AOL 4 - Equações Diferenciais

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• Pergunta 1 
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A transformada inversa nada mais é que o processo contrário da transformada 
convencional, ou seja, se a transformada transforma uma função f(t) em outra função F(s) 
por meio de uma integral, a transformada inversa considera uma função F(s) e busca a 
função cuja transformada resulte em tal equação. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{1/s5}, a transformada inversa corresponde a: 
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L-1 = t2/48. 
L-1 = t3/24. 
L-1 = t4/4. 
L-1 = t/18. 
L-1 = t4/24. 
• Pergunta 2 
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No cálculo, a derivada em um ponto de uma função representa a taxa de variação 
instantânea em relação a este ponto. Um exemplo típico é a função velocidade, que 
representa a taxa de variação da função espaço. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre equação linear 
homogênea, dada a função y = e2x, pode-se afirmar que a equação diferencial linear 
homogênea que admita tal solução é igual a: 
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2y’’’ – 10y’’ + 8y’ – 5y = 0. 
y’’ – 11y’ – 10y = 0. 
6y’’ + 11y’ – 6y = 0. 
y’’’ – 6y’’ + 11y’ – 6y = 0. 
y’’’ – 6y = 0. 
• Pergunta 3 
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Uma função definida por partes é uma função definida por várias sentenças abertas, cuja 
definição depende do valor da variável independente. Cada uma das sentenças que 
definem a função está ligada a subdomínios disjuntos entre si, que estão contidos no 
domínio da função. A palavra-trecho é também usada para descrever qualquer propriedade 
de uma função definida em trechos que se sustentam para cada parte, mas podem não se 
sustentar para o domínio inteiro da função. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
pode-se afirmar que, considerando L{f(t)} para (f(t) = 0 para 0 ≤ t < 3) e (f(t) = 2 para t ≥ 3), a 
transformada corresponde a: 
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L = 3e-3s / s. 
L = e-3s / s. 
L = 2e-3s / s. 
L = 2e-3s. 
L = e-6s / 4s. 
• Pergunta 4 
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Identidade trigonométrica é uma identidade que envolve funções trigonométricas, sendo, 
pois, verdadeira para todos os valores das variáveis envolvidas. Com efeito, ela é útil 
quando expressões que contiverem expressões trigonométricas devem ser simplificadas, 
ou, doutra sorte, substituídas com o propósito de conseguir uma nova transformação, mais 
útil para dada aplicação, tal como sen2t = (1-cos2t)/2. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
pode-se afirmar que, considerando L{sen2t}, a transformada corresponde a: 
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L = 2 / s(s2 + 4). 
L = 1 / (s + 4). 
L = 2 / (s + 4). 
L = 4 / s(s + 4). 
L = 1 / s(s3 + 4). 
• Pergunta 5 
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As propriedades de translação do eixo s podem ser descritas como dado um número real a, 
logo: L{eat .f(t)} = F(s – a). Portanto, o gráfico de F(s – a) corresponde ao gráfico de F(s) 
deslocado sobre o eixo s para a direita, se a>0, e para esquerda, se a<0. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1 {s / s2 + 6s + 11}, a transformada inversa 
corresponde a: 
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L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
L-1 = e-3t cos(2t) 1/2 – (sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
L-1 = cos(2t) 1/2 – (3. e-3t sen(2t) 1/2 ). 
L-1 = et cos(t) 1/2 – (3. e-t sen(t) 1/2 ) / 21/2. 
L-1 = e-3t cos(2t) – (e-3t sen(2t) 1/2 ) / 21/2. 
• Pergunta 6 
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Em matemática, particularmente na área de análise funcional e processamento do sinal, 
convolução é um operador linear que, a partir de duas funções dadas, resulta numa terceira 
que mede a soma do produto dessas funções ao longo da região subentendida pela 
superposição delas em função do deslocamento existente entre elas. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre convolução, dada a 
equação 1 / (s-1)(s+4), sua transformada inversa corresponde a: 
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L-1 = 1/5 – 1/5.e-4t. 
L-1 = 1/5.et – 1/5.e-4t. 
L-1 = et – e-4t. 
L-1 = 1/5.e – 1/5.e-t. 
L-1 = 5.et – 5.e-4t. 
• Pergunta 7 
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A derivabilidade ou diferenciabilidade de uma função é a análise feita para saber se uma 
função derivada está definida em todos os pontos do seu domínio. Uma função é derivável 
ou diferenciável no ponto x, se existir o limite da derivada em tal ponto. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de 
transformadas, dada a função t2. sen(kt), sua transformada corresponde a: 
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L = 6s2 – k3 / (s2 + k)3. 
L = s2 – k3 / (s + k2)3. 
L = 6k2 – k3 / (s2 + k2)3. 
L = s2 – 2k3 / (s2 + k2). 
L = 6ks2 – 2k3 / (s2 + k2)3. 
• Pergunta 8 
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Identidade matemática pode referir-se a uma igualdade que permanece verdadeira 
quaisquer que sejam os valores das variáveis que nela apareçam, ao contrário de uma 
equação, que pode ser verdadeira apenas sob condições mais particulares. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada inversa de 
Laplace, pode-se afirmar que, considerando L-1{1/s2 + 64}, a transformada inversa 
corresponde a: 
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L-1 = cos(8t)/8. 
L-1 = sen(8t). 
L-1 = sen(8t)/8. 
L-1 = sen(8t)/16. 
L-1 = sent/8. 
• Pergunta 9 
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A utilidade da Transformada de Laplace decorre da necessidade de representar funções 
temporais no domínio da frequência complexa ou plano complexo, no qual a variável é uma 
variável complexa. Devido à utilidade da transformada de Laplace na manipulação de 
funções de variável complexa, ela tornou-se um utensílio essencial na análise e na síntese 
de sistemas lineares. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre transformada de Laplace, 
dada a equação diferencial de segunda ordem y’’ + y’ – 2y = 4t, com valores iniciais iguais a 
y(0) = 0 e y’(0) = 2, a função f(t) aplicando a transformada de Laplace é igual a : 
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f(t) = - 1 - 2t – et. 
f(t) = - 1 - 2t – e-2t 
f(t) = - 1 - 2t – e-2t + 2et. 
f(t) = - 1 – e-2t + 2et. 
f(t) = 2t + e-2t + 2et. 
• Pergunta 10 
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O primeiro teorema de translação, também conhecido como propriedade de 
amortecimento, facilita em muito os cálculos de transformadas de Laplace. Considerando 
que f(t) seja "amortecida" pelo fator exponencial e^-at, sua transformada de Laplace 
apresentará um deslocamento para a esquerda em relação a nova variável. 
De acordo com essas informações e o conteúdo estudado sobre derivada de 
transformadas, dada a função te3t sua transformada corresponde a: 
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L = 1 / (s - 3)3 
L = 1 / (s)3 
L = 1 / (s)2 
L = 1 / (s – 3)2 
L = 1 / (s - 1)3