C1 Lista Semanal 1 - 2023_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 01
Questão 1. Resolva os sistemas de equações usando números reais. Se não houver
solução, justifique.
a)
{
4x− 2y = 6
5x+ y2 = 1
. b)
{
6x2 − 2y = 8
3x+ 2y = 3
.
Solução:
a) Veja que podemos simplificar a primeira equação por dois.
4x− 2y = 6 ⇒ 2x− y = 3 ⇒ y = 2x− 3.
Agora podemos substituir na segunda equação.
5x+ (2x− 3)2 = 1 ⇒ 4x2 − 7x+ 9 = 1 ⇒ 4x2 − 7x+ 8 = 0.
Podemos usar a fórmula de Bháskara para procurar as raízes desta equação do
segundo grau.
∆ = (−7)2 − 4 · 4 · 8
∆ = −79.
Como o discriminante é negativo, não há solução real para esta equação, logo,
este sistema não tem solução.
b) Veja que podemos somar as equações, assim
6x2 − 2y + 3x+ 2y = 8 + 3 ⇒ 6x2 + 3x− 11 = 0.
Como temos uma equação polinomial do segundo grau , podemos usar a Fórmula
de Bháskara para encontrar as raízes.
∆ = 32 − 4 · 6 · (−11)
∆ = 273.
Portanto
1
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x =
−3±
√
273
2 · 6
x1 =
−3 +
√
273
12
x2 =
−3−
√
273
12
.
Vamos substituir estes valores na segunda equação para encontrar os valores de
y que satisfazem o sistema.
3
(
−3 +
√
273
12
)
+ 2y = 3
2y = 3− −3 +
√
273
4
y =
15−
√
273
8
.
Assim como
3
(
−3−
√
273
12
)
+ 2y = 3
2y = 3− −3−
√
273
4
y =
15 +
√
273
8
.
A solução é dada pelo conjunto
S =
{(
−3 +
√
273
12
,
15−
√
273
8
)
,
(
−3−
√
273
12
,
15 +
√
273
8
)}
.
Questão 2. Encontre os possíveis valores de x ∈ Z (x é um número inteiro) que
satisfazem os sistemas de inequações abaixo. Faça uma interpretação geométrica da
sua solução, representando graficamente.
a)
{
2x− 4 < x+ 1
3x+ 7 < 4x+ 4
. b)
{
1
2
x− 7 < 3
4
x+ 1
x+ 20 < −2x− 130
.
Solução:
a) Precisamos organizar as inequações.
2x− 4 < x+ 1
2x− x < 1 + 4
x < 5.
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3x+ 7 < 4x+ 4
7− 4 < 4x− 3x
3 < x.
Assim, temos que 3 < x < 5. Como x ∈ Z, então x = 4.
Podemos traçar as retas dadas pelas expressões para ver o intervalo onde x está.
b) Precisamos novamente organizar as inequações.
1
2
x− 7 <
3
4
x+ 1
2
4
x− 3
4
x < 1 + 7
−1
4
x < 8
−x < 32
x > −32.
x+ 20 < −2x− 130
x+ 2x < −130− 20
3x < −150
x < −50.
Observe que, neste caso, há infinitos valores inteiros que x pode assumir para
satisfazer a primeira inequação e infinitos valores para satisfazer a segunda in-
equação. No entanto, a intersecção entre os intervalos encontrados é vazia, ou
seja
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S = {x ∈ R|x < −50 e x > −32} = ∅.
Na imagem abaixo podemos visualizar melhor estes intervalos.
Questão 3. Observe a imagem do gráfico de uma função f e marque verdadeiro ou
falso nas afirmações abaixo justificando sua resposta.
( ) Com base na figura é possível afirmar que se trata de uma função do tipo
f(x) = a+ bx.
( ) Como f(4) = 4, então f(5) = 5.
( ) Como o gráfico mostra uma curva podemos entender que se trata de uma função
de grau dois ou mais.
( ) Os valores que a função assume são constantes.
( ) A partir de x = 2 a função assume valores cada vez maiores.
Solução:
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( F ) As funções do tipo f(x) = ax + b são funções polinomiais do primeiro grau e
seus gráficos são sempre retas.
( F ) Podemos observar no desenho do gráfico que f(5) ̸= 5.
( V ) Funções de grau dois ou mais não são retas.
( F ) Os valores que a função assume variam de acordo com o valor de x.
( V ) Na parte mostrada do gráfico observamos que a função assume valores cada vez
maiores no eixo y.
Questão 4. Esboce as funções abaixo:
a) f(x) = senh(x− 2).
b) g(x) = cosh(x+ 1).
c) h(x) = senh(x) + 3.
d) m(x) = cosh(x)− 5.
Solução:
a) f(x) = senh(x− 2).
Figure 1: Esboço da função f.
b) g(x) = cosh(x+ 1).
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Figure 2: Esboço da função g.
c) h(x) = senh(x) + 3.
Figure 3: Esboço da função h.
d) m(x) = cosh(x)− 5.
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Figure 4: Esboço da função m.
Questão 5. Considere as funções f(x) = sen(x) e g(x) = cos(x). Determine:
a) f(−π), f(−π
2
), f(−π
4
), f(0), f(π
4
), f(π
2
) e f(π).
b) g(−π), g(−π
2
), g(−π
4
), g(0), g(π
4
), g(π
2
) e g(π).
c) A partir das informações dos itens a e b, esboce o gráfico de f e g.
Solução:
a) f(−π) = 0, f(−π
2
) = −1, f(−π
4
) = −
√
2
2
, f(0) = 0, f(π
4
) =
√
2
2
, f(π
2
) = 1 e
f(π) = 0.
b) g(−π) = −1, g(−π
2
) = 0, g(−π
4
) =
√
2
2
, g(0) = 1, g(π
4
) =
√
2
2
, g(π
2
) = 0 e
g(π) = −1.
c) Esboço dos gráficos de f e g:
Figure 5: Esboço da função seno.
Figure 6: Esboço da função cosseno.
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Questão 6. Considere a seguinte função m(x):
m = log
(
x
1, 62
)
.
Calcule:
a) m(50). b) m(100). c) o valor de x para m = 3.
Solução:
a) m(50) = 1, 489455.
b) m(100) = 1, 790485.
c)
log
(
x
1, 62
)
= 3
x
1, 62
= 103
x = 1, 62 · 103
x = 1620 .
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