C1 Lista Semanal 9 - 2023_4 (Com Gabarito)

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CÁLCULO I
Prof. Emerson Veiga e Prof. Raimundo Leão
2023 - 2º Semestre
Lista de Exercícios 09
Questão 1. Determine os intervalos de crescimento e decrescimento da função f :
R → R definida por f(x) = x2 − x3.
Solução: Devemos encontrar os intervalos onde a derivada da função é negativa e
onde é positiva. Começamos calculando a derivada:
f ′(x) = 2x− 3x2 = x(2− 3x)
O sinal de f ′ depende do sinal de g(x) = x e h(x) = 2 − 3x. Temos que
g(x) > 0 ⇐⇒ x > 0 e h(x) > 0 ⇐⇒ 2
3
> x. Temos:
(i) Para x < 0, g e h possuem sinais contrários, assim f é decrescente em (−∞, 0).
(ii) Para 0 < x <
2
3
, g e h possuem o mesmo sinal, portanto f é crescente em(
0,
2
3
)
.
(iii) Para x >
2
3
, g e h possuem sinais contrários, desse modo f é decrescente em(
2
3
,+∞
)
.
Sugestão: organize essas informações em um quadro de sinais.
Questão 2. Considere a função f(x) = x
5
3 .
a) Mostre que 0 é um ponto de inflexão de f .
b) Sabendo que 0 é um ponto de inflexão de f , é verdadeiro que f ′′(0) = 0?
Solução:
a) Faremos a verificação de acordo com a definição de “ponto de inflexão”. Para isso,
calculamos f(0) = 0 e
f ′(x) =
5
3
x2/3 =⇒ f ′(0) = 0 .
Portanto, a reta tangente ao gráfico de f no ponto (0, 0) é o gráfico da função
identicamente nula T (x) = 0. Para x < 0, f(x) < 0 = T (x); para x > 0,
f(x) > 0 = T (x). Assim, por definição, 0 é um ponto de inflexão de f .
1
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b) Não. Pois
f ′′(x) =
5
3
· 2
3
x−1/3 =
10
9 3
√
x
,
que sequer está definida em x = 0.
Questão 3. Seja f uma função duas vezes derivável. Considere a reta tangente ao
gráfico de f no ponto (p, f(p)), isto é, o gráfico da função r(x) = f ′(p)(x−p)+f(p).
Sabendo que existe um ponto a > p tal que r(a) = f(a), mostre que existe um ponto
c ∈ (p, a) com f ′′(c) = 0.
Solução: Aplicando o teorema do valor médio na função f e no intervalo [p, a] temos
que existe b ∈ (p, a) com
f ′(b) =
f(a)− f(p)
a− p
.
Mas f(a) = r(a) = f ′(p)(a− p) + f(p) e, assim:
f ′(b) =
f ′(p)(a− p)
a− p
= f ′(p) .
Como a função f ′ é derivável (pois f é duas vezes derivável), podemos aplicar a
ela o Teorema do Valor Médio, obtendo que existe c ∈ (p, b) ⊂ (p, a) tal que
f ′′(c) =
f ′(b)− f ′(p)
b− p
=
f ′(p)− f ′(p)
b− p
= 0 .
Questão 4. Considere a função f : R → R definida por f(x) = x3 − x2 − x.
Determine:
a) Os extremos relativos de f pelo teste da primeira derivada;
b) Os valores de f nos quais os extremos relativos ocorrem;
c) Os intervalos nos quais f é crescente;
d) Os intervalos nos quais f é decrescente.
Solução:
a) Derivando a função f para encontrar os pontos críticos
f(x) = x3 − x2 − x
f ′(x) = 3x2 − 2x− 1 .
Assim,
3x2 − 2x− 1 = 0
x1 =
+2 +
√
(−2)2 − 4 · 3 · (−1)
2 · 3
= 1
x2 =
+2−
√
(−2)2 − 4 · 3 · (−1)
2 · 3
= −1
3
encontramos as seguintes raízes: x1 = 1 e x2 = −1
3
. Sabe-se que f ′ é uma função
do segundo grau com concavidade voltada para cima. Isso significa que ela assume
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valores negativos entre as raízes x1 e x2, e valores positivos para números maiores
que x1 e para números menores que x2.
Diante disso, pelo teste da primeira derivada x = 1 é ponto de máximo local, pois
o sinal da derivada nesse ponto muda de positivo para negativo. Analogamente,
pelo teste da primeira derivada x = −1
3
é ponto de mínimo local, pois o sinal da
derivada nesse ponto muda de negativo para positivo.
b) Os valores de f nos quais os extremos relativos ocorrem são:
f(1) = 13 − 12 − 1 = −1
f(−1
3
) =
(
− 1
3
)3
−
(
− 1
3
)2
−
(
− 1
3
)
=
5
27
.
c) A função f é crescente em (
−∞,−1
3
)
∪
(
1,+∞
)
.
d) A função f é decrescente em (
−1
3
, 1
)
.
Por fim, podemos verificar cada sentença acima olhando os sinais de f ′(x). Assim,
ao visualizar o comportamento correspondente em f(x), podemos confirmar os re-
sultados obtidos: máximos/mínimos relativos e intervalos de crescimento/decrescimento.
Figure 1: Gráfico da função f(x) em verde e f ′(x) em vermelho.
Questão 5. Considere a função g : R → R definida por g(x) = 2x3 +3x2 − 12x+1.
Determine:
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a) Os extremos relativos de g pelo teste da segunda derivada;
b) Os valores de g nos quais os extremos relativos ocorrem;
c) Os intervalos nos quais g é côncava para baixo;
d) Os intervalos nos quais g é côncava para cima;
e) Os pontos de inflexão de g.
Solução:
a) Derivando a função g para encontrar os pontos críticos
g(x) = 2x3 + 3x2 − 12x+ 1
g′(x) = 6x2 + 6x− 12 .
Com isso, consideramos a equação g′(x) = 0:
6x2 + 6x− 12 = 0 ,
e encontramos as raízes: x1 = 1 e x2 = −2.
x1 =
−6 +
√
(6)2 − 4 · 6 · (−12)
2 · 6
= 1
x2 =
−6−
√
(6)2 − 4 · 6 · (−12)
2 · 6
= −2 .
Calculando agora a segunda derivada de g:
g′′(x) = 12x+ 6 .
Com isso,
g′′(1) = 18
g′′(−2) = −18 .
Diante disso, pelo teste da segunda derivada, x = 1 é ponto de mínimo local,
pois o sinal da segunda derivada nesse ponto é positiva. Analogamente, pelo teste
da segunda derivada x = −2 é ponto de máximo local, pois o sinal da segunda
derivada nesse ponto é negativa.
b) Os valores de g nos quais os extremos relativos ocorrem são:
g(1) = 2 · 13 + 3 · 12 − 12 · 1 + 1 = −6
g(−2) = 2 · (−2)3 + 3 · (−2)2 − 12 · (−2) + 1 = 21 .
c) Para analisar a concavidade, primeiro consideramos a equação g′′(x) = 0:
12x+ 6 = 0 ,
que tem como solução
x3 = − 6
12
= −1
2
.
Sabe-se que g′′ é uma função afim e crescente, isso significa que ela assume valores
negativos antes da raiz x3 e assume valores positivos depois da raiz x3. Portanto,
a função g é côncava para cima em(
−1
2
,+∞
)
.
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Cálculo I Lista de Exercícios 09
d) Por razões análogas às do item anterior, a função g é côncava para baixo em(
−∞,−1
2
)
.
e) Como g muda de concavidade em x = −1
2
, ele é ponto de inflexão.
Por fim, podemos verificar cada sentença acima olhando os sinais de g′(x) e
g′′(x). Assim, ao visualizar o comportamento correspondente em g(x), podemos
confirmar os resultados obtidos: máximos/mínimos relativos, intervalos de cresci-
mento/decrescimento e concavidade.
Figure 2: Gráfico da função g(x) em verde, g′(x) em vermelho e g′′(x) em azul.
Questão 6. Considere funções f, g : R → R. Suponha que suas derivadas são
contínuas, e que f(0) = g(0) = 0, f ′(0) = β + 3 e g′(0) = 1 − β, onde β é um
número real. Para quais valores de β a função composta f ◦g é estritamente crescente
em um intervalo ao redor de x = 0?
Solução: Utilizando a regra da cadeia, obtemos:
(f ◦ g)′(x) = f ′(g(x)) · g′(x)
(f ◦ g)′(0) = f ′(g(0)) · g′(0)
(f ◦ g)′(0) = f ′(0) · (1− β)
(f ◦ g)′(0) = (β + 3)(1− β) .
A função f ◦g é estritamente crescente em um intervalo se, e somente se, sua derivada
é positiva nesse intervalo. Por continuidade, para que isso ocorra em algum intervalo
ao redor de x = 0, basta que isso ocorra em x = 0. Com isso, analisamos
(β + 3)(1− β) > 0 ,
que é equivalente a β pertencer ao intervalo (−3, 1) (pois o produto de dois números
reais é positivo se, e somente se, ambos são positivos ou ambos são negativos).
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