Aula 1 - Limites de funções

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CÁLCULO DIFERENCIAL 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Prof. Guilherme Augusto Pianezzer 
 
 
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CONVERSA INICIAL 
Seja bem-vindo ao curso de Cálculo Diferencial! Ao longo dos conteúdos, 
nós iremos tratar dos dois operadores essenciais para compreendermos os 
principais conceitos do cálculo: o limite de funções e as derivadas. Nesse início, 
iremos tratar sobre os limites de funções com base em um exemplo prático e 
construiremos o conceito de uma forma intuitiva, antes de realizar a sua 
formalização. Claro que a formalização rigorosa é reservada às disciplinas de 
Análise Real das grades de Matemática, mas poderemos caminhar nessa 
direção. Nosso objetivo nesta aula é que você consiga diferenciar os conceitos 
de limite de funções e valor de função em um ponto. 
TEMA 1 – LIMITE DE FUNÇÕES: EXEMPLO INTUITIVO – COMO ENCONTRAR 
A VELOCIDADE INSTANTÂNEA DE UM TREM COM BASE NA FUNÇÃO 
POSIÇÃO? 
Suponha que exista uma função que descreva a posição de um trem à 
medida que o tempo passa: 
𝑠 = 𝑓(𝑡). 
O que isso significa? Que existe uma relação (ou correspondência) 
entre tempo e posição de forma que, a qualquer tempo escolhido, podemos 
determinar a sua posição. Então, suponha que essa relação seja conhecida e 
dada por: 
𝑠 = 4𝑡2, 
em que 𝑡 é medido em segundos e 𝑠, em metros. Suponha também que essa 
função seja válida no domínio entre 𝑡 = 0 e 𝑡 = 30𝑠. Note que, com essa 
restrição, não teremos resultados extravagantes, como uma posição 
absurdamente exagerada para um tempo grande. 
Por exemplo, que sabemos que em 𝑡 = 0𝑠, a posição do trem é 𝑠 = 0𝑚, 
ao passo que para 𝑡 = 1𝑠, a sua posição é 𝑠(1) = 4.12 = 4𝑚 e, para 𝑡 = 2𝑠, a 
sua posição é 𝑠(2) = 4.22 = 16𝑚 e assim por diante. Você pode perceber então 
como a lei geral de uma função é mais eficiente do que uma tabela, visto que 
não teríamos tabela suficiente para descrever todos os valores possíveis de 𝑠(𝑡). 
São infinitos os valores entre 𝑡 = 0 e 𝑡 = 30𝑠. Mesmo assim, apresentamos a 
 
 
3 
Tabela 1 com alguns valores de posição associados aos seus respectivos 
tempos. 
Tabela 1 – Alguns valores de posição associados aos seus respectivos tempos 
𝒕 𝒔(𝒕) 
𝟎𝒔 4.02 = 0𝑚 
𝟏𝒔 4.12 = 4𝑚 
𝟐𝒔 4.22 = 16𝑚 
𝟑𝒔 4.32 = 36𝑚 
𝟒𝒔 4.42 = 64𝑚 
𝟓𝒔 4.52 = 100𝑚 
𝟔𝒔 4.62 = 144𝑚 
É claro que esse raciocínio é tema dos cursos de nível médio. O 
interessante é notar que, ao contrário de uma primeira intuição, as funções 
guardam outras informações que nem sempre estão escancaradas. No caso do 
trem, note que, do tempo 𝑡 = 0𝑠 até 𝑡 = 1𝑠 o trem se moveu 𝑠(1) − 𝑠(0) = 4 −
0 = 4𝑚, já do tempo 𝑡 = 1𝑠 até o tempo 𝑡 = 2𝑠 o trem se moveu 𝑠(2) − 𝑠(1) =
16 − 4 = 12𝑚. Assim, intuitivamente, podemos perceber que a velocidade do 
trem está aumentando. Isso pode ser reforçado ao se escolher outros intervalos 
de tempo, por exemplo, 𝑠(5) − 𝑠(4) = 100 − 64 = 36𝑚. 
Talvez você se lembre de alguns conceitos de física, por exemplo, de que 
a velocidade média representa uma razão entre a variação da posição (de um 
móvel, uma partícula, um objeto...) e a variação de tempo a ela associada. 
Assim, escrevemos que: 
velocidade média =
variação da posição
variação do tempo
. 
Então, vejamos como calcular a velocidade média de alguns intervalos. 
Por exemplo, do intervalo entre 𝑡𝑖 = 2𝑠 e 𝑡 = 4𝑠, temos: 
𝑣 =
𝑠(4) − 𝑠(2)
4 − 2
=
64 − 16
2
= 24 𝑚/𝑠. 
Do intervalo entre 𝑡𝑖 = 2𝑠 e 𝑡 = 5𝑠, temos: 
𝑣 =
𝑠(5) − 𝑠(2)
5 − 2
=
100 − 16
2
= 42 𝑚/𝑠. 
Outros intervalos podem ser calculados, por exemplo: 
 
 
4 
𝑣 =
𝑠(3) − 𝑠(1)
3 − 1
=
36 − 4
2
= 16 𝑚/𝑠; 
𝑣 =
𝑠(6)−𝑠(0)
6−0
=
144−0
6
= 24 𝑚/𝑠; 
𝑣 =
𝑠(5)−𝑠(1)
5−1
=
100−4
4
= 24
𝑚
𝑠
; 
𝑣 =
𝑠(3)−𝑠(2)
3−2
=
36−16
1
= 20 𝑚/𝑠. 
Aqui, diferentes escolhas de intervalo nos geram resultados dispersos 
acerca da velocidade média. Pense um pouco sobre como isso realmente faz 
sentido. Entretanto, a questão aqui é que alguém poderia estar interessado em 
saber a velocidade exata com que o trem passou em um determinado instante, 
digamos, em 𝑡 = 2𝑠. Essa seria a velocidade que o motorista observa no 
velocímetro do trem e é conhecida, em física, como velocidade instantânea. Será 
que conseguiríamos refinar o conceito de velocidade média, para obtermos essa 
informação? 
Para chegar a uma conclusão acerca dessa investigação, veja o que 
ocorre com a velocidade média, 𝑣1, obtida do tempo 𝑡 = 2𝑠 ao tempo 𝑡 = 4𝑠 e o 
que ocorre com a velocidade média, 𝑣2, obtida do tempo 𝑡 = 2𝑠 ao tempo 𝑡 = 3𝑠, 
isto é: 
𝑣1 = 24 𝑚/𝑠; 
𝑣2 = 20 𝑚/𝑠. 
Note que ambas as informações não representam adequadamente o que 
ocorre exatamente em 𝑡 = 2𝑠, mas 𝑣2 está mais próxima do resultado real, visto 
que utiliza um intervalo de tempo menor que 𝑣1. Pensando dessa forma, 
podemos escolher um intervalo de tempo ainda menor, que melhore esse 
resultado. Por exemplo, podemos determinar 𝑣3 sendo a velocidade média do 
intervalo de 𝑡𝑖 = 2𝑠 a 𝑡 = 2,5𝑠. Assim, obtemos: 
𝑣3 =
𝑠(2,5)−𝑠(2)
2,5−2
=
4.(2,5)2−4.22
0,5
= 18 𝑚/𝑠. 
Essa expressão também não representa adequadamente o que ocorre em 
𝑡 = 2𝑠, mas parece produzir um resultado mais razoável. O que você deve 
perceber é que a taxa de variação média aproxima-se pior da taxa de variação 
instantânea quando utilizamos um intervalo maior. Isso pode ser verificado, 
ainda intuitivamente, quando substituímos outros intervalos. Antes disso, para 
facilitar e evitar cálculos excessivos, como todos os intervalos de análise estão 
iniciando em 𝑡 = 2𝑠, podemos utilizar a álgebra para escrever uma nova função 
para a velocidade média. Essa será dada por: 
 
 
5 
𝑣𝑚 =
𝑠(𝑡)−𝑠(2)
𝑡−2
=
4𝑡2−4.22
𝑡−2
=
4(𝑡2−4)
(𝑡−2)
. 
Veja que, ao substituir 𝑡 = 4𝑠, 𝑡 = 3𝑠 e 𝑡 = 2,5𝑠, obtemos, 
respectivamente, 𝑣1 = 24 𝑚/𝑠, 𝑣2 = 20 𝑚/𝑠 e 𝑣3 = 18 𝑚/𝑠. Mas, com o auxílio 
dessa expressão, podemos substituir outros valores e encontrar os dados 
apresentados na Tabela 2. 
Tabela 2 – Dados de velocidade média para diferentes 𝑡 finais considerando 𝑡𝑖 =
2𝑠 
𝒕 𝒗(𝒕) 
𝟒𝒔 24 𝑚/𝑠 
𝟑𝒔 20 𝑚/𝑠 
𝟐, 𝟓𝒔 18 𝑚/𝑠 
𝟐, 𝟏𝒔 16,4 𝑚/𝑠 
𝟐, 𝟎𝟏𝒔 16,04 𝑚/𝑠 
𝟐, 𝟎𝟎𝟏𝒔 16,004 𝑚/𝑠 
𝟐, 𝟎𝟎𝟎𝟏𝒔 16,0004 𝑚/𝑠 
Note que a escolha de dados que fizemos já reflete um comportamento 
interessante acerca da melhor escolha de intervalo que representaria a 
velocidade instantânea. Essa seria aquela em que 𝑡 → 2, isto é, em que 𝑡 se 
aproximasse de 2. Veja que, intuitivamente, quando 𝑡 → 2, 𝑣𝑚 → 16. Por 
exemplo, entre 𝑡𝑖 = 2 e 𝑡 = 2,0001𝑠 temos 𝑣𝑚 = 16,0004 𝑚/𝑠 como velocidade 
média. Essa não é, exatamente, a velocidade com que o trem passou em 𝑡 = 2, 
entretanto parece ser uma aproximação melhor do que as outras. Então, 
dizemos que, à medida que 𝒕 se aproxima de 𝟐s, a velocidade média se 
aproxima de 𝟏𝟔 𝒎/𝒔. A essa estratégia que estamos realizando nomeamos de 
limite de função (no ponto) e a denotamos por: 
𝑣 = lim
𝑡→2
4(𝑡2 − 4)
𝑡 − 2
= 16 
no caso dessa função em específico. Como último detalhe desse exemplo, veja 
que não poderíamos escolher 𝑡 = 2𝑠, visto que estaríamos buscando a 
velocidade de 𝑡𝑖 = 2𝑠 e 𝑡 = 2𝑠, o que não geraria um intervalo de tempo e, 
consequentemente, tampouco uma variação de posição. Do ponto de vista da 
matemática, a função 
 
 
6 
4(𝑡2 − 4)
(𝑡 − 2)
 
possui como domínio 𝑡 ∈ ℝ tal que 𝑡 ≠ 2, indicando que uma inconsistência é 
gerada quando se tenta substituir 𝑡 = 2. 
TEMA 2 – LIMITE DE FUNÇÕES: VISUALIZAÇÃO GRÁFICA – O QUE 
ENCONTRAMOS AO PROCURAR PELO LIMITE DE UMA FUNÇÃO EM 
DETERMINADO PONTO? 
Ainda com o objetivo de tratar de forma intuitiva o conceito de limites de 
funções, vejamos o que ocorre com duas funções simples e o tipo de análise que 
estamos realizando. No primeiro caso, temos a seguinte função: 
𝑓(𝑥) = {
𝑥 + 3, se 𝑥 ≠ 1
2, se x =1
. 
Veja que podemos traçar o gráfico, verificando que existe uma 
descontinuidade em 𝑥 = 1. Esse está apresentado no Gráfico 1. 
Gráfico 1 – Gráfico da função 𝑓(𝑥) desenvolvido com uso do software GeoGebra 
 
Nessa função, podemos observar que 𝑓(1) = 2, o que pode ser obtido 
diretamente da leitura da função. Entretanto, o que obteríamos se estivéssemos 
preocupados com analisar lim
𝑥→1
𝑓(𝑥)? Veja que, ao nos aproximarmos do ponto 
𝑥 = 1 pela esquerda, isto é, ao escolhermos valores de 𝑥 menores que 1, 
convergindo para o 1, acabamos por encontrar que 𝑓(𝑥) está se aproximando 
de 4. De forma equivalente, ao nos aproximarmos do ponto 𝑥 = 1 pela direita, 
isto é, ao escolhermos valores de 𝑥 maiores que 1, convergindo para o 1, 
acabaremos por encontrar que 𝑓(𝑥) também está se aproximando de 4. Assim, 
afirmamos que: 
lim
𝑥→1
𝑓(𝑥) = 4. 
 
 
7 
Note que o limite de função apresenta o resultado que a função 𝑓(𝑥) 
deveria apresentar para 𝑥 = 1, caso acompanhasse a tendência que estava 
apresentando na vizinhança de 𝑥 = 1 (isto é, os valores próximos de 1). Aqui, 
você deve começar a perceber que, nem sempre, o limite da função tem a 
mesma informação que o valor da função no ponto. No segundo caso, considere 
a função 𝑔(𝑥) dada por: 
𝑔(𝑥) = {
−1, se 𝑥 < 0
1, se x ≥ 0
. 
Também traçamos o gráfico dessa função (Gráfico 2). Aqui, poderíamos 
estar interessados em investigar o que ocorre para lim
𝑥→0
𝑔(𝑥). Veja que, ao 
consultar a função, diretamente, observamos que 𝑔(0) = 1. 
Gráfico 2 – Função g(x) desenvolvida no software GeoGebra 
 
De forma intuitiva, podemos observar o comportamento da função para 
valores menores que 0, isto é, pela esquerda. Veja que, por se tratar de uma 
função constante, o resultado é sempre −1. Então, era de se esperar que, com 
𝑥 = 0, o resultado fosse −1, de forma que expressamos essa tendência da 
seguinte forma: 
lim
𝑥→0−
𝑔(𝑥) = −1. 
De forma equivalente, podemos afirmar que: 
lim
𝑥→0+
𝑔(𝑥) = 1. 
Esses são conhecidos como limites laterais. Por definição, e com o 
objetivo de não escolher uma direção preferencial para o cálculo do limite, 
dizemos que 
lim
𝑥→0
𝑔(𝑥) = ∄. 
 
 
8 
TEMA 3 – LIMITE DE FUNÇÕES: COMO OPERAR – O QUE FAZEMOS 
QUANDO, ALGEBRICAMENTE, ENCONTRAMOS O LIMITE DE UMA FUNÇÃO 
EM DETERMINADO PONTO? 
Essa análise gráfica nos permite inferir o resultado de alguns limites, mas 
não é uma técnica interessante para o estudo da maior parte das funções que 
iremos analisarmos. Afinal, no problema do trem, como concluiríamos que: 
𝑣 = lim
𝑡→2
4(𝑡2−4)
𝑡−2
= 16? 
Matematicamente falando, não podemos utilizar as tabelas para criar uma 
aproximação para esse resultado, visto que nem sempre temos garantia de 
convergência (essa discussão pode ser enriquecida em estudos de análise real, 
mas fogem ao escopo desse curso). Então, vejamos uma estratégia eficiente 
que nos permite encontrar o valor de 16, nesse caso. Para isso, iremos realizar 
as seguintes operações: 
𝑣 = lim
𝑡→2
4(𝑡2−4)
𝑡−2
=(𝐼) lim
𝑡→2
4(𝑡+2)(𝑡−2)
𝑡−2
=(𝐼𝐼) lim
𝑡→2
4(𝑡 + 2) =(𝐼𝐼𝐼) 16. 
Veja que marcamos os três sinais de igualdade dessa operação ((𝐼), (𝐼𝐼) e 
(𝐼𝐼𝐼)) para podermos discutir o que está ocorrendo. Inicialmente, em (𝐼) é 
realizada uma fatoração. Como temos um produto notável (da soma pela 
diferença), podemos escrevê-lo de forma a simplificar a expressão. Daí, você 
precisa perceber que 
4(𝑡2−4)
𝑡−2
=
4(𝑡+2)(𝑡−2)
𝑡−2
. 
E precisa notar que isso é verdade porque, a qualquer valor de 𝒕 
substituído em ambas as expressões, obtemos o mesmo resultado. E 
também que o domínio dessas duas expressões é o mesmo, isto é, 𝐷 = {𝑡 ∈
ℝ, 𝑡 ≠ 2}. Ou seja, ambas fornecem a mesma informação por se tratar da mesma 
coisa, mas escrita de formas distintas. Por isso, aqui sustentamos o sinal de 
igualdade, além da igualdade =(1). O ponto principal é analisar o que está 
ocorrendo na igualdade =(2). Afinal, ao simplificarmos 𝑡 − 2 no denominador e 
no numerador, verificamos que: 
4(𝑡+2)(𝑡−2)
𝑡−2
≠ 4. (𝑡 + 2), 
isso porque existe pelo menos um valor de 𝑡, isto é, 𝑡 = 2, em que a primeira 
expressão não retorna nenhuma solução, ao passo que a segunda retorna 16. 
Inclusive, 𝑡 = 2 faz parte do domínio da segunda expressão. Note que, com 
 
 
9 
exceção de 𝑡 = 2, todos os outros valores substituídos oferecem as mesmas 
respostas. Mas, afinal, sabendo que as funções são diferentes em todos os 
pontos, com exceção de 𝑡 = 2, por que podemos sustentar a igualdade =(2)? 
Para uma análise rigorosa disso, vejamos os gráficos das duas funções 
(Gráficos 3-4). No Gráfico 3, observamos a primeira função, já no Gráfico 4, a 
segunda função. Note que a diferença entre as duas funções está exatamente 
em 𝑡 = 2. Enquanto a segunda é definida por 𝑡 = 2, a primeira apresenta uma 
descontinuidade nesse ponto. 
Figura 3 – Função 
4(𝑡+2)(𝑡−2)
𝑡−2
 
 
Gráfico 4 – Função 4(𝑡 + 2) 
 
As funções dos Gráficos 3 e 4, evidentemente, não são iguais. 
Entretanto, podemos sustentar a igualdade =(2) porque, por mais que as funções 
não sejam iguais, as suas vizinhanças o são. E, como discutido no início, a 
análise do limite da função em um ponto é a análise do que está acontecendo 
quando 𝑡 → 2. 
Por fim, o último sinal de igualdade, =(3), é sustentado porque 4(𝑡 + 2) é 
considerada uma função contínua, isto é, o limite da função é igual ao valor da 
função no ponto, de forma que, para encontrarmos lim
𝑡→2
4(𝑡 + 2), basta 
substituirmos 𝑡 na expressão, obtendo 4(2 + 2) = 16. 
 
 
10 
TEMA 4 – LIMITE DE FUNÇÕES: TÉCNICA DE BRIOT-RUFFINI – COMO 
GENERALIZAR A FORMA ALGÉBRICA DE RESOLVER ALGUNS LIMITES DE 
FUNÇÕES? 
Para obtermos o limite de algumas funções, existem algumas técnicas. A 
primeira técnica que estudaremos é a de remover indeterminação com base na 
fatoração pelo método de Briot-Ruffini. 
Suponha que desejemos encontrar 
lim
𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥2+𝑥−2
. 
Nesse caso, perceba que, ao substituir 𝑡 = −2, o resultado nos aponta 
0/0, o que consideramos uma indeterminação, isto é, estamos tentando 
substituir algo que não existe na função. Entretanto, mesmo não tendo 
informações em 𝑥 = −2, pode existir um comportamento específico para a 
função quando 𝑥 → −2. Para encontrarmos isso, devemos fatorar o polinômio 
do numerador e do denominador. Note que −2 é raiz de ambos os polinômios 
(por isso que retorna 0 como resposta), de forma que podemos utilizar a técnica 
de Briot-Ruffini para encontrar a sua forma parcialmente fatorada. Vale 
ressaltar que não precisamos encontrar a forma completamente fatorada, visto 
que nosso objetivo só é remover a indeterminação. 
Então, trabalhemos inicialmente com o polinômio 𝑥2 − 𝑥 − 6. Assim, 
podemos fatorá-lo e obter 𝑥2 − 𝑥 − 6 = (𝑥 + 2). (𝑥 − 3). Enquanto isso, podemos 
escrever 𝑥2 + 𝑥 − 2 = (𝑥 + 2). (𝑥 − 1). Nas aulas gravadas e nas aulas práticas, 
exploramos com você essa técnica com cuidado. Assim, veja que: 
lim
𝑥→−2
𝑥2−𝑥−6
𝑥2+𝑥−2
= lim
𝑥→−2
(𝑥+2)(𝑥−3)
(𝑥+2)(𝑥−1)
= lim
𝑥→−2
𝑥−3
𝑥−1
=
5
3
. 
De forma equivalente, podemos encontrar 
lim
𝑥→1
2𝑥3+𝑥2−4𝑥+1
𝑥3−3𝑥2+5𝑥−3
. 
Ao substituirmos 𝑥 = 1, encontramos 0/0. Então, para remover a 
indeterminação, fatoramos, parcialmente, ambos os polinômios, verificando que 
2𝑥3 + 𝑥2 − 4𝑥 + 1 = (𝑥 − 1)(2𝑥2 + 3𝑥 − 1) e 𝑥3 − 3𝑥2 + 5𝑥 − 3 = (𝑥 − 1)(𝑥2 −
2𝑥 + 3). Assim, 
lim
𝑥→1
2𝑥3+𝑥2−4𝑥+1
𝑥3−3𝑥2+5𝑥−3
= lim
𝑥→1
(𝑥−1)(2𝑥2+3𝑥−1)
(𝑥−1)(𝑥2−2𝑥+3)
= lim
𝑥→1
2𝑥2+3𝑥−1
𝑥2−2𝑥+3
= 2. 
 
 
11 
TEMA 5 – LIMITE DE FUNÇÕES: TÉCNICA DE MULTIPLICAÇÃO PELO 
CONJUGADO – COMO EXPLORÁ-LA PARA A RESOLUÇÃO DE OUTROS 
LIMITES INDETERMINADOS? 
Nem todos os limites são calculados com uso da técnica de Briot-Ruffini. 
Uma outra técnica comum é a multiplicação pelo conjugado. Vejamos como 
isso funciona para calcular 
lim
𝑥→0
√1+𝑥−1
𝑥
.Nesse caso, também temos uma indeterminação do tipo 0/0, visto que 
𝑥 = 0 não pertence ao domínio da função. Também não conseguimos aplicar 
Briot-Ruffini facilmente. Assim, multiplicamos pelo conjugado, no caso, √1 + 𝑥 −
1, que é o termo obtido trocando-se o sinal da expressão, isto é, √1 + 𝑥 + 1. 
Veja também que não podemos alterar o resultado da expressão, mas, ao 
multiplicarmos o limite dado por 1, não o alteramos. Então, escrevemos e 
aplicamos o produto notável da soma pela diferença: 
lim
𝑥→0
√1+𝑥−1
𝑥
. 𝟏 = lim
𝑥→0
(√1+𝑥−1)
𝑥
.
(√1+𝑥+1)
(√1+𝑥+1)
= lim
𝑥→0
(1+𝑥)−1
𝑥(√1+𝑥+1)
= lim
𝑥→0
𝑥
𝑥(√1+𝑥+1)
=
lim
𝑥→0
1
√1+𝑥+1
=
1
2
. 
NA PRÁTICA 
Calcule os seguintes limites: 
a. lim
𝑥→1
(
𝑥3−1
5𝑥−5
) 
b. lim
𝑥→−2
(
8+𝑥3
4−𝑥2) 
c. lim
𝑥→2
(
𝑥4−16
8−𝑥³
) 
d. lim
𝑥→1
(
𝑥3−1
𝑥2−1
) 
e. lim
ℎ→0
(
(2+ℎ)3−8
ℎ
) 
f. lim
𝑎→1
(
𝑎3−1
𝑎−1
) 
g. lim
𝑎→0
(
(𝑥+𝑎)3−𝑥³
𝑎
) 
h. lim
𝑥→𝑝
(
𝑥3−𝑝³
𝑥²−𝑝²
) 
 
 
12 
i. lim
𝑥→−1
(
𝑥3+1
𝑥²−1
) 
j. lim
𝑥→
1
2
(
8𝑥3−1
2𝑥−1
) 
k. lim
𝑥→1
(
3𝑥³−4𝑥²+1
4𝑥4−3𝑥³−𝑥²−𝑥+1
) 
l. lim
𝑥→−2
(
𝑥3−3𝑥+2
𝑥²−4
) 
m. lim
𝑥→3
(
2𝑥3−6𝑥²+𝑥−3
𝑥−3
) 
FINALIZANDO 
Nesta aula, fomos capazes de explorar os primeiros conceitos de cálculo 
diferencial definindo o limite de funções. Mais adiante, iremos verificar o que 
estamos investigando nas funções em que 𝑥 → ∞.