Livro de Matemática

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<p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA</p><p>Prof. Pedro Bigattão</p><p>MATEMÁTICA</p><p>Marília/SP</p><p>2022</p><p>“A Faculdade Católica Paulista tem por missão exercer uma</p><p>ação integrada de suas atividades educacionais, visando à</p><p>geração, sistematização e disseminação do conhecimento,</p><p>para formar profissionais empreendedores que promovam</p><p>a transformação e o desenvolvimento social, econômico e</p><p>cultural da comunidade em que está inserida.</p><p>Missão da Faculdade Católica Paulista</p><p>Av. Cristo Rei, 305 - Banzato, CEP 17515-200 Marília - São Paulo.</p><p>www.uca.edu.br</p><p>Nenhuma parte desta publicação poderá ser reproduzida por qualquer meio ou forma</p><p>sem autorização. Todos os gráficos, tabelas e elementos são creditados à autoria,</p><p>salvo quando indicada a referência, sendo de inteira responsabilidade da autoria a</p><p>emissão de conceitos.</p><p>Diretor Geral | Valdir Carrenho Junior</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 5</p><p>SUMÁRIO</p><p>CAPÍTULO 01</p><p>CAPÍTULO 02</p><p>CAPÍTULO 03</p><p>CAPÍTULO 04</p><p>CAPÍTULO 05</p><p>CAPÍTULO 06</p><p>CAPÍTULO 07</p><p>CAPÍTULO 08</p><p>CAPÍTULO 09</p><p>CAPÍTULO 10</p><p>CAPÍTULO 11</p><p>CAPÍTULO 12</p><p>CAPÍTULO 13</p><p>CAPÍTULO 14</p><p>CAPÍTULO 15</p><p>07</p><p>17</p><p>27</p><p>40</p><p>49</p><p>58</p><p>68</p><p>78</p><p>87</p><p>97</p><p>108</p><p>117</p><p>126</p><p>136</p><p>146</p><p>LÓGICA MATEMÁTICA I</p><p>LÓGICA MATEMÁTICA II</p><p>TABELA VERDADE</p><p>TEORIA DOS CONJUNTOS</p><p>SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS</p><p>ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>INEQUAÇÕES</p><p>MATRIZES</p><p>SISTEMAS LINEARES I</p><p>SISTEMAS LINEARES II</p><p>FUNÇÃO I</p><p>APLICAÇÕES DE FUNÇÕES DO 1° GRAU</p><p>FUNÇÃO II</p><p>POLINÔMIOS</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 6</p><p>INTRODUÇÃO</p><p>Caro (a) aluno (a),</p><p>Seja bem-vindo à disciplina de Matemática. Por intermédio da temática que vamos</p><p>potencializar o desenvolvimento ao longo das aulas, você irá alcançar conceitos</p><p>preliminares sólidos dos conhecimentos sobre a matemática, assim como suas</p><p>operações algébricas, além de ter um contato muito próximo com as teorias que</p><p>a envolve. Da mesma forma, veremos as definições dos conceitos envolvidos nos</p><p>diferentes conteúdos, como por exemplo lógica matemática, tabelas verdades, teoria</p><p>dos conjuntos, sequências numéricas e entre outros, visando impactar diretamente</p><p>a profissão para a qual você está se preparando com situações contextualizadas.</p><p>Iremos relembrar os diversos conceitos envolvidos na matemática e suas operações</p><p>matemáticas e com isso interpretar suas definições utilizando situações-problemas</p><p>de modo a se obter um alicerce para desenvolvimento de um conhecimento sólido.</p><p>Vamos da mesma forma iniciar as definições iniciais de funções e polinômios, com</p><p>o objetivo de estudar suas concepções utilizando conceitos e combinando todos esses</p><p>princípios a profissão para a qual você está se preparando. São diversas as vezes em</p><p>que eles são aplicados em contextos da matemática, associando aos conhecimentos</p><p>adquiridos nessas aulas, com problemas e situações que envolvam as diversas áreas</p><p>do conhecimento.</p><p>Ao final desse percurso, você será um profissional não só com capacidade técnica</p><p>para conseguir bons resultados, mas também com muita competência para refletir</p><p>sobre sua prática profissional e os impactos dela na sociedade.</p><p>Vamos começar!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 7</p><p>CAPÍTULO 1</p><p>LÓGICA MATEMÁTICA I</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Lógica Matemática e os valores lógicos</p><p>analisando e assim interpretá-los. Dessa forma, irá compreender as estruturas das</p><p>relações básicas. Com essa ferramenta apresentada você poderá ter uma maior</p><p>facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>1.1 Noções de lógica matemática</p><p>Iremos chamar de proposição ou sentença todo agrupamento de frases ou símbolos</p><p>que são capazes de expor um pensamento de sentido completo. Sentença ou proposição</p><p>se diferenciam do nome que caracteriza um objeto.</p><p>Por exemplos os nomes:</p><p>• Pedro</p><p>• O cachorro dá a pata</p><p>• 3 - 19</p><p>Dessa forma vamos então a exemplos de proposições:</p><p>• A lua é um satélite da Terra.</p><p>• O Brasil participou da copa em 1970.</p><p>• 3 x 5 = 5 x 3</p><p>• Onde você mora?</p><p>• Que lindo jardim é o desta casa!</p><p>• Pedro examina seu exame clínico.</p><p>• Duas retas de um plano são paralelas ou incidentes.</p><p>• Se Pedro estuda, então tem êxito na avaliação de Lógica.</p><p>• Vou ao cinema se e somente se meu pagamento sair hoje.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 8</p><p>1.2 Valores lógicos das proposições V(p)</p><p>Podemos dizer que todo valor lógico de uma proposição “p” será verdadeiro no</p><p>momento que “p” for verdadeiro e falsidade quando “p” for falso.</p><p>Esses valores lógicos chamados de verdade e falsidade de uma proposição serão</p><p>representados pelas letras “V” verdade e “F” falso ou pelos símbolos binários 1 e 0,</p><p>respectivamente.</p><p>Toda proposição pode assumir um, e somente um, dos dois valores: F ou V.</p><p>Por exemplo:</p><p>a) O Japão fica na África</p><p>b) O Brasil ganhou a Copa do Mundo de 1970 no México</p><p>O valor lógico da proposição “O Japão fica na África” é a falsidade (F), e da proposição</p><p>“O Brasil ganhou a Copa do Mundo de 1970 no México” é a verdade (V). As proposições</p><p>também podem ser classificadas como simples ou compostas.</p><p>Proposição simples são aquelas que afirmam alguma coisa sem utilizar os conectivos:</p><p>• “e” - chamado de conjunção,</p><p>• “ou” - chamado de disjunção</p><p>• “se…, então…” - chamado de condicional</p><p>• “… se e somente se…” - chamado de bi condicional.</p><p>No momento que conectamos duas ou mais proposições simples, estruturamos uma</p><p>proposição composta e, por consequência, chamamos as proposições simples também</p><p>de proposições atômicas e as proposições compostas de proposições moleculares.</p><p>Outro aspecto que facilita a identificação das proposições simples é observar a</p><p>quantidade de verbos principais.</p><p>Por exemplo:</p><p>p: Pedro tem cabelos compridos.</p><p>q: A água está gelada.</p><p>r: O número 3 é um número primo.</p><p>s: O sol é verde.</p><p>Agora a proposição composta é formada por duas ou mais proposições relacionadas</p><p>pelos conectivos “e”, “ou”, “se... então...”, ou “implica” e “... se e somente se...”, conforme</p><p>mencionado acima. Neste caso as proposições serão indicadas por letras maiúsculas</p><p>P, Q, R e S.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 9</p><p>Exemplo</p><p>Sejam:</p><p>• p = 1 + 2 = 3</p><p>• q = 2 ≠ 1</p><p>Duas proposições (no caso, ambas de valor lógico (V).</p><p>Podemos formar as proposições compostas:</p><p>• P = p ∧ q: 1 + 2 = 3 e 2 ≠ 1</p><p>• Q = p ∨ q: 1 + 2 = 3 ou 2 ≠ 1</p><p>• R = p → q: Se 1 + 2 = 3 então 2 ≠ 1</p><p>Observações: No momento que for conveniente indicarmos que uma proposição</p><p>composta P é formada pelas proposições simples p, q, r, simbolizaremos por: P (p, q, r).</p><p>• As proposições componentes de uma proposição composta podem ser elas</p><p>mesmas, proposições compostas.</p><p>• As proposições compostas são também chamadas fórmulas proposicionais.</p><p>Indicaremos o valor lógico de uma proposição simples p, por V (p). Assim, se p</p><p>é verdadeira, V(p) = V e se p é falsa, V (p) = F.</p><p>Por exemplo:</p><p>• p: O sol é verde. V(p) = F</p><p>• q: Um quadrado possui seis lados. V(q) = V</p><p>• r: Três é a raiz da equação x2 + 3x - 4 = 0 V(r) = F</p><p>1.3 Princípios fundamentais da lógica</p><p>• Princípio da não contradição ocorre na ocasião em que uma proposição nunca</p><p>poderá ser simultaneamente “F” e “V”.</p><p>• Princípios do Terceiro Excluído será quando toda proposição ou for só “F” ou</p><p>só “V”, em nenhum momento irá ocorrer um terceiro caso. Em conformidade</p><p>com esses princípios, somos capazes de afirmar que toda proposição assumirá</p><p>um e um só dos valores “V” verdade ou “F” falso.</p><p>Dessa forma vamos chamar os conectivos lógicos, palavras ou expressões que se</p><p>unem para formar novas proposições, a partir de proposições dadas. Apresentamos</p><p>algumas proposições compostas.</p><p>• P: O número nove é quadrado perfeito e o número três é ímpar.</p><p>• Q: O triângulo ABC é retângulo ou isósceles.</p><p>• R: Se João estuda, então sabe a matéria</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 10</p><p>1.4 Tipos de preposição</p><p>I -</p><p>de fatorial</p><p>4! + 2! = (4 · 3 · 2 · 1) + (2 · 1)</p><p>4! + 2! = 24 + 2</p><p>4! + 2! = 26</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Na operação de adição de fatorial, precisamos ficar atentos que não será possível</p><p>realizar a operação de soma dos elementos numéricos antes de calcular o fatorial,</p><p>ou seja, 4! + 2! ≠ 6!</p><p>Exemplo de subtração de fatorial</p><p>5! – 3! = (5 · 4 · 3 · 2 · 1) – (3 · 2 · 1)</p><p>5! – 3! = 120 – 6</p><p>5! – 3! = 114</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Notamos que, como na adição, precisamos ficar atentos que não será possível</p><p>realizar a operação de subtração dos elementos numéricos antes de calcular o</p><p>fatorial, ou seja, 5! - 3! ≠ 2!</p><p>Exemplo de multiplicação de fatorial</p><p>2! · 3! = (2 · 1) · (3 · 2 · 1)</p><p>2! ·3! = 2 · 6</p><p>2! · 3! = 12</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Percebemos de forma clara que, na operação de multiplicação, da mesma forma</p><p>2! · 3! ≠ 6!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 63</p><p>Exemplo de divisão de fatorial</p><p>6! : 2! = (6 · 5 · 4 · 3 · 2 · 1) : (2 · 1)</p><p>6! : 2! = 720 : 2</p><p>6! : 2! = 360</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Por fim, a operação de divisão, vamos seguir a mesma definição uma vez que 6! : 2!</p><p>≠ 3!. Dessa forma, em hipótese alguma devemos realizar as operações de calcular o</p><p>fatorial.</p><p>Visto as operações com fatorial, vamos demonstrar como realizar a simplificação</p><p>de fatorial. A todo momento em que encontrarmos uma divisão entre o fatorial de</p><p>dois algarismos numéricos, seremos capazes de resolvermos a simplificação. Então,</p><p>vamos seguir alguns passos:</p><p>• O primeiro passo a realizar é encontrar o maior fatorial na divisão.</p><p>• O segundo passo será executar a operação de multiplicação do maior fatorial</p><p>até que surja o mesmo fatorial no numerador e no denominador.</p><p>• O terceiro passo será realizar a simplificação.</p><p>Vejamos, na prática:</p><p>Exemplo 1: Simplificar o fatorial</p><p>Neste exemplo podemos perceber que o maior fator está no numerador é 6!, dessa</p><p>forma, precisaremos realizar a decomposição multiplicando 6 até chegar a 3!.</p><p>Agora somo capazes de solucionarmos a simplificação do 3!, que aparece no</p><p>numerador e também no denominador e ao realizar essa operação de simplificação,</p><p>nos restará apenas a multiplicação 6 · 5 . 4 = 120</p><p>Exemplo 2: Simplifique a expressão</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 64</p><p>6.4 Arranjo simples</p><p>Vamos obter um arranjo quando os agrupamentos obtidos tiverem elementos</p><p>diferenciados. Veja que, quando quisermos construir números distintos, utilizando</p><p>somente os cinco primeiros números ímpares 1; 3. 5; 7 e 9, contaremos com as</p><p>seguintes centenas:135; 137;139; 153, 157, e assim por diante.</p><p>Se trocarmos a posição dos números de qualquer das centenas, iremos obter outra</p><p>centena diferente, como exemplo 137 será diferente de 371 e dessa forma teremos,</p><p>então um arranjo com 5 elementos em grupos de três centenas.</p><p>Com o intuito de representar a quantidade de elementos de um arranjo de n elementos</p><p>tomados k a k, teremos a seguinte fórmula:</p><p>Por exemplo vamos resolvendo o problema das centenas citadas acima:</p><p>Nesse momento utilizamos os cinco primeiros números ímpares e formaremos 60</p><p>centenas diferentes.</p><p>Exemplo 1: Observando os elementos 1, 2, 3, 4 escreva todos os arranjos desses</p><p>elementos tomados dois a dois.</p><p>(1, 2); (1, 3); (1, 4); (2, 1); (2, 3); (2, 4); (3, 1); (3, 2); (3, 4); (4,1); (4, 2); (4, 3)</p><p>Exemplo 2: Um cofre possui um círculo marcado com os dígitos 0, 1, 2,3, 4, 5, 6, 7,</p><p>8 e 9. Uma pessoa necessita abrir esse cofre com uma combinação de três dígitos</p><p>distintos. Quantas tentativas máximas poderão ser realizadas para que o cofre seja</p><p>aberto?</p><p>Essa sequência será do tipo xyz e para o primeiro número da sequência temos dez</p><p>possibilidades, para a segunda temos nove possibilidades, uma vez que os números</p><p>deverão ser distintos, e para a terceira possibilidade, temos oito números</p><p>Aplicando a definição de arranjos pelo Princípio fundamental da contagem,</p><p>chegaremos ao resultado: 10. 9. 8 = 720.</p><p>Observe que 720 = A10,3</p><p>Exemplo 3: Obter o valor de A4,2 + A7,3.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 65</p><p>Logo o valor de A4,2 + A7,3 = 12 + 210 = 222 possibilidades.</p><p>Exemplo 4: Em um torneio de copa do mundo de jogos elétricos, a disputa é realizada</p><p>por quatro seleções: Brasil, Estados Unidos da América, Portugal e Alemanha. Determine</p><p>as possibilidades distintas de termos Brasil, Estados Unidos da América e Portugal</p><p>como sendo os três primeiros colocados?</p><p>Uma possível solução desse torneio é os EUA sendo campeã, o Brasil em segundo</p><p>e Portugal em terceiro. Caso invertemos essa ordem, teremos Brasil campeão, EUA</p><p>em segundo e Portugal em terceiro lugar, que é um resultado diferente do anterior.</p><p>Cada resultado do torneio é um arranjo das quatro equipes tomadas de três a três.</p><p>Dessa forma, o número de possibilidades será:</p><p>Para praticar: Em uma determinada instituição financeira, existe um cartão de crédito</p><p>que tem a senha formada por duas letras distintas seguidas por algarismos distintos.</p><p>Determine quantas senhas poderiam ser elaboradas?</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Nesse exemplo, na ordem que escolhemos as letras, o número de possibilidades que</p><p>escolhemos será dado por A26,2. Analogamente, essa sequência com três algarismos</p><p>numéricos distintos poderá ser escolhida de A10,3.</p><p>Pelo Princípio fundamental da Contagem, a quantidade de senhas que podemos</p><p>confeccionar é: A26,2 x A10,3 = 650 x 720 = 468.000.</p><p>6.5 Combinação simples</p><p>Chamamos de combinação dos n elementos qualquer conjunto com n elementos</p><p>distintos, tomados k a k, a qualquer subconjunto formado por K elementos, ou seja,</p><p>vamos obter uma combinação no momento em que esses agrupamentos mantem-se</p><p>da mesma forma ao trocar a posição dos seus elementos.</p><p>Nesse sentido podemos perceber com esse exemplo.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 66</p><p>Caso tenhamos um grupo de cinco pessoas, Márcia, Pedro, Nathália, Thais e Manuela</p><p>e queremos formar grupos com três pessoas, o grupo formado por Manuela, Nathália</p><p>e Thais é o mesmo grupo formado por Nathália, Manuela e Thais. Dessa forma, temos</p><p>uma combinação de cinco elementos em grupos de três.</p><p>6.5.1 Cálculo do número de combinações</p><p>Vamos pensar na seguinte situação:</p><p>Em uma instituição de ensino, temos uma turma constituída por 10 alunos.</p><p>Desejamos formar um grupo com três alunos visando que eles atuem como</p><p>representantes discentes. Dessa forma necessitamos descobrir quantas possibilidades</p><p>de escolha teremos.</p><p>Primeiramente vamos determinar o número de triplas ordenadas de alunos:</p><p>Admitamos que se os integrantes desse grupos forem A, B e C e estejam entre</p><p>os dez integrantes dessa turma. As 720 possibilidades irão incluir, entre outras, os</p><p>seguintes arranjos:</p><p>(A, B, C), (A, C, B), (B, A, C), (B, C, A), (C, A, B) e (C, B, A)</p><p>Podemos perceber que em cada um desses arranjos, estão sendo diferentes apenas</p><p>pela sua ordem e os estudantes A, B e C farão parte da comissão. Desse modo, esses</p><p>seis arranjos acima passam a ser equivalentes entre si, correspondendo a uma única</p><p>combinação, pois determinam sempre a mesma comissão.</p><p>Desta forma, aos seis arranjos corresponde uma combinação; então, para os 720</p><p>arranjos, teremos x combinações.</p><p>Nessa situação podemos perceber que a cada 6 arranjos vamos obter apenas uma</p><p>combinação e se temos 720 arranjos. Portanto, quantas combinações teremos?</p><p>Realizando uma regra de três vamos obter 120 combinações.</p><p>Teoricamente, podemos representar por Cn,k o número total de combinações de n</p><p>elementos tomados k a k, temos Fórmula da combinação simples:</p><p>Exemplo:</p><p>Em uma escola estadual, dos oito alunos classificados em um concurso de redação,</p><p>dois foram premiados por um sorteio elaborado pela escola. Os estudantes sorteados</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 67</p><p>irão receber uma cesta de chocolate. De quantas maneiras distintas a dupla premiada</p><p>pode ocorrer?</p><p>Estamos calculando a combinação de 8 elementos tomados de 2 em 2.</p><p>6.6 Conclusão</p><p>Nesta aula, vimos o conceito de análise combinatória e as suas derivações. Vimos</p><p>os cálculos de</p><p>arranjo simples e combinação simples para conseguir descobrir as</p><p>possibilidades de arranjos tendo algumas opções de escolha. A análise combinatória</p><p>vai ser fundamental para os conceitos que serão abordados nas próximas aulas.</p><p>6.7 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 68</p><p>CAPÍTULO 7</p><p>PRODUTOS NOTÁVEIS</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Produtos notáveis e sua interpretação.</p><p>Dessa forma, irá compreender as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta</p><p>apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos</p><p>futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>7.1 Produtos notáveis</p><p>Os produtos notáveis podem ser definidos como a multiplicação entre expressões</p><p>algébricas que possuem uma lei de formação que rege sua resolução. Expressões</p><p>algébricas são sentenças matemáticas constituídas por números, letras e operações.</p><p>As letras usadas em sua formação são incógnitas e simbolizam um valor que não</p><p>conhecemos. Os números são geralmente apresentados antes das letras e são</p><p>denominados de coeficientes.</p><p>O reconhecimento de um produto notável durante a solução de um problema, facilita</p><p>o trabalho. Portanto, os cinco produtos notáveis são:</p><p>• Quadrado da soma: a2 + 2ab + b2 = (a + b)2;</p><p>• Quadrado da diferença: a2 - 2ab + b2 = (a - b)2;</p><p>• Produto da soma pela diferença: (a + b) (a - b) = a2 - b2;</p><p>• Cubo da soma: (a + b)³ = a³ + 3a²b + 3ab² + b³;</p><p>• Cubo da diferença: a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3</p><p>7.2 Quadrado da soma</p><p>Como apresentado anteriormente, o quadrado da soma é representado pela formação</p><p>(a + b)2 e sua resolução é obtida através do produto de (a + b) e (a + b):.</p><p>(a + b)2 = (a + b) . (a + b)</p><p>(a + b)2 = a.a + a.b + b.a + b.b</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 69</p><p>Porém, no instante em que estamos resolvendo um problema muito grande,</p><p>solucionar essa multiplicação se torna um trabalho a mais que não precisamos ter.</p><p>Dessa forma, podemos aplicar o produto notável e fazer tudo mais fácil:</p><p>Título: Quadrado da soma</p><p>Fonte: Autor</p><p>ANOTE ISSO</p><p>O quadrado da soma é igual ao quadrado do primeiro termo mais duas vezes o</p><p>produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo</p><p>Exemplos: Vamos resolver (x + 4)2</p><p>(x + 4)2 = (x + 4) . (x + 4)</p><p>(x + 4)2 = x.x + 4.x + 4.x + 4.4</p><p>(x + 4)2 = x2 + 8x + 16</p><p>Com o produto notável:</p><p>• Quadrado do primeiro termo: x2</p><p>• Duas vezes o produto do primeiro pelo segundo: 2.4.x = 8x</p><p>• Quadrado do segundo: 42 = 16</p><p>Resultado: (x + 4)2 = x2 + 8x + 16</p><p>7.3 Quadrado da diferença</p><p>Como apresentado anteriormente, o quadrado da diferença é representado pela</p><p>formação (a - b)2 e sua resolução é obtida através do produto de (a - b) e (a - b):</p><p>(a - b)2 = (a - b) (a - b)</p><p>(a - b)2 = a.a - a.b - a.b + b.b</p><p>(a - b)2 = a2 - 2ab + b2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 70</p><p>Porém, no instante em que estamos resolvendo um problema muito grande,</p><p>solucionar essa multiplicação se torna um trabalho a mais que não precisamos ter.</p><p>Dessa forma, podemos aplicar o produto notável e fazer tudo mais fácil:</p><p>Título: Quadrado da diferença</p><p>Fonte: Autor</p><p>ANOTE ISSO</p><p>O quadrado da diferença é igual ao quadrado do primeiro termo MENOS duas vezes</p><p>o produto do primeiro pelo segundo mais o quadrado do segundo</p><p>Exemplo: Vamos resolver (2x - 1)2</p><p>(2x - 1)2 = (2x - 1) (2x - 1)</p><p>(2x - 1)2 = 2x.2x - 2x - 2x + 1.1</p><p>(2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1</p><p>Com o produto notável:</p><p>• Quadrado do primeiro termo: (2x)2 = 4x2</p><p>• Duas vezes o produto do primeiro pelo segundo: 2.2x.1 = 4x</p><p>• Quadrado do segundo: 12 = 1</p><p>Resultado: (2x - 1)2 = 4x2 - 4x + 1</p><p>7.4 Produto da soma pela diferença</p><p>Como apresentado anteriormente, o produto da soma pela diferença é representado</p><p>pela formação (a + b) (a - b) e sua resolução é obtida através da realização da</p><p>multiplicação:</p><p>(a + b) (a - b) = a.a - a.b + b.a - b.b</p><p>(a + b) (a - b) = a2 - b2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 71</p><p>Porém, no instante em que estamos resolvendo um problema muito grande,</p><p>solucionar essa multiplicação se torna um trabalho a mais que não precisamos ter.</p><p>Dessa forma, podemos aplicar o produto notável e fazer tudo mais fácil:</p><p>Título: Produto da soma pela diferença</p><p>Fonte: Autor</p><p>ANOTE ISSO</p><p>O produto da soma pela diferença é igual ao quadrado do primeiro termo MENOS o</p><p>quadrado do segundo</p><p>Exemplo: Vamos resolver (2x + 4) (2x - 4)</p><p>(2x + 4) (2x - 4) = 2x.2x - 2x.4 + 4.2x - 4.4</p><p>(2x + 4) (2x - 4) = 4x2 - 16</p><p>Com o produto notável:</p><p>• Quadrado do primeiro termo: (2x)2 = 4x2</p><p>• Quadrado do segundo: 42 = 16</p><p>Resultado: (2x + 4) (2x - 4) = 4x2 - 16</p><p>7.5 Cubo da soma</p><p>Como apresentado anteriormente, o produto da soma pela diferença é representado</p><p>pela formação (a + b)3 e sua resolução é obtida através da realização da multiplicação:</p><p>(a + b) (a + b) (a + b) = (a.a + a.b + b.a + b.b) (a + b)</p><p>(a + b) (a + b) (a + b) = (a2 + 2ab + b2) (a + b)</p><p>(a + b) (a + b) (a + b) = a2.a + a.2ab + a.b2 + b.a2 + 2ab.b2 + b.b2</p><p>(a + b) (a + b) (a + b) = a³ + 3a²b + 3ab² + b³</p><p>Porém, no instante em que estamos resolvendo um problema muito grande,</p><p>solucionar essa multiplicação se torna um trabalho a mais que não precisamos ter.</p><p>Dessa forma, podemos aplicar o produto notável e fazer tudo mais fácil:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 72</p><p>Título: Cubo da soma</p><p>Fonte: Autor</p><p>Para resolver o cubo da diferença, podemos seguir um passo a passo que facilita</p><p>a resolução do produto notável:</p><p>1° passo: fazer o cubo do primeiro termo</p><p>2° passo: fazer três vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo</p><p>termo</p><p>3° passo: fazer três vezes o produto do quadrado do segundo termo pelo primeiro</p><p>termo</p><p>4° passo: fazer o cubo do primeiro termo</p><p>5° passo: somar todos os resultados</p><p>Exemplo: Vamos resolver (2x + 3)3</p><p>(2x + 3)3 = (2x + 3) (2x + 3) (2x + 3)</p><p>(2x + 3)3 = (2x.2x + 2x.3 + 3.2x + 3.3) (2x + 3)</p><p>(2x + 3)3 = (4x2 + 12x + 9) (2x + 3)</p><p>(2x + 3)3 = (4x2.2x + 4x2.3 + 12x.2x + 12x.3 + 9.2x + 9.3</p><p>(2x + 3)3 = 8x³ + 36x² + 54x + 27</p><p>Com o produto notável:</p><p>• 1° passo: (2x)3 = 8x3</p><p>• 2° passo: 3.(2x)2.(3) = 36x2</p><p>• 3° passo: 3 . 2x . (3)² = 54x</p><p>• 4º passo: (3)³ = 27</p><p>• 5º passo: 8x³ + 36x² + 54x + 27</p><p>Resultado: 8x³ + 36x² + 54x + 27</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 73</p><p>7.6 Cubo da diferença</p><p>Como apresentado anteriormente, o produto da soma pela diferença é representado</p><p>pela formação (a - b)3 e sua resolução é obtida através da realização da multiplicação:</p><p>(a - b)3 = (a - b) (a - b) (a - b)</p><p>(a - b)3 = (a.a - a.b - b.a + b.b) (a - b)</p><p>(a - b)3 = (a2 -2ab + b2) (a - b)</p><p>(a - b)3 = a2.a - a2.b - 2ab.a + 2ab.b + b2.a - b2.b</p><p>(a - b)3 = a3 - 3a2b + 3ab2 - b3</p><p>Título: Cubo da soma</p><p>Fonte: Autor</p><p>Exemplo: Vamos resolver (4x - 2)3</p><p>(4x - 2)3 = (4x - 2) (4x - 2) (4x - 2)</p><p>(4x - 2)3 = (4x.4x - 4x.2 - 2.4x + 2.2) (4x - 2)</p><p>(4x - 2)3 = (16x2 - 16x + 4) (4x - 2)</p><p>(4x - 2)3 = 4x.16x2 - 4x.16x + 4x.4 - 2.16x2 + 2.16x - 2.4</p><p>(4x - 2)3 = 64x3 - 96x2 + 48x - 8</p><p>Com o produto notável:</p><p>• 1° passo: (4x)3 = 64x3</p><p>• 2° passo: 3.(4x)2.(-2) = -96x2</p><p>• 3° passo: 3 . 4x . (-2)² = 48x</p><p>• 4º passo: (- 2)³ = - 8</p><p>• 5º passo: 64x³ – 96x² + 48x – 8</p><p>Resultado: (4x - 2)3 = 64x3 - 96x2 + 48x - 8</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 74</p><p>7.7 Exercícios propostos</p><p>1) O polinômio a seguir pode ser escrito de outra forma. Determine essa outra escrita.</p><p>(x + 5) (x - 5) (x2 - 25)</p><p>2) Dois números, x e y, são tais</p><p>que x = 2a + 2 e y = 2a. Sabendo que x² - y² = 20,</p><p>determine o valor de a e o valor do quociente x : y.</p><p>3) Dada a expressão (x² + 2y)², adicione a ela o polinômio x 4 – y² - 3x²y. Qual é o</p><p>polinômio que você vai obter?</p><p>4) Qual é o polinômio P que devemos adicionar a (x – 2)³ para obter ( x + 3 )3?</p><p>5) Dê os resultados das expressões abaixo:</p><p>a) (m + ½)2</p><p>b)</p><p>c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)²</p><p>d) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3)</p><p>6) Simplificando a expressão (2a - 5) (2a + 5) - (2a - 5)2, encontraremos qual polinômio?</p><p>7) (UFRGS - 2016) Se x + y = 13 e x . y = 1, então x2 + y2 é</p><p>a) 166</p><p>b) 167</p><p>c) 168</p><p>d) 169</p><p>e) 170</p><p>9) (Fuvest) A soma dos quadrados de dois números positivos é 4 e a soma</p><p>dos inversos de seus quadrados é 1. Determine:</p><p>a) o produto dos dois números</p><p>b) a soma dos dois números</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 75</p><p>7.8 Respostas</p><p>1) (x + 5) (x - 5) (x2 - 25) =</p><p>= (x2 - 25) (x2 - 25)</p><p>= (x2)2 - 2x2.25 + 252</p><p>= x4 - 50x2 + 625</p><p>Resposta: (x + 5) (x - 5) (x2 - 25) = x4 - 50x2 + 625</p><p>2) x² - y² = 20</p><p>(2a + 2)²- (2a)² = 20</p><p>4a² + 8a + 4 – 4a² = 20</p><p>8a = 20 – 4</p><p>8a = 16</p><p>a = 16/8 = 2</p><p>x = 2.2 + 2</p><p>x = 4 + 2 = 6</p><p>y = 2.2 = 4</p><p>x : y = 6/4 = 3/2</p><p>3) (x2 + 2y)2 = x4 + 2x22y + 4y2 =</p><p>= x4 +4x2y + 4y2</p><p>x4 +4x2y + 4y2 + x4 - y2 - 3x2y = 2x4 + x2y + 3y2</p><p>Resposta: 2x4 + x2y + 3y2</p><p>4) P + (x – 2)³ = (x + 3)³</p><p>P = (x + 3)³ - (x – 2)³</p><p>(x + 3)³ = x³ + 3x².3 + 3x.3² + 3³ = x³ + 9x² + 27x + 27</p><p>(x – 2)³ = x³ - 3x².2 + 3x.2² - 2³ = x³ - 6x² + 12x – 8</p><p>P = x³ + 9x² + 27x + 27 – (x³ - 6x² + 12x -8)</p><p>P = x³ + 9x² + 27x + 27 – x³ + 6x² - 12x +8</p><p>P = 15x² + 15x + 35</p><p>Resposta: P = 15x² + 15x + 35</p><p>5) a) (m + ½)2 = m2 + 2.m.½ + (½)2 = m2 + m + ¼</p><p>b)</p><p>c) (x + 1)² + (x + 2)² - (2x + 1)² =</p><p>= [x² + 2x + 1] + [x² + 4x + 4] – [4x² + 4x + 1] =</p><p>= x² + 2x +1 + x² + 4x + 4 – 4x² - 4x – 1</p><p>= -2x² + 2x + 4</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 76</p><p>d) (x + 1).(x + 2) – 2.(x + 2)² + (x + 2).(x + 3) =</p><p>= x² + 2x + x + 2 – 2[x² + 4x + 4] + x² + 3x + 2x + 6</p><p>= x² + 2x + x + 2 – 2x² - 8x – 8 + x² + 3x + 2x + 6</p><p>= 0</p><p>6) (2a - 5) (2a + 5) - (2a - 5)2 =</p><p>= 4a² – 25 – (4a² – 20a + 25)</p><p>= 4a² – 25 – 4a² + 20a – 25</p><p>= 20a – 50</p><p>7) (x + y)2 = x2 + 2xy + y2</p><p>x2 + y2 = (x + y)2 - 2xy</p><p>Substituindo:</p><p>x2 + y2 = (13)2 - 2.1</p><p>x2 + y2 = 169 - 2</p><p>x2 + y2 = 167</p><p>Resposta: letra B</p><p>9) a) o produto dos dois números</p><p>Pelo enunciado:</p><p>x2 + y2 = 4</p><p>y2 + x2 = x2 . y2</p><p>(x.y)2 = 4</p><p>x.y = 2</p><p>b) a soma dos dois números</p><p>S = x + y</p><p>S2 = (x + y)2</p><p>S2 = x2 + 2xy + y2</p><p>S2 = 2xy + x2 + y2</p><p>S2 = 2 (2) + 4</p><p>S2 = 8</p><p>S = √8</p><p>S = 2√2</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 77</p><p>7.9 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição dos conceitos produtos notáveis, pautando-</p><p>nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o desenvolvimento de</p><p>suas operações lógicas, tendo em vista estudar suas definições pensando no futuro.</p><p>Por fim, essa metodologia irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>7.10 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 78</p><p>CAPÍTULO 8</p><p>INEQUAÇÕES</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Lógica Matemática, tabela verdade e</p><p>os valores lógicos analisando e assim interpretá-los. Dessa forma, irá compreender</p><p>as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta apresentada você poderá</p><p>ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao estudo</p><p>dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>8.1 Inequações</p><p>O conteúdo matemático denominado inequação são expressões que compreende</p><p>variáveis e um sinal de desigualdade no meio de seus termos.</p><p>Esses sinais compreendem:</p><p>• menor que (<)</p><p>• maior que (>)</p><p>• menor ou igual (≤)</p><p>• maior ou igual (≥)</p><p>As inequações mais habituais que desenvolvemos são do primeiro grau e do segundo</p><p>grau. De modo a resolver cada uma, aplicamos uma metodologia com a finalidade</p><p>de encontrarmos a melhor resolução, assim vamos utilizar técnicas idênticas com as</p><p>empregadas para determinarmos as soluções das equações e nesse contexto será</p><p>fundamental empregar v=certos cuidados, vista que se trata de uma desigualdade e</p><p>não de uma igualdade.</p><p>O diferencial que existe entre inequação e a equação será o símbolo existente.</p><p>Por exemplos:</p><p>• - 3x – 10 > 8</p><p>• 3x² + 4x - 3 ≤ -9</p><p>• x + 8 ≥ 2x – 9</p><p>• 3x² – 8x < 10</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 79</p><p>Solucionar uma inequação é obter um conjunto de respostas que faz com que a</p><p>desigualdade seja verdadeira. Agora quando nos referimos a uma equação, a sua</p><p>resolução irá apresentar apenas uma solução, enquanto a inequação poderá ter infinitas</p><p>soluções.</p><p>Por esse motivo que ao desenvolver uma inequação vamos encontrar um conjunto</p><p>de soluções e não apenas uma conforme iremos estudar neste livro.</p><p>Dessa forma vamos exemplificar os símbolos empregues na inequação:</p><p>• “<” símbolo chamado de menor que:</p><p>• “≤” símbolo chamado de menor ou igual</p><p>• “>” símbolo chamado de maior que</p><p>• “≥” símbolo chamado de maior ou igual</p><p>8.2 Tipos de inequação</p><p>Na matemática, há dois gêneros fundamentais de inequação, os quais determinam</p><p>a classe de inequação e o tipo de expressão algébrica a qual estamos solucionando.</p><p>No momento em que nos deparamos com uma expressão do 1° grau, classificamos</p><p>a inequação como do 1° grau, assim como no instante em que nos depararmos com</p><p>uma expressão do 2° grau, tem-se uma inequação classificada como do 2° grau.</p><p>8.2.1 Inequação do 1º grau</p><p>Essas inequações são essencialmente separadas em:</p><p>• ax + b > 0</p><p>• ax + b ≥ 0</p><p>• ax + b < 0</p><p>• ax + b ≤ 0</p><p>8.2.1.1 Resolvendo uma inequação do 1º grau</p><p>Em todos os exemplos mostrados, os procedimentos para acharmos a solução</p><p>são iguais. Dessa forma, para acharmos o conjunto que representa as respostas da</p><p>inequação, devemos isolar a incógnita.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Determine o conjunto solução da inequação 2x – 10 < 4.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 80</p><p>A fim de determinarmos esse conjunto, devemos isolar a incógnita:</p><p>2x – 10 < 4</p><p>2x < 4 + 10</p><p>2x < 14</p><p>x < 14/2</p><p>x < 7</p><p>Veja que o conjunto solução para essa inequação pode ser todos os números</p><p>menores que sete</p><p>S: {x ∈ R | x < 7}</p><p>Lêmos:</p><p>“x pertence ao conjunto dos números reais, tal que x é menor que sete”</p><p>Tal resposta pode ser representada na reta numérica da seguinte forma:</p><p>Título: Formação geométrica da solução</p><p>Fonte: Autor</p><p>Exemplo 2:</p><p>Desenvolver a inequação 5x – 9 ≤ 8x + 2.e determinar qual o conjunto solução:</p><p>Resolução:</p><p>Com o intuito de solucionar essa inequação precisamos separar a variável.</p><p>5x – 9 ≤ 8x + 3</p><p>5x – 8x ≤ 9 + 3</p><p>-3x ≤ 12</p><p>Nesse momento verificamos que a incógnita é negativa e dessa forma será necessário</p><p>realizar a multiplicação por “-1”, mas é de extrema importância não esquecermos de</p><p>efetuar a inversão da desigualdade, isto é, o sinal era menor ou igual e ficará maior</p><p>ou igual.</p><p>(-1) -3x ≤ 12 (-1)</p><p>3x ≥ -12</p><p>x ≥ -12/3</p><p>x ≥ -4</p><p>Conjunto solução S: {x ∈ R | x ≥ -4}</p><p>A representação na reta numérica desse conjunto será:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 81</p><p>Título: Formação geométrica da solução</p><p>Fonte: Autor</p><p>Agora vamos treinar desenvolvendo esses exercícios</p><p>Exercício 1. Analise quais das sentenças representam uma inequação:</p><p>a) 3x > x -1</p><p>b) x - 7 < 2 - 5x</p><p>c) 2x - 5 = 4x - 10</p><p>d) 72 - 1 > 32 + 5</p><p>e) 7x ≥ 49</p><p>Exercício 2. Desenvolva as inequações e encontre o conjunto solução</p><p>a) 2x - 2 < x</p><p>b) 6x - 12 ≥ 4 - 10x</p><p>c) 8 - 5x ≤ 7x + 5</p><p>d) 3, (x + 2) - x</p><p>< 18</p><p>Exercício 3. Desenvolva a inequação e verifique quais números inteiros positivos</p><p>que satisfazem a equação 66 - 9x ≥ 3x?</p><p>Exercício 4. Verifique se o número 3 e o número - 1 satisfaz a solução da inequação</p><p>4x - 5(x - 2) > x + 6 ?</p><p>Exercício 5. Desenvolva a inequação e encontre o conjunto solução</p><p>Exercício 6: Entre as opções a seguir, qual é a que melhor representa a idade de</p><p>Sílvia?</p><p>Luís tem duas vezes a idade que Silvia terá daqui a dez anos, entretanto, a idade</p><p>de Luís não supera o quádruplo da idade de Sílvia.</p><p>a) A idade de Luís é maior que a idade de Sílvia.</p><p>b) A idade de Sílvia é menor que a idade de Luís.</p><p>c) A idade de Luís é maior que 10 anos.</p><p>d) A idade de Sílvia é maior que 10 anos.</p><p>e) A idade de Sílvia é menor que 10 anos.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 82</p><p>Respostas dos exercícios anteriores</p><p>Exercício 1</p><p>a) Sim, temos uma incógnita e uma desigualdade.</p><p>b) Sim, temos uma incógnita e uma desigualdade.</p><p>c) Não, não temos desigualdade.</p><p>d) Não, não temos nenhuma incógnita.</p><p>e) Sim, temos uma incógnita e uma desigualdade.</p><p>Exercício 2</p><p>a) 2x - 2 < x</p><p>2x - x < 2</p><p>x < 2</p><p>b) 6x - 12 ≥ 4 - 10x</p><p>6x +10x ≥ 4 + 12</p><p>16x ≥ 16</p><p>x ≥ 1</p><p>c) 8 - 5x < 7x + 5</p><p>- 5x - 7x < 5 - 8</p><p>- 12x < - 3</p><p>12x > 3</p><p>x > 3/12</p><p>x > 1/4</p><p>d) -3 (x + 2) - x > 18</p><p>-3x - 6 - x > 18</p><p>-3x - x > 18 + 6</p><p>- 4x > 24</p><p>x > - 24/4</p><p>x > - 6</p><p>Exercício 3</p><p>66 - 9x ≥ 2x</p><p>- 9x - 2x ≥ - 66</p><p>- 9x - 2x ≥ - 66</p><p>- 11x ≥ - 66</p><p>11x ≤ 66</p><p>x ≤ 66/11</p><p>x ≤ 6</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 83</p><p>Dessa forma, os números solicitados são : 1, 2, 3, 4, 5 e 6.</p><p>Exercício 4</p><p>Neste exercício primeiramente precisaremos substituir a incógnita x por 3:</p><p>4x - 5(x - 2) > x + 6</p><p>4. (3) - 5(3 - 2) > 3 + 6</p><p>12 - 5 > 9</p><p>7 > 9</p><p>Podemos verificar que 7 não é maior que 9. Dessa forma chegamos a conclusão</p><p>que o número 3 não faz parte da solução da inequação.</p><p>Agora de forma semelhante x por - 1:</p><p>4x - 5(x - 2) > x + 6</p><p>4. (-1) - 5(-1 - 2) > -1 + 6</p><p>- 4 + 15 > 5</p><p>11 > 9</p><p>Dessa forma somos capazes de observar nos cálculos que é uma argumentação</p><p>verdadeira, uma vez que 11 é maior que 7.</p><p>Exercício 5</p><p>2x +4 > 24 - 3x</p><p>2x + 3x > 24 - 4</p><p>5x > 20</p><p>x > 4</p><p>Exercício 6:</p><p>Neste exercício somos capazes de reparar que a idade de Luís está em função da</p><p>idade de Sílvia no momento em que a idade de Luís será igual ao dobro da idade de</p><p>Sílvia daqui a dez anos.</p><p>Dessa forma, teremos que estabelecer uma incógnita para a idade de Sílvia. Assim</p><p>temos que a idade de Silvia chamaremos de x.</p><p>Podemos reparar que de Silvia deverá ser acrescido 10, e o seu resultado multiplicado</p><p>por 2 e assim obter a idade de Luís.</p><p>Idade de Luís = 2 (x + 10)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 84</p><p>Observe agora que a idade de Luís não supera o quádruplo da idade de Silvia; Logo:</p><p>4x ≥ 2(x + 10)</p><p>Agora basta resolver a inequação encontrada para solucionar o problema.</p><p>4x ≥ 2(x + 10)</p><p>4x ≥ 2x + 20</p><p>4x – 2x ≥ 20</p><p>2x ≥ 20</p><p>x ≥ 20/2</p><p>x ≥ 10</p><p>A idade de Maria é maior que 10 anos.</p><p>8.2.2 Inequação do 2º grau</p><p>As inequações do segundo grau são separadas de acordo com os seguintes exemplos:</p><p>• ax² + bx + c > 0</p><p>• ax² + bx + c ≥ 0</p><p>• ax² + bx + c < 0</p><p>• ax² + bx + c ≤ 0</p><p>De que modo podemos solucionar uma inequação do segundo grau?</p><p>Com o intuito de resolvermos essas inequações, teremos que utilizar Bhaskara..</p><p>Exemplo 1:</p><p>Determinar o conjunto de soluções da inequação x² – 2x – 3 < 0</p><p>Primeiramente devemos encontrar as raízes da equação.</p><p>a = 1, b = -2, c = -3</p><p>Δ = 4 – 4 · 1 · (-3) = 4 + 12 = 16</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 85</p><p>Realizada essa solução, vamos desenvolver o estudo de sinais, sabemos que o</p><p>gráfico dessa função sempre irá gerar uma parábola, com a concavidade para cima,</p><p>uma vez que o valor a > 0.</p><p>Ao realizar o estudo dos sinais nessa parábola, vamos determinar os momentos</p><p>que a expressão tenha valores negativos.</p><p>Título: Formação geométrica da solução</p><p>Fonte: Autor</p><p>Neste exemplo percebemos que na construção da parábola irá assumir valores</p><p>negativos entre -1 e 3.</p><p>Então nossa solução será S: {x ∈ R | -1 ≤ x ≤ 3}</p><p>Exemplo 2:</p><p>Determinar o conjunto de soluções da inequação -2x² – x + 1 ≤ 0.</p><p>a = -2, b = -1, c = 1</p><p>Δ = b² – 4ac</p><p>Δ = (-1) ² – 4 · 1 · (-2)</p><p>Δ = 1 + 8</p><p>Δ = 9</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 86</p><p>A representação geométrica desse exemplo é o estudo de sinal, terá uma parábola</p><p>com a concavidade para baixo:</p><p>Título: Formação geométrica da solução</p><p>Fonte: Autor</p><p>Observe que a parábola está abaixo do eixo para valores anteriores a -2 ou superiores</p><p>a 1, logo, temos que o conjunto solução será:</p><p>S: {x ∈ R | x ≤ -2 ou x ≥ 1}</p><p>8.3 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição dos conceitos inequações, pautando-nos no</p><p>desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o desenvolvimento de suas</p><p>operações lógicas, tendo em vista estudar suas definições pensando no futuro. Por fim,</p><p>essa metodologia irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos recorrentes</p><p>nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>8.4 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática</p><p>aplicada. Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 87</p><p>CAPÍTULO 9</p><p>MATRIZES</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático</p><p>denominados determinantes. Assim, irá compreender as estruturas dos cálculos e</p><p>as relações existentes nas operações. Com essa ferramenta apresentada você poderá</p><p>ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao cálculo.</p><p>9.1 Determinantes</p><p>O determinante da matriz pode ser aplicado em diversa áreas do conhecimento,</p><p>como por exemplo na economia, na resolução do modelo fechado (de input-output</p><p>de Leontief), ou ainda com diversas aplicações na física estudando circuitos elétricos.</p><p>Com o intuito de determinarmos esse cálculo, utilizaremos somente as matrizes</p><p>quadradas, isto é, matrizes na qual a quantidade de linhas e colunas é igual. Para resolver</p><p>os cálculos do determinante de uma matriz, primeiramente necessitamos verificar a</p><p>sua ordem, ou seja, se é 1 x 1, 2 x 2, 3 x 3 e assim por diante, e no momento que essa</p><p>matriz for aumentando a sua ordem, mais trabalhoso será para realizar esse cálculo.</p><p>Existem métodos significativos que irão facilitar a realização desse cálculo, como</p><p>por exemplo a regra de Sarrus, empregue no cálculo determinantes de matrizes de</p><p>ordem 3.</p><p>Como as matrizes tratadas neste estudo são quadradas, faz-se necessário identificar</p><p>tais matrizes. Uma matriz quadrada A de ordem n será denotada por A = [aij], na qual</p><p>os índices i = 1, 2, ..., n indicam as linhas e os índices j = 1, 2, ..., n indicam as colunas</p><p>da matriz. O elemento da linha i e da coluna j da matriz A será indicado por aij.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Se A = II -3 II, então det (A) = I -3 I (sendo que I I não é módulo de -3)</p><p>2) Se , então</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 88</p><p>3) Se , então</p><p>9.1.1 Cálculo do determinante</p><p>9.1.1.1 Determinante de matriz de ordem 1</p><p>Toda matriz de ordem 1 compreende rigorosamente apenas uma linha e uma coluna</p><p>e quando esse fato ocorrer, essa matriz possuirá um único elemento, o a11. Nesse</p><p>caso, o determinante irá coincidir com esse único termo.</p><p>Exemplo geral: Considere a matriz A = (a11), seu determinante será:</p><p>det. (A) = | a11 | = a11</p><p>Exemplo 1:</p><p>A = [2]</p><p>det. (A) = |2| = 2 (Não é módulo de 2)</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Para calcular determinantes de matrizes de ordem 1, é necessário então apenas</p><p>conhecer o seu único elemento.</p><p>Exemplo 2:</p><p>A = II 8 II</p><p>det. (A) = I 8</p><p>I = 8 (Não é módulo de 8)</p><p>Exemplo 3:</p><p>B = II -5 II</p><p>det (B) = I -5 I = -5 (Não é módulo de -5)</p><p>9.1.1.2 Determinantes de matriz de ordem 2</p><p>A matriz quadrada de ordem 2 compreende quatro elementos. Assim sendo, com</p><p>a finalidade de calcularmos esse determinante, necessitamos, então, reconhecermos</p><p>as diagonais denominadas de principal e secundária. Depois, basta multiplicar as</p><p>diagonais e resolver a diferença existente entre o produto dessa operação.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 89</p><p>Para facilitar essa compreensão vamos utilizar o exemplo algébrico.</p><p>det (A2) = (a11 . a22) - (a12 . a21)</p><p>Exemplo 1: Calcule o determinante da matriz .</p><p>det (A) = (1 . 3) - (2 . 5) = 3 - 10 = -7</p><p>Exemplo 2: Calcule o determinante da matriz</p><p>det (A) = (2 . 7) - (2 . 3) = 14 - 6 = 8</p><p>Exemplo 3: Calcule o determinante da matriz</p><p>det (C) = (-1 . 4) - (-3 . 2) = -4 + 6 = 2</p><p>9.1.1.3 Determinantes de matriz de ordem 3</p><p>Agora a matriz de ordem três dará um pouco mais de trabalho para obter-se o</p><p>valor do determinante em relação aos estudados, pois quanto maior o tamanho dessa</p><p>matriz quadrada, mais trabalhoso será.</p><p>Neste caso vamos utilizar a regra de Sarrus, seguindo os passos abaixo tendo</p><p>como exemplo a matriz :</p><p>1. Duplicar as duas primeiras colunas no final da matriz</p><p>2. Realizar a multiplicação dos termos das diagonais que estão no mesmo sentido</p><p>da diagonal principal.</p><p>3. Realizaremos um processo parecido com a diagonal secundária e as outras</p><p>duas diagonais que estão no mesmo sentido que ela.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 90</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Precisamos sempre prestar a atenção ao realizar a operação na diagonal</p><p>secundária que sempre iremos utilizar o sinal negativo, ou seja, sempre vamos</p><p>trocar o sinal do resultado da multiplicação dos termos da diagonal secundária.</p><p>Exemplo 1: Determine o determinante da matriz</p><p>det (B) = (1 . 7 . 2) + (9 . 8 . 10) + (5 . 3 . 4) - (5 . 7 . 10) - (1 . 8 . 4) - (2 . 3 . 9)</p><p>det (B) = 14 + 720 + 60 - 350 - 32 - 54</p><p>det (B) = 794 - 436</p><p>det (B) = 358</p><p>9.1.1.4 Determinantes de matriz de ordem 4 ou mais</p><p>Ordem maior ou igual a quatro precisaremos aplicar a Regra ou Teorema de Laplace</p><p>ANOTE ISSO</p><p>O Teorema de Laplace pode ser aplicado para determinantes de ordem maior ou</p><p>igual a 2, porém na prática utilizamos somente quando o determinante for de ordem</p><p>maior ou igual a 4.</p><p>Então, vamos apresentar um exemplo numérico e a partir dele extrair os elementos</p><p>necessários para o cálculo.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 91</p><p>Para determinarmos os determinantes, devemos obedecer alguns passos:</p><p>• Deveremos selecionar uma linha ou uma coluna, lembrando que precisamos dar</p><p>preferência a fila que contenha a maior quantidade de elementos igual a zero,</p><p>pois torna os cálculos mais simples;</p><p>• Somar os produtos dos números da fila selecionada pelos seus respectivos</p><p>fatores.</p><p>9.1.1.4.1 Cofator</p><p>O cofator de uma matriz de ordem maior ou igual a dois e será definido como:</p><p>Aij = (-1) i + j. Dij</p><p>Na qual:</p><p>Aij: cofator de um elemento aij</p><p>i: linha onde se encontra o elemento</p><p>j: coluna onde se encontra o elemento</p><p>Dij: é o determinante da matriz resultante da eliminação da linha i e da coluna j.</p><p>Determinar o cofator do elemento a23, da matriz</p><p>Resolução</p><p>Com o intuito de determinarmos o cofator solicitado a23, precisamos iniciar calculando</p><p>o determinante da matriz que resultou na eliminação da linha 2 e da coluna 3.</p><p>Dessa forma, o determinante dessa matriz:</p><p>O cofator será encontrado substituindo o valor de D23 na expressão, conforme</p><p>indicado abaixo:</p><p>A23 = (-1)2+3 . 1 = -1</p><p>Então o cofator do elemento a23 da matriz será igual a -1.</p><p>Como já sabemos calcular o cofator de um elemento de uma matriz, então vamos</p><p>aplicar o teorema de Laplace</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 92</p><p>Exemplo 1: Considere a matriz abaixo e calcule seu determinante.</p><p>Primeiramente devemos escolher uma linha ou uma coluna do determinante, como</p><p>sendo a base para os cálculos (esta escolha é arbitrária, porém mais adiante daremos</p><p>uma sugestão, para facilitarmos os cálculos).</p><p>Escolhendo, por exemplo, a segunda linha temos:</p><p>Onde A21, A22, A23 e A21 são chamados de cofatores dos respectivos elementos.</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Genericamente podemos indicar como cofator de aij como sendo:</p><p>Aij = (-1)i+j . Dij</p><p>Onde Dij é o determinante que se obtém ao eliminarmos a linha i e a coluna j</p><p>referente ao elemento do qual estamos calculando o cofator.</p><p>No nosso caso, os elemento envolvidos, referentes à segunda linha, são a21, a22, a23</p><p>e a24, então temos:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 93</p><p>Voltando ao determinante principal:</p><p>Substituindo os cofatores, temos</p><p>det (A) = 4 (16) + 2 (16) + 1 (32) + 3 (-32)</p><p>det (A) = 64 + 32 + 32 – 96</p><p>det (A) = 32</p><p>Exemplo 2: Calcule, por meio teorema de Laplace, o determinante da matriz a seguir</p><p>Primeiro vamos escolher uma linha ou uma coluna da matriz, o mais conveniente</p><p>é escolher aquela fila que possui a maior quantidade de 0 (a fim de simplificarmos a</p><p>conta), porém não há nenhum 0 na nossa matriz. Sendo assim, podemos escolher a</p><p>linha ou a coluna que acharmos mais conveniente. Escolhendo a linha 1, temos que:</p><p>det (A) = a11C11 + a12C12 + a13C13</p><p>Dessa forma, temos que:</p><p>det (A) = 1 . (-1)2 (-10) + 3 (-1)3 . 22 + 5 . (-1)4 + 18</p><p>det (A) = 1 . 1 (-10) + 3 (-1) . 22 + 5 . 1) + 18</p><p>det (A) = -10 - 66 + 90</p><p>det (A) = 14</p><p>Exemplo 3: Encontre o determinante da matriz B, de ordem 4, a seguir</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 94</p><p>Resolução</p><p>Para encontrar o det (B), vamos escolher uma fila. Nesse caso, as mais convenientes</p><p>são a coluna 1 e a coluna 3, que possuem dois elementos iguais a 0. Escolhendo a</p><p>coluna 3, teremos:</p><p>det(B) = b13 C13 + b23C23 + b33C33 + b43C43</p><p>det(B) = 0 · C13 + 3 · C23 + 0 · C33 + 1 · C43</p><p>Como 0 é o elemento neutro da multiplicação, temos que:</p><p>det(B) = 0 + 3 · C23 + 0 + 1 · C43</p><p>det(B) = 3 · C23 + 1· C43</p><p>det (B) = 3 (-1)5 . 7 + 1 (-1)7 13</p><p>det (B) = 21 + 13</p><p>det (B) = 34</p><p>Exemplo 4: O cofator do elemento a31 da matriz A é igual a?</p><p>Resolução:</p><p>O cofator C31 é dado por:</p><p>C31 = (-1)3+1 D31</p><p>C31 = (-1)4 D31</p><p>C31 = 1 · D31</p><p>Ao eliminarmos a terceira linha e a primeira coluna da matriz, encontraremos que:</p><p>Assim, o cofator do elemento a31 é igual a -4.</p><p>Exemplo 4 - Calcule o Determinante:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 95</p><p>Resolução</p><p>Primeiramente precisamos escolher uma linha ou uma coluna.</p><p>Neste caso vou escolher a linha 3 para calcular o cofator, então vamos aplicar</p><p>teorema de Laplace, e assim temos:</p><p>D = 7. A31 + 4. A32 + (-5). A33 + 0. A34</p><p>Faremos o cálculo dos determinantes individuais, note que obtemos uma matriz</p><p>de ordem 3, pois retiramos a linha e a coluna do fator A31, somamos a posição: linha</p><p>mais coluna : A 3 +1 = 4</p><p>A31 = 1. ( 42 - 33)</p><p>A31 = 1. 9</p><p>A31 = 9</p><p>Realizado esse processo, faremos o mesmo procedimento com os demais:</p><p>A32 = (-1)5. = 20</p><p>A33 = (-1)6 = = 7</p><p>D = 7. 9 + 4. 20 + (-5). 7 + 0</p><p>D = 108</p><p>9.2 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição e cálculo dos determinantes de ordem 2, 3 e</p><p>4, suas classificações e suas representações pautando-nos no desenvolvimento de</p><p>suas propriedades de acordo com o desenvolvimento de suas operações algébricas,</p><p>tendo em vista estudar suas definições pensando o futuro de todos os elementos.</p><p>Por fim, essa metodologia irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 96</p><p>9.3 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 97</p><p>CAPÍTULO 10</p><p>SISTEMAS LINEARES I</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático</p><p>denominado Sistemas Lineares. Assim, irá compreender as estruturas das relações</p><p>existentes nas operações e suas aplicações. Com essa ferramenta apresentada você</p><p>poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação</p><p>ao cálculo.</p><p>10.1 Sistemas lineares</p><p>Após entendermos os conceitos que vimos anteriormente sobre matrizes e os</p><p>conceitos de determinantes, somos capazes neste momento de entender e aplicar essas</p><p>definições para relacionar e resolver os exercícios que envolvam sistemas lineares.</p><p>Esse conceito pode ser empregue na resolução de diversas situações do cotidiano,</p><p>vejamos um exemplo:</p><p>Em um estacionamento existem carros e motos, sendo um total de 70 veículos.</p><p>Verificou-se que a soma das rodas desses veículos será 180. Neste sentido, quantos</p><p>carros e quantas motos existem?</p><p>Lendo o enunciado acima, somos capazes de montar um sistema linear.</p><p>Assim, estabelecendo por x as motos e y os carros:</p><p>(Ι) x + y = 70</p><p>Como as motos têm 2 rodas e os carros 4 rodas, somos capazes de escrever a</p><p>seguinte equação:</p><p>(ΙΙ) 2x + 4y = 180</p><p>Agora as equações (Ι) e (ΙΙ) formam o sistema linear:</p><p>x + y = 70</p><p>2x + 4y = 180</p><p>Dessa forma a resolução desse sistema nos mostrará a quantidade de carros e de</p><p>motos existente no estacionamento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 98</p><p>Definição: Entendemos por sistema linear um conjunto de equações lineares reunidas</p><p>com o objetivo de se obterem soluções comuns a todas essas equações.</p><p>10.1.1 Equação linear</p><p>Chamamos de equações lineares toda equação do 1º grau que se mostra na forma:</p><p>a1x1 ± a2x2 ± … ± anxn = b, na qual:</p><p>• a1, a2, ..., an são coeficientes;</p><p>• x1, x2, ..., xn são incógnitas ou variáveis;</p><p>• b o termo independente da equação.</p><p>Exemplo 1:</p><p>Na equação x + 3y = 4 os números 1 e 3 são coeficientes das incógnitas e 4 é</p><p>termo independente.</p><p>No momento em que uma determinada equação linear apresentar o termo</p><p>independente igual a zero, falamos que a equação linear será homogênea. Exemplo:</p><p>2x + y - z = 0</p><p>Um sistema linear é formado por um conjunto de n equações lineares, equações</p><p>estas que se caracterizam por apresentarem todas as incógnitas com potência de</p><p>grau um.</p><p>Exemplos:</p><p>a)</p><p>b)</p><p>c)</p><p>d)</p><p>10.2 Matrizes associadas</p><p>No sistema , temos:</p><p>• → Matriz incompleta</p><p>• → Matriz completa</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 99</p><p>10.2.1 Representação matricial de um sistema linear</p><p>O sistema pode ser escrito na forma matricial: , na</p><p>qual:</p><p>• é a matriz incompleta (ou dos coeficientes)</p><p>• é a matriz das incógnitas</p><p>• é a matriz dos termos independentes</p><p>10.3 Classificação dos sistemas lineares</p><p>Os sistemas lineares são classificados a partir da quantidade de soluções possíveis.</p><p>• Sistema Possível e Determinado (SPD): há apenas uma solução possível, o que</p><p>acontece quando o determinante é diferente de zero (D ≠ 0).</p><p>• Sistema Possível e Indeterminado (SPI): as soluções possíveis são infinitas.</p><p>• Sistema Impossível (SI): não é possível apresentar qualquer tipo de solução.</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Recordando que a solução dessas equações será determinada pela substituição</p><p>das variáveis por valores.</p><p>As matrizes associadas a um sistema linear podem ser completas ou incompletas.</p><p>São completas as matrizes que consideram os termos independentes das equações.</p><p>Os sistemas lineares podem ser classificados como normais quando o número de</p><p>equações é o mesmo que o número de incógnitas. Além do mais, quando o determinante</p><p>da matriz incompleta desse sistema não é igual a zero. Por exemplo:</p><p>• O sistema é S.P.D, pois o par ordenado (1, 6) é sua única solução.</p><p>• O sistema é S.P.I, pois apresenta infinitas soluções, entre</p><p>elas, podemos citar (1, 1, 2); (0, 2, 4); (1, 0, 1).</p><p>• O sistema é S.I, pois NÃO apresenta solução.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 100</p><p>Exemplos:</p><p>1) Um casal tem filhos e filhas. Cada filho tem o número de irmãos igual ao número</p><p>de irmãs. Cada filha tem o número de irmãos igual ao dobro do número de irmãs.</p><p>Qual é o total de filhos e filhas do casal?</p><p>a) 3</p><p>b) 4</p><p>c) 5</p><p>d) 6</p><p>e) 7</p><p>Resolução:</p><p>x = quantidade de filhos</p><p>y = quantidade de filhas</p><p>x = 4 e y = 3</p><p>Portanto, x + y = 4 + 3 = 7 (alternativa E)</p><p>2) Marcia tem em sua bolsa 15,60 em moedas de 10 centavos e de 25 centavos.</p><p>Dado que o número de moedas de 25 centavos é o dobro do número de moedas de</p><p>10 centavos, o total de moedas na bolsa é:</p><p>a) 68</p><p>b) 75</p><p>c) 78</p><p>d) 81</p><p>e) 84</p><p>Resolução</p><p>x = quantidade de moedas de 0,10</p><p>y = quantidade de moedas de 0,25</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 101</p><p>Então, x + y = 26 + 52 = 78 (alternativa C)</p><p>3) Uma determinada loja comprou 80 peças de roupa de dois tamanhos diferentes,</p><p>pequeno e médio, gastando 4.300,00. Cada peça de tamanho pequeno custou 50,00</p><p>e cada peça de tamanho médio custou 60,00. Quantas peças de tamanho pequeno</p><p>e médio, respectivamente, a loja comprou?</p><p>a) 30 e 50</p><p>b) 37 e 43</p><p>c) 40 e 40</p><p>d) 43 e 37</p><p>e) 50 e 30</p><p>Resolução:</p><p>x = quantidade de peças pequenas</p><p>y = quantidade de peças médias</p><p>Então: x = 50 e y = 30 (alternativa E)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 102</p><p>4) Em uma escola entram n alunos. Se sentarem 2 alunos em cada bancada, 11</p><p>ficarão de pé. Dessa forma, se em cada bancada sentarem 3 alunos, haverá 4 bancadas</p><p>vazias. O número de alunos (n) será:</p><p>a) 49</p><p>b) 57</p><p>c) 65</p><p>d) 71</p><p>e) 82</p><p>Resolução:</p><p>x = quantidade de bancadas</p><p>y = quantidade de alunos</p><p>Logo, x = 23 e y = 57 (alternativa B)</p><p>10.4 Regra de Cramer</p><p>Com o intuito de solucionarmos o exercício de sistemas normais, vamos aplicar</p><p>a definição conhecida como regra de Cramer, que será desenvolvida por meio do</p><p>exemplo que segue.</p><p>Vamos determinar os valores reais de x e de y no sistema:</p><p>Primeiramente precisamos determinar a matriz A dos coeficientes:</p><p>Após determinamos a matriz Ax, que se obtém pela substituição, em A, da coluna</p><p>dos coeficientes de x pela coluna dos termos independentes:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 103</p><p>Construído Ax, determinaremos agora a matriz Ay , que é obtida substituindo-se, em</p><p>A, a coluna dos coeficientes de y pela coluna dos termos independentes:</p><p>Realizada essa construção, vamos calcular os valores de x e y :</p><p>Logo, se calcularmos os det A, det Ax e det Ay, vamos obter os valores de x e y:</p><p>det A = 15 – 2 = 13</p><p>det Ax = - 20 - 6 = - 26</p><p>det Ay = -18 + 8 = 26</p><p>Portanto</p><p>Logo: (- 2, 2)</p><p>Vamos agora resolver o sistema abaixo utilizando novamente a regra de Cramer.</p><p>Na regra de Cramer calculamos o determinante principal e depois os secundários</p><p>substituindo a coluna das variáveis pela coluna dos termos independentes.</p><p>Vamos lá, para o sistema da questão temos a seguinte matriz associada:</p><p>Vamos calcular o determinante usando a regra de Sarrus. Assim, calculando</p><p>determinante principal desta matriz, temos:</p><p>det (Dx) = 0. 1. 1 + 3. 1. 3 + (-1). 1. (-1) – 3. 1. (-1) – (-1). 10 -1. 1. 3 = 10</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 104</p><p>O próximo passo é calcular o determinante Dy, mas antes vamos substituir a coluna</p><p>y pela coluna do termo independente. Então:</p><p>det. (Dy) = 1. 1. 1 + 0. 1. 3 + (-1). 2. 3 – 3. 1. (-1) – 3. 1. 1 – 1. 2. 0 = – 5</p><p>Por fim, vamos calcular o determinante secundário Dz, mas antes vamos substituir</p><p>a coluna z pela coluna do termo independente. Logo:</p><p>det (Dz) = 1. 1. 3 + 3. 1. 3 + 0. 2. (-1) – 3. 1. 0 – (-1). 1. 1 – 3. 2. 3 = – 5</p><p>Dessa forma, podemos achar os valores de x, y e z fazendo:</p><p>Portanto, a solução do sistema é: x = 1, y = z = – ½</p><p>Agora vamos apresentar mais um método para resolução de um sistema linear</p><p>denominado de Método</p><p>da substituição. Essa metodologia consiste em seguir três</p><p>passos. Para isso, considere o sistema:</p><p>Primeiro passo</p><p>Primeiramente vamos escolher uma das equações, de preferência a mais fácil para</p><p>isolar uma das incógnitas.Dessa forma</p><p>x – 2y = -7</p><p>x = -7 + 2y</p><p>Segundo passo</p><p>Agora, basta substituir, na equação não escolhida, a incógnita isolada no primeiro</p><p>passo. Então,</p><p>3x + 2y = -7</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 105</p><p>3 (-7 + 2y) + 2y = - 5</p><p>-21 + 6y + 2y =-5</p><p>8y = -5 +21</p><p>8y = 16</p><p>y = 2</p><p>Terceiro passo</p><p>Após esses procedimentos vamos substituir o valor encontrado no segundo passo</p><p>em qualquer uma das equações. Assim,</p><p>x = -7 + 2y</p><p>x = -7 + 2(2)</p><p>x = -7 +4</p><p>x = -3</p><p>Portanto, a solução do sistema é S = (-3, 2).</p><p>Exemplo:</p><p>“Um lápis, três fichários e uma caneta tem um custo de 33,00. Agora dois lápis,</p><p>sete fichários e duas canetas passam a ter um custo de 76,00. Determine o custo de</p><p>um lápis, um fichário e uma caneta.</p><p>a) 11,00</p><p>b) 12,00</p><p>c) 13,00</p><p>d) 17.00</p><p>e) 38,00</p><p>Resolução</p><p>Vamos atribuir a incógnita x ao preço de cada lapiseira, y ao preço de cada caderno</p><p>e z ao preço de cada caneta. Do enunciado, temos que:</p><p>Multiplicando a equação de cima por -2 teremos que:</p><p>Somando termo a termo, teremos que y = 10</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 106</p><p>Substituindo o valor de y encontrado na primeira equação, teremos que</p><p>x + 3y + z = 33</p><p>x + 30 + z = 33</p><p>x + z = 3</p><p>Portanto, o preço de uma lapiseira de um caderno e uma caneta é:</p><p>x + y + z = 13,00.</p><p>Alternativa C</p><p>Também podemos aplicar o Método da adição e para realizar essa operação,</p><p>devemos lembrar que os coeficientes de uma das incógnitas devem ser opostos, ou</p><p>seja, ter números iguais com sinais contrários.</p><p>Vamos considerar o mesmo sistema do método da substituição.</p><p>Veja que os coeficientes da incógnita y atendem nossa condição, assim, basta</p><p>somar cada uma das colunas do sistema, obtendo a equação:</p><p>4x + 0y = -12</p><p>4x = -12</p><p>x = -3</p><p>E substituindo o valor de x em qualquer uma das equações temos:</p><p>x - 2y = -7</p><p>-3 - 2y = -7</p><p>- 2y = - 7 + 3</p><p>(-1) (-2y) = -4 (-1)</p><p>2y = 4</p><p>y = 2</p><p>Portanto, a solução do sistema é S = (-3, 2)</p><p>10.5 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição de sistemas lineares, identificando seu</p><p>cálculo junto aos determinantes, suas classificações e suas possíveis representações</p><p>gráficas pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o</p><p>desenvolvimento de suas operações algébricas, tendo em vista estudar suas definições</p><p>pensando o futuro todos os elementos da disposição gráfica.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 107</p><p>Por fim, essa metodologia irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>10.6 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 108</p><p>CAPÍTULO 11</p><p>SISTEMAS LINEARES II</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta Unidade de Aprendizagem, você irá identificar o conceito matemático</p><p>denominado de Sistemas Lineares com resolução pelo método de escalonamento.</p><p>Assim, irá compreender as estruturas das relações existentes nas diversas operações</p><p>e suas aplicações. Com essa ferramenta apresentada você poderá ter uma maior</p><p>facilidade de compreensão em conceitos relacionados ao cálculo</p><p>Revisão regra de Cramer</p><p>11.1 Revisão da Regra de Cramer</p><p>Resumindo percebemos que a resolução dos exercícios de sistema lineares visa</p><p>buscar valores não conhecidos, realizando os cálculos a partir de metodologias</p><p>de resolução como adição, igualdade e substituição. Quando temos sistemas que</p><p>apresentam duas equações e duas incógnitas, podemos utilizar a regra de Cramer</p><p>e o escalonamento (que veremos mais para frente neste capítulo), mas são mais</p><p>adequados para sistemas que tenham mais equações. Vamos, então, revisar o processo</p><p>da Regra de Cramer.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Determine o valor de x no sistema abaixo.</p><p>Primeiramente necessitamos elaborar a matriz correspondente ao sistema e aplicar</p><p>as regras já estudadas e assim determinar o determinante principal.</p><p>Dessa forma:</p><p>det (D) = 2. 2. 1 + 1. (-1). 3 + 1. (-2). 1 – 3. 2. 1 – 1. (-1). 2 – 1. (-2). 1= - 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 109</p><p>Vamos agora calcular o determinante Dx, observe abaixo:</p><p>Então, det (Dx) = 3. 2. 1 + 1. (-1). 1 + 1. 0. 1 – 1. 2. 1 – 1. (-1). 3 – 1. 0. 1 = 6</p><p>O próximo passo será determinar o determinante Dy. Assim:</p><p>Logo, det (Dy) = 2. 0. 1 + 3. (-1). 3 + 1. (-2). 1 – 3. 0. 1 – 1. (-1) 2 – 1 . (-2). 3 = - 3</p><p>Por fim, vamos ao determinante Dz. Logo:</p><p>Então, det (Dz) = 2. 2. 1 + 1. 0. 3 + 3. (-2). 1 – 3. 2. 3 – 1. 0. 2 – 1. (-2). 1 = -18</p><p>Agora, com os determinantes somos capazes de determinar os valores de x, y e z</p><p>da seguinte forma:</p><p>Portanto, a solução do sistema é: x = -2, y = 1 e z = 6</p><p>2. Seja um sistema linear, não homogêneo:</p><p>Para calcularmos as incógnitas vamos utilizar novamente a Regra de Cramer, e</p><p>neste sentido vamos determinar novamente os determinantes.</p><p>Dessa forma, o det (D) = 8</p><p>Vamos agora calcular o determinante Dx.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 110</p><p>Veja!</p><p>Então, det (Dx) = 35</p><p>O próximo passo será determinar o determinante Dy,</p><p>Assim:</p><p>Logo, det (Dy) = 16</p><p>Por fim, vamos ao determinante Dz,</p><p>Logo:</p><p>Então, det (Dz) = 24</p><p>Com esses valores, já somos capazes de calcular os valores de x, y e z fazendo:</p><p>11.2 Escalonamento de matrizes</p><p>Agora vamos resolver um sistema linear utilizando outra metodologia de solução,</p><p>chamado escalonamento de matrizes, na qual a base será a ideia de simplificar o</p><p>sistema por meio das operações sucessivas entre os elementos.</p><p>Vamos iniciar nossa explicação com um sistema de ordem 2 com duas equações</p><p>e duas incógnitas, sendo que na segunda equação o primeiro termo será nulo.</p><p>Em um sistema de ordem 3 com três equações e três incógnitas:</p><p>Neste caso observamos que a primeira equação contém todos os elementos não</p><p>nulos. Agora podemos com uma simples observação verificar que a segunda equação</p><p>o primeiro elemento será nulo e, da mesma forma verificamos que a terceira equação</p><p>possui x e y nulos.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 111</p><p>Nos exemplos acima, observa-se que os dois sistemas nos mostram que os sistemas</p><p>estão escalonados em forma de escada.</p><p>Dessa forma somos capazes em aplicar as seguintes operações com a finalidade</p><p>escalonar um sistema linear:</p><p>Se for o caso podemos troca da ordem das equações</p><p>Trocamos a equação 2 com a equação 1.</p><p>o sistema está escalonado, equivalente ao primeiro.</p><p>Também podemos multiplicar ou dividir caso necessário todos os elementos de</p><p>uma determinada equação pelo mesmo número logicamente diferente de zero;</p><p>Então, vamos multiplicar todos os termos por 3, então</p><p>Multiplicação dos termos de uma equação por um número real e, somar ou subtrair</p><p>do resultado aos termos correspondentes de outra equação do sistema.</p><p>Exemplificando esse processo vamos multiplicar todos os elementos da equação</p><p>1 da primeira linha por 2</p><p>Realizado essa operação vamos precisar somar as equações resultantes</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 112</p><p>E assim obter o sistema escalonado como verificamos abaixo.</p><p>Agora, caso seja necessário, vamos utilizar essa metodologia tantas vezes que</p><p>forem necessárias até obtermos um sistema escalonado.</p><p>E se a quantidade de número de equações for menor que o número de incógnitas?</p><p>Exemplo: Duas equações e três incógnitas</p><p>Vamos demonstrar</p><p>passo a passo essa situação</p><p>Primeiro passo. Identificar a variável livre</p><p>Neste caso será aquela que não inicia equações, no exemplo, é a variável z.</p><p>Segundo passo: Transpomos a variável livre para o outro lado da igualdade, no</p><p>segundo membro da equação.</p><p>Terceiro passo. Vamos atribuir para a incógnita z, um valor numérico real k que</p><p>pertença ao conjunto dos números reais, z = k</p><p>.</p><p>Quarto passo. Substituímos a incógnita na primeira equação pela segunda equação</p><p>e resolver..</p><p>Quinto passo:Assim somos capazes de determinar o conjunto solução</p><p>Como k pode assumir qualquer valor real, o sistema é possível e indeterminado.</p><p>Após termos essa noção da resolução, vamos a resolução de exemplos.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 113</p><p>Exemplo 1: Vamos considerar o sistema abaixo</p><p>Este sistema vamos apresentar a ideia de construção de uma nova matriz, agrupando</p><p>seus coeficientes e os termos independentes, assim como:</p><p>Com o intuito de solucionar esse sistema vamos transformar o lado esquerdo da</p><p>matriz aumentada para a matriz identidade, fazendo manipulações:</p><p>Para esclarecer e tornar mais claro a resolução, vamos seguir os seguintes passos:</p><p>• Matriz inicial:</p><p>• Primeiro passo - Trocar equação 1 e 3, pois o termos correspondendo de x é</p><p>igual a 1</p><p>• Segundo passo - Trabalhar linha 2 menos duas vezes linha 3</p><p>• Terceiro passo – Trabalhar linha 3 menos três vezes linha 1 originando nova</p><p>linha 3.</p><p>• Quarto passo – Trabalhar linha 3 dividindo por 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 114</p><p>• Quinto passo – Trabalar linha 3 menos linha 2 dividida por 2</p><p>• Sexto passo – Trabalhar linha 3 dividido por 3 irá gerar nova linha 3</p><p>• Sétimo passo – Trabalhar linha 2 mais duas vezes linha 3</p><p>• Oitavo passo – Trabalhar linha 1 mais linha 3 e linha 1</p><p>• Nono passo – Trabalhar linha 1 dividindo linha 2 por 2</p><p>Dessa forma conseguimos obter as incógnitas que procurávamos:</p><p>11.3 Eliminação de Gauss</p><p>Agora vamos a mais uma forma para resolução de um sistema linear chamado</p><p>de eliminação de Gauss que consiste em aplicar sucessivas operações elementares</p><p>na matriz</p><p>Exemplo: Considere o sistema abaixo:</p><p>Para solucionar esse sistema vamos aplicar algumas regras</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 115</p><p>• Passo 1 = Trabalhar somando linha 1 e 2 gerando nova linha 2</p><p>• Passo 2 – Trabalhar linha 3 menos linha 1</p><p>• Passo 3 – Trabalhar linha 3 menos linha 2</p><p>• Passo 4 – Substituir o valor de z na linha 2</p><p>• Passo 5: Substituindo y = -1 e z = 1 na linha 1</p><p>Portanto x = 1, y = -1 e z = 1</p><p>11.4 Para praticar</p><p>Uma indústria produz três produtos, X, Y e Z, utilizando dois tipos de insumo, A e B.</p><p>Para a manufatura de cada kg de X são utilizados 2 gramas de insumo A e 1 grama</p><p>do insumo B; para cada kg de Y, 1 grama de insumo A e 3 gramas de insumo B e,</p><p>para cada kg de Z, 3 gramas de A e 5 gramas de B. O preço de venda do kg de cada</p><p>um dos produtos X, Y e Z é de 3,00, 2,00 e R$ 4,00, respectivamente. Com a venda</p><p>de toda a produção de X, Y e Z manufaturada com 1,9 kg de A e 2,4 Kg de B, essa</p><p>indústria arrecadou 2900,00. Determine quantos kg de cada um dos produtos X, Y e</p><p>Z foram vendidos.</p><p>(Dica: monte um sistema de equações que representam a situação e resolva-o de</p><p>modo a encontrar os valores das incógnitas X, Y e Z).</p><p>Resposta: Foram vendidos 500 kg do produto X, 300 kg do produto Y e 200 kg do</p><p>produto Z.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 116</p><p>11.5 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição de sistemas lineares com resolução por</p><p>escalonamento, identificando seu cálculo junto aos determinantes, suas classificações</p><p>e suas possíveis representações gráficas pautando-nos no desenvolvimento de suas</p><p>propriedades de acordo com o desenvolvimento de suas operações algébricas, tendo</p><p>em vista estudar suas definições pensando o futuro todos os elementos da disposição</p><p>gráfica.</p><p>Por fim, essa metodologia irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>11.6 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 117</p><p>CAPÍTULO 12</p><p>FUNÇÃO I</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Neste capítulo, você aprenderá sobre um conceito muito importante para a álgebra:</p><p>função do 1° grau, assim como sua construção gráfica. Além disso, desenvolveremos a</p><p>ideia de domínio e imagem, aplicando-a na função. Por último, veremos como podemos</p><p>interpretar a função constante do 1° grau.</p><p>12.1 Função do 1° grau</p><p>Para introduzirmos o conceito de função do 1° grau, vamos inicialmente estudar</p><p>o que chamamos de plano cartesiano ortogonal, o que definimos por um conjunto</p><p>formado por dois eixos perpendiculares, nos quais o eixo x denominamos de abscissa</p><p>e o eixo y de ordenadas. Dessa forma, a partir do plano cartesiano, podemos definir</p><p>pontos que serão caracterizados por (x,y). Observe a figura a seguir.</p><p>Título: Plano cartesiano</p><p>Fonte: Autor</p><p>Pensando nos pontos que podem ser definidos pelo plano cartesiano, podemos</p><p>definir produto cartesiano, o qual é todo grupo de pares ordenados (x,y) que não sejam</p><p>vazios e que podem ser estabelecidos pelo diagrama de flechas ou pelo sistema</p><p>cartesiano ortogonal. Veja o exemplo abaixo.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 118</p><p>Título: Diagrama de flechas</p><p>Fonte: Autor</p><p>Título: Plano cartesiano</p><p>Fonte: Autor</p><p>Vejamos um exemplo para melhor compreensão. Supomos que um vendedor ganhe</p><p>R$ 5,00 por produto vendido e que ele consiga vender de 6 a 11 produtos por dia.</p><p>Nesse sentido, podemos dizer que sua remuneração por dia (x) está associada às</p><p>vendas diárias (y). Analise a tabela a seguir que representa esse modelo.</p><p>X 6 7 8 9 10 11</p><p>Y 30 35 40 45 50 55</p><p>Tabela 1 - Remuneração x Vendas</p><p>Fonte: Autor</p><p>Observe que podemos formar alguns pares ordenados:</p><p>A = {(6, 30); (7, 35); (7, 35); (8, 40); (9, 45); (10, 45); (11,55)}</p><p>Além da tabela, também podemos usar o plano cartesiano.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 119</p><p>Título: Remuneração x Vendas</p><p>Fonte: Autor</p><p>Perceba que há uma relação entre a remuneração e as vendas, uma vez que a</p><p>remuneração sempre é 5 vezes as vendas.</p><p>x 5x y = 5x</p><p>3 5 . 3 15</p><p>4 5 . 4 20</p><p>5 5 . 5 25</p><p>6 5 . 6 30</p><p>7 5 . 7 35</p><p>8 5 . 8 40</p><p>Tabela 2 - Relação remuneração x vendas</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir dos conceitos estabelecidos acima, finalmente podemos definir a função</p><p>do 1° grau. Denominamos de função toda associação de A em B tal que:</p><p>• Todos os elementos do conjunto A estejam ligados aos elementos do conjunto B</p><p>• Cada elemento do conjunto A esteja ligado somente a um elemento do conjunto B</p><p>Além disso, toda função possui os seguintes elementos:</p><p>• Domínio</p><p>• Contradomínio</p><p>• Imagem</p><p>Dessa forma, considerando dois números quaisquer a e b, sendo a ≠ b, caracterizamos</p><p>uma função do primeiro grau como y = ax + b ou F(x) = ax + b, na qual:</p><p>• x e y representam variáveis</p><p>• a é o coeficiente angular</p><p>• b é o coeficiente linear</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 120</p><p>A construção gráfica dessa função é definida sempre por uma reta.</p><p>A função do 1° grau possui algumas classificações dependendo do valor de a e b:</p><p>1. Função afim</p><p>Acontece quando a ≠ 0 e b ≠ 0. Exemplo: y = x + 4</p><p>Título: Função y = x + 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Função linear</p><p>Acontece quando a ≠ 0 e b = 0. Exemplo: f (x) = 3x</p><p>Título: Função y = 3x</p><p>Fonte: Autor</p><p>3. Função identidade</p><p>Acontece quando a = 1 e b = 0. Nesse caso, a função</p><p>é definida por F(x) = x.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 121</p><p>Título: Função y = x</p><p>Fonte: Autor</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Observe que a reta que representa a função identidade corta os quadrantes ímpares</p><p>(1 e 3) e divide o ângulo exatamente na metade. Por isso, o gráfico pode ser</p><p>chamado de bissetriz dos quadrantes ímpares.</p><p>4. Função constante</p><p>Acontece quando a = 0 e b = 1. Nesse caso, a função é definida por f (x) = b.</p><p>Exemplo: y = - 2.</p><p>Título: Função y = -2</p><p>Fonte: Autor</p><p>Além dessa classificação, a função do primeiro grau também pode ser categorizada</p><p>como crescente ou decrescente:</p><p>1. Função crescente</p><p>A função será dita crescente quando o coeficiente angular (a) apresentar valores</p><p>maiores que zero. Exemplo: F(x) = 3x - 4.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 122</p><p>Título: Função y = 3x - 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Função decrescente</p><p>A função será dita decrescente quando o coeficiente angular (a) apresentar valores</p><p>menores que zero. Exemplo: F (x) = -3x - 4.</p><p>Título: Função y = -3x - 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>Última definição importante de função é zero ou raiz da função, o qual se caracteriza</p><p>pelo valor de x que zera a função, ou seja, resulta em F(x) = 0. Pensando graficamente,</p><p>o zero da função é representado a abscissa em que a reta corta o eixo. Exemplo:</p><p>Determine o zero da função F(x) = - 2x + 8.</p><p>F(x) = 0</p><p>-2x + 8 = 0</p><p>-2x = -8</p><p>x = 4</p><p>12.1.1 Domínio, contradomínio e imagem na função do 1° grau</p><p>Com o intuito de determinarmos os conceitos de domínio, contradomínio e imagem</p><p>de uma função do primeiro grau, precisamos primeiro compreender a forma em que</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 123</p><p>elas se dão. Como visto anteriormente, o conceito de função traz a ideia de uma relação</p><p>entre dois conjuntos, de forma que os elementos do primeiro conjunto estão associados</p><p>a um único elemento do segundo conjunto. Dessa maneira, os integrantes do conjunto</p><p>que chamamos de partida, o qual representa o domínio (D), estará interligado a apenas</p><p>um integrante do conjunto que chamamos de chegada, o qual representa a imagem</p><p>(Im). Por fim, o contradomínio é definido como o conjunto de chegada.</p><p>Para melhor compreensão dos conceitos, vamos desenvolver um exemplo. Observe</p><p>os conjuntos: A = {1, 4, 7} e B = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12} e a função F(x) = x + 5, na qual f :</p><p>A → B. Determinemos, então, o domínio, o contradomínio e a imagem.</p><p>O conjunto A é o conjunto de partida, que vimos representar o domínio. O</p><p>contradomínio é representado pelo conjunto de chegada, que nesse caso é o conjunto</p><p>B. Para determinarmos a imagem precisamos colocar os elementos de A no x da</p><p>função e ver o resultado.</p><p>F(1) = 1 + 5 = 6</p><p>F(4) = 4 + 5 = 9</p><p>F(7) = 7 + 5 = 12</p><p>Portanto, temos:</p><p>• D = {1, 4, 7}</p><p>• CD = {1, 4, 6, 7, 8, 9, 12}</p><p>• Im = {6, 9, 12}</p><p>12.2 Função constante e suas interpretações</p><p>Como visto anteriormente, a função constante, como o próprio nome diz, representa</p><p>uma reta que não muda o valor da ordenada. Dessa forma, percebe-se que não podemos</p><p>determinar se ela é crescente ou decrescente. Veja como a função constante pode</p><p>ser representada por um diagrama de flechas</p><p>Título: Diagrama de flechas</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 124</p><p>Pensando graficamente, a única característica da reta que pode ser alterada é a</p><p>posição dela em relação ao ponto que corta o eixo das ordenadas. Essa situação decorre</p><p>do fato da função possuir uma lei de formação sempre ser igual a uma constante</p><p>(F(x) = b). Observe alguns exemplos:</p><p>Exemplo 1: Determine o gráfico da função F(x) = -3</p><p>Título: Função y = -3</p><p>Fonte: Autor</p><p>Exemplo 2: Determine o gráfico da função</p><p>Observe que só de olhar a função, não somos capazes de identificar se é uma</p><p>função constante ou não. Porém, podemos reduzir essa função, através do processo</p><p>de simplificação.</p><p>F(x) = -2</p><p>Título: Função y = -2</p><p>Fonte: Autor</p><p>12.3 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição de função do primeiro grau, identificando</p><p>seu cálculo junto aos zeros da função, suas classificações e suas representações</p><p>gráficas pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 125</p><p>desenvolvimento de suas operações algébricas, tendo em vista estudar suas definições</p><p>pensando o futuro todos os elementos da disposição gráfica.</p><p>Por fim, essa metodologia irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>12.4 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 126</p><p>CAPÍTULO 13</p><p>APLICAÇÕES DE</p><p>FUNÇÕES DO 1° GRAU</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Lógica Matemática, tabela verdade e</p><p>os valores lógicos analisando e assim interpretá-los. Dessa forma, irá compreender</p><p>as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta apresentada você poderá</p><p>ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao estudo</p><p>dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>Se pensarmos nos conjuntos A e B e aplicarmos a teoria das funções, podemos</p><p>relacionar as variáveis x e y como:</p><p>a) Custo de produção de um dado produto e a matéria-prima utilizada;</p><p>b) Quantidade do produto vendido e o preço de venda desse produto;</p><p>c) Custo total de produção e a quantidade produzida.</p><p>O administrador deverá ter como objetivo estabelecer as funções econômicas e</p><p>procurar maximizar lucros e minimizar custos</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 127</p><p>LEI DA DEMANDA OU DA PROCURA</p><p>A quantidade de um produto demandado depende de várias variáveis, dentre elas,</p><p>podemos citar: renda do consumidor, preço unitário do produto, gosto do consumidor,</p><p>etc.</p><p>A lei da procura determina quanto menor o preço de um determinado produto, mais</p><p>será a quantidade demandada por unidade de tempo, ou seja, mantidas constantes</p><p>as demais condições.</p><p>Configuramos os conjuntos A e B e chamaremos o conjunto A de p (preço) e o</p><p>conjunto B de qd (quantidade de demanda).</p><p>Na teoria das funções podemos associar (qd) com a variável y e (p), com a variável</p><p>x, ou seja qd = ap + b (linear afim)</p><p>Verificamos que, normalmente o gráfico de qd em função de p é uma reta decrescente,</p><p>pois as duas grandezas são inversamente proporcionais, ou seja, quanto maior for o</p><p>preço, menor será a quantidade de demanda, e vice-versa</p><p>INTERCEPTOS</p><p>Os pontos da forma (x, 0) e (0, y) são chamados de interceptos da função.</p><p>Os pontos de forma(p, 0), são os interceptos de p, pois se um valor qd é zero, a</p><p>reta intercepta (corta) o eixo de p (eixo das abscissas, por analogia) e quando temos</p><p>o ponto (0, qd) a reta intercepta o eixo de qd (eixo das ordenadas).</p><p>Exemplo 1:</p><p>Determine os interceptos, dada à função demanda qd = - p + 1</p><p>Resolução:</p><p>Primeiramente para p = 0, acharemos o valor de qd.</p><p>qd = - p + 1</p><p>qd = 0 + 1</p><p>qd = 1</p><p>Agora para qd = 0, acharemos o valor de p</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 128</p><p>qd = - p + 1</p><p>0 = - p + 1</p><p>p = 1</p><p>Após desenvolver chegamos ao intercepto (p qd) = (1, 0)= (0,1).</p><p>Exemplo 2</p><p>A quantidade de demanda de televisores da marca KW-20 é dada pela lei de formação</p><p>qd = 100 - 20p, na qual qd representa a quantidade de demanda e o valor de p o</p><p>preço em reais.</p><p>Represente graficamente a função qd em função do preço p.</p><p>Resolução:</p><p>Primeiramente vamos encontrar os interceptos:</p><p>Para p = 0</p><p>qd = 100 – 20 . 0</p><p>qd = 100</p><p>Para</p><p>qd = 0</p><p>0 = 100 – 20</p><p>(-1) -100 = -20 p (-1)</p><p>100 = 20 p</p><p>p = 100/20</p><p>p = 5</p><p>Logo os Interceptos são:</p><p>p = 0 e qd = 100</p><p>qd = 0 e p = 5</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 129</p><p>Observações.:</p><p>1) A função demanda( procura) qd é decrescente, isto é, aumentando o preço a</p><p>demanda diminui.</p><p>2) O preço é positivo (p ≥ 0) e a quantidade também é positiva (qd ≥ 0), pois não</p><p>há sentido em algum deles ser negativo.</p><p>3) Se p é 5,00 (valor máximo) a procura é nula.</p><p>Exemplo 3</p><p>Quando o preço de venda de um videocassete de marca KW é de 120,00, nenhum</p><p>vídeo é vendido, porém quando o preço é “liberado” gratuitamente, 100 vídeos são</p><p>vendidos. Sabendo-se que a representação é uma reta, determinar:</p><p>a) A função demanda.</p><p>b) Esboçar o gráfico.</p><p>c) Dar a demanda se o preço for 60,00.</p><p>d) Qual o preço de vídeo se a demanda é de 75 unidades.</p><p>Resolução:</p><p>a) vamos resolver por sistema de duas equações:</p><p>Para p = 0 a qd = 100</p><p>Para qd = 0 o p = 120</p><p>Portanto a função demanda terá essa formação qd = ap + b.</p><p>Substituindo:</p><p>I- 100 = a . 0 + b</p><p>II= 0 = a . 120 + b</p><p>Substituindo o valor de b na equação II, temos:</p><p>0 = a . 120 + 100</p><p>-100 = a . 120</p><p>a = - 100/120</p><p>a = - 5/6</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 130</p><p>Então a função demanda será qd = -5/6 p + 100</p><p>b) Gráfico</p><p>A (0, 100) e B (120, 0)</p><p>c) Se p = 60, então qd = -5/6p + 100</p><p>Pela lei de formação qd = -5/6 . 60 + 100</p><p>qd = -5 (10) + 100</p><p>qd = -50 + 100</p><p>qd = 50</p><p>Portanto foram vendidos 50 videos caso o preço for R$ 60,00</p><p>Se qd = 75, então:qd = -5/6p + 100</p><p>Pela lei de formação 75 = -5/6 p + 100</p><p>75 - 100 = -5/6 p</p><p>(-1) - 25 = -5/6 p (-1)2</p><p>25 = 5/6 p</p><p>25. 6 = 5p</p><p>150 = 5p</p><p>p = 150/5</p><p>p = 30,00</p><p>Então serão vendidos 75 vídeos caso o preço foi 30,00</p><p>Exemplo 4</p><p>Se uma concessionária compra sempre 10 carros para qualquer preço do mercado,</p><p>esboçar o gráfico.</p><p>Resolução:</p><p>A demanda será sempre constante, ou seja, para qualquer preço p ≥ 0, sempre</p><p>q = 10. neste caso temos uma função constante.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 131</p><p>LEI DA OFERTA</p><p>Analogamente à “lei” da demanda, a quantidade de ofertada pelo “produtor” depende</p><p>de vários fatores, como: o preço da matéria-prima, o preço do bem, tecnologia, etc.</p><p>A “lei” da oferta determina que quanto maior o preço de um determinado produto,</p><p>maior será a quantidade maior será a quantidade procurada por unidade de tempo,</p><p>ou seja, mantidas constantes as demais condições.</p><p>Configuremos os conjuntos A e B e chamemos o conjunto A de p (preço) e o</p><p>conjunto B de qo (quantidade ofertada).</p><p>Na teoria das funções podemos associar (qo) com a variável y e (p), com a variável</p><p>x, ou seja:</p><p>go = ap + b (linear afim)</p><p>No gráfico verificamos que qo em função de p é uma reta crescente,( ao contrário</p><p>da quantidade de demanda), pois as grandezas são diretamente proporcionais, ou</p><p>seja, quanto maior for o preço(p), maior será a quantidade ofertada(qo) e vice-versa.</p><p>Exemplos:</p><p>1) Quando o preço unitário de um produto é R$10,00, 5000 unidades de um</p><p>produto são colocados no mercado por mês; se o preço for 12,00, 5500 unidades</p><p>estarão disponíveis.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 132</p><p>Admitindo que a função ofertada seja do 10 grau e linear afim, obtenha suas equações</p><p>e esboce o gráfico.</p><p>Resolução:</p><p>Se é uma função do 10 grau, linear afim, teremos:</p><p>f(x) = ax + b (função linear afim)</p><p>qo = ap + b (função quantidade oferta)</p><p>Pelo problema temos:</p><p>Se p = 10</p><p>I- qo = 5000u</p><p>Se p = 12</p><p>II - qo = 5500u</p><p>Devemos montar o sistema de equações lineares, para encontrar os termos a e b.</p><p>I - 5000 = 10a + b</p><p>multiplicando a 1a equação por (-1), temos,:</p><p>II - 5500 = 12a + b</p><p>-5000 = -10a - b</p><p>5500 = 12a + b</p><p>Agora vamos realizar a soma das duas equações.</p><p>500 = 2a</p><p>a = 500/2</p><p>a = 250</p><p>Substituindo em I ou II, temos:</p><p>5000 = 10 . 250 + b</p><p>5000 = 2500 + b</p><p>5000 – 2500 = b</p><p>b = 2500</p><p>Portanto a equação da “lei”da oferta será go = 250p + 2500</p><p>O grafico ficará assim.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 133</p><p>EQUILÍBRIO DE MERCADO</p><p>Ponto de equilíbrio de mercado é o ponto de intersecção do gráfico entre a qd e a</p><p>qo, ou seja é o ponto onde ocorre a igualdade entre qd e qo. Suas coordenadas são</p><p>preço de equilíbrio (pe) e a quantidade de equilíbrio (qe). Podem ocorrer gráficos como:</p><p>a) O gráfico tem PE (pe, qe), localizado no 1o quadrante. Isso quer dizer que</p><p>podemos considerá-lo como ponto de equilíbrio significativo.</p><p>b) Neste gráfico temos um preço negativo, dizemos que é um PEnão significativo.</p><p>c) Neste gráfico temos uma quantidade negativa, dizemos que é um PE não</p><p>significativo.</p><p>Exemplo:</p><p>Num modelo linear de oferta e procura, as quantidades ofertadas e demandadas</p><p>obedecem respectivamente as funções lineares de preço abaixo:</p><p>qd = 24 – p</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 134</p><p>qo = -20 + 10p</p><p>Pede-se:</p><p>a) o preço e a quantidade de equilíbrio</p><p>b) esboçar o gráfico da situação</p><p>Resolução:</p><p>a) Se PE é a igualdade entre qo e qd, então:</p><p>qo = qd</p><p>ou</p><p>qd = qo</p><p>Logo, teremos o PE:</p><p>24 – p = 10p + p</p><p>24 + 20 = 10p + p</p><p>44 = 11p</p><p>44/11= p</p><p>p = 4</p><p>substituindo em qd ou qo, temos:</p><p>qd = 24 – p qo = -20 + 10(4)</p><p>qd = 24 – 4 qo = -20 + 40</p><p>qd = 20 qo = 20</p><p>Logo,</p><p>pe = 4 e qe = 20</p><p>b) Gráfico</p><p>Interceptos de qd</p><p>p = 0 ⟹ qd = 24 ⟹ A (0, 24)</p><p>qd = 0 ⟹ p = 24 ⟹ B (24, 0)</p><p>Interceptos de qo</p><p>p = 0 ⟹ qo = - 20 ⟹ C (0, -20)</p><p>qo = 0 ⟹ p = 2 ⟹ D (2, 0)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 135</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>Bibliografia Básica</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>Bibliografia Complementar</p><p>AXLER, S. Pré-Cálculo - uma preparação para o cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2016.</p><p>[Minha Biblioteca].</p><p>BARBOSA, M. A. Introdução à lógica matemática para acadêmicos. Curitiba:</p><p>Intersaberes, 2017. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>GUIDORIZZI, H. L. Matemática para administração. Rio de Janeiro: LTC, 2002. [Minha</p><p>Biblioteca].</p><p>TOSI, A. J. Matemática financeira com ênfase em produtos bancários. São Paulo:</p><p>Atlas, 2015. [Minha Biblioteca].</p><p>SPIEGEL, M. R.; LIPSCHUTZ, S.; LIU, J. Manual de fórmulas e tabelas matemáticas</p><p>– COLEÇÃO SCHAUM. Porto Alegre: Bookman, 2011. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 136</p><p>CAPÍTULO 14</p><p>FUNÇÃO II</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Neste capítulo, você aprenderá o conceito matemático chamado de função do</p><p>segundo grau. Dessa forma, iremos ver a construção gráfica originada pela função</p><p>do 2° grau e as relações presentes no seu cálculo algébrico, o qual utilizamos para</p><p>encontrar os zeros da função, os vértices da parábola, determinando, assim, os valores</p><p>de máximo e mínimo. Além disso, você verá as funções exponenciais e logarítmicas,</p><p>as quais estão intimamente ligadas.</p><p>14.1 Função do 2° grau</p><p>Como visto no capítulo 1, função possui uma lei de formação que relaciona um</p><p>elemento do conjunto de partida a apenas um elemento do conjunto de chegada, os</p><p>quais denominamos de domínio e contradomínio, respectivamente. Portanto, a função</p><p>do segundo grau não é diferente. A lei de formação que expressa essa função pode</p><p>ser escrita como f (x) = ax2 + bx + c ou y = ax2 + bx + c, sendo os coeficientes a, b e</p><p>c números reais e com o coeficiente a diferente de zero. Veja alguns exemplos:</p><p>1. f(x) = 2x2 + 5x – 6</p><p>2. f (x) = - 3x2</p><p>3. f (x) = - x2 – 9</p><p>Uma parte muito importante quando estamos resolvendo problemas com</p><p>Proposição Simples ou Atômica: será aquela constituída por uma única afirmativa.</p><p>Exemplo:</p><p>• A moto possui duas rodas.</p><p>• Alguns porcos falam.</p><p>• Algumas vacas possuem chifres.</p><p>II - Proposição Composta ou Molecular: Será aquela constituída de duas ou mais</p><p>proposições simples.</p><p>Exemplo:</p><p>• Algumas vacas são chifrudas e alguns porcos falam.</p><p>• João é mecânico ou algum porco fala.</p><p>1.5 Operações lógicas</p><p>As operações lógicas são demonstradas em diversos cursos de diferentes modelos</p><p>por exemplo, em eletrônica ensinamos portas lógicas, já na disciplina de programação</p><p>é demonstrado os operadores lógicos, mas ao analisar estamos ensinando a mesma</p><p>coisa e caso você entenda a ideia principal desse conceito, operações lógicas você</p><p>terá condições aplicar essas definições em qualquer.</p><p>1.6 Conectivos</p><p>São palavras ou expressões que servem como ligação de frases, períodos, orações,</p><p>parágrafos, proporcionando a continuação de uma ideia e, assim, formando as compostas.</p><p>1.6.1 Conectivo de negação (~)</p><p>Seja p uma proposição, denotaremos sua negação por “~ p” (lê-se não é verdade</p><p>que p).</p><p>Exemplo:</p><p>Seja a proposição:</p><p>• p: Pedro é mecânico.</p><p>• ~ p: Pedro não é mecânico.</p><p>O valor lógico da negação de uma proposição será definido pela tabela verdade:</p><p>P ~ p</p><p>F V</p><p>V F</p><p>Tabela 1 - Tabela verdade ~p</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 11</p><p>1.6.2 Conectivo de conjunção (∧)</p><p>A conjunção de duas proposições p e q será uma proposição verdadeira no momento</p><p>que V(p) = V(q) = 1 e falsa nos demais casos, ou seja, só é verdadeira quando ambos</p><p>os componentes forem verdadeiras. Chamamos p q e lê-se “p e q”.</p><p>O valor lógico da conjunção de duas proposições é definido pela tabela verdade:</p><p>p q p ∧ q</p><p>F F F</p><p>F V F</p><p>V F F</p><p>V V V</p><p>Tabela 2 - Tabela verdade p ∧ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Então, se as proposições p e q forem representadas em forma de conjuntos, por</p><p>meio de diagrama de Venn, a conjunção irá corresponder a intersecção do conjunto</p><p>p com o conjunto q.</p><p>Título: Diagrama de Venn p∩q</p><p>Fonte: Autor</p><p>1.6.3 Conectivo de Disjunção (∩)</p><p>A disjunção de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = V(q) =</p><p>F e verdadeiros nos demais casos, ou seja, quando pelo menos uma das componentes</p><p>é verdadeira. Chamamos este conectivo disjunção ou soma lógica, denotaremos de</p><p>p e q por p q, e se lê “p ou q”.</p><p>O valor lógico da disjunção de duas proposições é definido pela tabela verdade:</p><p>p q p ∨ q</p><p>F F F</p><p>F V V</p><p>V F V</p><p>V V V</p><p>Tabela 3 - Tabela verdade p ∨ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 12</p><p>Se as proposições p e q forem representadas por conjuntos por meio de diagrama,</p><p>a disjunção corresponderá à união do conjunto p e q.</p><p>Fonte: Autor</p><p>2.2- Conectivo condicional (→)</p><p>O condicional de duas proposições p e q é uma proposição falsa quando V(p) = V</p><p>e V(q) = F, sendo verdadeiros nos demais casos. Representa-se o condicional de p e</p><p>q, por p → q e lê-se “se p então q”.</p><p>O valor lógico da condicional de duas proposições é definido pela tabela verdade:</p><p>p q p → q</p><p>F F V</p><p>F V V</p><p>V F F</p><p>V V V</p><p>Tabela 4 - Tabela verdade p → q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Neste conectivo será usado a todo momento que possuirmos duas proposições p</p><p>e q onde q é consequência de p.</p><p>Exemplo:</p><p>Se estiver chovendo ficarei estudando, se não irei à sua casa.</p><p>Título: Proposições</p><p>Fonte: Autor</p><p>Neste caso poderemos ter muita dificuldade em entender o funcionamento desse</p><p>tipo de proposição. Para facilitar nosso entendimento vamos trabalhar com a seguinte</p><p>sentença.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 13</p><p>Se nasci em Santa Catarina, então sou catarinense.</p><p>Caso queiram vocês poderão adaptar essa proposição acima à sua realidade: troque</p><p>Fortaleza pelo nome da sua cidade natal, e troque cearense pelo nome que se dá a</p><p>quem nasce no seu Estado.</p><p>Por exemplo:</p><p>• Se nasci no Rio de Janeiro então sou carioca.</p><p>• Se nasci em São Paulo, então sou paulista.</p><p>E assim por diante.</p><p>Agora, qual é o único modo de essa proposição estar incorreta?</p><p>Ora, só existe uma maneira de essa proposição ser falsa: se a primeira parte for</p><p>verdadeira, e a segunda for falsa, isto é, se for verdade que eu nasci em Santa Catarina,</p><p>então necessariamente é verdade que eu sou catarinense.</p><p>Se alguém disser que é verdadeiro que eu nasci em Santa Catarina, e que é falso</p><p>que eu sou catarinense, então este conjunto estará todo falso.</p><p>Percebam que o fato de eu ter nascido em Santa Catarina é condição suficiente</p><p>(basta isso!) para que se torne um resultado necessário para que eu seja catarinense.</p><p>Atentem para estas palavras: suficiente e necessário.</p><p>Uma condição suficiente gera um resultado necessário.</p><p>O conhecimento de como se faz essa tradução das palavras suficiente e necessário</p><p>para o formato da proposição condicional já vimos então não podemos esquecer disso:</p><p>Uma condição suficiente gera um resultado necessário.</p><p>Então a proposição condicional: “Se chove, então faz frio” poderá também ser dita</p><p>das seguintes maneiras:</p><p>• Se chove, faz frio</p><p>• Faz frio, se chove</p><p>• Quando chove, faz frio</p><p>• Chover implica fazer frio</p><p>• Chover é condição suficiente para fazer frio</p><p>• Fazer frio é condição necessário para chover</p><p>• Chove somente se faz frio</p><p>• Toda vez que chove, faz frio</p><p>Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um</p><p>diagrama, a proposição condicional “Se p então q” corresponderá à inclusão do conjunto</p><p>p no conjunto q (p está contido em q):</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 14</p><p>Título: Diagrama de Venn p ⊂ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>1.6.5 Conectivo Bicondicional (↔)</p><p>O bicondicional de duas proposições p e q são uma proposição verdadeira quando</p><p>V(p) = V(q) e falsa quando V(p) ≠ V(q). Denotaremos o bicondicional de p e q por p ↔</p><p>q e lê-se “p se e somente se q”.</p><p>O valor lógico da bicondicional de duas proposições é definido pela tabela verdade:</p><p>p q p ↔ q</p><p>F F V</p><p>F V F</p><p>V F F</p><p>V V V</p><p>Tabela 5 - Tabela verdade p ↔ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Sejam p e q duas proposições. Se p é condição para q, e q é condição para p temos</p><p>o bicondicional, denotado por p ↔ q. (lê-se p se e somente se q).</p><p>Exemplo:</p><p>p: se eu estudar</p><p>q: tirarei boas notas</p><p>p ↔ q : Se eu estudar então tirarei boas notas.</p><p>q ↔ p : Tirarei boas notas se eu estudar.</p><p>Se as proposições p e q forem representadas como conjuntos, por meio de um</p><p>diagrama, a proposição bicondicional “p se e somente se q” corresponderá à igualdade</p><p>dos conjuntos p e q.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 15</p><p>Título: Diagrama de Venn p = q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Obs.: Uma proposição bicondicional “p se e somente se q” equivale à proposição</p><p>composta: “se p então q e se q então p”, ou seja,“ p . q “será a mesma coisa que “(p</p><p>→ q) e (q → p)”</p><p>São também equivalentes à bicondicional “p se e somente se q” as seguintes</p><p>expressões:</p><p>• A se e só se B</p><p>• Se A então B e se B então A.</p><p>• A somente se B e B somente se A.</p><p>• A é condição suficiente para B e B é condição suficiente para A.</p><p>• B é condição necessária para A e A é condição necessária para B.</p><p>• Todo A é B e todo B é A.</p><p>• Todo A é B e reciprocamente.</p><p>Via de regra, só se vê mesmo a bicondicional no seu formato tradicional: “p se e</p><p>somente se q”.</p><p>1.7 Resumo das relações</p><p>Estrutura lógica É verdade quando É falso quando</p><p>p ∧ q p e q são ambos, verdade um dos dois for falso</p><p>p ∨ q um dos dois for verdade p e q, ambos, são falsos</p><p>p → q nos demais casos p é verdade e q é falso</p><p>p ↔ q p e q tiverem valores lógicos iguais p e q tiverem valores lógicos diferentes</p><p>~ p p é falso p é verdade</p><p>Tabela 6 - Resumo das relações</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 16</p><p>1.8 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a regra de construção da variável discreta e suas</p><p>representações algébricas pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades</p><p>de acordo com o desenvolvimento de suas operações algébricas, tendo em vista</p><p>estudar suas definições pensando no futuro todos os elementos da disposição gráfica.</p><p>Por fim, essa metodologia</p><p>função</p><p>do segundo grau é conseguir descobrir o x no momento em que se tem o valor de y</p><p>e vice e versa. Vamos demonstrar um exemplo:</p><p>1. Dada a função f(x) = x2 + 3x – 4, determine o valor de f(2)</p><p>f(2) = (2)2 + 3 (2) - 4</p><p>f(2) = 4 + 6 - 4</p><p>f(2) = 6</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 137</p><p>14.1.1 Zeros da função</p><p>Outra questão fundamental é o cálculo dos zeros da função, os quais se caracterizam</p><p>pelo valor que a variável x assume no instante em que a variável y possui valor igual</p><p>a zero. Dessa maneira, para fazermos esse cálculo necessitamos substituir o y por</p><p>zero. Na maioria dos casos, para determinarmos o valor de x, deveremos utilizar um</p><p>artifício matemático chamado de fórmula de Bhaskara:</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Toda função do segundo grau possui duas raízes. Elas podem ser duas raízes reais</p><p>distintas, uma única raiz ou nenhuma raiz real.</p><p>Veja o exemplo a seguir:</p><p>Considerando a função f(x) = 2x2 + 3x + 1, determine os zeros da função.</p><p>2x2 + 3x + 1 = 0</p><p>a = 2, b = 3, c = 1</p><p>Δ = b2 - 4ac</p><p>Δ = (3)2 - 4 (2) (1)</p><p>Δ = 9 - 8</p><p>Δ = 1</p><p>x1 = - 0,5</p><p>x2 = - 1</p><p>Portanto, os zeros da função são (- 0,5; 0) e (-1; 0).</p><p>14.1.2 Construção gráfica</p><p>Visto os cálculos algébricos que envolvem a função do segundo grau, é chegado</p><p>o momento de vermos a construção gráfica dessa função. Devemos sempre lembrar,</p><p>que o gráfico que representa a função do 2° grau será sempre uma parábola. Na</p><p>matemática, há alguns truques que podemos usar na hora de construir esse gráfico.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 138</p><p>1. O sinal do coeficiente “a” nos mostrará a direção da concavidade da parábola.</p><p>Dessa maneira:</p><p>• Se a > 0 ⇒ concavidade para cima. Exemplo: f(x) = x2 + x + 2</p><p>Título: Função f(x) = x2 + x + 2</p><p>Fonte: Autor</p><p>• Se a < 0 ⇒ concavidade para baixo. Exemplo: f(x) = -2x2 + 4</p><p>Título: Função f(x) = -2x2 + 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 139</p><p>2. O valor do coeficiente “c” representa o ponto do gráfico em que a parábola cruza</p><p>o eixo y. Exemplo: f(x) = -2x2 + 4.</p><p>Título: Função f(x) = -2x2 + 4</p><p>Fonte: Autor</p><p>3. Assim como no caso do coeficiente “a”, o sinal do determinante “Δ” nos mostrará</p><p>quantas raízes reais a função possui</p><p>• Se Δ > 0 ⇒ duas raízes reais distintas</p><p>• Se Δ < 0 ⇒ nenhuma raiz real</p><p>• Se Δ = 0 ⇒ duas raízes iguais</p><p>14.1.3 Vértices</p><p>Para construir a parábola de uma função do segundo grau, é muito importante nós</p><p>sabermos como calcular o vértice. Para isso, podemos usar as seguintes fórmulas:</p><p>Exemplo:</p><p>Considere a função f(x) = x² + 2x – 3 e calcule o ponto que representa o vértice</p><p>da parábola.</p><p>f(x) = x² + 2x – 3</p><p>a = 1, b = 2, c = -3</p><p>Portanto, o vértice da parábola é (-1,-4).</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 140</p><p>14.2 Função exponencial</p><p>Para conseguirmos falar da função exponencial, precisamos primeiro determinar</p><p>as propriedades das potências.</p><p>14.2.1 Propriedades da potência</p><p>De forma genérica, podemos afirmar que a.a.a.a.a…a.a = an (n vezes). Além disso,</p><p>temos algumas definições especiais que são fundamentais para entendermos as</p><p>propriedades:</p><p>• a1 = a</p><p>• a0 = 1</p><p>Sabendo disso, vamos as propriedades:</p><p>Exemplos:</p><p>1.</p><p>2.</p><p>3.</p><p>4.</p><p>14.2.2 Função exponencial</p><p>A lei de formação da função exponencial é descrita como f (x) = ax e é definida por</p><p>f: ℝ → ℝ+, ou seja, o grupo de partida, domínio, será o conjunto dos números reais e</p><p>o grupo de chegada será todos os números reais positivos.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 141</p><p>Assim como a função do primeiro grau, também podemos classificar a função</p><p>exponencial em crescente e decrescente. Mas, o gráfico dessa função não é uma reta e</p><p>sim uma curva. Para fazermos essa classificação devemos observar o valor da base “a”.</p><p>• Se a > 1 ⇒ curva crescente. Exemplo: f(x) = 2x.</p><p>Título: Função f(x) = 2x</p><p>Fonte: Autor</p><p>• Se 0 < a < 1 ⇒ curva decrescente. Exemplo: f(x) = (½)x.</p><p>Título: Função f(x) = (½)x</p><p>Fonte: Autor</p><p>Para conseguirmos construir esse gráfico, precisamos achar alguns pontos e depois</p><p>ligá-los. Como visto anteriormente, podemos classificar a curva como decrescente ou</p><p>crescente e, como podemos observar pelos dois gráficos acima, a curva não cruza os</p><p>quadrantes três e quatro. Portanto, o contradomínio da função exponencial é todos</p><p>os números maiores que zero (quadrantes um e dois). Vamos praticar um pouco.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Construa o gráfico da função f(x) = 4x.</p><p>X f (x) = 4x (x, y)</p><p>-2 f (-2) = 4-2 = 1/16 (-2,1/16)</p><p>-1 f (-1) = 4-1 = ¼ (-1, ¼)</p><p>0 f (0) = 40 = 1 (0, 1)</p><p>1 f (1) = 41 = 4 (1, 4)</p><p>2 f (2) = 42 = 16 (2, 16)</p><p>Tabela 1 - Valores para f(x) = 4x</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 142</p><p>A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que</p><p>encontramos para (x, y).</p><p>Título: Função f(x) = 4x</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Construa o gráfico da função f(x) = (½)x.</p><p>X f (x) = (½)x (x, y)</p><p>-2 f (-2) = (½)-2 = 4 (-2, 4)</p><p>-1 f (-1) = (½)-1 = 2 (-1, 2)</p><p>0 f (0) = (½)0 = 1 (0, 1)</p><p>1 f (1) = (½)1 = ½ (1, ½)</p><p>2 f (2) = (½)2 = ¼ (2, ¼)</p><p>Tabela 2 - Valores para f(x) = (½)x</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que</p><p>encontramos para (x, y).</p><p>Título: Função f(x) = (½)x</p><p>Fonte: Autor</p><p>14.3 Função logarítmica</p><p>Assim como a função exponencial, para entendermos a função logarítmica,</p><p>devemos, primeiramente, olhar para a definição do logarítmico. A base do log</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 143</p><p>precisa sempre ser positiva e diferente de 1. Por exemplo, vamos tentar encontrar</p><p>o domínio da função f (x) = log 2 (x+3). Como vimos a base precisa ser positiva,</p><p>então:</p><p>x + 3 > 0</p><p>x > - 3</p><p>Portanto,</p><p>A lei de formação geral da função logarítmica é f(x) = loga x.</p><p>14.3.1 Construção gráfica</p><p>Na função logarítmica, para construirmos o seu gráfico, também é necessário</p><p>precisamos achar alguns pontos e depois ligá-los. Esse gráfico pode ser classificado</p><p>como crescente e decrescente dependendo do valor da base “a”.</p><p>• Se a > 1 ⇒ curva crescente. Exemplo: f(x) = log2 x</p><p>• Se 0 < a < 1 ⇒ curva decrescente. Exemplo: f(x) = log1/2 x</p><p>Ao contrário da função exponencial, a função logarítmica está inserida nos quadrantes</p><p>um e quatro. Portanto, os valores de x serão sempre maiores que zero. Além disso, a</p><p>curva nunca interceptará o eixo das ordenadas e, por isso, cruzará o eixo das abscissas</p><p>no ponto (1, y). Vamos praticar um pouco.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Construa o gráfico da função f(x) = log2 x.</p><p>x y = log2 x</p><p>1/4 y = log2 1/4 = - 2</p><p>1/2 y = log2 1/2 = -1</p><p>1 y = log2 1 = 0</p><p>2 y = log2 2 = 1</p><p>4 y = log2 4 = 2</p><p>Tabela 3 - Valores para f(x) = log2 x</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que</p><p>encontramos para (x, y).</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 144</p><p>Figura: Função f(x) = log2 x</p><p>Fonte: Autor</p><p>2. Construa o gráfico da função f(x) = log1/2 x.</p><p>X y = log1/2 x</p><p>¼ y = log1/2 1/4 = 2</p><p>½ y = log1/2 1/2 = 1</p><p>1 y = log1/2 1 = 0</p><p>2 y = log1/2 2 = -1</p><p>4 y = log1/2 4 = - 2</p><p>Tabela 4 - Valores para f(x) = log1/2 x</p><p>Fonte: Autor</p><p>A partir da tabela, podemos montar um plano cartesiano e ligar os pontos que</p><p>encontramos para (x, y).</p><p>Figura: Função f(x) = log1/2 x</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 145</p><p>Um conceito importante para a função logarítmica é a restrição ao domínio da</p><p>função log, a qual se define como toda função que possui como domínio números</p><p>reais e maiores que zero e como contradomínio, números reais. Considerando a lei</p><p>de formação f(x) = loga x, temos que o valor da base “a” deverá sempre ser maior que</p><p>zero e diferente de um. Por outro lado, o valor do logaritmo “x” pode ser positivo ou</p><p>negativo e podemos determinar esse sinal da seguinte forma:</p><p>• Se a > 1:</p><p>• loga x > 0 ⇔ x > 1</p><p>• loga x < 0 ⇔ 0 < x < 1</p><p>• Se 0 < a < 1:</p><p>• loga x > 0 ⇔ 0 < x < 1</p><p>• loga x < 0 ⇔ x > 1</p><p>14.4 Conclusão</p><p>Nesta aula, aprendemos sobre os conceitos básicos de funções</p><p>do segundo grau,</p><p>funções exponenciais e funções logarítmicas e suas representações gráficas, como</p><p>por exemplo como organizar os dados em forma tabular. Os conceitos básicos são</p><p>fundamentais para a compreensão de conceitos mais elaborados que veremos mais</p><p>para frente nas próximas aulas.</p><p>14.5 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 146</p><p>CAPÍTULO 15</p><p>POLINÔMIOS</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Polinômios e suas operações. Dessa</p><p>forma, irá compreender as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta</p><p>apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos</p><p>futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>15.1 Equações irracionais</p><p>Equações irracionais apresentam uma incógnita dentro de um radical, ou seja, há</p><p>uma expressão algébrica no radicando.</p><p>Título: Estrutura de uma equação irracional</p><p>Fonte: Autor</p><p>Confira alguns exemplos de equações irracionais.</p><p>15.1.1 Como resolver uma equação irracional</p><p>Para resolver uma equação irracional, a radiciação deve ser eliminada, transformando-a</p><p>em uma equação racional mais simples para encontrar o valor da variável.</p><p>Exemplo 1:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 147</p><p>1º passo: isole o radical no primeiro membro da equação.</p><p>2º passo: eleve ambos os membros da equação ao número que corresponde ao</p><p>índice do radical.</p><p>Por se tratar de uma raiz quadrada, deve-se elevar os dois membros ao quadrado</p><p>e, com isso, elimina-se a raiz.</p><p>2x + 5 = 1</p><p>3º passo: encontre o valor de x resolvendo a equação.</p><p>2x + 5 = 1</p><p>2x = 1 - 5</p><p>2x = -4</p><p>x = -4/2</p><p>x = -2</p><p>4º passo: verifique se a solução é verdadeira.</p><p>1 - 4 = -3</p><p>-3 = -3</p><p>Para a equação irracional, o valor de x é – 2.</p><p>Exemplo 2:</p><p>1º passo: elevar ambos os membros da equação ao quadrado.</p><p>(x - 1)2 = x + 5</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 148</p><p>2º passo: resolva a equação.</p><p>(x - 1) (x - 1) = x + 5</p><p>x2 - x - x + 1 = x + 5</p><p>x2 - 2x + 1 = x + 5</p><p>x2 - 2x + 1 - x - 5 = 0</p><p>x2 - 3x - 4 = 0</p><p>3º passo: encontre as raízes da equação do 2º grau utilizando a fórmula de Bhaskara.</p><p>x1 = -1 x2 = 4</p><p>4º passo: verificar qual a solução verdadeira para a equação.</p><p>Para x = 4:</p><p>3 = 3</p><p>Para a equação irracional, o valor de x = 3 é uma solução verdadeira.</p><p>Para x = – 1.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 149</p><p>-2 ≠ 2</p><p>Para a equação irracional, o valor x = – 1 não é uma solução verdadeira.</p><p>15.2 Potenciação</p><p>Faremos uma revisão sobre potenciação para facilitar o entendimento no estudo</p><p>dos polinômios e no estudo das funções.</p><p>15.2.1 Expoente inteiro positivo</p><p>Seja a (base) um número real e n(expoente) um número inteiro positivo, então an</p><p>representa o produto de n fatores, todos iguais em a.</p><p>Título: Potenciação</p><p>Fonte: Autor</p><p>15.2.2 Expoente inteiro negativo</p><p>Seja a (base) de um número real onde a ≠ 0 e n (expoente) um número inteiro e</p><p>negativo, então:</p><p>15.2.3 Expoente irracional</p><p>Seja a (base) um número real e m e n (expoentes) números inteiros, então:</p><p>15.2.4 Expoente zero</p><p>Seja a (base) um número real onde a ≠ 0 e n = 0, convenciona-se que:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 150</p><p>15.2.5 Propriedades da potência</p><p>Multiplicação de bases iguais</p><p>bm . bn = bm+n</p><p>Divisão de bases iguais</p><p>Potência de potência</p><p>(am)n = bm.n</p><p>Produto de bases diferentes de mesmo expoente</p><p>(a . b)m = am . bm</p><p>Quociente de bases diferentes de mesmo expoente</p><p>15.3 Polinômios</p><p>Polinômio é uma soma algébrica de monômios, cada um dos quais é chamado</p><p>termo do polinômio. Quando dois termos têm partes literais iguais (ou não têm parte</p><p>literal) eles são chamados termos semelhantes. Dois ou mais termos semelhantes</p><p>podem ser reduzidos a um só termo, ao conservarmos a parte literal e somarmos os</p><p>coeficientes.</p><p>São exemplos de polinômios:</p><p>• Monômios: polinômios que são constituídos de apenas um termo. Ex.: 5x</p><p>• Binômios: polinômios que são constituídos de dois termos, os quais são</p><p>delimitados por uma soma ou subtração. Ex.: ax + b</p><p>• Trinômio: polinômios que são constituídos de três termos, os quais são delimitados</p><p>por uma soma ou subtração. Ex.: 3x2 + 2x -1</p><p>• Polinômios: constituídos de quatro ou mais termos, os quais são delimitados</p><p>por uma soma ou subtração. Ex.: xy + yz + zx - x - y - z + 1</p><p>15.3.1 Grau de um polinômio</p><p>Quando os termos semelhantes estão reduzidos, denominamos grau de um polinômio</p><p>não nulo o maior expoente da variável nos termos não nulos. Para um polinômio nulo</p><p>não se define grau.</p><p>Exemplos:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 151</p><p>a) 5x2 - 4x + 3 → polinômio de 2° grau</p><p>a) 6x3 + 3x5 - 2 → polinômio de 5° grau</p><p>15.3.2 Operações com polinômios</p><p>15.3.2.1 Adição e subtração</p><p>Denominamos soma ou subtração de dois ou mais polinômios ao polinômio que</p><p>se obtém adicionando todos os termos dos polinômios dados.</p><p>Exemplo:</p><p>Adição:</p><p>(-7x3 + 5x2y - xy + 4y) + (-2x2y + 8xy - 7y)</p><p>-7x3 + 5x2y - 2x2y - xy + 8xy + 4y - 7y</p><p>- 7x3 + 3x2y + 7xy - 3y</p><p>Subtração</p><p>(4x2 - 5xk + 6k) - (3xk - 8k)</p><p>4x2 - 5xk - 3xk + 6k + 8k</p><p>4x2 - 8xk + 14k</p><p>15.3.2.2 Multiplicação</p><p>Para multiplicar dois polinômios, multiplicamos cada termo de um deles por todos</p><p>os termos do outro e adicionamos os resultados.</p><p>Exemplo:</p><p>(3x2 - 5x + 8) . (-2x + 1)</p><p>-6x3 + 3x2 + 10x2 - 5x - 16x + 8</p><p>-6x3 + 13x2 - 21x + 8</p><p>15.3.2.3 Divisão</p><p>Para dividir um polinômio por um monômio, dividimos cada termo do polinômio</p><p>pelo monômio e adicionamos os resultados.</p><p>3x3 - 14x2 + 23x - 10 : x2 - 4x + 5</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 152</p><p>Para resolução da divisão entre polinômios, a matemática possui um dispositivo que</p><p>facilita o cálculo. Esse dispositivo leva o nome de Método de Briot-Ruffini e só pode</p><p>ser utilizado na divisão de polinômios em que o dividendo dispõe de um grau maior</p><p>que 1 e que o divisor é um binômio x - b. Dessa forma, veja as etapas para resolução</p><p>de uma divisão utilizando o Método de Briot-Ruffini:</p><p>1° passo: desenhamos uma cruz como a seguir</p><p>2° passo: devemos posicionar os coeficientes do dividendo sobre o segmento de</p><p>reta horizontal, sempre do lado direito. O primeiro coeficiente é colocado novamente</p><p>abaixo do segmento. A esquerda, sobre o segmento horizontal, devemos posicionar</p><p>a raiz do binômio. Observe o exemplo: P (x) = 3x3 + 2x2 + x + 5 : B (x) = x + 1</p><p>3° passo: devemos a multiplicação entre a raiz do binômio e o primeiro coeficiente.</p><p>O resultado dessa operação deve ser somado ao próximo coeficiente. Observe:</p><p>(-1) . 3 + 2 = -1</p><p>(-1) . (-1) + 1 = 2</p><p>(-1) . 2 + 5 = 3</p><p>Por último, devemos analisar o resultado que temos na imagem: sobre o segmento</p><p>de reta horizontal, tem-se os coeficientes do dividendo, a esquerda, sobre o segmento</p><p>horizontal, tem-se a raiz do binômio, abaixo da linha horizontal tem-se o quociente (3</p><p>primeiros números) e o resto (último número).</p><p>3x3 + 2x2 + x + 5 = (x + 1) . (3x2 - x + 2) + 3</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 153</p><p>15.3.2.4 Fatoração</p><p>Fator comum em evidência</p><p>ax + bx = x (a + b)</p><p>Exemplo: 5x + 25 = 5 (x + 5)</p><p>Agrupamento</p><p>ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)</p><p>Exemplo: 8ax + bx + 8ay + by = x (8a + b) + y (8a + b) = (8a + b) (x + y)</p><p>Trinômio quadrado perfeito</p><p>a2 + 2ab + b2 = (a + b)2</p><p>ou</p><p>a2 - 2ab + b2 = (a - b)2</p><p>Exemplos:</p><p>x2 + 4x + 2 = (x + 2)2</p><p>x2 - 6x + 9 = (x - 3)2</p><p>Diferença de dois quadrados</p><p>(a + b) (a - b) = a2 - b2</p><p>Exemplo: x2 - 64 = (x +</p><p>8) (x - 8)</p><p>Cubo perfeito</p><p>a3 - 3a2b + 3ab2 - b3 = (a - b)3</p><p>15.4 Exercícios propostos</p><p>1) Dê o grau dos polinômios a seguir:</p><p>a) ab3 + 8ab + a2y</p><p>b) xz + 2z + x</p><p>c) ab7 - 10a2b3c6 + 2z</p><p>d) 2a4 + 3</p><p>2) Classifique os polinômios a seguir:</p><p>a) 3xyzw2</p><p>b) 3x + yz - w2</p><p>c) 3xz - yw2</p><p>3) Realize a divisão de A (x) = x4 - 1 por B (x) = x - 1, utilizando o Método de Briot-</p><p>Ruffini.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 154</p><p>15.5 Respostas</p><p>1) Dê o grau dos polinômios a seguir:</p><p>a) ab3 + 8ab + a2y</p><p>Resposta: Grau 4</p><p>b) xz + 2z + x</p><p>Resposta: Grau 2</p><p>c) ab7 - 10a2b3c6 + 2z</p><p>Resposta: Grau 11</p><p>d) 2a4 + 3</p><p>Resposta: Grau 4</p><p>2) Classifique os polinômios a seguir:</p><p>a) 3xyzw2</p><p>Resposta: Monômio</p><p>b) 3x + yz - w2</p><p>Resposta: Trinômio</p><p>c) 3xz - yw2</p><p>Resposta: Binômio</p><p>3) Realize a divisão de A (x) = x4 - 1 por B (x) = x - 1, utilizando o Método de Briot-</p><p>Ruffini.</p><p>Quociente: P (x) = x3 + x2 + x + 1</p><p>Resto: 0</p><p>15.4 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição dos conceitos de Polinômios, pautando-nos</p><p>no desenvolvimento de suas propriedades de acordo com o desenvolvimento de suas</p><p>operações, tendo em vista estudar suas definições pensando no futuro. Por fim, essa</p><p>metodologia irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos recorrentes nas</p><p>diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 155</p><p>15.5 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 156</p><p>CONCLUSÃO</p><p>Caro aluno(a), chegamos ao final da disciplina!</p><p>Parabéns por completar mais uma etapa rumo à formação!</p><p>Você, estudante da disciplina de Matemática, foi qualificado a expandir, ao longo</p><p>do estudo dos conceitos básicos, lógica matemática, tabelas verdades, teoria dos</p><p>conjuntos, sequências numéricas e entre outros, conceitos matemáticos que servirão</p><p>para aplicação das novas tecnologias relacionadas à Matemática e a Lógica para atuar</p><p>no desenvolvimento, projetando, desenvolvendo, implantando e gerenciando soluções</p><p>e respostas, abrangendo as ferramentas tecnológicas dessa área matemática com</p><p>destino aos desafios da sociedade e empresas e atuando, por exemplo, nos subcampos</p><p>da pesquisa socioeconômica e indústria de forma geral.</p><p>Na indústria química, o profissional utilizará os conceitos de funções e construções</p><p>gráficas para desenvolver modelos de pesquisa que estabelecem critérios de consumo,</p><p>demanda e oferta que consigam ter uma melhor tomada de decisões.</p><p>O profissional também poderá atuar nas empresas que atuam diretamente na</p><p>economia, aplicando os métodos de pesquisa, como testes de hipótese na determinação</p><p>da variação dos lucros, contribuindo no fornecimento de conhecimento para melhorar</p><p>a lucratividade dos negócios</p><p>Portanto, esperamos que a disciplina tenha contribuído para a formação de</p><p>profissionais capacitados, técnica e cientificamente, e que possam contribuir com</p><p>olhar crítico e atuação eficiente em um campo tão importante dentro das empresas</p><p>e ou atuando como empreendedor.</p><p>Esperamos você em novas etapas e desafios dessa jornada!</p><p>Até breve!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 157</p><p>ELEMENTOS COMPLEMENTARES</p><p>LIVRO</p><p>Título: O Homem que Calculava</p><p>Autor: Malba Tahan</p><p>Editora: Record</p><p>Sinopse: A matemática recreativa apresentada em O</p><p>homem que calculava é, certamente, menos dolorosa</p><p>que a fria e doutoral ensinada nos colégios. Malba</p><p>Tahan (pseudônimo do professor Júlio César de Mello</p><p>e Souza) conseguiu realizar quase que um milagre, uma</p><p>mágica: unir ciência e ficção e acertar. Seu talento e sua</p><p>prodigiosa imaginação são capazes de criar personagens</p><p>e situações de grande apelo popular, o que explica seu</p><p>imenso sucesso.</p><p>O homem que calculava é uma oportunidade para os</p><p>aficionados dos algarismos e jogos matemáticos se deliciarem com os vários capítulos</p><p>lúdicos da obra. Tahan narra a história de Bereniz Samir, um viajante com o dom</p><p>intuitivo da matemática, manejando os números com a facilidade de um ilusionista.</p><p>Problemas aparentemente sem solução tornam-se de uma transparente simplicidade</p><p>quando expostos a ele. Gráficos facilitam ainda mais a leitura do livro. Uma pequena</p><p>obra-prima da literatura infanto-juvenil.</p><p>Fonte: https://www.amazon.com.br/homem-que-calculava-Malba-Tahan/</p><p>dp/8501061964</p><p>https://www.amazon.com.br/homem-que-calculava-Malba-Tahan/dp/8501061964</p><p>https://www.amazon.com.br/homem-que-calculava-Malba-Tahan/dp/8501061964</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 158</p><p>FILME</p><p>Título: Uma mente brilhante</p><p>Ano: 2002</p><p>Sinopse: John Nash (Russell Crowe) é um gênio da</p><p>matemática que, aos 21 anos, formulou um teorema</p><p>que provou sua genialidade e o tornou aclamado no</p><p>meio onde atuava. Mas aos poucos o belo e arrogante</p><p>Nash se transforma em um sofrido e atormentado</p><p>homem, que chega até mesmo a ser diagnosticado como</p><p>esquizofrênico pelos médicos que o tratam. Porém, após</p><p>anos de luta para se recuperar, ele consegue retornar à</p><p>sociedade e acaba sendo premiado com o Nobel.</p><p>Fonte: https://www.adorocinema.com/filmes/filme-28384/</p><p>WEB</p><p>Sabemos que a matemática é algo importante a ser ensinado nas escolas, mas os</p><p>professores sempre escutam a seguinte pergunta “para que vou usar isso?”. Leia</p><p>o artigo abaixo e descubra a importância do ensino de matemática para o futuro</p><p>profissional do aluno do ensino médio.</p><p><https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/matematica-no-futuro-</p><p>profissional></p><p>https://www.adorocinema.com/filmes/filme-28384/</p><p>https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/matematica-no-futuro-profissional</p><p>https://www.nucleodoconhecimento.com.br/matematica/matematica-no-futuro-profissional</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 159</p><p>REFERÊNCIAS</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca]</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 160</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>_heading=h.gjdgxs</p><p>_heading=h.30j0zll</p><p>_heading=h.e78z6wcgyqax</p><p>_heading=h.z2utqcfp8tgv</p><p>_heading=h.3qp1ulqxe85f</p><p>_heading=h.xkeyl3s4b1kq</p><p>_heading=h.of526mxjv5a3</p><p>_heading=h.vu0hjbwxtsk2</p><p>_heading=h.qnv2akuclk9t</p><p>_heading=h.k8gwjkvicklb</p><p>_heading=h.t1p883r1609a</p><p>_heading=h.an5flt74zwcw</p><p>_heading=h.ydi0wq3nxj4t</p><p>_heading=h.sgvlbcywtz1</p><p>_heading=h.yj5xiydl0chn</p><p>_heading=h.gjdgxs</p><p>_heading=h.30j0zll</p><p>_heading=h.1fob9te</p><p>_heading=h.3znysh7</p><p>_heading=h.yv0u6igvrt18</p><p>_heading=h.gjdgxs</p><p>_heading=h.30j0zll</p><p>_heading=h.gjdgxs</p><p>_heading=h.uw33q1x6r7mh</p><p>_heading=h.jyunk99j2mxi</p><p>_heading=h.ki0mtptxteha</p><p>_heading=h.cxohqzzc9m2b</p><p>_heading=h.c7bzldu7fp2m</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.s8zdkau4ekhu</p><p>_heading=h.zdd73mtwc5eh</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.nist6pbqt5td</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.q3owloste78x</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.3fy06tb0fs3o</p><p>_heading=h.rixm5q124q4a</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.35r699jm6q0o</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.xrnbfmmh0hwz</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.u7rmi72ash61</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.iopuya91rirp</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv2z</p><p>_heading=h.27udo5iurv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matemática I</p><p>Lógica matemática II</p><p>Tabela verdade</p><p>Teoria dos Conjuntos</p><p>Sequências numéricas</p><p>Análise combinatória</p><p>Produtos notáveis</p><p>Inequações</p><p>Matrizes</p><p>Sistemas lineares I</p><p>Sistemas lineares II</p><p>Função I</p><p>Aplicações de funções do 1° grau</p><p>Função II</p><p>Polinômios</p><p>irá nos fornecer uma análise de resolução de exemplos</p><p>recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 17</p><p>CAPÍTULO 2</p><p>LÓGICA MATEMÁTICA II</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Lógica Matemática e os valores lógicos</p><p>analisando e assim interpretá-los. Dessa forma, irá compreender as estruturas das</p><p>relações básicas. Com essa ferramenta apresentada você poderá ter uma maior</p><p>facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>2.1 Negação de uma proposição composta</p><p>No capítulo anterior aprendemos a negar uma proposição simples, porém e se</p><p>tivermos uma proposição composta, como ficaria?</p><p>Caso isso aconteça, vamos precisar considerar qual será a estrutura no qual se</p><p>encontra essa proposição.</p><p>Dessa forma veremos, pois, uma a uma:</p><p>a) Como negar uma Conjunção ~ (p ∧ q):</p><p>Com o intuito de utilizarmos a negação de uma proposição nesse formato (p ∧ q),</p><p>necessitaremos primeiramente pensar no seguinte:</p><p>• Vamos negar a primeira (~ p)</p><p>• Vamos negar a segunda (~ q)</p><p>• Trocaremos ∧ “e” por V “ou”.</p><p>Portanto vamos investigar a situação:</p><p>Não é verdade que Pedro é matemático e Pedro é bom professor</p><p>Neste caso precisaremos encontrar, dentre as possíveis opções de solução, aquela</p><p>sentença que seja logicamente equivalente a esta dada.</p><p>Então vamos analisar o início da sentença “não é verdade que...”.</p><p>Ora, expressar que “não é verdade que...” será a mesma coisa que negar tudo que</p><p>está vindo após, não se.</p><p>Então, observando a nossa proposição composta o que vem após?</p><p>Percebemos que se refere a uma organização do conectivo conjunção!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 18</p><p>Dessa forma, de que maneira podemos negar que “Apolônio é Matemático e é bom</p><p>professor”?</p><p>Da forma explicitada acima:</p><p>• Nega-se a primeira parte: (~ p): “Apolônio não é Matemático”</p><p>• Nega-se a segunda parte: (~ q): “Apolônio não é bom professor”</p><p>• Troca-se ∧ “e” por V “ou” assim vamos obter o resultado final da seguinte forma:</p><p>“Apolônio não é Matemático ou não é bom professor”.</p><p>Refletindo para a linguagem da lógica, somos capazes de dizer que:</p><p>~ (p ∧ q) = ~ p ∨ ~ q</p><p>Na verdade, como poderemos investigar essa informação?</p><p>Nesse momento, vamos utilizar uma comparação bem simples entre tabelas, com</p><p>o intuito de verificar a situação apresentada acima.</p><p>Vejamos como foi isso.</p><p>Primeiramente vamos desenvolver a construção da tabela verdade de ~ (p ∧ q).</p><p>Obs. Essa construção será instrumento que acompanharemos no estudo da lógica</p><p>matemática. Com a utilização dessa ferramenta muito importante, seremos capazes</p><p>de determinar qual o valor lógico de uma proposição, isto é, vamos saber o momento</p><p>que uma determinada sentença será verdadeira “V” ou falsa “F”.</p><p>No estudo desse conceito, todas as proposições terão um significado de pensamentos</p><p>completos que indicam afirmações de fatos ou ideias.</p><p>Sabemos que toda proposição tem V (p) = V ou V (p) = F</p><p>Obs. V (p), lemos valor lógico de p</p><p>Uma tabela Verdade que contém duas proposições exibirá exatamente um número</p><p>de quatro linhas, mas caso se estivermos estudando uma proposição composta com</p><p>três ou mais proposições ou componentes, como ficará a construção da tabela-verdade</p><p>neste caso?</p><p>Então para qualquer caso vamos ter a quantidade de linhas de uma tabela-verdade</p><p>observando a seguinte regra:</p><p>A quantidade linhas de nossa tabela será determinada ao calcular 2Número de proposições</p><p>Isto é, caso observamos que nossa sentença existe duas proposições, por exemplo</p><p>p e q, então a quantidade de linhas será dois vezes dois, quatro linhas. E se estivermos</p><p>com uma proposição que tenha três componentes p, q e r?</p><p>Quantas linhas terá essa tabela?</p><p>Teremos 8 linhas, porque 2 x 2 x 2 será igual a 8.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 19</p><p>E assim por diante.</p><p>• Apenas uma proposição p, teremos 21 = 2 linhas:</p><p>Título: Representação de uma proposição</p><p>Fonte: Autor</p><p>• E quando tivermos p e q 22 = 4 linhas</p><p>Título: Representação de duas proposições</p><p>Fonte: Autor</p><p>• E caso tenhamos p, q e r ficará assim 23 = 8 linhas:</p><p>Título: Representação de três proposições</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 20</p><p>Então, vamos refletir para a linguagem da lógica ~ (p ∧ q) = ~ p ∨ ~ q. Logo tudo</p><p>começa com aquele formato básico, que já conhecemos.</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 1 - Tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Daí, faremos a próxima coluna, que é a da conjunção (e). Teremos:</p><p>p q p ∧ q</p><p>F F F</p><p>F V F</p><p>V F F</p><p>V V V</p><p>Tabela 2 - Tabela verdade p ∧ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Por fim, construiremos a coluna que é a negativa desta terceira. Ora, já sabemos</p><p>que com a negativa, o que é verdadeiro se torna falso, e o que é falso vira verdadeiro.</p><p>Logo, teremos:</p><p>p q p ∧ q ~ (p ∧ q)</p><p>F F F V</p><p>F V F V</p><p>V F F V</p><p>V V V F</p><p>Tabela 3 - Tabela verdade ~ (p ∧ q)</p><p>Fonte: Autor</p><p>Guardemos, pois, essa última coluna (em destaque). Ela representa o resultado</p><p>lógico da estrutura ~ (p ∧ q)</p><p>Agora, construamos a tabela-verdade da estrutura ~ p ∨ ~ q, e comparemos os</p><p>resultados.</p><p>No início, teremos:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 21</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 4 - Tabela verdade p e q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Faremos agora as duas colunas das duas negativas, de p e de q. Para isso, conforme</p><p>já sabemos, quem for V virará F, e vice-versa. Teremos:</p><p>p q ~ p ~ q</p><p>F F V V</p><p>F V V F</p><p>V F F V</p><p>V V F F</p><p>Tabela 5 - Tabela verdade ~p e ~q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Agora, passemos à coluna final: ~ p ∨ ~ q. Aqui nos lembraremos de como funciona</p><p>uma disjunção. A disjunção é a estrutura do ou. Para ser verdadeira, basta que uma</p><p>das sentenças também o seja. Daí, teremos:</p><p>p q ~ p ~ q ~ p ∨ ~ q</p><p>F F V V V</p><p>F V V F V</p><p>V F F V V</p><p>V V F F F</p><p>Tabela 6 - Tabela verdade ~ p ∨ ~ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Finalmente, comparamos a coluna resultado (em destaque) da estrutura ~ p ∨ ~</p><p>q com a estrutura (p • q)’. Teremos:</p><p>~ (p ∧ q) ~ (p ∨ q)</p><p>V V</p><p>V V</p><p>V V</p><p>F F</p><p>Tabela 7 - Comparação entre ~ (p ∧ q) e ~ (p ∨ q)</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 22</p><p>Podemos observar que os resultados encontrados são idênticos. Daí, do ponto de</p><p>vista lógico, para negar p e q, negaremos p, negaremos q, e trocaremos ∧ por ∨.</p><p>Já sabendo disso, não perderemos tempo na prova construindo tabela-verdade para</p><p>saber como se faz a negativa de uma conjunção! Esse exercício que fizemos acima,</p><p>de comparar as colunas-resultado das duas tabelas, serviu apenas para explicar a</p><p>origem dessa equivalência lógica.</p><p>Ou seja, para dizer se uma proposição é, do ponto de vista lógico, equivalente a</p><p>outra, basta fazer uma comparação entre suas tabelas verdade concluídas.</p><p>b) Negar uma disjunção ~ (p ou q)</p><p>Para negarmos uma proposição no formato de disjunção (p ou q), faremos o seguinte:</p><p>• Negaremos a primeira (~ p);</p><p>• Negaremos a segunda (~ q);</p><p>• Trocaremos ∨ por ∧.</p><p>Então se uma questão disser:</p><p>“Não é verdade que Pedro é Matemático ou Paulo é comerciante”</p><p>Pensemos: a frase começa com um “não é verdade que...”, ou seja, o que se segue</p><p>está sendo negado! E o que se segue é uma estrutura em forma de disjunção. Daí,</p><p>obedecendo aos</p><p>passos descritos acima, faremos:</p><p>• Nega-se a primeira parte: (~ p): “Pedro não é Matemático”</p><p>• Nega-se a segunda parte: (~ q): “Paulo não é comerciante”</p><p>• Troca-se ou por e, e o resultado final será o seguinte:</p><p>“Pedro não é Matemático e Paulo não é comerciante”.</p><p>Na linguagem apropriada, concluiremos que:</p><p>~ (p ∨ q) = ~ p ∧ ~ q</p><p>Caso se tivermos um pouco curiosidade, somos capazes de realizar essa</p><p>comprovação, utilizando a tabela verdade.</p><p>Tomemos a primeira parte: ~ (p ∨ q). Teremos, de início:</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 8 - Tabela verdade p e q</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 23</p><p>Depois, construindo a coluna da disjunção (p ou q), teremos:</p><p>p q p ∨ q</p><p>F F F</p><p>F V V</p><p>V F V</p><p>V V V</p><p>Tabela 9 - Tabela verdade p ∨ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Finalmente, fazendo a negação da</p><p>coluna da disjunção, teremos:</p><p>p q p ∨ q ~ (p ∨ q)</p><p>F F F V</p><p>F V V F</p><p>V F V F</p><p>V V V F</p><p>Tabela 10 - Tabela verdade ~(p ∨ q)</p><p>Fonte: Autor</p><p>Guardemos essa coluna “resultado” para o final. E passemos à segunda parte da</p><p>análise: a estrutura ~ p ∧ ~ q. Teremos, a princípio, o seguinte:</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 11 - Tabela verdade p e q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Construindo-se as colunas das negações de p e de q, teremos:</p><p>p q ~ p ~ q</p><p>F F V V</p><p>F V V F</p><p>V F F V</p><p>V V F F</p><p>Tabela 12 - Tabela verdade ~p e ~q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Finalmente, fazendo a conjunção ~ p e ~ q, teremos o seguinte resultado:</p><p>p q ~ p ~ q ~ p ∧ ~ q</p><p>F F V V V</p><p>F V V F F</p><p>V F F V F</p><p>V V F F F</p><p>Tabela 13 - Tabela verdade ~p ∧ ~q</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 24</p><p>Concluindo, comparemos a coluna resultado (em destaque) desta estrutura (p’ ∧</p><p>q’) com aquela que estava guardada da estrutura (p ∨ q)’. Teremos</p><p>Título: Tabelas verdades</p><p>Fonte: Autor</p><p>Observamos os resultados e percebemos que são idênticos!</p><p>c) Negar uma condicional ~ (p → q):</p><p>Como é que poderemos negar uma condicional?</p><p>Da seguinte forma:</p><p>• Mantém-se a primeira parte;</p><p>• Nega-se a segunda.</p><p>Por exemplo:</p><p>Como seria a negativa de:</p><p>Se chover, então levarei capa de chuva”</p><p>• Mantendo a primeira parte: “Chove”</p><p>• Negando a segunda parte: “eu não levarei capa de chuva”.</p><p>Resultado final:</p><p>“Chove e eu não levo a capa de chuva”</p><p>Na linguagem lógica, teremos que:</p><p>~ (p → q) = p ∧ ~ q</p><p>Vejamos a questão seguinte:</p><p>A afirmação:</p><p>“Não é verdade que, se Pedro está em São Paulo, então Paulo está em Dubai”</p><p>Será logicamente equivalente à afirmação:</p><p>a) É verdade que ‘Pedro está em São Paulo e Paulo está em Dubai’.</p><p>b) Não é verdade que ‘Pedro está em São Paulo ou Paulo não está em Dubai’.</p><p>c) Não é verdade que ‘Pedro não está em São Paulo ou Paulo não está em Dubai’.</p><p>d) Não é verdade que “Pedro não está em São Paulo ou Paulo está em Dubai’.</p><p>e) É verdade que ‘Pedro está em São Paulo ou Paulo está em Dubais’.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 25</p><p>Solução:</p><p>Vamos pensar juntos. Vejamos que a frase em análise começa com “não é verdade</p><p>que...”. Logo, estamos lidando com uma negação! E o que se segue a esta negação?</p><p>Uma proposição condicional, ou seja, uma sentença do tipo “Se p, então q”.</p><p>Daí, recordaremos aquilo que acabamos de aprender: para negar uma condicional,</p><p>manteremos a primeira parte e negaremos a segunda. Teremos:</p><p>• Mantendo a primeira parte: “Pedro está em Roma” e</p><p>• Negando a segunda parte: “Paulo não está em Paris”.</p><p>O resultado ficou assim: “Pedro está em São Paulo e Paulo não está em Dubai”.</p><p>Daí, procuraremos entre as opções de resposta, alguma que diga justamente que:</p><p>“É verdade que Pedro está em São Paulo e Paulo não está em Dubai”.</p><p>Encontramos?</p><p>Não encontramos! Só há duas opções de resposta que começam com “É verdade</p><p>que...”, que são as letras a e e.</p><p>Estão, pois, descartadas essas duas opções.</p><p>Restam as letras b, c e d.</p><p>Todas essas começam com “Não é verdade que...”. Ou seja, começam com uma</p><p>negação!</p><p>Daí fica claro perceber que o que precisamos fazer agora é encontrar uma proposição</p><p>cuja negativa resulte exatamente na frase Pedro está em São Paulo e Paulo não está</p><p>em Dubai, a qual havíamos chegado.</p><p>Ou seja, a proposição Pedro está em São Paulo e Paulo não está em Dubai será</p><p>o resultado de uma negação!</p><p>Ora, aprendemos há pouco que negando uma disjunção (ou), chegaremos a uma</p><p>conjunção (e), e vice-versa. Vejamos:</p><p>~ (p ∧ q) = ~ p ∨ ~ q e ~ (p ∨ q) = ~ p ∧ ~ q</p><p>Estamos com o segundo caso, em que o resultado é uma conjunção (∧):</p><p>~ (p ∨ q) = ~ p ∧ ~ q</p><p>Observem que Pedro está em Roma e Paulo não está em Paris corresponde ao</p><p>resultado ~ p ∧ q , que é a segunda parte da igualdade.</p><p>Estamos à procura da primeira parte, que é ~ (p ∨ q).</p><p>Logo, teremos que:</p><p>• o ponto (~) corresponde a: “Não é verdade que...”</p><p>• o símbolo “~ p” corresponde a: “Pedro não está em Roma”;</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 26</p><p>• O símbolo “∨” corresponde a ou;</p><p>• O símbolo “q” corresponde a: “Paulo está em Paris”.</p><p>E chegamos a:</p><p>“Não é verdade que Pedro não está em São Paulo ou Paulo está em Dubai”.</p><p>Portanto, a nossa resposta será letra d.</p><p>Vejamos o caminho que foi trilhado, até chegarmos à resposta:</p><p>• Fizemos a negação de uma proposição condicional (se...então). O resultado</p><p>deste primeiro passo é sempre uma conjunção (e).</p><p>• Achamos a proposição equivalente à conjunção encontrada no primeiro passo.</p><p>2.2 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a regra de construção de uma tabela verdade e suas</p><p>representações, pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo</p><p>com o desenvolvimento de suas operações lógicas, tendo em vista estudar suas</p><p>definições pensando no futuro todos os elementos da disposição tabular. Por fim,</p><p>essa metodologia irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos recorrentes</p><p>nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 27</p><p>CAPÍTULO 3</p><p>TABELA VERDADE</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Lógica Matemática, tabela verdade e</p><p>os valores lógicos analisando e assim interpretá-los. Dessa forma, irá compreender</p><p>as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta apresentada você poderá</p><p>ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos futuros em relação ao estudo</p><p>dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>3.1 Construção da Tabela verdade</p><p>Com o intuito de elaborarmos o desenvolvimento de uma tabela verdade de uma</p><p>proposição composta, precisaremos utilizar alguns passos:</p><p>• Primeiro momento será observar o número de proposições e assim determinar</p><p>a quantidade de linhas desta tabela;</p><p>• Segundo passo será verificar todos os conectivos que constituem as</p><p>proposições;</p><p>Logo após, aplicaremos as definições das operações, obedecendo a seguinte</p><p>sequência de resolução:</p><p>• Primeiro resolveremos a negação;</p><p>• A segunda operação a ser desenvolvida será a conjunção;</p><p>• A terceira operação a ser desenvolvida será a disjunção;</p><p>• A quarta operação a ser desenvolvida será a condicional;</p><p>• E a última operação a ser desenvolvida será a bicondicional.</p><p>3.1.1 Tabela contendo duas proposições</p><p>No momento que compreendemos uma sentença que tenha duas proposições,</p><p>a organização estrutural de nossa tabela terá sempre o mesmo princípio em que já</p><p>aprendemos.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 28</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 1 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Após montar essa estrutura contendo as duas colunas, observada acima, vamos</p><p>necessitar desenvolver a construção da próxima ou das próximas colunas, que irá</p><p>proceder na observação dos conectivos que estarão presentes na sentença.</p><p>Lembrando que os conectivos são conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.</p><p>Com este entendimento, já somos capazes de iniciar a construção das tabelas de</p><p>qualquer proposição formada por duas proposições. Chamaremos as proposições</p><p>compostas com duas proposições da seguinte forma: P (p, q).</p><p>Observamos a seguinte proposição composta: P (p, q) = ~ (p ∨ ~ q) e queremos</p><p>construir a sua tabela verdade.</p><p>Como vocês acham que ficaria?</p><p>O início da tabela será, conforme já vimos, sempre da mesma forma.</p><p>Então:</p><p>p q</p><p>F F</p><p>F V</p><p>V F</p><p>V V</p><p>Tabela 2 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Realizada a construção das duas primeiras colunas, agora vamos observar a</p><p>proposição que precisa ser trabalhada na sentença ~ (p ∨ ~ q) e realizar a comparação</p><p>com o que temos na tabela já desenvolvida e com o que ainda precisamos encontrar.</p><p>Já temos o ~ q?</p><p>Ainda não!</p><p>Portanto, o nosso próximo passo será desenvolver a coluna da negação de q.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 29</p><p>Dessa forma teremos:</p><p>p q ~ q</p><p>F F V</p><p>F V F</p><p>V F V</p><p>V V F</p><p>Tabela 3 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Realizado essa etapa, deveremos construir a coluna relacionada ao parêntese</p><p>p ∨ ~ q.</p><p>Então nesse momento vamos desenvolver mais uma coluna manipulando a</p><p>proposição</p><p>disjunção, sendo que a operação já é conhecida: só será falsa se as duas</p><p>partes forem falsas.</p><p>Deixaremos em destaque as colunas que nos interessam de modo a facilitar a</p><p>construção da proposição disjunção.</p><p>Assim, teremos</p><p>Tabela 4 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Acho que ficou fácil para vocês!</p><p>Podemos observar novamente que disponibilizando as colunas p e ~q lado a lado,</p><p>somos capazes de notar que somente na segunda linha ocorria a situação “F” e “F”,</p><p>a qual torna também FALSA a conjunção.</p><p>Vejamos:</p><p>p ~ q p ∨ ~q</p><p>F V V</p><p>F F F</p><p>V V V</p><p>V F V</p><p>Tabela 5 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 30</p><p>Finalmente somos capazes de concluir o estudo dessa proposição composta, na</p><p>qual nos resta construir a última coluna que é a própria proposição: ~ (p ∨ ~ q). Isto</p><p>é, criaremos a coluna com a negação da conjunção acima.</p><p>Com esse fim, quem for VERDADEIRO se torna FALSO e vice-versa.</p><p>Teremos:</p><p>Tabela 6 - Exemplo de tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>É este, portanto, o resultado final da tabela-verdade para a proposição ~ (p ∨ ~ q).</p><p>Algo muito relevante deverá ser mencionado neste momento, na hora de desenvolvermos</p><p>a construção da tabela verdade da proposição composta, contaremos com uma certa</p><p>prioridade dos conectivos. Ou seja, todos os passos terão que obedecer a sequência.</p><p>Primeiramente sempre trabalhar dentro dos parênteses. Verificado essa situação,</p><p>passaremos ao que houver fora deles. Nos dois casos, sempre vamos obedecer à</p><p>seguinte ordem já descrita acima.</p><p>Confira novamente o trabalho que fizemos acima, para construir a tabela-verdade</p><p>da proposição ~ (p ∨ ~ q).</p><p>Observe a tabela 2 e 5, primeiramente resolvemos os parênteses, fazendo logo a</p><p>negação, tabela 3. Depois, ainda dentro dos parênteses, fizemos uma disjunção tabela</p><p>4 e finalizamos nosso trabalho fora dos parênteses, desenvolvendo uma nova negação.</p><p>Vocês podem observar que somente passamos a desenvolver fora dos parênteses</p><p>no momento que não há mais o que se fazer dentro dele.</p><p>Nesse sentido vamos a outro exemplo.</p><p>Construir as tabelas-verdade das proposições seguintes:</p><p>a) ~ (p ∧ ~ q)</p><p>p q ~ q ~ (p ∧ ~ q)</p><p>F F V V</p><p>F V F V</p><p>V F V F</p><p>V V F V</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 31</p><p>b) ~ (p → ~ q)</p><p>3.1.2 Tabela contendo três preposições</p><p>Construa a tabela-verdade da seguinte proposição composta p ∨ q → (r ∧ ~ q).</p><p>Neste exemplo podemos observar que existem parênteses, então vamos iniciar nosso</p><p>desenvolvimento por ele.</p><p>Primeiramente, teremos que obedecer à ordem de precedência dos conectivos,</p><p>serão os seguintes:</p><p>O primeiro passo será construir a coluna com a negação de q:</p><p>Tabela 7 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Segundo passo será desenvolver os parênteses (r ∧ ~ q)</p><p>Tabela 8 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 32</p><p>Terceiro passo será desenvolver a disjunção p ∨ q</p><p>Tabela 9 - Construção da tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>Quarto passo será desenvolver a condicional p ∨ q → (r ∧ ~ q)</p><p>Tabela 10 - Exemplo de tabela verdade</p><p>Fonte: Autor</p><p>P (p, q, r) = VVFFFVFF ou P (FFF, FFV, FVF, FVV, VFF, VFV, VVF, VVV) = VVFFFVFF</p><p>Veja mais alguns exemplos.</p><p>Uma proposição composta desenvolvida por duas ou mais proposições p, q, r, ...</p><p>será chamada de tautologia se a solução encontrada for sempre verdadeira (V).</p><p>Em outras palavras, para sabermos se uma proposição composta será ou não</p><p>uma Tautologia, precisaremos construir a tabela-verdade e, se o resultado da última</p><p>coluna só apresentar o valor lógico verdadeiro e nenhum falso, então podemos dizer</p><p>que será uma Tautologia. Só isso!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 33</p><p>Exemplo: A proposição (p → q) ∧ (q → r) → (p → r) é uma tautologia, pois é sempre</p><p>verdadeira, independentemente dos valores lógicos de p e de q, como se pode observar</p><p>na tabela-verdade abaixo:</p><p>Tabela 11 - Tabela verdade para (p → q) ∧ (q → r) → (p → r)</p><p>Fonte: Autor</p><p>Agora será uma contradição se uma proposição composta formada por duas ou</p><p>mais proposições se ela for sempre falsa, isto é, ao desenvolver a tabela verdade de</p><p>uma proposição composta, se todos os resultados da última coluna forem FALSO,</p><p>então estaremos diante de uma contradição conforme exemplo p ∨ ~ q ↔ ~ p ∧ q</p><p>p q ~ p ~ q ~ p ∧ q p ∨ ~ q p ∨ ~ q ↔ ~ p ∧ q</p><p>F F V V F V F</p><p>F V V F V F F</p><p>V F F V F V F</p><p>V V F F F V F</p><p>Tabela 12 - Tabela verdade para p ∨ ~ q ↔ ~ p ∧ q</p><p>Fonte: Autor</p><p>Caso a proposição composta não seja uma tautologia e nem uma contradição,</p><p>chamaremos de uma contingência.</p><p>Neste caso você irá desenvolver a construção da tabela e se, ao final, verificar que</p><p>aquela proposição nem é uma tautologia e nem é uma contradição, então, chamaremos</p><p>de uma contingência!</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 34</p><p>Exemplo:</p><p>a) p → (p → ~ r) ↔ q ∨ r</p><p>p q r p → (p → ~ r) ↔ q ∨ r</p><p>F F F F</p><p>F F V V</p><p>F V F V</p><p>F V V V</p><p>V F F F</p><p>V F V F</p><p>V V F V</p><p>V V V F</p><p>Tabela 13 - Tabela verdade para p → (p → ~ r) ↔ q ∨ r</p><p>Fonte: Autor</p><p>Neste exemplo chegamos a conclusão que é uma contingência e já somos capazes</p><p>de desenvolver a construção de tabelas verdades para proposições de duas ou mais</p><p>sentenças.</p><p>Agora passamos a mais uma questão.</p><p>1) Um exemplo de tautologia é:</p><p>a) Se Pedro é baixo, então Pedro é baixo ou Felipe é magro</p><p>b) se Pedro é baixo, então Pedro é baixo e Felipe é magro</p><p>c) se Pedro é baixo ou Felipe é magro, então Felipe é magro</p><p>d) se Pedro é baixo ou Felipe é magro, então Pedro é baixo e Felipe é magro</p><p>e) se Pedro é baixo ou não é baixo, então Felipe é magro</p><p>Solução:</p><p>Com o intuito de facilitar e simplificar esta resposta, vamos admitir as seguintes</p><p>proposições simples:</p><p>p: Pedro é baixo.</p><p>q: Felipe é magro.</p><p>Dessa forma, vamos utilizar as sentenças definidas acima para as proposições p</p><p>e q, as alternativas da questão poderão ser reescritas simbolicamente como:</p><p>a) p → (p ∨ q)</p><p>b) p → (p ∧ q)</p><p>c) (p ∨ q) → q</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 35</p><p>d) (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>e) (p ∨ ~ p) → q</p><p>Nesse momento vamos testar as alternativas, buscando por aquela resposta que</p><p>seja uma. Tautologia e para isso, precisaremos desenvolver a construção da tabela-</p><p>verdade de cada opção de resposta e assim chegaremos a conclusão que a solução</p><p>esperada será Se Pedro é baixo, então Pedro é baixo ou Felipe é magro, letra A.</p><p>Só para efeitos de treino, vamos testar também a alternativa B:</p><p>Se Pedro é baixo, então Pedro é baixo e Felipe é magro, vocês poderão observar que</p><p>ao finalizar a construção da tabela que a última coluna o valor lógico da proposição</p><p>p → (p ∧ q) irá ser verdadeiro ou falso. Isto nos levará a concluir, portanto, que</p><p>não estamos diante de uma tautologia, nem uma contradição, mas, sim, de uma</p><p>contingência.</p><p>Antes de seguirmos, façamos uma solução alternativa para a questão acima:</p><p>Vamos observar que em todas as alternativas aparece o conectivo condicional.</p><p>Na tabela verdade do conectivo condicional só terá o valor lógico falso quando o</p><p>antecedente for verdade e o consequente for falso. Sabemos pelo enunciado que</p><p>queremos como solução uma tautologia, que sempre terá o valor lógico verdade,</p><p>desse modo as proposições condicionais apresentadas nas alternativas, aquela em</p><p>que nunca ocorre o antecedente verdade e o consequente falso será uma tautologia.</p><p>• Verificando o item ‘a’: p → (p ∨ q)</p><p>Quando o antecedente desta proposição for verdade, também o consequente será</p><p>verdade, e assim a proposição nunca será falsa, logo esta proposição é uma tautologia.</p><p>A questão terminou, mas vamos analisar os restantes.</p><p>• Verificando o item ‘b’: p → (p ∧ q)</p><p>Vejam que quando o antecedente desta proposição for verdade, o consequente será</p><p>verdade se q for verdade, e falso se q for falso. Assim, a proposição pode assumir os</p><p>valores lógicos de verdade e falso. Não é uma tautologia.</p><p>• Verificando o item ‘c’: (p ∨ q) → q</p><p>O antecedente desta proposição sendo verdade, o valor</p><p>lógico de q pode ser verdade</p><p>ou falso, e daí o consequente que é dado por q também pode ser verdade ou falso,</p><p>logo concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.</p><p>• Verificando o item ‘d’: (p ∨ q) → (p ∧ q)</p><p>O antecedente desta proposição sendo verdade, os valores de p e q podem ser</p><p>verdade ou falso, e, portanto, o consequente também pode ser verdade ou falso, logo</p><p>concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 36</p><p>• Verificando o item ‘e’: (p ∨ ~ p) → q</p><p>Observem que o antecedente é sempre verdade independentemente do valor lógico</p><p>de p, já o consequente pode assumir o valor lógico de verdade ou falso. Portanto,</p><p>concluímos que a proposição desta alternativa não é uma tautologia.</p><p>3.2 Exercícios complementares</p><p>Determinar quais das seguintes proposições são tautologias, contradições ou</p><p>contingências:</p><p>a) p → (~ p → q)</p><p>b) ~ p ∨ q → (p → q)</p><p>c) p → (q → (q → q))</p><p>d) ((p → q) ↔ q) → p</p><p>e) p ∨ ~ q → (p → ~ q)</p><p>f) ~ p ∨ ~ q → (p → q)</p><p>g) g) p → (p ∨ q) ∨ r</p><p>h) p ∧ q → (p ⇿ q ∨ r)</p><p>3.2.1 Correção dos exercícios complementares</p><p>a) p → (~ p → q) tautologia</p><p>´p q a) p → (~ p → q)</p><p>0 0 1</p><p>0 1 1</p><p>1 0 1</p><p>1 1 1</p><p>b) ~ p ∨ q → (p → q) tautologia</p><p>P q b) ~ p ∨ q → (p → q)</p><p>0 0 1</p><p>0 1 1</p><p>1 0 1</p><p>1 1 1</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 37</p><p>c) p → (q → (q → q)) tautologia</p><p>p q c) p → (q → (q → q))</p><p>F F V</p><p>F V V</p><p>V F V</p><p>V V V</p><p>d) ((p → q) ↔ q) → p contingência</p><p>p q ((p → q) ↔ q) → p</p><p>F F V</p><p>F V F</p><p>V F V</p><p>V V V</p><p>e) p + q’ (p q’) contingência</p><p>p q p ∨ ~ q → (p → ~ q)</p><p>F F V</p><p>F V V</p><p>V F V</p><p>V V F</p><p>f) ~ p ∨ ~ q → (p → q) contingência</p><p>p q ~ p ∨ ~ q → (p → q)</p><p>F F V</p><p>F V V</p><p>V F F</p><p>V V V</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 38</p><p>g) p → (p ∨ q) ∨ r tautologia</p><p>p q r p → (p ∨ q) ∨ r</p><p>F F F V</p><p>F F V V</p><p>F V F V</p><p>F V V V</p><p>V F F V</p><p>V F V V</p><p>V V F V</p><p>V V V V</p><p>h) p ∧ q → (p ⇿ q ∨ r) tautologia</p><p>p q r p ∧ q → (p ⇿ q ∨ r)</p><p>F F F V</p><p>F F V V</p><p>F V F V</p><p>F V V V</p><p>V F F V</p><p>V F V V</p><p>V V F V</p><p>V V V V</p><p>3.3 Argumento válido: “relação implicação lógica”</p><p>Diz-se que uma proposição p implica uma proposição q quando em suas tabelas</p><p>verdade não ocorre verdade e falsidade (V e F) nesta ordem.</p><p>Notação: p ⇒ q (lê-se p implica logicamente em q)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 39</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Observação: Não confundir os símbolos → e ⇒.</p><p>O primeiro representa uma operação entre proposições, o segundo indica apenas</p><p>uma relação entre duas proposições dadas.</p><p>Exemplo: q → p ⇒ p</p><p>q → p ⇒ p</p><p>V V V Ok</p><p>F V V V Ok</p><p>V F F F Ok</p><p>F V F F não ok</p><p>3.4 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a regra de construção de uma tabela verdade e suas</p><p>representações, pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de acordo</p><p>com o desenvolvimento de suas operações lógicas, tendo em vista estudar suas</p><p>definições pensando no futuro todos os elementos da disposição tabular. Por fim,</p><p>essa metodologia irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos recorrentes</p><p>nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 40</p><p>CAPÍTULO 4</p><p>TEORIA DOS CONJUNTOS</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Teoria dos Conjuntos e assim interpretá-</p><p>los. Dessa forma, irá compreender as estruturas das relações básicas. Com essa</p><p>ferramenta apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em</p><p>conceitos futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>4.1 Teoria dos Conjuntos</p><p>A Teoria dos conjuntos é um ramo da matemática muito visto no ensino básico</p><p>e que estuda as associações e os grupamentos entre elementos variados. Para a</p><p>compreensão dessa teoria é necessário estudar as relações entre os conjuntos e</p><p>elementos, assim como os símbolos que representam essas relações.</p><p>4.2 Relação de pertencimento</p><p>A relação de pertencimento é representada pelo símbolo ∈ e serve para dizer que</p><p>certo elemento pertence a um conjunto.</p><p>Exemplo: Considere o conjunto a seguir:</p><p>A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …}</p><p>Nesse caso, podemos escrever várias relações de pertencimento:</p><p>• 2 ∈ A → lê-se: 2 pertence a A</p><p>• 6 ∈ A → lê-se: 6 pertence a A</p><p>Também podemos escrever que um elemento não pertence ao conjunto e, nesse</p><p>caso, utilizaremos o símbolo ∉. Vamos considerar o mesmo conjunto B descrito</p><p>anteriormente (A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, …}). Dessa forma, podemos escrever as</p><p>seguintes relações:</p><p>• 3 ∉ A → lê-se: 3 não pertence a A</p><p>• 15 ∉ A → lê-se: 15 não pertence a A</p><p>4.3 Relação de inclusão</p><p>Além de elementos, os conjuntos podem conter outros conjuntos dentro dele e,</p><p>nesses casos, escrevemos que certo conjunto está incluso no conjunto maior. A relação</p><p>de inclusão é representada pelo símbolo: ⊂.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 41</p><p>Exemplo: Considere os seguintes conjuntos:</p><p>B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …}</p><p>C = {9, 11, 13}</p><p>Neste exemplo, podemos montar uma relação de inclusão, uma vez que o elementos</p><p>do conjunto C também pertencem ao conjunto B:</p><p>• C ⊂ B → lê-se: C está contido em B</p><p>Assim como a relação de pertencimento, na relação de inclusão também podemos</p><p>escrever que um conjunto não está incluso em outro e, para isso, utilizaremos o</p><p>símbolo: ⊄.</p><p>Exemplo: Considere os seguintes conjuntos:</p><p>B = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, …}</p><p>D = {2, 4, 6, 8}</p><p>Neste exemplo, não podemos montar uma relação de inclusão, visto que os elementos</p><p>de D não pertencem ao conjunto B:</p><p>• D ⊄ B → lê-se: D não está contido em B</p><p>ANOTE ISSO</p><p>ATENÇÃO</p><p>Não confunda os símbolos ⊂ e ⊃, assim como ⊄ e ⊅, eles possuem significados</p><p>diferentes. O símbolo ⊂, como já vimos anteriormente, quer dizer “está contido” e</p><p>o ⊄, “não está contido”. Por outro lado, o símbolo ⊃ quer dizer “contém” e ⊅, “não</p><p>contém”.</p><p>4.4 Conjunto vazio</p><p>O conjunto vazio, chamado também de conjunto nulo, é aquele que não apresenta</p><p>nenhum elemento.</p><p>Representação: A = { } ou A = ∅</p><p>ANOTE ISSO</p><p>ATENÇÃO</p><p>A representação A = {∅} está errada.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 42</p><p>4.5 Subconjuntos</p><p>Os subconjuntos são conjuntos que apresentam elementos de outros conjunto. Se</p><p>temos um conjunto podemos escrever diversos subconjuntos.</p><p>Exemplo: Considere o conjunto:</p><p>N = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10,...}</p><p>Dessa forma, são diversos os subconjuntos que podemos escrever, como por</p><p>exemplo:</p><p>• F = {1, 2, 3}</p><p>• H = {1, 4, 7}</p><p>• L = {2, 5, 9, 10}</p><p>4.6 Diagrama de Venn</p><p>O Diagrama de Venn possui esse nome em homenagem ao seu criador, o matemático</p><p>John Venn. Na matemática, utilizamos o diagrama para diversas finalidades, mas a</p><p>mais famosa é para representar os conjuntos numéricos.</p><p>Exemplos:</p><p>1) A = {1, 3, 4, 8}</p><p>Título: Diagrama de Venn</p><p>Fonte: Autor</p><p>2) L = {2, 5, 9, 10}</p><p>Título: Diagrama de Venn</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 43</p><p>Quando o elemento não está contido no conjunto, ele é representado fora da área</p><p>delimitada, como podemos ver na imagem abaixo.</p><p>Título: Diagrama de Venn</p><p>Fonte: Autor</p><p>4.7 União e intersecção</p><p>Na Teoria dos Conjuntos é possível unir vários conjuntos, dando origem a um outro</p><p>conjunto diferente. Essa relação é chamada de união e pode ser representada pelo</p><p>símbolo ⋃. A união pode ser demonstrado com o Diagrama de Venn:</p><p>Título: União</p><p>Fonte: Autor</p><p>Exemplo: Considere os conjuntos:</p><p>B = {1, 3, 5, 7, 9}</p><p>D = {2, 4, 6, 8}</p><p>Fazendo a união dos conjuntos:</p><p>• B⋃D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}</p><p>Título: União entre B e D</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 44</p><p>ANOTE ISSO</p><p>ATENÇÃO</p><p>Caso haja elementos iguais nos dois conjuntos, colocamos apenas uma vez na</p><p>união. Exemplo:</p><p>A = {2, 5, 7}</p><p>B ={3, 5, 8, 9}</p><p>A⋃B = {2, 3, 5, 7, 8, 9}</p><p>Além da união, também temos a intersecção, que pode ser descrita como</p><p>os</p><p>elementos em comum dos conjuntos. A intersecção é representada pelo símbolo: ⋂.</p><p>A intersecção também pode ser demonstrado com o Diagrama de Venn:</p><p>Título: Intersecção</p><p>Fonte: Autor</p><p>Exemplo: Considere os conjuntos:</p><p>V = {1, 2, 5, 8, 10}</p><p>W = {1, 4, 6, 7, 10}</p><p>Fazendo a intersecção dos conjuntos:</p><p>• V⋂W = {1, 10}</p><p>Título: Intersecção entre V e W</p><p>Fonte: Autor</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 45</p><p>4.8 Diferença</p><p>Considerando dois conjuntos A e B, a diferença entre eles serão os elementos</p><p>contidos no primeiro conjunto, porém que não estão contidos no segundo.</p><p>Exemplo: Considere os conjuntos:</p><p>A = {0, 5, 7}</p><p>B = {0, 7, 3}</p><p>A - B = {0,5,7} - {0,7,3} = {5}</p><p>4.9 Conjuntos complementares</p><p>Considere dois conjuntos H e J. Caso fizermos a subtração H - J, o resultado</p><p>será um conjunto composto por elementos de H que não estão contidos em B. Pela</p><p>representação do Diagrama de Venn, temos:</p><p>Título: Representação de H - J</p><p>Fonte: Autor</p><p>No momento em que J ⊂ H, essa diferença que representamos acima (H - J) é</p><p>denominado de complementar de J em relação a H. Podemos escrever também da</p><p>seguinte forma:</p><p>H - J = CJH</p><p>4.10 Partição de um conjunto</p><p>Considerando um conjunto A não vazio. A partição de A (representado por part.</p><p>(A)) é definida por qualquer subconjunto das partes de A (representado por P(A)), que</p><p>cumpre as seguintes condições:</p><p>• Nenhum elemento de part.(A) é conjunto vazio;</p><p>• A interseção de quaisquer dois elementos de part.(A) é conjunto vazio;</p><p>• A união de todos os elementos de part.(A) é igual ao conjunto A.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 46</p><p>4.11 Conjuntos numéricos</p><p>Os conjuntos numéricos são agrupamentos de números que são semelhantes de</p><p>alguma forma. Na matemática temos alguns conjuntos bem famosos e que iremos</p><p>estudar agora:</p><p>• Números naturais;</p><p>• Números inteiros;</p><p>• Números racionais;</p><p>• Números reais.</p><p>Título: Conjuntos numéricos</p><p>Fonte: Autor</p><p>4.11.1 Números naturais</p><p>Os números naturais são todos os números inteiros positivos, incluindo o zero. Sua</p><p>representação pode ser feita pela letra N.</p><p>N = {0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,10,11,12,13,14,15,16,...,10000,...,10000000000}</p><p>ANOTE ISSO</p><p>ATENÇÃO</p><p>Caso queira representar os números naturais sem o zero, você deve colocar um *</p><p>ao lado da letra N. Por exemplo:</p><p>N* = {1, 2, 3, 4, 5, 6,...}</p><p>4.11.2 Número inteiros</p><p>Os números inteiros são compostos por todos os números naturais mais os negativos,</p><p>por isso podemos dizer que esse conjunto é infinito. Sua representação pode ser feita</p><p>pela letra Z, por causa da palavra Zahl, que em alemão quer dizer número.</p><p>Z = {...,-5,-4,-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,6,7,...}</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 47</p><p>Como foi dito anteriormente os números naturais estão contidos nos números</p><p>inteiros e, portanto, N é um subconjunto de Z: N ⊂ Z.</p><p>Dentro dos números inteiros, por serem negativos, temos um importante conceito</p><p>a ser definido: módulo. O módulo de um número inteiro pode ser caracterizado pelo</p><p>número sem o sinal, de positivo (+) ou negativo (-). Dessa forma, o módulo sempre</p><p>será positivo ou nulo.</p><p>|-8| = 8</p><p>4.11.3 Números racionais</p><p>Os números racionais são compostos pelos números naturais e números inteiros</p><p>mais os decimais finitos (por exemplo: 5,897) e decimais infinitos periódicos (por</p><p>exemplo: 12,090909…), também chamados de dízimas periódicas. Sua representação</p><p>pode ser feita pela letra Q, a qual advém da palavra “quotient” que significa “quociente”,</p><p>uma vez que na maioria das vezes os números racionais são escritos em forma de</p><p>fração: . Como dito anteriormente, os números naturais e inteiros estão contidos nos</p><p>números racionais e, portanto, Z é um subconjunto de Q: Z ⊂ Q.</p><p>4.11.4 Números reais</p><p>Os números reais são formados por todos os outros conjuntos que estudamos</p><p>anteriormente, mais os números irracionais que não abordaremos nessa aula. Sua</p><p>representação pode ser feita pela letra R.</p><p>R = Q ⋃ I</p><p>4.12 Teoria dos conjuntos e a lógica</p><p>Você deve ter estranhado que os três primeiros capítulos do material são sobre</p><p>lógica matemática e que de repente trocamos de assunto para Teoria dos Conjuntos.</p><p>Mas essas duas áreas do conhecimento são intimamente ligadas. Vamos demonstrar</p><p>isso através de um exemplo. Observe as frases a seguir:</p><p>1. Todos os trabalhadores da área da saúde que trabalham com COVID estão</p><p>cansados</p><p>2. Paula é profissional da área da saúde</p><p>3. Paula trabalha com COVID</p><p>4. Paula está cansada</p><p>Dessa forma, o que podemos afirmar sobre Paula?</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 48</p><p>Vamos organizar nossas informações:</p><p>A = {trabalhadores}</p><p>B = {trabalhadores da área da saúde}</p><p>C = {trabalhadores cansados}</p><p>D = {trabalhadores que trabalham com COVID}</p><p>Título: Diagrama de Venn</p><p>Fonte: Autor</p><p>Observando o Diagrama de Venn acima, a região tingida de vermelho representa a</p><p>frase 1 (Todos os trabalhadores da área da saúde que trabalham com COVID e que</p><p>estão cansados). Dessa maneira, podemos chegar a seguintes conclusões:</p><p>1. Paula é trabalhadora, portanto pertence ao conjunto A</p><p>2. da área da saúde, portanto pertence ao conjunto B;</p><p>3. Paula está cansada, logo pertence ao conjunto C;</p><p>4. Paula trabalha com COVID, logo pertence ao conjunto D;</p><p>Portanto, Paula faz parte da região tingida em vermelho que representa todos os</p><p>trabalhadores da área da saúde que trabalham com COVID e que estão cansados.</p><p>O exemplo acima é simples e fácil, mas nos permite ver como a lógica matemática</p><p>e a teoria dos conjuntos andam lado a lado.</p><p>4.13 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição dos conceitos de Teoria dos Conjuntos e</p><p>Conjuntos numéricos, pautando-nos no desenvolvimento de suas propriedades de</p><p>acordo com o desenvolvimento de suas operações lógicas, tendo em vista estudar</p><p>suas definições pensando no futuro. Por fim, essa metodologia irá nos fornece uma</p><p>análise de resolução de exemplos recorrentes nas diversas áreas do conhecimento.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 49</p><p>CAPÍTULO 5</p><p>SEQUÊNCIAS NUMÉRICAS</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Sequência númerica e sua interpretação.</p><p>Dessa forma, irá compreender as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta</p><p>apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos</p><p>futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>5.1 Sequências numéricas</p><p>As sequências numéricas são um agrupamento de números (como os conjuntos</p><p>estudados anteriormente) que, em sua maioria, possuem o que chamamos de lei de</p><p>formação. A sequência pode ser escrita, diferentemente dos conjuntos, entre parênteses</p><p>e seus elementos separados por vírgulas.</p><p>Exemplo: (a1, a2, a3,...,an)</p><p>Neste caso, o a1 representa o primeiro elemento da sequência, o a2, o segundo e</p><p>assim por diante, até chegarmos no an que representa o n-ésimo elemento.</p><p>As sequências numéricas podem ter as seguintes classificações:</p><p>• Finita: composta por uma quantidade restrita de elementos;</p><p>Exemplo: (1,2,3,4,5)</p><p>• Infinita: composta por uma quantidade irrestrita de elementos;</p><p>Exemplo: (10, 100, 1000, 10000,...)</p><p>• Crescente: no instante em que o elemento anterior é sempre menor;</p><p>Exemplo: (1,2,3,4,5,...)</p><p>• Decrescente: no instante em que o elemento anterior é sempre maior;</p><p>Exemplo: (10,9,8,7,6,5,...)</p><p>• Constante: no instante em que todos os elementos são iguais;</p><p>Exemplo: (2,2,2,2,2,2)</p><p>• Oscilante: no instante em que as vezes o elemento anterior é maior e às vezes menor.</p><p>Exemplo: (-3,3,-3,3,-3,3)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 50</p><p>5.2 Lei de formação</p><p>A lei de formação de uma sequência é uma regra que determina quais números</p><p>fazem parte daquela sequência. A partir do momento em que descobrimos a lei de</p><p>formação de uma sequência, somos capazes de determinar qualquer termo.</p><p>Exemplos:</p><p>1. Observe a sequência abaixo:</p><p>(0,1,4,9,16,25,36,64,...)</p><p>Esses números são conhecidos como quadrados perfeitos e sua lei de formação é:</p><p>an = (n - 1)2</p><p>A partir dessa lei, podemos</p><p>determinar qualquer termos da sequência:</p><p>an = (n-1)2 an = (n-1)2</p><p>a20 = (20-1)2 a11 = (11-1)2</p><p>a20 = 361 a11 = 100</p><p>5.3 Sequências numéricas especiais</p><p>Algumas sequências numéricas são mais especiais, uma vez que exibem uma</p><p>razão entre os termos. Essas sequências são denominadas Progressão aritmética e</p><p>Progressão geométrica.</p><p>5.3.1 Progressão aritmética (PA)</p><p>Como dito anteriormente, Progressão aritmética é especial por possuir uma razão</p><p>entre os termos. Dessa forma, definimos PA como sendo a sequência em que cada</p><p>termo é a soma do seu antecessor com a razão. Considere que essa razão é r e que</p><p>o primeiro termo é x, assim a PA pode ser representada por:</p><p>PA (x, x+r, x+2r,...)</p><p>Assim como as sequências não especiais, a PA também pode ser classificada:</p><p>• Finita: (0,2,4,6,8)</p><p>• Infinita: (10,11,12,13,14,...)</p><p>• Crescente: no instante em que a razão for positiva (r > 0)</p><p>• Decrescente: no instante em que a razão for negativa (r < 0)</p><p>• Constante: no instante em que r é nula (r = 0)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 51</p><p>5.3.1.1 Lei de formação da PA</p><p>Para ajudar na resolução de exercícios, foi desenvolvido uma fórmula para PA,</p><p>para que a partir dela, determinamos qualquer termo da sequência, ou seja, sua lei</p><p>de formação.</p><p>an = a1 + (n-1) . r</p><p>5.3.1.2 Razão</p><p>Perceba a partir dessa fórmula, podemos isolar o r e achar uma fórmula para razão.</p><p>5.3.1.3 Soma dos termos</p><p>Um ponto importante pedido muito pelos exercícios é a soma da PA. Como podemos</p><p>somar todos os elementos da PA de forma fácil? Podemos aplicar a fórmula.</p><p>5.3.1.4 Termo central</p><p>Outra questão também é o termo central da PA que podemos descobrir a partir</p><p>da fórmula:</p><p>5.3.1.5 Propriedades da PA</p><p>• Primeira propriedade: em uma P.A. finita, a soma de dois termos equidistantes</p><p>dos extremos é igual à soma dos extremos.</p><p>Exemplo: (4,12,20,28,36,44,52,60,68,76)</p><p>S (a1+a10) = 4 + 76 = 80</p><p>S (a4+a7) = 28 + 52 = 80</p><p>• Segunda propriedade: levando em conta três termos consecutivos de uma PA,</p><p>o termo médio será igual a média aritmética dos outros termos.</p><p>Exemplo: (4,12,20,28,36,44,52,60,68,76)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 52</p><p>• Terceira propriedade: considerando uma PA finita com total de termos ímpar, o</p><p>termo médio é igual a média aritmética entre os termos equidistantes.</p><p>Exemplo: (10,15,20,25,30,35,40,45,50)</p><p>5.3.2 Progressão geométrica (PG)</p><p>A progressão geométrica assim como a PA também possui uma razão entre os</p><p>seus termos. Mas ao invés de soma, na PG a razão (chamada de q) é multiplicada</p><p>pelo termo anterior. Considere que essa razão é q e que o primeiro termo é x, assim</p><p>a PG pode ser representada por:</p><p>PG (x, x.q, x.q2,...)</p><p>Assim como a PA, a PG também pode ser classificada:</p><p>• Finita: (1,10,100,1000,10000)</p><p>• Infinita: (1,2,4,8,16,...)</p><p>• Crescente: pode ocorrer em alguns casos:</p><p>• quando o primeiro termo é maior que zero e razão maior que um (a1 > 0 e</p><p>q > 1)</p><p>• quando o primeiro termo é menor que zero e a razão é um valor entre 0 e</p><p>1 (a1 < 0 e 0 < q < 1)</p><p>• Decrescente: pode ocorrer em alguns casos:</p><p>• quando o termo inicial é menor que zero e razão maior que 1 (a1 < 0 e q > 1)</p><p>• quando o termo inicial é maior que zero e a razão é um valor entre 0 e 1 (a1</p><p>> 0 e 0 < q < 1)</p><p>• Constante: no instante em que a razão é igual a um e todos os termos são o</p><p>mesmo</p><p>• Estacionária: no instante em que o termo inicial é diferente de zero, porém a</p><p>razão é igual a zero, tornando todos os termos iguais a zero (a1 ≠ 0 e q = 0)</p><p>5.3.2.1 Lei de formação</p><p>Para ajudar na resolução de exercícios, foi desenvolvido uma fórmula para PG,</p><p>para que a partir dela, determinamos qualquer termo da sequência, ou seja, sua lei</p><p>de formação.</p><p>an = a1 . q</p><p>(n-1)</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 53</p><p>5.3.2.2 Razão</p><p>Perceba a partir dessa fórmula, não conseguimos isolar o q e achar uma fórmula</p><p>para razão. Porém, a razão é um termo dividido pelo seu anterior:</p><p>5.3.2.3 Soma dos termos</p><p>Um ponto importante pedido muito pelos exercícios é a soma da PG. Como podemos</p><p>somar todos os elementos da PG de forma fácil? Podemos aplicar a fórmula.</p><p>Para somar os termos de uma PG infinita devemos usar outra fórmula:</p><p>5.3.2.4 Propriedades da PG</p><p>• Primeira propriedade: considerando uma PG com número ímpar de termos, o</p><p>quadrado do termo central é igual a multiplicação dos outros termos</p><p>Exemplo: (3,6,12)</p><p>62 = 3 . 12</p><p>36 = 36</p><p>• Segunda propriedade: a multiplicação dos termos equidistantes dos extremos</p><p>é igual a multiplicação desses extremos</p><p>Exemplo: (4,8,16,32,64)</p><p>4 . 64 = 8 . 32</p><p>256 = 256</p><p>• Terceira propriedade: o quadrado do termo médio é igual ao produto dos extremos</p><p>Exemplo: (4,8,16,32,64)</p><p>162 = 4 . 64</p><p>256 = 256</p><p>5.4 Exercícios propostos</p><p>1) (Aeronáutica 2021) Um professor escreveu uma progressão aritmética crescente</p><p>de 8 termos começando pelo número 3 e composta apenas de números naturais. Ele</p><p>notou, então, que o segundo, o quarto e o oitavo termos dessa progressão aritmética</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 54</p><p>formavam, nessa ordem, uma progressão geométrica. O professor observou também</p><p>que a soma dos termos dessa progressão geométrica era igual a</p><p>a) 42</p><p>b) 36</p><p>c) 18</p><p>d) 9</p><p>2) (PM-SP 2019) Em 2015, uma grande empresa petrolífera iniciou o processo</p><p>de reutilização da água usada para o resfriamento das peças que produzia e fez</p><p>uma projeção de aumento gradual, em progressão aritmética, até o ano de 2050, do</p><p>volume de água que será reutilizada, ano a ano. A tabela apresenta os volumes da</p><p>água reutilizada, nos primeiros 3 anos:</p><p>Fonte: PM-SP 2019</p><p>Considere que An seja o termo geral da progressão aritmética que indique o volume</p><p>de água reutilizada, em milhões de m³, com n = 1, representando o volume de água</p><p>reutilizada no ano de 2016, n = 2, representando o volume de água reutilizada no ano</p><p>de 2017, e assim sucessivamente.</p><p>Nessas condições, tem-se que</p><p>a) An = 0,5n – 23,5.</p><p>b) An = 23,5 + 0,5n.</p><p>c) An = 0,5n + 23.</p><p>d) An = 23 – 0,5n.</p><p>e) An = 0,5n – 23.</p><p>3) ENEM 2012</p><p>Jogar baralho é uma atividade que estimula o raciocínio. Um jogo tradicional é a</p><p>Paciência, que utiliza 52 cartas. Inicialmente foram formadas sete colunas com as</p><p>cartas. A primeira coluna tem uma carta, a segunda tem duas cartas, a terceira tem</p><p>três cartas, a quarta tem quatro cartas, e assim sucessivamente até a sétima coluna,</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 55</p><p>a qual tem sete cartas, e o que sobra forma o monte, que são as cartas não utilizadas</p><p>nas colunas.</p><p>A quantidade de cartas que forma o monte é</p><p>a) 21</p><p>b) 24</p><p>c) 26</p><p>d) 28</p><p>e) 31</p><p>4) Observe a sequência a seguir: (2,6,18,54,...). Estabeleça o 8° e o 11° termo dessa</p><p>progressão..</p><p>5.5 Resolução</p><p>1) De acordo com o que foi dito no enunciado, os termos da PG são a2, a4 e a8:</p><p>an = a1 + (n-1)r</p><p>a2 = 3 + (2-1)r</p><p>a2 = 3 + r</p><p>a4 = a1 + (4-1)r</p><p>a4 = 3 + 3r</p><p>a8 = 3 + (8-1)r</p><p>a8 = 3 + 7r</p><p>S = a2 + a4 + a8</p><p>S = (3+r) + (3+3r) + (3+7r)</p><p>S = 9 + 11r</p><p>(3+3r)2 = (3+r) . (3+7r)</p><p>9 + 18r + 9r2 = 9 + 21r + 3r + 7r2</p><p>9r2 - 7r2 = 24r - 18r + 9 - 9</p><p>2r2 = 6r</p><p>r = 3</p><p>S = 9 + 11r</p><p>S = 9 + 11 (3)</p><p>S = 42</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 56</p><p>Alternativa A</p><p>2) r = 24 - 23,5 = 0,5</p><p>a1 = 23,5</p><p>an = a1 + (n-1) . r</p><p>an = 23,5 + 0,5n - 0,5</p><p>an = 0,5n + 23</p><p>Alternativa C</p><p>3) Perceba que, de acordo com as informações do enunciado, a organização das</p><p>cartas nas colunas segue um padrão matemático: uma progressão aritmética de</p><p>razão 1.</p><p>(1,2,3,4,5,6,7,...)</p><p>A quantidade de cartas no monte é a quantidade total de cartas menos a quantidade</p><p>de cartas em cada coluna: 52 - x</p><p>an = a1 + (n - 1).r</p><p>an = 1 + (7-1).1</p><p>an = 7 cartas</p><p>Monte = 52 - x</p><p>Monte = 52 - 28</p><p>Monte: 24 cartas</p><p>Alternativa B</p><p>4) q = 6/2 = 3</p><p>an = a1 . q</p><p>(n-1)</p><p>a8 = 2 . (3)(8-1)</p><p>a8 = 2 . 37</p><p>a8 = 2 . 2187</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 57</p><p>a8 = 4374</p><p>an = a1 . q</p><p>(n-1)</p><p>a11 = 2 . (3)(11-1)</p><p>a11 = 2 . 310</p><p>a11 = 2 . 59.049</p><p>a11 = 118.098</p><p>5.6 Conclusão</p><p>Nesta aula, identificamos a definição dos conceitos de Sequências numéricas,</p><p>Progressão aritmética e Progressão geométrica, pautando-nos no desenvolvimento</p><p>de suas propriedades de acordo com o desenvolvimento de suas operações lógicas,</p><p>tendo em vista estudar suas definições pensando no futuro. Por fim, essa metodologia</p><p>irá nos fornece uma análise de resolução de exemplos recorrentes nas diversas áreas</p><p>do conhecimento.</p><p>5.7 Referências</p><p>BARBONI, A.; PAULETTE, W. Fundamentos de Matemática - Cálculo e Análise - Cálculo</p><p>Diferencial e Integral a uma Variável. Rio de Janeiro: LTC, 2007. [Minha Biblioteca].</p><p>JACQUES, I. Matemática para economia e administração. São Paulo: Pearson</p><p>Education do Brasil, 2010. [Biblioteca Virtual Universitária]</p><p>OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: Intersaberes, 2016. [Biblioteca Virtual</p><p>Universitária]</p><p>GOLDSTEIN, L. J.,; LAY, D. C.; SCHNEIDER, D. I.; ASMAR, N. H. Matemática aplicada.</p><p>Porto Alegre: Bookman, 2012. [Minha Biblioteca].</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 58</p><p>CAPÍTULO 6</p><p>ANÁLISE COMBINATÓRIA</p><p>Caro (a) aluno (a)!</p><p>Nesta aula, você irá identificar o conceito de Análise combinatória e sua interpretação.</p><p>Dessa forma, irá compreender as estruturas das relações básicas. Com essa ferramenta</p><p>apresentada você poderá ter uma maior facilidade de compreensão em conceitos</p><p>futuros em relação ao estudo dessa Ciência.</p><p>Bons estudos!</p><p>6.1 Introdução</p><p>Esse conceito pode ser definido como um agrupamento de procedimentos que tem</p><p>por finalidade possibilitar a composição e a construção de conjuntos elaborados por</p><p>um número finito de dados de um conjunto.</p><p>Neste caso, é importante sabermos dois conceitos essenciais com o intuito</p><p>de solucionarmos problemas que envolvem esse conceito denominado análise</p><p>combinatória: Fatorial de um número e o Princípio Fundamental da Contagem,</p><p>conhecido como árvore de possibilidades. Também necessitamos conhecer os três</p><p>principais agrupamentos, permutação, arranjo e combinação, podendo ser simples,</p><p>com repetição ou circulares.</p><p>6.2 Princípio Fundamental da Contagem (PFC)</p><p>Com a demanda de se avaliar a quantidade de possibilidades que possam gerar</p><p>em jogos de azar, ocorreu um movimento na criação e desenvolvimento da teoria que</p><p>conhecemos como Análise Combinatória.</p><p>Essa definição tem por finalidade estudar a metodologia de contagem, visando</p><p>fortalecer e permitir sua contagem de forma indireta.</p><p>Para exemplificar vamos analisar a seguinte situação:</p><p>Uma rede de fast food oferece para seus consumidores somente duas variedades</p><p>de lanches:</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 59</p><p>• Cachorro-quente</p><p>• Pizza.</p><p>Também oferece uma sobremesa com três opções:</p><p>• Brigadeiro</p><p>• Torta de morango</p><p>• Mousse de chocolate.</p><p>Dessa forma queremos determinar as possibilidades que um cliente pode realizar</p><p>suas refeições incluindo um sanduíche e uma sobremesa. Temos as seguintes</p><p>combinações:</p><p>• Cachorro-quente e brigadeiro</p><p>• Cachorro-quente e torta de morango</p><p>• Cachorro-quente e mousse de chocolate</p><p>• Pizza e brigadeiro</p><p>• Pizza e torta de morango</p><p>• Pizza e mousse de chocolate</p><p>A determinação de tais possibilidades pode ser simplificada por meio de um diagrama,</p><p>na qual, na primeira coluna irá ser representada pelas possibilidades de sanduíche e,</p><p>na segunda coluna, as possibilidades de escolha das sobremesas.</p><p>Essa estrutura é habitualmente chamada de diagrama de árvore, constituindo assim</p><p>todas as subdivisões da árvore e assim obtendo as possíveis refeições.</p><p>Dessa forma podemos realizar as refeição completas realizando as representações</p><p>constituída em duas etapas sucessivas:</p><p>• Escolhendo primeiramente qual sanduíche, neste caso existem duas possibilidades</p><p>de realizar essa escolha</p><p>• Escolhendo posteriormente as sobremesas de modo a compor cada uma das</p><p>possibilidades anteriores, neste caso, temos três modos de opção</p><p>Dessa maneira, essa operação realizada em duas etapas sucessivas irá permitir a</p><p>realização de uma operação matemática de 2 x 3 na qual o resultado obtido, 6, será</p><p>a quantidade de modos distintos que podem ser escolhidos nessa combinação.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 60</p><p>Essa definição nos mostra que sempre precisaremos realizar a operação de</p><p>multiplicação dos números de possibilidades que temos entre as escolhas.</p><p>Por exemplo, vamos construir uma máquina computacional optando por três</p><p>diferentes modelos de monitores, quatro modelos de teclados e três modelos de CPU.</p><p>No sentido de sabermos a quantidade de possibilidades de máquinas computacionais</p><p>a serem montados com esses equipamentos, poderemos apenas realizar a multiplicação</p><p>das opções: Quantidade monitores x quantidade de teclados x quantidade de CPU,</p><p>ou seja 3 x 4 x 3 = 36.</p><p>Dessa forma, vamos obter 36 possibilidades de configurações diferentes.</p><p>Exemplo 1: Se as placas dos veículos brasileiros foram confeccionadas utilizando</p><p>somente 3 letras e 4 números, qual a quantidade máxima de carros que poderão ser</p><p>emplacados?</p><p>Primeiramente devemos saber que em nosso alfabeto existem 26 letras e o sistema</p><p>de numeração apenas 10 algarismos, e desse modo concluímos que na primeira</p><p>posição, existem 26 possibilidades, podendo ter repetição de letras, para a segunda</p><p>e terceira similarmente teremos 26 possibilidades. Agora, em relação aos números,</p><p>podemos definir que temos 10 possibilidades de utilização para os quatro lugares.</p><p>Dessa forma, somos capazes de concluir que a quantidade total de automóveis a</p><p>serem emplacados será igual a:</p><p>26. 26. 26. 10. 10. 10. 10 = 175.760.000</p><p>Exemplo 2: Temos quatro ruas interligando as regiões norte e centro, e três ligando</p><p>as regiões leste e oeste. Com essas informações, determine quantas possibilidades</p><p>distintas conseguiremos ir da região norte até a região leste, passando pela região</p><p>centro.</p><p>Para realizarmos essa ida da região norte até a região leste, podemos considerar</p><p>uma ação composta por dois ciclos sucessivos, sendo o primeiro para ir da região</p><p>norte até o centro com quatro possibilidades e o segundo da região leste para a região</p><p>oeste. Para cada uma das variáveis anteriores, existem três modos de chegar a leste</p><p>partindo da região centro. Dessa forma a solução que atende o solicitado será 4 x 3</p><p>=12.</p><p>Para praticar: Considere os algarismos 1, 2, 3, 4, 5 e 6. Quais são as possibilidades</p><p>de formar um número de três algarismos distintos?</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 61</p><p>SOLUÇÃO:</p><p>Como queremos formar um número composto por três algarismos, vamos considerar</p><p>que essa ação será elaborada com três etapas sucessivas:</p><p>A primeira seleção do algarismo será a das centenas sendo seis possibilidades,</p><p>a segunda seleção do algarismo será a das dezenas sendo que não podem ocorrer</p><p>repetição de algarismo, dessa forma existem cinco possibilidades e por fim a terceira</p><p>e última seleção. escolhendo o algarismo das unidades sendo que necessitamos ter</p><p>um números diferente dos dois escolhidos para a centena e para a dezena e, desse</p><p>modo, existem quatro possibilidades.</p><p>Pelo Princípio fundamental da Contagem, a solução será 6 x 5 x 4 = 120 números.</p><p>6.3 Fatorial</p><p>Com o intuito de solucionarmos problemas que envolvem o conceito de Análise</p><p>Combinatória, somos obrigados a aplicar um conceito matemático denominado de</p><p>fatorial.</p><p>Determinamos fatorial de n, na qual indicaremos pelo símbolo n!, como sendo:</p><p>n! = n. (n-1). (n-2). ...</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Se n = 1, então 1! = 1.</p><p>Se n = 0, então 0! = 1.</p><p>Exemplos:</p><p>a) 6! = 6. 5! = 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 720</p><p>b) 4! = 4. 3! = 4. 3. 2. 1 = 24</p><p>c) 7! = 7. 6! = 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 5040</p><p>d) 10! = 10. 9. 8. 7. 6. 5. 4. 3. 2. 1 = 3. 628.800</p><p>e) 3! = 3. 2. 1 = 6</p><p>ANOTE ISSO</p><p>Você pode notar que podemos escrever uma relação de correspondência do fatorial</p><p>N! = n. (n – 1)! sendo que o valor de n pertence ao conjunto dos números naturais</p><p>excluindo o zero e maior ou igual a dois.</p><p>MATEMÁTICA</p><p>PROF. PEDRO BIGATTÃO</p><p>FACULDADE CATÓLICA PAULISTA | 62</p><p>Exemplos de Adição</p>