Otimização em várias variáveis

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CÁLCULO: INTEGRAIS 
E FUNÇÕES DE 
VÁRIAS VARIÁVEIS 
Rejane Izabel Lima Corrêa 
Otimização em 
várias variáveis
Objetivos de aprendizagem
Ao final deste texto, você deve apresentar os seguintes aprendizados:
 � Definir otimização em várias variáveis.
 � Distinguir extremos locais de extremos globais.
 � Encontrar os pontos críticos de uma função de várias variáveis.
Introdução
Em muitos problemas, é importante encontrar o valor de mínimo ou 
máximo de uma função f. Por exemplo, podemos determinar a veloci-
dade máxima atingida por um velocista em uma competição de corrida. 
Esse valor corresponde ao ponto mais alto da função que determina a 
velocidade.
Neste capítulo, você estudará sobre os valores máximos e mínimos 
de uma função, que são denominados extremos — locais e globais. 
O processo de determinação de tais valores extremos é conhecido como 
otimização. Você também saberá como encontrar os pontos críticos de 
uma função de várias variáveis.
Otimização em várias variáveis
Os problemas de otimização são abordados em várias áreas do conhecimento, 
como na física, engenharia, economia, biologia, dentre outras. Por exemplo, 
médicos descobriram que a concentração de um medicamento no organismo 
do paciente pode ser resolvida por um problema de otimização. É possível 
determinar a concentração máxima no organismo do paciente quando tal 
medicamento for administrado pelo médico, assim como a concentração 
mínima necessária para uma nova dose do medicamento.
Em muitos problemas de otimização, a chave é determinar a função cujo 
mínimo ou máximo necessitamos. Uma vez encontrada essa função, podemos 
aplicar as técnicas de otimização para determinar seus extremos.
Encontrar os extremos de uma função é determinar seus valores mais 
altos ou mais baixos. Tais valores podem ser observados de acordo com o 
gráfico da função.
Exemplo 1
Considere a função f(x, y) = 3x2 + 4y2. Vamos analisar o seu gráfico para 
determinar se ela apresenta algum valor extremo.
Fazendo f(x, y) = z obtemos a equação z = 3x2 + 4y2, que é do paraboloide 
elíptico dado pela Figura 1, a seguir.
Figura 1. Gráfico da superfície f(x, y) = 3x2 + 4y2.
3
2
1
-3
-2
-1
0 1
2
3
1
2 3
4
-1
4
-2
-1
-3
Observe que o gráfico da Figura 1 cresce indefinidamente, com um valor 
mínimo na origem. Nesse caso, podemos concluir que a função f(x, y) = 3x2 + 4y2 
não contém pontos de valor máximo, mas valor mínimo que é dado pelo 
vértice do paraboloide.
Otimização em várias variáveis2
Vamos analisar os pontos extremos da função f(x, y) = x + 4.
Fazendo f(x, y) = z, obtemos a equação z = x + 4, que pode ser reescrita como: 
x – z + 4 = 0
que é a equação do plano dado pela Figura 2, a seguir.
Figura 2. Gráfico do plano f(x, y) = x + 4.
-10
-4 -6 -8 -10-10
-4 -6 -8
2
4
6
881012
-2
-3
-4
-6
0
-4 -2
-8-10-12
6 4 2
64
-2
10
2
Observe que o plano não tem um extremo, mas cresce indefinidamente 
em todas as direções. Nesse caso, concluímos que a função f(x, y) = x + 4 não 
contém pontos extremos, ou seja, não tem valores de máximo nem de mínimo.
Exemplo 2
Considere o gráfico da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3, dado pela 
Figura 3, a seguir.
3Otimização em várias variáveis
Figura 3. Gráfico da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3.
2
6
8
4
0
-6
4
6
-4-2
Máximo, mas
apenas localmente
nesta região
Máximo, mas
apenas localmente
nesta região
4 2 –4
–2
6
4
Note que, pelo gráfico da função, podemos observar que existe tanto um 
ponto de máximo quanto um de mínimo. Contudo, nenhum desses extremos é 
um valor extremo da função, pois, se considerarmos a função como um todo, 
ela cresce e decresce indefinidamente. Dizemos que, em uma região próxima 
a esses pontos, eles são extremos, mas não para toda a função.
De acordo com os exemplos exibidos, vimos que a função pode assumir 
valores extremos de máximo ou mínimo para toda a função, como foi o caso 
do paraboloide. A função pode não assumir nenhum valor extremo, como no 
caso do plano, ou ainda, assumir um valor de máximo ou mínimo em uma 
região, mas cujo valor pode não ser extremo para toda a função. 
Na próxima seção, estudaremos como classificar e determinar tais pontos 
extremos.
Extremos de uma função
Funções contínuas de duas variáveis assumem valores extremos no interior 
de seu domínio ou nos pontos de fronteira do domínio. 
Para encontrar os valores extremos de uma função de duas variáveis, pro-
curamos por pontos em que a superfície z = f(x, y) assume valores máximos 
e mínimos. 
Otimização em várias variáveis4
Uma função de duas variáveis tem um máximo local em (a, b), se f(x, y) ≤ 
f(a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b). Isso significa que f(x, y) ≤ f(a, b) 
para todo ponto (x, y) em alguma bola aberta com centro (a, b). O número f(a, 
b) é chamado valor máximo local.
Se f(x, y) ≥ f(a, b) quando (x, y) está próximo de (a, b), então o número f(a, b) 
é chamado valor mínimo local. Isso significa que f(x, y) ≥ f(a, b) para todo 
ponto (x, y) em alguma bola aberta com centro (a, b). 
Se f(x, y) ≤ f(a, b) para todo (x, y) no domínio de f, então f(a, b) é chamado 
valor máximo absoluto. Se f(x, y) ≥ f(a, b) para todo valor (x, y) no domínio de 
f, então f(a, b) é chamado valor mínimo absoluto (STEWART, 2009).
O gráfico de uma função com máximos e mínimos locais é mostrado na 
Figura 4, a seguir. Os máximos locais podem ser interpretados como os picos 
de montanhas, e os valores de mínimos locais, como o fundo dos vales.
Figura 4. Máximos e mínimos locais de uma função.
Fonte: Stewart (2009, p. 951).
O resultado seguinte indica onde ocorrem os valores de máximos e mínimos 
locais de uma função de duas variáveis.
Teorema: Se uma função tem um valor extremo local (máximo ou mínimo) 
em (a, b), e as derivadas parciais de primeira ordem de f existem nesse ponto, 
então fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0.
5Otimização em várias variáveis
Prova: Seja g(x) = f(x, b). Se f tem um extremo local em (a, b), então g 
tem um extremo local em a, de forma que g'(a) = 0 pelo teorema de Fermat. 
Mas g'(a) = fx(a, b) e, assim, fx(a, b) = 0. Da mesma forma, se considerarmos 
h(y) = f(a, y) e aplicarmos o teorema de Fermat, concluímos que fy(a, b) = 0.
A interpretação geométrica do teorema é que o plano tangente ao gráfico 
da função f(x, y), no ponto de extremo local (a, b), é sempre horizontal.
Exemplo 3
Considere a função f(x, y) = 3x2 + 4y2. 
Vimos, na seção anterior, que o gráfico da função é um paraboloide (Figura 1) 
e que tal função contém um ponto de mínimo. Vamos determinar o valor 
desse mínimo.
Pelo teorema, devemos determinar os valores nos quais as derivadas parciais 
de primeira ordem anulam-se.
Assim, o valor de mínimo da função ocorre na origem (0, 0), como já havia 
sido observado pelo gráfico, e é dado por: 
Pela análise do gráfico da função f(x, y) = x + 4 (Figura 2), concluímos que f não contém 
valores extremos. 
Essa observação pode ser comprovada pelo cálculo das derivadas parciais:
fx(x, y) = (x + 4)x = 1
A derivada parcial da função em relação a x é constante igual a 1. Nesse caso, nunca 
se anula.
Assim, não há valores extremos para f(x, y) = x + 4.
Otimização em várias variáveis6
Exemplo 4
Pela análise do gráfico da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3 dado pela 
Figura 3, podemos observar que existe tanto um ponto de máximo local quanto 
um de mínimo local. Vamos determinar esses extremos.
Com as equações das derivadas parciais anteriores, obtemos o seguinte 
sistema:
Da segunda equação do sistema, temos que: 
Substituindo o valor de y na primeira equação, obtemos:
Pela fórmula de Bhaskara: 
Substituindo os valores de x para determinar y = : 
7Otimização em várias variáveis
Assim, os pontos extremos da função f(x, y) = 3x3 – 2y2 + 3xy – 2x + 3 são:
(0,36; 0,27) e (–0,61; –0,46)
E os valores extremos são:
f(0,36; 0,27) ≈ 2,57 
f(–0,61; –0,46) ≈ 4,92
O máximo local ocorre em (–0,61; –0,46) e é dado por f(–0,61; –0,46) ≈ 
4,92; e o mínimo local ocorre em (0,36;0,27), dado por f(0,36; 0,27) ≈ 2,57.
Aprendemos, nesta seção, como identificar onde ocorrem os pontos ex-
tremos de uma função, que são os pontos em que as derivadas parciais de 
primeira ordem se anulam. Com o auxílio do gráfico, conseguimos determinar 
os pontos de máximos e mínimos locais. Mas nem sempre o gráfico de uma 
função é conhecido ou de fácil construção. Na seção seguinte, estudaremos 
como determinar se um ponto extremo é um valor de máximo ou de mínimo.
Pontos críticos de uma função de várias 
variáveis
Vimos que os pontos extremos de uma função acontecem quando as derivadas 
parciais de primeira ordem se anulam. Eles são conhecidos como os pontos 
críticos da função.
Um ponto (a,b) é dito crítico de uma função f(x, y) se fx(a, b) = 0 e fy(a, b) = 0 
ou se uma das derivadas parciais não existir. 
Assim, se a função f tem um máximo ou mínimo local em (a, b), então (a, b) 
é um ponto crítico de f. Em um ponto crítico, a função pode ter um máximo 
ou mínimo local, ou, ainda, nenhum dos dois – nesse caso, dizemos que são 
os pontos de sela. 
Com o resultado anterior, conseguimos determinar os pontos críticos de 
uma função, que são os candidatos a valores de máximos e mínimos locais 
ou ponto de sela de uma função. Todavia, ainda precisamos classificar um 
ponto crítico.
Otimização em várias variáveis8
Considere a função f(x, y) contínua com as derivadas parciais de primeira 
e segunda ordem, também contínuas, e seja (a, b) um ponto crítico de f, isto 
é, fx(a, b) = fy(a, b) = 0. Então, pelo teste da derivada segunda, temos que:
 � f tem um máximo local em (a, b) se fxx < 0 e fxxfyy – > 0 em (a, b);
 � f tem um mínimo local em (a, b) se fxx > 0 e fxxfyy – > 0 em (a, b);
 � f tem um ponto de sela em (a, b) se fxxfyy – < 0 em (a, b);
 � o teste é inconclusivo, se fxxfyy – = 0 em (a, b).
A expressão fxxfyy – é chamada de discriminante ou hessiano de f. Algumas vezes, 
é mais fácil lembrar-se da fórmula na forma de determinante:
Exemplo 5
Encontre os extremos locais da função f(x, y) = xy – x2 – y2 – 2x – 2y + 4. 
A função tem valores extremos nos pontos críticos, isto é, nos valores em 
que as derivadas parciais de primeira ordem são nulas, fx = 0 e fy = 0, ou não 
existem.
Com as equações dessas derivadas parciais, obtemos o seguinte sistema:
9Otimização em várias variáveis
Da segunda equação, temos que: 
x = 2y + 2
Substituindo o valor de x na primeira equação, obtemos:
y – 2(2y + 2) – 2 = 0
y – 4y – 4 – 2 = 0
–3y = 6 → y = –2
Substituindo o valor de y na equação para determinar x:
x = 2y + 2
x = 2(–2) + 2 = –4 + 2 = –2
Assim, o único ponto crítico da unção é (–2, –2). Vamos, agora, classificá-lo 
de acordo com as derivadas de segunda ordem:
O discriminante de f em (–2, –2) é:
Como o discriminante é maior que zero, temos que o ponto crítico (–2, –2) 
pode ser de máximo ou mínimo. Mas, como fxx = –2 < 0, o ponto é um máximo 
local.
Assim, (–2, –2) é máximo local, e o valor de f nesse ponto é:
f(–2, –2) = –2(–2) – (–2)2 – (–2)2 – 2(–2) – 2(–2) + 4 = 4 – 4 – 4 + 4 + 4 + 4 = 8
Otimização em várias variáveis10
Exemplo 6
Encontre os extremos locais da função f(x, y) = 3y2 – 2y3 – 3x2 + 6xy. 
A função tem valores extremos nos pontos críticos, isto é, nos valores em 
que as derivadas parciais de primeira ordem são nulas, fx = 0 e fy = 0, ou não 
existem.
Com as equações dessas derivadas parciais, obtemos o seguinte sistema:
Da primeira equação, temos que: 
x = y
Substituindo o valor de x na segunda equação, obtemos:
Como da primeira equação, temos que x = y, então os pontos críticos de 
f são (0, 0) e (2, 2).
Vamos, agora, classificar os pontos críticos de acordo com as derivadas 
de segunda ordem:
11Otimização em várias variáveis
O discriminante de f é:
No ponto (0, 0): 
Portanto, (0, 0) é um ponto de sela.
No ponto (2, 2): 
Como o discriminante é maior que zero, temos que o ponto crítico (2, 2) pode 
ser de máximo ou mínimo. Mas, como fxx = –6 < 0, o ponto é um máximo local.
Assim, (2, 2) em máximo local, e o valor de f nesse ponto é:
Os passos para determinar os extremos de uma função f(x, y) são:
1. determinar os pontos críticos de f;
2. calcular as derivadas parciais de segunda ordem de f;
3. classificar os pontos críticos de acordo com o teste da derivada segunda.
STEWART, J. Cálculo. 5. ed. São Paulo: Cengage Learning, 2009. v. 2.
Leituras recomendadas
ANTON, H.; BIVENS, I.; DAVIS, S. Cálculo. 10. ed. Porto Alegre: Bookman, 2014.
AYRES, F.; MENDELSON, E. Cálculo. 5. ed. Porto Alegre: Bookman, 2013.
ROGAWSKI, J.; ADAMS, C. Cálculo. 3. ed. Porto Alegre: Bookman, 2018. v. 2.
THOMAS, G. B. Cálculo. 12. ed. São Paulo: Pearson, 2012. v. 2.
Referência
Otimização em várias variáveis12