Matemático encontra solução brilhante para o quebra-cabeça de Mobius de 50 anos

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Matemático encontra solução brilhante para o quebra-cabeça de
Mobius, de 50 anos
Uma tira de M'bius feita com fita adesiva e
papel. Crédito da imagem: Wikimedia
Commons.
Imagine segurar uma tira de papel. Você dá-lhe meio-twist e, em seguida, grava suas extremidades juntas. A forma
que você está agora segurando é o bilhete para um mundo onde as superfícies têm apenas um lado e os limites se
desfocam entre dentro e para fora. Este é o reino da Faixa de Mubius.
A faixa de Míbio é uma das estruturas mais intrigantes que encontramos, uma mistura perfeita de uma forma comum
com propriedades altamente complexas que cativam os matemáticos há mais de um século. Um dos quebra-
cabeças mais desafiadores é uma pergunta enganosamente simples: quão pequena pode uma tira de Múbius pode
obter antes que ela se emaranhasse dentro de si?
Em 1977, os matemáticos Charles Weaver e Benjamin Halpern deixaram esse quebra-cabeças no mundo
acadêmico – e os matemáticos ficaram frustrados desde então, tentando encontrar a resposta certa. Agora, Richard
Schwartz, um matemático da Universidade Brown, afirma que finalmente resolveu o quebra-cabeça.
Quando um círculo não é mais um círculo
A tira de Míbio tem uma superfície “não-orientável”. Em termos cotidianos, isso significa que se você fosse uma
formiga rastejando em sua superfície, você não seria capaz de distinguir um lado de outro. Se você pegar um lápis e
desenhar uma linha ao longo do centro da faixa, notará que a linha corre ao longo de ambos os lados do loop. É
bastante alucinante ver.
https://cdn.zmescience.com/wp-content/uploads/2023/09/Mobius_strip.jpg
https://en.wikipedia.org/wiki/M%C3%B6bius_strip
https://www.math.brown.edu/~res/
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Animação de tira Mobius por Sketchplanations.
Os matemáticos alemães August Ferdinand Mubius e Johann Benedict Listing independentemente descobriram-na
em 1858. Enquanto Míbio obteve os direitos de nomeação, ambos os homens foram atraídos para sua propriedade
peculiar: sua superfície interminável.
Não é apenas um truque matemático. Muitos engenheiros e cientistas acham a Strip de Míbius fascinante por razões
práticas. Por exemplo, as correias transportadoras projetadas como uma tira de Míbius distribuem desgaste e rasgo
uniformemente, com duração duas vezes maior do que as correias transportadoras convencionais. Na eletrônica, os
resistores de Míbio são empregados devido às suas propriedades eletromagnéticas únicas.
https://sketchplanations.com/mobius-strip
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Os artistas não são imunes ao sefarce da tira. M.C. (em inglês) Escher, o famoso artista gráfico, incorporou a Strip
de Míbio em sua xilogravura “Mébis Strip II”, onde as formigas interligam e atravessam a superfície unilateral.
Mesmo o símbolo de reciclagem onipresente, encontrado impresso nas costas de latas de alumínio e garrafas de
plástico, é essencialmente uma tira de Míbius.
Embora o apelo visual da faixa seja inegável, seu impacto mais significativo foi na matemática. Entre suas muitas
contribuições, a introdução da Faixa de Mubius revolucionou o campo da topologia, que estuda as propriedades dos
objetos que são preservados quando movidos, dobrados, esticados ou torcidos, sem cortar ou colar partes juntas.
Uma caneca de café e um donut são, por exemplo, topologicamente idênticos. Ambos os objetos têm apenas um
furo, que pode ser deformado através do alongamento e flexão para criar uma ou outra estrutura.
Caneca transformando-se em um
donut. Crédito da imagem:
Wikimedia Commons.
Um momento de avanço
Mas não é topologia que intriga Schwartz. Ele ouviu pela primeira vez sobre o mínimo de problema da tira de Mubius
há quatro anos e está viciado desde então. Seus esforços para desembaraçar a conjectura Halpern-Weaver
finalmente valeram a pena. O matemático relatou a solução no servidor de pré-impressão arXiv.org em agosto de
2023.
As descobertas dele? A tira perfeita de M'bius deve possuir uma relação de aspecto maior que 3 (aproximadamente
1,73). Em termos leigos, uma tira de 1 centímetro de comprimento deve exceder 1,73 centímetros de largura, caso
contrário, a estrutura entrará em colapso.
No entanto, o caminho para a descoberta não era uma linha reta. Schwartz cortou, examinou e até mesmo arrasou
as tiras de Mubius em sua busca. Enquanto ele lidava com o problema, ele empregou várias estratégias ao longo
dos anos. Mas um momento “Aha!” chegou quando ele revisitou um erro passado – uma pequena identificação
errôna de uma forma – e tudo clicou a partir daí.
“O cálculo corrigido me deu o número que foi a conjectura”, disse Schwartz à Scientific American. “Eu estava
chocado... Eu passei, tipo, os três dias seguintes mal dormindo, apenas escrevendo essa coisa.”
No entanto, como é frequentemente o caso em matemática, resolver um problema abre a porta para resolver outro,
mais complexo. Não há limite, matematicamente falando, para quanto tempo uma tira de Míbio pode ser. Mas o
próximo problema na mente de Schwartz é encontrar a tira de papel mais curta que pode ser usada para fazer uma
tira de Míbius com três torções em vez de apenas uma.
A matemática muitas vezes empurra os limites de nossa compreensão, empurrando-nos para questionar o próprio
tecido da realidade. E neste tecido, a tira de Míbius destaca-se como um fio hipnotizante, lembrando-nos a beleza
que está na infinitude e continuidade.
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https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf
https://arxiv.org/pdf/2308.12641.pdf
https://www.scientificamerican.com/article/mathematicians-solve-50-year-old-moebius-strip-puzzle