Cap-5 Livro Circuitos de Corrente Alteranda

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Capítulo 5 – Potências em circuitos de corrente alternada 
 
 
 
No livro texto têm muitos exemplos e exercícios propostos com 
respostas. 
http://www.ofitexto.com.br/circuitos-de-corrente-alternada/p 
Os vídeos contendo demonstrações experimentais de diferentes 
conceitos, podem ser encontrados na internet (YouTube) através das 
palavras chaves: FEEC VIDEOS ET016 
 
5.1 Conceitos básicos 
 
~ 
 
 
u(t) Z 
i(t) 
 
Nos terminais da fonte: 
  )t.(sen.U2tu ef  o0UÛ ef 
 
 
A impedância Z pode ser expressa por: 
Z = |Z| = R + j.X 
polar retangular 
 
Corrente em regime permanente: 
)t.(sen.
Z
U
2)t.(senI2)t(i ef
ef  



 ef
ef
o
ef I
Z
U
Z
0U
Z
Û
Î 
 
Potência instantânea fornecida pela fonte:      titutp  
Substituindo   )t.(sen.U2tu ef  e )t.(senI2)t(i ef  
)t.(sen)t.(senIU2)t(p efef  
 
Através de relações trigonométricas obtém-se: 
 
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
 
Componente {A} tem o valor constante.. )cos(IU efef  que multiplica uma função 
“senoidal” com frequência igual ao dobro da frequência da tensão: 
)]t..2[cos()cos(IU efef  
 
Componente {B} tem o valor constante.. )(senIU efef  que multiplica uma função 
senoidal com frequência igual ao dobro da frequência da tensão: 
)]t..2(sen[)(senIU efef  
Portanto... 
http://www.ofitexto.com.br/circuitos-de-corrente-alternada/p
 
2 
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
 
corresponde a uma forma de onda senoidal com frequência dupla somada a um 
valor constante que veremos graficamente no Exemplo 5.1 
 
Exemplo 
30φ rad/s 377  A10I V100U efef 
  )t.(sen2100tu 377 V   )30t.(sen210ti  377 A 
 
   
    
BA
)t754(sen500)]t754cos(1[3500)t(p  W 
 
 
OBS.: Fatores de multiplicação foram utilizados para tornar adequada a 
visualização. 
 
Calculando o valor médio de: 
 
   
    
BA
)t754(sen500)]t754cos(1[3500)t(p  W 
obtém-se: 
3500Pm  W 
que genericamente corresponde a:   cosIUP efefm , sendo o valor constante 
da componente {A}: 
   
    
  
B
efef
A
efef )t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p 

 
 
Unidade de Pm  Watt (W) 
 
5.1.1 Impedância Resistiva 
 
~ 
 
 
u(t) Z 
i(t) 
 
 
Se a impedância Z é puramente resistiva: 0RZ0X  
 
 
3 
A expressão da potência..
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
resulta: 
 
  
A
)]t..2cos(1[IUp(t) efef  
A componente {B} é nula. 
 
 
O valor médio de..
 
  
A
)]t..2cos(1[IUp(t) efef  é efefm IUP  
 
5.1.2 Impedância Indutiva 
 
~ 
 
 
u(t) Z 
i(t) 
 
 
Se a impedância Z é puramente indutiva: 
radou 
2
90LXZ0R L

  
 
A expressão da potência..
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
resulta: 
 
  
B
)t..2(senIU)t(p efef  
 
Neste caso tanto a componente {A} como o valor médio da potência são nulos. 
 
Para a impedância Z puramente indutiva: 
 
 
Para valores positivos da potência: 
indutor recebe energia da fonte. 
 
Para valores negativos da potência: 
indutor fornece energia à fonte. 
 
A energia armazenada durante um 
período de tempo é devolvida à fonte 
no período de tempo seguinte. 
 
 
 
4 
5.1.3 Impedância Capacitiva 
 
~ 
 
 
u(t) Z 
i(t) 
 
 
Se a impedância Z é puramente capacitiva: 
radou
2
90
C
1
XZ0R C



  
 
A expressão da potência..
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
resulta: 
 
  
B
)t..2(senIU)t(p efef  
 
Da mesma forma que para Z puramente indutiva, a componente {A} e o valor 
médio da potência instantânea são nulos. 
 
Para a impedância Z puramente capacitiva: 
 
 
Para valores positivos da potência: 
capacitor recebe energia da fonte. 
 
Para valores negativos da potência: 
capacitor fornece energia à fonte. 
 
A energia armazenada durante um 
período de tempo é devolvida à 
fonte no período de tempo seguinte. 
 
 
Compare os comportamentos elétricos do capacitor e do indutor sob o ponto de 
vista da energia armazenada. 
 
Indutor 
 
 
Capacitor 
 
 
 
 
 
5 
5.1.4 Circuito RLC série 
 
~ 
 
 
u(t) Z 
i(t) 
 
Se a impedância Z corresponde a um RLC série com estas formas de onda: 
 
RLC série com comportamento capacitivo 
 
A potência assume valores positivos e negativos ao longo do tempo e o 
valor médio da potência fornecida é: 
 
)cos(IUP efefm  
que corresponde ao valor constante da componente {A} 
 
  
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
 
 
 
Comparando-se a área sob a parte positiva da curva p(t) com a área 
contida na parte negativa, conclui-se que a energia fornecida pela fonte é 
maior do que a energia que lhe é devolvida, indicando que ao longo do tempo 
há uma energia líquida que é consumida pela carga, devido à existência de 
bipolos resistivos na composição da carga. 
 
DEFINIÇÕES 
 
Retomando a expressão da potência instantânea: 
   
    
BA
)t..2(sen)(senIU)]t..2cos(1[)cos(IU)t(p efefefef  
A expressão )cos(IU efef  corresponde ao cálculo da grandeza denominada 
potência ativa (P). 
 
6 
A expressão )(senIU efef  corresponde ao cálculo da grandeza denominada 
potência reativa (Q). 
 
Retomando os fasores associados à tensão e à corrente: 
o0UÛ ef  efIÎ 
define-se o número complexo S, denominado potência complexa, como: 
 
 
 ÎÛS * - conjugado 
 
  efef I0US o
 
 
)(senIUj)cos(IUS efefefef  
 
Retomando as expressões definidas para as potências ativa e reativa: 
 
)cos(IUP efef  )(senIUQ efef  
 
a expressão para a potência complexa resulta: 
QjPS   SS 
 
P
Q
tgQPIUS 22
efef  
 
S é denominado potência aparente. 
 
Unidades: 
Potência complexa (S) e Potência aparente ( S ) 
volt-ampère (VA) quilovolt-ampère (kVA) megavolt-ampère (MVA) 
 
Potência ativa: 
watt (W) quilowatt (kW) megawatt (MW) 
 
Potência reativa (Q) 
volt-ampère reativo (VAr) quilovolt-ampère reativo (kVAr) 
megavolt-ampère reativo (MVAr) 
 
Exemplo 
Circuito RL série conectado a uma fonte c.a.(60 Hz) 
R = 10  L = 
7,37
1
 H   )t.(sen.2100tu  V 
Obtenha na fonte: 
a) a corrente i(t); 
b) a potência p(t); 
c) as potências complexa, ativa e reativa; 
d) e trace o triângulo de potências. 
1000100Û  
 V 
452.1010.j10
7,37
1
377.j10Z   


452.5
452.10
0100
Z
Û
Î
o



 A 
)45t.(sen10)45t.(sen252)t(i   A 
 
Note que o ângulo de 45
o
 da impedância total da carga, também é o ângulo da 
defasagem entre a corrente e a tensão na fonte. 
 
7 
50045cos25100)cos(IUP efef  
 W 
 
50045sen25100Q  
 VAr 
 
)t..2(sen500)]t..2cos(1[500)t(p  W 
 
452.500ÎÛS  
 VA 
  451
P
Q
tg2.500S  VA 
 
Exemplo 
Repetir o exemplo anterior acrescentando um capacitor de 
7540
1
F em série com o 
resistor e o indutor. 
452.1010.j10
377
7540
.j
7,37
1
377.j10Z   
 


452.5
452.10
0100
Z
Û
Î
o



 A 
 
500)45cos(2.5.100)cos(IUP efef  
 W 
 
500)45(sen25100Q  
 VAr 
 
Notemque a potência reativa resultou em um valor negativo devido ao 
predomínio do capacitor. 
 
Cálculo da Potência Complexa: 
452.500ÎÛS  
 VA   451
P
Q
tg2.500S  VA 
 
 
 
 
 
8 
 
CONVENÇÃO: 
 
Fluxos das potências ativa e reativa 
 
 
5.2 Obtenção Experimental das Potências Ativa e Reativa 
 
A potência ativa pode ser medida através do wattímetro. 
 
 
 
Wattímetro Eletrodinâmico 
 
ATENÇÃO: 
Representação padronizada do wattímetro eletrodinâmico: 
 
 
 
Potência Reativa 
 
A medição de potência reativa pode ser realizada com um equipamento similar 
ao wattímetro, denominado varímetro. 
 
Como na prática é mais comum se ter voltímetros, amperímetros e wattímetros 
do que varímetros, frequentemente calcula-se a potência reativa a partir dos 
valores de tensão, corrente e potência ativa: 
 
  22
PIUQ  
Bornes da 
Bobina de 
Corrente 
(BC) 
Bornes da 
Bobina de 
Potencial 
(BP) 
Chave seletora do 
Fundo de escala 
 
9 
5.3 Fator de potência 
 
  efef IÎUÛ 
 
 
Potência complexa: 
 
efef IUÎÛS 
 
Potência ativa: 
    cosIUcosSP efef 
 
O cos() pode ser interpretado como um fator que define a parcela da potência 
aparente que é dissipada nos elementos resistivos do circuito. Este fator é 
denominado de fator de potência. 
 
Da definição de potência ativa, tem-se: 
 
efef IU
P
S
P
)(cosfp

 
 
O fator de potência é o cosseno do ângulo de defasagem entre a tensão e a 
corrente do circuito. 
 
Convenção para fator de potência 
 
Para tornar explícita a diferença entre as características das cargas, diz-se 
que: 
Para uma carga indutiva, o fator de potência é indutivo ou atrasado, 
indicando que a corrente está atrasada em relação à tensão. 
E para a carga capacitiva, o fator de potência é capacitivo ou adiantado, 
indicando que a corrente está adiantada em relação à tensão. 
 
5.4 Correção do fator de potência 
 
o0440Û  V 
 
Zm = 10030
o
  
 
Zc = -j.300  
 
 
Com a chave aberta, a corrente na fonte é a que circula em Zm : 


304,4
30100
0440
Z
Û
ÎÎ
o
m
mf 


 A 
 
10 
 
Note que a corrente está atrasada em relação à tensão, pois a carga é 
indutiva e a potência complexa suprida pela fonte é igual à potência exigida 
pela carga: 


QP
fmf 00,968j625,1676301936304,40440ÎÛSS   VA 
Sendo Q>0: 
A fonte está suprindo uma potência reativa de 968 VAr, necessária para o 
funcionamento da carga além da potência ativa da ordem de 1,7 kW. 
 
 
 
Ao se fechar a chave, a corrente em Zm não se altera, pois a tensão aplicada 
sobre ela permanece a mesma (circuito paralelo). 
 
A corrente no capacitor (Zc) é: 


904667,1
90300
0440
Z
Û
Î
o
c
c 


 A 
 
E a corrente na fonte pode ser calculada por: 
89,108804,3ÎÎÎ cmf  A 
Importante: 
 
A conexão do capacitor em paralelo resultou em um valor menor da corrente na 
fonte e o ângulo de atraso desta corrente em relação à tensão na fonte também 
diminuiu. 
 
A potência complexa no capacitor vale: 
3333,645j903333,645
90300
440
Z
U
Z
Û
ÛÎÛS
2
c
2
c
cc 










 

 VA 
 
Note que no capacitor não há componente relativa à potência ativa e o valor 
negativo da potência reativa calculada, indica que o capacitor fornece 
potência reativa ao circuito. 
 
Importante: 
 
A potência complexa na carga (Sm) não se altera com o fechamento da chave. 
 
A potência complexa fornecida pela fonte é: 
564,322j629,167689,10376,170789,108804,30440ÎÛS ff   
 VA 
Como o capacitor não consome potência ativa, a fonte continua fornecendo os 
mesmos 1,7 kW que são consumidos pela carga. 
 
A carga necessita de potência reativa de 968 VAr; a fonte fornece 
aproximadamente 322,6 VAr e o capacitor supre aproximadamente 645,3 VAr. 
 
 
11 
 
Fluxos de potência ativa e reativa 
 
Se o capacitor for trocado por um outro tal que Zc = -j.150 , tem-se: 


90933,2
90150
0440
Z
Û
Î
o
c
c 


 A 
 
E a corrente na fonte pode ser calculada por: 
89,10880,3ÎÎÎ cmf  A 
 
Note que com o novo capacitor, a corrente na fonte estará adiantada em 
relação à tensão. 
A potência complexa neste capacitor vale: 
667,1290.j90667,1290
90150
440
Z
U
Z
Û
ÛÎÛS
2
c
2
c
cc 










 

 VA 
 
E a potência complexa fornecida pela fonte é: 
 89,108804,30440ÎÛS ff 

 VA 
5644,322.j6291,167689,103760,1707Sf  
 VA 
 
Importante: 
 
Como o capacitor não consome potência ativa, a fonte continua fornecendo os 
mesmos 1,7 kW que são consumidos pela carga, a qual também continua 
demandando 968 VAr de potência reativa. 
Porém, com o novo capacitor, a fonte deve absorver 322,6 VAr de potência 
reativa enquanto o capacitor supre 1290,7 VAr. 
 
 
 
Fluxos de potência ativa e reativa 
 
Obtido o valor da potência reativa a ser suprida pelo capacitor e sabendo-se 
o valor da frequência, pode-se obter o valor da capacitância: 
Qc = U
2
/Xc = U
2
..C. 
 
 
 
 
 
 
12 
 
Diagramas fasoriais completos 
 
 
 
 
 
 
A partir destes diagramas é possível concluir que, dependendo da combinação carga-capacitor, a fonte 
pode suprir ou absorver potência reativa enquanto a potência ativa fornecida pela fonte é constante, 
independentemente do capacitor conectado. 
 
OBS.: 
1. quanto maior for a potência reativa suprida pela fonte, menor o valor 
do fator de potência; 
2. um baixo fator de potência significa que uma pequena porcentagem da 
potência aparente fornecida pela fonte corresponderá à potência ativa; 
3. quanto mais baixo o fator de potência, maior a corrente nos condutores; 
maiores as perdas na transmissão da potência da fonte à carga; e maior 
a queda de tensão nos condutores, diminuindo a tensão aplicada na 
carga. 
 
Tendo em vista os fatos apresentados, conclui-se que é vantajosa a elevação do fator de potência da instalação. 
 
 
 
 
13 
Com o fechamento da chave e, portanto, com a conexão de um ou mais 
capacitores em paralelo, pode-se conseguir que a fonte forneça somente a 
potência ativa, enquanto que a potência reativa necessária ao funcionamento 
da carga é suprida pelos capacitores. 
 
O procedimento adotado para a elevação do fator de potência de uma 
instalação, que consiste na inserção de uma fonte de potência reativa 
(capacitor em paralelo), é denominado correção do fator de potência. 
 
No Brasil, a ANEEL [Agência Nacional de Energia Elétrica] estabelece que o 
fator de potência deve ser no mínimo 0,92 capacitivo durante 6 horas da 
madrugada e no mínimo 0,92 indutivo durante as outras 18 horas do dia. 
No momento, esta é uma resolução que deve ser cumprida pelo setor industrial 
e quem descumpre tem a fatura do consumo de energia elétrica calculada da 
seguinte forma: 
Valor a pagar = custo da energia consumida  
indfp
92,0
 
 
Este cálculo pode resultar em um acréscimo considerável no valor a ser pago. 
 
 
Vídeo: Correção do Fator de Potência de um Motor de Indução 
 
http://www.youtube.com/watch?v=rSC6nYetwBk&list=UUktBY2APufc56MIUsLhBmIw&index=8&feature=plcp 
 
 
http://pt.wikipedia.org/wiki/Brasil
http://www.youtube.com/watch?v=rSC6nYetwBk&list=UUktBY2APufc56MIUsLhBmIw&index=8&feature=plcp