ 10
2
⇔
𝑥
2
+
30
2
=
6𝑥
2
−
20
2
 
Nesse momento, em que todos os termos da equação são frações equivalentes de mesmo denominador, pela 
igualdade de frações, cancelam-se os denominadores comuns em todos os termos da equação 
𝑥
2
+
30
2
=
6𝑥
2
−
20
2
⇔ 𝑥 + 30 = 6𝑥 − 20 
Finalizando, resolve-se a equação resultante, sem os denominadores, da maneira que se fez anteriormente na 
resolução de equações. 
𝑥 + 30 = 6𝑥 − 20 
𝑥 − 6𝑥 = −20 − 30 
−5𝑥 = −50 
5𝑥 = 50 
𝑥 =
50
5
 
𝑥 = 10 
 
b) Resolver equação com fração 1 −
3𝑥+4
4
=
2𝑥−8
3
 
 
1 −
3𝑥 + 4
4
=
2𝑥 − 8
3
 
Determina-se o MMC dos denominadores: MMC (4, 3) = 12, e escrever frações equivalentes as frações dadas, 
de mesmo denominador 12 
1 −
3𝑥 + 4
4
=
2𝑥 − 8
3
 
(12 ÷ 1) ∙ 1
12
−
(12 ÷ 4) ∙ (3𝑥 + 4)
12
=
(12 ÷ 3) ∙ (2𝑥 − 8)
12
 
12
12
−
3 ∙ (3𝑥 + 4)
12
=
4 ∙ (2𝑥 − 8)
12
 
Aplicando-se a propriedade distributiva, para eliminar os parênteses 
12
12
+
(−9𝑥 − 12)
12
=
8𝑥 − 32
12
 
Eliminando os denominadores e resolvendo a equação 
12 − 9𝑥 − 12 = 8𝑥 − 32 
−9𝑥 − 8𝑥 = −32 − 12 + 12 
−17𝑥 = −32 
17𝑥 = 32 
𝑥 =
32
17
 
 
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Hora de Praticar 
1- Determine o conjunto solução de cada equação a seguir. 
a) 2x – 7 = 9 
b) y + 9 = 23 
c) –3z = 27. 
d) 
𝑥
8
= 9 
e) y – 18 = – 12 
f) 5t + 9 = –6 
g) 2(x + 2) = 5 
h) 19x = 0 
i) –5y + y = 9 
j) 2(2x + 1) – (x + 1) = 5x – 16 
k) 3(x + 1) + 2(x – 1) = 32 
l) 3y = 5(y – 2) + 2y + 12 
m) 6(y + 3) + 2(y + 7) = 7(y + 3) 
n) 5x – 6 = 14 
o) 3x + 9 = x – 3 
p) 2(x + 3) = 7 
q) –4x = –32 
r) x + x = 42 
s) 25 = 16 – x 
t) 4 . [5 – 2 . (x + 3) – 4] + 5 . (x – 4) = 0 
u) 
𝑥
3
− 1 = 9 
v) 
2𝑥
5
+ 3 = 𝑥 
w) 
𝑦
5
− 4 =
𝑦
2
 
x) 
𝑦
2
+ 3𝑦 =
1
3
 
y) 
5+𝑦
18
− 1 =
1
6
+
3(𝑦−1)
9
 
z) 
5−𝑥
4
−
𝑥−1
6
−
3𝑥−2
3
=
2𝑥−8
5
 
 
 
 
Em Anexo 1, como resolver equações de forma prática. 
 
 
 
 
 
Respostas no final do capítulo 
5 
Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
Resolvendo uma equação de 2º grau com uma incógnita 
As equações do 2º grau, ou equações quadráticas, possuem 
uma única variável, x, do segundo grau, que apresenta como maior 
expoente o 2, e podem ser reduzidas à forma: 
 
ax2 + bx + c = 0, sendo a, b, c ∈ ℝ e a ≠ 0 
 
 
 
Para encontrar as raízes ou soluções da equação do 2o grau, usa-se a fórmula de Bhaskara 
 
 
Fonte: https://beduka.com/ 
 
Ao se calcular Δ, discriminante da equação, pode-se obter três resultados possíveis, em que o número 
de raízes ou soluções correspondem ao valor de Δ. Assim: 
 
 
Fonte: https://comocalcular.com.br/ 
 
Exemplos 
 
a) Resolver, em ℝ, a equação x2 – 2x – 3 = 0. 
Comparando os coeficientes: a = 1, b = –2 e c = –3 
 
Calculando o discriminante Δ,em que Δ = b2 – 4ac 
Δ = (–2)2 – 4 · (1) (–3) 
Δ = 4 + 12 
Δ = 16 
 
Calculando os valores de x: 
 
 
Fonte: COC – 1ª série EM 
 
6 
Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
 
 
Percebe-se que na resolução da equação anterior, x2 – 2x – 3 = 0, o discriminante Δ positivo (Δ > 0), permite-
nos encontrar duas raízes reais e distintas 
S = {– 1, 3} 
 
b) Resolver, em ℝ, a equação 4x2 – 4x + 1 = 0. 
Comparando os coeficientes: a = 4, b = – 4 e c = 1 
 
Calculando o discriminante Δ, em que Δ = b2 – 4ac 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (–4)2 – 4 · (4) (1) 
Δ = 16 – 16 
Δ = 0 
Calculando os valores de x: 
 
 
Percebe-se que na resolução da equação anterior, 4x2 – 4x + 1 = 0, o discriminante Δ neutro (Δ = 0), permite-
nos encontrar duas raízes iguais ou uma raiz real no conjunto solução. 
 
c) Resolver, em ℝ, a equação 2x2 – x + 6 = 0. 
Comparando os coeficientes: a = 2, b = –1 e c = 6 
 
Calculando o discriminante Δ, em que Δ = b2 – 4ac 
Δ = b2 – 4ac 
Δ = (–1)2 – 4 · (2)(6) 
Δ = 1 – 48 
Δ = – 47 
 
7 
Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
Calculando os valores de x: 
 
Mas √−47 não existe no conjunto dos reais. Dessa forma, a equação não tem solução real. 
Percebe-se que na resolução da equação anterior, 2x2 – x + 6 = 0, o discriminante Δ negativo (Δ < 0), não se 
permite encontrar raízes reais, uma vez que, no conjunto dos números reais, não existe raiz quadrada de 
número negativo. 
 
S = ∅ 
 
Hora de Praticar 
2- A fórmula de Bhaskara é utilizada na resolução de equação do 2º grau. Resolva as 
equações a seguir por meio da fórmula de Bhaskara, determinando seu conjunto solução. 
a) x² – 9 = 0 
b) 2x² + 4x = 0 
c) x² – 6x + 8 = 0 
d) 2x² – 9x + 4 = 0 
e) 6x² – x – 1 = 0 
f) x² = –7x + 120 
g) x² – 5x – 12 = x + 4 
h) (x + 2)2 – (x – 1) · (x + 1) = x2 + 8 
i) x² + x·(x – 1) = 3x – 7 
j) (x + 3)2 = 3x(x + 7) – x2 – 7x 
k) (x – 4) · (–x + 3) – 2x = 3(x – 1) – 5x + 3 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Respostas no final do capítulo 
8 
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Referência Bibliográfica 
 
Coleção COC Infinito do 7º ano do Ensino Fundamental - COC. 3ª edição. COC by Pearson. Vol. 5, Capítulo 
6, pág. 59 - 97. 
 
Coleção COC Infinito do 9º ano do Ensino Fundamental - COC. 3ª edição. COC by Pearson. Vol. 5, Capítulo 
12, pág. 63 - 106. 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA, Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA, Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
Equações do 1º grau com uma variável em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2023. 
Disponível na Internet em https://www.somatematica.com.br/fundam/equacoes1.php. Acesso em dez de 2022 
 
JUNIOR, Luiz Alberto. NOÇÕES BÁSICAS DE GEOMETRIA. Disponível em https://educaemcasa.petrop 
olis.rj.gov.br/ Acesso em dez de 2022. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
9 
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Anexo 1 
Resolver equações de forma prática 
 
❖ Em álgebra, usam-se letras para representar números desconhecidos, incógnitos. Estes números são 
chamados de variáveis (porque seus valores podem mudar) ou incógnitas (pois seu valor é 
desconhecido). 
❖ As letras mais usadas para substituir os números são: x, y, z, a, b e c. Porém, é permitido o uso de 
qualquer letra ou símbolo para se representar valores desconhecidos 
❖ O elemento mais importante de uma equação do primeiro grau é o sinal de igualdade ( = ). Sua função 
é separar os membros, em que se espera que se escreva letra com letra de um lado e número com 
número do outro. Muito importante: quando se troca qualquer elemento de lugar (passando pelo 
sinal de igualdade e escrevendo-se no outro membro) ele deve ter sua operação invertida: adição irá 
se tornar subtração ou vice – versa; multiplicação irá se tornar divisão ou vice – versa. 
 
Exemplos 
 
I) x + 5 = 6 
x + 5 = 6 
 
Repare que o número 5 está no 1º membro, em que se escrevem-se as letras. Seu “lugar correto” é no 2º mebro, 
ao lado do número. Trocando-se de lugar o + 5, sua operação será invertida, ou seja: “de um lado o somando 
passará para o outro subtraindo” 
 
x + 5 = 6 
x = 6 – 5 
 
Nada acontece com o 6 pois este permanece no mesmo lugar, está escrito no 2º membro, lado dos números. 
 
x = 1 
 
II) y – 2 = – 5 
y – 2 = – 5 
 
Passa-se o – 2 para o 2º membro, perto do – 5, pois, se escreve “número com número”. Para isso, troca-se de 
lugar (membro) e inverte-se a operação 
 
y = – 5 + 2 
y = – 3 
 
III) 3z – 6 = 10 – 2z 
3z – 6 = 10 – 2z 
 
Neste caso, existe mais de um elemento a ser trocado de lugar (membro). Escreve-se letra perto de letra e 
número perto de número, ou seja, letras no primeiro membro e números no segundo membro. Super 
importante! “Ao lado das letras existem números e para onde as letras forem os números devem acompanhá-
las!” 
10 
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3z – 6 = 9 + 2z 
3z – 2z = 9 + 6 
z = 15 
 
IV) 2a = 8 
2a = 8 
 
Neste exemplo, não existe sinal entre o número e a letra. Aqui, no oculto estará sempre o sinal de 
multiplicação. 
2a = 8 
2 . a = 8 
 
Sabe-se que o número pode ficar ao lado da letra, porém não se procura saber o valor de duas letras a, mas 
apenas de apenas uma. Logo, “passaremos o número 2 para o lado do número 8, com sua operação invertida” 
 
a = 
8
2
 
a = 4 
 
V) 4x + 8 = 10 + 2x 
4x + 8 = 10 + 2x 
4x – 2x = 10 – 8 
2x = 2 
x = 
2
2
 
x = 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
11 
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Respostas e Resoluções 
 
1- 
a) 
2x = 9 + 7 
2x = 16 
x = 8 
S = {8} 
 
b) 
y = 23 – 9 
y = 14 
S = {14} 
 
c) 
 
 
d) 
 
 
e) 
y = – 12 + 18 
y = 6 
S = {6} 
 
f) 
 
 
g) 
 
 
 
h) 
 
 
i) 
 
 
j) 
 
 
k) 
 
 
l) 
 
 
12 
Organizado por: Professor Mestre Juliano Squarsone Di Siervo 
m) 
 
 
n) 
 
 
o) 
 
 
p) 
 
 
q) 
 
 
r) 
 
 
s) 
 
 
 
 
t) 
 
 
u) 
 
 
v) 
 
 
w) 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
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x) 
 
 
y) 
 
 
z) 
 
 
2- 
a) 
a = 1 
b = 0 
c = –9 
S = {–3; 3} 
 
b) 
a = 2 
b = 4 
c = 0 
S = {0; –2} 
 
 
c) 
a = 1 
b = –6 
c = 8 
S = {2; 4} 
 
d) 
a= 2 
b = –9 
c =4 
 
 
e) 
a = 6 
b = –1 
c = –1 
 
 
f) 
x² + 7x – 120 = 0 
a = 1 
b = +7 
c =–120 
S = {–15; 8} 
 
g) 
x² – 6x – 16 = 0 
a = 1 
b = –6 
c = –16 
S = {–2; 8} 
 
h) 
x² + 4x + 4 – (x² – 1) = x² + 8 
x² + 4x + 4 – x² + 1 = x² + 8 
x² – 4x + 3 = 0 
a = 1 
b = –4 
c = 3 
S = {3; 1} 
 
i) 
x² + x² – x – 3x + 7 = 0 
2x² – 4x + 7 = 0 
a = 2 
b = –4 
c = 7 
Δ < 0 
S = ∅ 
 
14 
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j) 
x² + 6x + 9 =3x² + 21x – x² – 7x 
x² + 6x + 9 = 2x² + 14x 
x² + 8x – 9 = 0 
a = 1 
b = 8 
c = –9 
S = {–9; 1} 
 
k) 
–x² + 3x + 4x – 12 – 2x = 3x – 3 – 5x + 3 
–x² + 7x – 12 – 2x = –2x 
x² – 7x + 12 = 0 
a = 1 
b = –7 
c = 12 
S = {4; 3}