Concavidade e Pontos de Inflexão

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Objetivos da Aula
� De�nir concavidade do grá�co de uma função;
� De�nir ponto de in�exão;
� Apresentar e utilizar o Teste da Segunda Derivada.
1 Concavidade
Considere um intervalo I e uma função f : I → R derivável cujo grá�co é dado abaixo.
Figura 1: Grá�co de uma função f .
Sejam p, x ∈ I tais que x 6= p, sendo representados no grá�co como mostra abaixo:
Figura 2: Grá�co de uma função f .
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Universidade Federal do Pará
Cálculo I - 2023-4
Aula nº 18: Concavidade e Teste da Segunda Derivada.
Cálculo I Aula nº 18
Agora, tracemos a reta tangente ao grá�co de f que passa pelo ponto (p, f(p)), como está ilustrado
abaixo.
Figura 3: Grá�co de uma função f .
Como já foi observado em aulas anteriores, sabemos que a equação da referida reta tangente em (p, f(p))
é dada por
y = f(p) + f ′(p)(x− p),
que denotaremos por
T (x) = f(p) + f ′(p)(x− p).
Note que para x 6= p, temos que a reta tangente possui um valor menor que f(x) como é ilustrado a
seguir .
Figura 4: Grá�co de uma função f .
Dessa forma, de�nimos que f tem concavidade para cima em um intervalo aberto I se
f(x) > T (x)
para quaisquer x, p ∈ I com x 6= p.
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Cálculo I Aula nº 18
De forma análoga, dizemos que f possui concavidade para baixo em um intervalo aberto I se
f(x) < T (x)
para quaisquer x, p ∈ I com x 6= p. Agora, podemos observar que nem todas as funções possuem um tipo
de concavidade em todo o seu domínio. Desse modo, de�nimos o que seriam os pontos de in�exão.
De�nição 1. Sejam f uma função contínua em um intervalo I e p ∈ I. Dizemos que (p, f(p)) é ponto de
in�exão de f se existirem números reais a e b com p ∈ (a, b) ⊂ I, tal que f tenha concavidade de nomes
contrários em (a, p) e (p, b).
Em outras palavras, (p, f(p)) é um ponto de in�exão se f é contínua em x = p e existir um intervalo
aberto (a, b) ⊂ I com p ∈ (a, b) tal que f tem concavidade para cima em (a, p) e concavidade para baixo
em (p, b) ou vice-versa.
Vejamos alguns exemplos de pontos de in�exão.
Figura 5: Ponto de In�exão de uma função f .
Figura 6: Pontos de In�exão de uma função f .
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Cálculo I Aula nº 18
O próximo resultado é de extrema importância para determinarmos com mais facilidade a concavidade
de uma função e os possíveis pontos de in�exão.
Teorema 1. Seja f uma função que admite derivada até 2ª ordem no intervalo aberto I.
(i) Se f ′′(x) > 0 em I, então f terá concavidade para cima em I;
(ii) Se f ′′(x) < 0 em I, então f terá concavidade para baixo em I.
Vejamos alguns exemplos de aplicação desse teorema.
Exemplo 1. Estude a função f(x) = x3 − 3x2 − 9x com relação à concavidade e pontos de in�exão.
Solução: Pelo teorema anterior, basta estudar o sinal da função f ′′(x). Sendo assim, note que
f(x) = x3 − 3x2 − 9x
f ′(x) = 3x2 − 6x− 9
f ′′(x) = 6x− 6.
Agora, note que f ′′ é uma função polinomial do primeiro grau que possui raiz em x = 1. Logo, notamos
que f ′′(x) < 0 para x ∈ (−∞, 1) e f ′′(x) > 0 para x ∈ (1,+∞). Então pelo teorema 1, f tem concavidade
para baixo em (−∞, 1) e concavidade para cima em (1,+∞). É comum representarmos essas informações
através do seguinte diagrama:
Utilizando o diagrama acima, vê-se facilmente que em p = 1 temos um ponto de in�exão de f .
�
Exemplo 2. Estude a função f(x) =
x
1 + x2
com relação à concavidade e pontos de in�exão.
Solução: Como �zemos anteriormente, devemos determinar primeiramente a função f ′′ e estudar o seu
sinal. Dito isso, note que
f ′(x) =
[
x
1 + x2
]′
=
(x)′(1 + x2)− x(1 + x2)′
(1 + x2)2
=
1 + x2 − 2x2
(1 + x2)2
=
1− x2
(1 + x2)2
.
Agora, observe que
f ′′(x) =
[
1− x2
(1 + x2)2
]′
=
(1− x2)′(1 + x2)2 − (1− x2)
[
(1 + x2)2
]′
(1 + x2)4
=
(−2x)(1 + x2)2 − (1− x2).4x.(1 + x2)
(1 + x2)4
=
−2x− 4x3 − 2x5 − 4x+ 4x5
(1 + x2)4
=
2x(x4 − 2x2 − 3)
(1 + x2)4
.
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Cálculo I Aula nº 18
Note que (1 + x2)4 > 0, para qualquer valor real atribuído a x. Dessa forma, para estudar o sinal da
função f ′′, basta estudar o sinal da função 2x(x4 − 2x2 − 3). Sendo assim, vamos estudar o sinal do fator
x4− 2x2− 3. Tomando y = x2, podemos reescrever o polinômio como sendo y2− 2y− 3 que possui raízes
y1 = −1 e y2 = 3. Como y só admite valores positivos, temos que x1 = −
√
3 e x2 =
√
3. Dessa forma, a
concavidade de f é dada por:
Logo, f possui concavidade para baixo em (−∞,−
√
3)∪(0,
√
3) e concavidade para cima em (−
√
3, 0)∪
(
√
3,+∞). Portanto, em p = −
√
3, p = 0 e
√
3 temos pontos de in�exão de f .
�
Observação 1. De posse desse resultado, podemos buscar os pontos de in�exão de f analisando os pontos
em f ′′(x) = 0. Contudo, só veri�car as raízes de f ′′ não basta, devemos também analisar a concavidade
da função em pontos próximos dessas raízes.
O exemplo a seguir ilustra essa observação.
Exemplo 3. Considere a função f(x) = x4. Determine seus pontos de in�exão, caso existam.
Solução: Note que
f ′(x) = 4x3
e que
f ′′(x) = 12x2.
Estudando o sinal de f ′′, temos que a concavidade de f é dada por:
Dessa forma, (0, 0) não é um ponto de in�exão de f , pois a concavidade em pontos próximos de x = 0
não muda. Logo, f não possui pontos de in�exão.
�
Exemplo 4. Estude a função f(x) = sen x − cosx, x ∈ [0, 2π], com relação à concavidade e pontos de
in�exão.
Solução: Note que
f ′(x) = cosx+ sen x
e
f ′′(x) = cosx− sen x.
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Cálculo I Aula nº 18
Dessa forma, fazendo f ′′(x) = 0 para encontrar as raízes de f ′′, obtemos que
cosx− sen x = 0
senx = cosx
tg x = 1.
Podemos notar que as raízes dessa última equação são x = π
4 e x = 5π
4 que são os candidatos a ponto de
in�exão. Desse modo para estudar a concavidade de f , podemos determinar os pontos tais que f ′′(x) < 0,
logo,
cosx− sen x < 0
cosx < sen x
tg x < 1.
Para o domínio considerado, os pontos que satisfazem a desigualdade acima são
π
4
< x <
5π
4
.
Analogamente
f ′′(x) > 0 se 0 < x <
π
4
ou
5π
4
< x < 2π.
Assim, notamos que f é côncava para baixo em
(
π
4
,
5π
4
)
e para cima em
(
0,
π
4
)
∪
(
5π
4
, 2π
)
que nos
pontos de abscissa x =
π
4
e x =
5π
4
temos pontos de in�exão da função f .
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2 Teste da Segunda Derivada
Sejam f uma função que admite derivada de 2a ordem contínua no intervalo I e p ∈ I.
(i) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) > 0 então p é um ponto de mínimo local ou relativo;
(ii) Se f ′(p) = 0 e f ′′(p) < 0 então p é um ponto de máximo local ou relativo
Os exemplos a seguir ilustram a utilização desse importante resultado.
Exemplo 5. Utilizando o Teste da Segunda Derivada, determine os máximos e mínimos relativos da função
f(x) =
x4
4
− x3 − 2x2 + 3.
Solução: Primeiramente, vamos determinar f ′. Desse modo,
f ′(x) = x3 − 3x2 − 4x.
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Cálculo I Aula nº 18
Agora, vamos determinar os números críticos de f . Sendo assim, note que
f ′(x) = 0
x3 − 3x2 − 4x = 0
x.(x2 − 3x− 4) = 0.
Sendo assim, x = 0 ou x2 − 3x − 4 = 0. Resolvendo essa última equação, obtemos que os números
críticos de f são x = 0, x = 4 e x = −1. Agora, note que
f ′′(x) = 3x2 − 6x− 4.
E assim,
f ′′(0) = −4 < 0
f ′′(4) = 20 > 0
f ′′(−1) = 5 > 0.
Pelo Teste da Segunda Derivada, temos que x = 4 e x = −1 são mínimos locais de f e x = 0 é máximo
local de f .
�
Exemplo 6. Considere a função f(x) = x3 − 3x2 + 3x− 1. Podemos a�rmar algo sobre seu(s) número(s)
crítico(s), utilizando o Teste da Segunda Derivada?
Solução: Note que f(x) = (x− 1)3. Logo, pela regra da cadeia, note que
f ′(x) = 3(x− 1)2.(x− 1)′ = 3(x− 1)2.
Assim, o ponto crítico de f é x = 1. Agora, calculando f ′′ obtemos que
f ′′(x) = 6(x− 1).(x− 1)′ = 6(x− 1).
Mas observe que
f ′′(1) = 6(1− 1) = 0.
Isso implica que não podemos utilizar o teste da segunda derivada, pois ele não se aplica quando
f ′′(p) = 0 ou quando f ′′(p) não existe.
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Observação 2. Note que o Teste da Segunda Derivada é inconclusivo se f ′′(c) = 0 ou se f ′′(c) não existir
no número crítico x = c. Contudo, no exemplo anterior, estudando a concavidade de f notamos que em
x = 1 temos um ponto de in�exão de f(x) = x3 − 3x2 + 3x − 1. Observando o grá�co, podemos notar
esse fato.
Figura 7: Grá�co de f(x) = (x− 1)3.
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CálculoI Aula nº 18
Exemplo 7. Dada a função f(x) = 3x5 − 5x3. Classi�que os pontos críticos de f em pontos de máximos
locais, mínimos locais ou de in�exão.
Solução: Note que
f ′(x) = 15x4 − 15x2.
Fazendo f ′(x) = 0, obtemos que
15x4 − 15x2 = 0⇒ 15x2(x2 − 1) = 0,
implicando que os pontos críticos de f estão em x1 = x2 = 0, x3 = −1 e x4 = 1. Calculando a segunda
derivada de f , obtemos que
f ′′(x) = 60x3 − 30x = x(60x2 − 30),
logo,
f ′′(0) = 0
f ′′(−1) = −30 < 0
f ′′(1) = 30 > 0.
Então, pelo Teste da Segunda Derivada, podemos a�rmar que x = −1 é máximo local e x = 1 é mínimo
local de f . Analisando a concavidade de f , temos que
Logo, (0, 0) é um ponto de in�exão.
�
Exemplo 8. Classi�que os pontos críticos da função f(x) =
ex
x
, caso existam.
Solução: Note que
f ′(x) =
(ex)′.x− ex.(x)′
x2
=
ex(x− 1)
x2
.
Logo, o único número crítico de f é x = 1. Agora, calculando a segunda derivada, temos que
f ′′(x) =
[ex(x− 1)]′x2 − ex(x− 1)(x2)′
x4
=
[(ex)′(x− 1) + ex(x− 1)′]x2 − 2x(x− 1)ex
x4
=
ex(x2 − 2x+ 2)
x3
.
Agora, note que
f ′′(1) =
e1(12 − 2.1 + 2)
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= e > 0.
Logo, pelo Teste da Segunda Derivada, x = 1 é mínimo local de f .
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Cálculo I Aula nº 18
Resumo
Faça um resumo dos principais resultados vistos nesta aula.
Aprofundando o conteúdo
Leia mais sobre o conteúdo desta aula nas páginas 86-88,119-128,272-277,285,286 do livro texto.
Sugestão de exercícios
Resolva os exercícios das páginas 88-91,128-130,278-280,286 e 287 do livro texto.
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