Cap-4 Livro Circuitos de Corrente Alteranda

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Capítulo 4 – Conceitos de fasor e impedância 
 
Motivação: 
A resolução de circuitos de corrente alternada no domínio do tempo - através da manipulação de equações 
diferenciais - pode apresentar níveis de dificuldade e trabalho bastante elevados. 
Veremos que é vantajosa a resolução e análise de circuitos c.a. através dos conceitos de fasor e impedância. 
 
4.1 Revisão Básica de Números Complexos 
Um número complexo z é representado por um par ordenado de números reais (x,y). 
 
 
x é a parte real (Re) 
 
y é a parte imaginária (Im) 
Im{z}yRe{z}x 
 
 
Uma das formas matemáticas de representação do número complexo z é a forma retangular: 
1jyjxz  
 
 
 
Na figura, z* 
corresponde ao conjugado de z 
yjxz 
 
 
O número complexo z também pode ser espresso na 
forma polar: 
αz.ezz jα  
 
 
Da trigonometria do triângulo retângulo: 
22 yxz       
x
y
tg
z
y
sen
z
x
cos  
 
Conjugado de z na forma polar: 
  ze.zz j
 
 
 
2 
Operações aritméticas básicas: 
11
1j
1111 ze.zyjxz 

 
22
2j
2222 ze.zyjxz 

 
 Soma: )yy(j)xx(zz 212121   
 Subtração: )yy(j)xx(zz 212121   
 Multiplicação: )(z.ze.z.zz.z 2121
)21(j
2121 

 
 Divisão: )(
z
z
e
z
z
z
z
21
2
1)21(j
2
1
2
1 

 
 
4.2 Fasor 
 
Número complexo na forma polar: 
  ze.zz j
 
 
Da matemática tem-se a Fórmula de Euler: 
     
 senjcose j
 
 
Então, pode-se também expressar o número complexo z na seguinte forma: 
          sen.zjcos.zsenjcos.zz 
 
 cos.z corresponde à parte real e  sen.z é a parte imaginária 
Uma corrente alternada senoidal tem a forma geral: 
)t.(sen.I.2)t.(sen.I)t(i efp  
 
Com base na fórmula de Euler: 
     sen.jcose j 
pode-se inferir que )t.(sen.I.2 ef  é a parte imaginária do seguinte número complexo Ĵ : 
 
 )t.(sen.j)t.cos(.I.2e.I.2Ĵ ef
)t.(j
ef  
 
 
Da trigonometria tem-se a seguinte equivalência: 
)90t.cos(.I.2)t.(sen.I.2)t(i efef
 
 
Nesse caso, pode-se inferir que )90t.cos(.I.2 ef
 é a parte real do seguinte
 
número complexo L̂ : 
 )90t.(sen.j)90t.cos(.I.2e.I.2L̂ ef
)90t.(j
ef

 
 
 
 
3 
Resumindo: 
É possível representar a corrente: 
)t.(sen.I.2)t.(sen.I)t(i efp  
como a parte imaginária do número complexo 
 )t.(sen.j)t.cos(.I.2e.I.2Ĵ ef
)t.(j
ef  
 
ou como a parte real do número complexo 
 )90t.(sen.j)90t.cos(.I.2e.I.2L̂ ef
)90t.(j
ef

 
 
)90t.cos(.I.2)t(i ef
 
Optamos por: 
)t.(sen.I.2)t.(sen.I)t(i efp  
 parte imaginária de 
 )t.(sen.j)t.cos(.I.2e.I.2Ĵ ef
)t.(j
ef  
 
“Migração” do domínio do tempo para o domínio do plano complexo 
 
Ĵ é um vetor girante no plano complexo com velocidade angular . 
 
Considerando-se que o valor eficaz de uma forma de onda senoidal é o valor de maior interesse prático, pode-se 
definir o fasor: 
 
ef
j
ef Ie.IÎ 
Detalhe: 
O fasor Î é fixo no plano complexo, ao contrário de Ĵ , que gira com velocidade . 
 
E ainda: 
2
Ĵ
Î  
Exemplo 
Obter os fasores e representá-los no plano complexo 
a) )
3
t.(sen.2.110)t(u  V 
b) )
3
t.cos(.80)t(i  A 
 
a) O valor eficaz de u(t) é 110 V e seu ângulo de fase é igual a 
3
 rad. Assim, tem-se o fasor: 
26,95.j55
3
110e.110Û 3
j


 V 
 
4 
b) Para i(t) tem-se: 
)
6
t.(sen.80)
23
t.(sen.80)
3
t.cos(.80)t(i  A 
 
28,28.j49
62
80
e.
2
80
Î 6
j


 A
 
Representação no plano complexo. 
 
100 
100 
0 
Î 
Im 
Re 
50 
50 
^ 
U 
/6 
 
/3 
 
 
4.3 Impedância 
Em um determinado bipolo tem-se: 
)t.(sen.U.2)t(u ef 
 
)t.(sen.I.2)t(i ef  
 
 
Os fasores associados à tensão e à corrente são: 
 efUÛ )(IÎ ef  
 
Com base na Lei de Ohm, define-se o conceito de impedância de um bipolo: 



 Z
I
U
)(I
U
Î
Û
Z
ef
ef
ef
ef 
 
A unidade da impedância é o Ohm (). 
 
 
Examinando: 
 Z
I
U
Î
Û
Z
ef
ef 
Nota-se que: 
 o módulo da impedância Z fornece a relação entre os valores eficazes de tensão e corrente 
 o ângulo da impedância () representa a defasagem entre os fasores da tensão e da corrente. 
 
5 
Para o Resistor (R): 
o0
R
U
I ef
ef  
 
Impedância ZR 
 R0R
R
U
U
Î
Û
Z
ef
ef
R 


  
 
Para o Indutor (L): 
A corrente está atrasada de 90
o
 em relação à tensão no indutor ( = 90
o
), e o valor eficaz da corrente é: 
L.
U
I ef
ef

 
Impedância ZL 


90XX.jL..j90L.
)90(
L.
U
U
Î
Û
Z LL
ef
ef
L 



 
L.X90XX.jZ LLLL  
 
 
XL corresponde à reatância indutiva. 
 
Note que a impedância do indutor é um número complexo com parte real nula. 
 
Para o Capacitor (C): 
A corrente está adiantada de 90
o
 em relação à tensão no capacitor ( = -90
o
), e o valor eficaz da corrente é: 
efef U.C.I  
Impedância ZC 


90XX.j
C.
1
.j90
C.
1
)90(U.C.
U
Î
Û
Z CC
ef
ef
C 






 
C.
1
X90XX.jZ CCCC

  
XC corresponde à reatância capacitiva. 
 
Note que a impedância do capacitor também é um número complexo com parte real nula. 
4.4 Circuitos com impedâncias em Série e/ou em Paralelo 
 
Exemplo 
Obter em cada circuito a impedância vista pela fonte, ou seja, a impedância total ou impedância equivalente nos 
terminais da fonte. 
 
Solução: 
A impedância vista pela fonte Zeq é dada pela relação entre os fasores de tensão e de corrente fornecidas por ela 
ou 
é a impedância equivalente resultante do agrupamento adequado de todas das impedâncias do circuito. 
 
6 
Para o circuito série: 
 
)t.(sen.U.2)t(u 1ef 
 
)t.(sen.U.2)t(u 2ef11 
 
)t.(sen.U.2)t(u 3ef22  
Lei das Malhas de Kirchhoff: )t(u)t(u)t(u 21  
Fasorialmente: 
Î).ZZ(Î.ZÎ.ZÛÛÛ 212121  
Logo: 
21eq ZZZ  
 
Conclusão: 
A impedância equivalente para um circuito série corresponde à mesma “fórmula” para a associação de resistores 
em série. 
 
Para o circuito paralelo: 
 
Lei dos Nós de Kirchhoff: 
21 ÎÎÎ  
Û.
Z
1
Û.
Z
1
Z
1
Z
Û
Z
Û
ÎÎÎ
eq2121
21 





 
Logo: 
21eq Z
1
Z
1
Z
1
 ou 
21
21
eq
ZZ
Z.Z
Z

 
 
Conclusão: 
A impedância equivalente para um circuito paralelo corresponde à mesma “fórmula” para a associação de resistores 
em paralelo. 
Em geral, uma associação de bipolos em um circuito apresenta uma impedância do tipo: 
jXRsen.Z.jcos.ZZZ  
R  resistência X  reatância 
 
Se X corresponder a uma característica indutiva,  é positivo. 
 
Se X corresponder a uma característica capacitiva,  é negativo. 
 
 
 
 
 
 
7 
4.5 Admitância 
O inverso do valor da impedância corresponde à admitância (Y): 



Z
1
Z
1
Z
1
Y 
ou 
B.jG
X.jR
1
Z
1
Y 

 
 
G  condutância B  susceptância 
 
Estas três grandezas elétricas têm como unidade o Siemens (S). 
 
Pode-se facilmente obter as seguintes relações: 
2222 XR
X
B
XR
R
G




 
 
 
NO LIVRO TEXTO HÁ EXEMPLOS 
NUMÉRICOS. ESTUDEM E TRAGAM 
AS SUAS DÚVIDAS. 
 
 
4.6 Diagrama fasorial 
 
É a representação dos fasores de tensão e corrente, de um circuito, no plano complexo. 
 
Exemplo 
 
Traçar o diagrama fasorial completo para o circuito: 
 
~ 
R 
+ 
XL 
+ 
- 
- 
ur(t) 
uL(t) 
+ 
- 
u(t) 
i(t) 
 
)t.(sen250)t(u  V 
R = 12  
XL = 16  
 
Solução: 
O fasor associado à tensão é 
050Û  V 
Como o resistor e o indutor estão conectados em série, a impedância vista pela fonte é: 
13,532016.j12X.jRZZZ LLR   
 
Cálculoda corrente (fasor): 



13,535,2
13,5320
050
Z
Û
Î 


 A 
 
Fasores das tensões em R e L: 
13,5330ÎRÛR  V 87,3640ÎX.jÛ LL  V 
Atividade: 
Obter o respectivo diagrama fasorial incluindo todos os fasores: 
050Û  V 
13,535,2Î  A 13,5330ÛR  V 
87,3640ÛL  V 
 
8 
 
 
DESTAQUES: 
 
O fasor Î está atrasado de 90
o
 em relação ao 
fasor 
LÛ (característica do indutor); 
 
A soma dos fasores 
RÛ e 
LÛ resulta em Û 
(Lei das Tensões de Kirchhoff). 
 
 
 
 
Exemplo 
 
A figura abaixo mostra um circuito que foi testado em laboratório com a finalidade de determinar a impedância Z 
de um equipamento. 
 
 
 
 
 
u(t) 
Z 
i(t) 
uZ(t) 
R uR(t) 
Osciloscópio 
CH2 
CH1 
GND 
~ 
 
O resistor R é de 20 . 
 
A tensão fornecida pela fonte (canal 1) e a tensão sobre o resistor R (canal 2) foram observadas no osciloscópio: 
 
escalas 
CH2 
CH1 
100 V/qd 
 1 ms/qd 
 
 
qd – um quadradinho pontilhado da tela do osciloscópio 
 
Desenhar o diagrama fasorial completo para o circuito e obter o valor de Z. 
 
Solução: 
Utilizando a escala vertical especificada: 
400Up  V 200U
pR  V
 
Valores eficazes: 
84,282
2
400
Uef  V 42,141
2
200
U
efR  V 
 
A tensão uR(t) está adiantada em relação a u(t). Valor da defasagem: 30
o
 
 
Tomando a tensão da fonte como referência angular, os respectivos fasores são: 
084,282Û  V 
3042,141ÛR  V 
 
 
9 
Lei das tensões de Kirchhoff: 
 
RRZ ÛÛÛÛÛ  
ZÛ pode ser obtida graficamente: 
 
30
o 
ZÛ 
RÛ 
Û 
RÛ- 
Î 
escalas 
 
60 V/cm 
 5 A/cm 
 
 
Do diagrama obtém-se: 
175U
efZ  V 
24 24175ÛZ  V 
Como a corrente i(t) pelo circuito está em fase com a tensão uR(t), o fasor associado a ela é: 
 


3007,7
20
3042,141
R
Û
Î R 

 A 
 
Diagrama fasorial completo: 
 
30
o 
ZÛ 
RÛ 
Û 
RÛ- 
Î 
escalas 
24
o
 60 V/cm 
 5 A/cm 
 
 
 
A impedância Z do elemento desconhecido é dada por: 
 
02,20j55,145475,24
3007,7
24175
Î
Û
Z Z 


 


  
 
Conclui-se que o elemento é do tipo capacitivo, pois sua reatância é negativa. Esta conclusão poderia também ser 
tirada através da observação do diagrama fasorial, já que a corrente Î aparece adiantada em relação a 
ZÛ . 
 
 
VÍDEO: TRAÇANDO DIAGRAMAS FASORIAIS DE CIRCUITO RCL SÉRIE 
http://www.youtube.com/watch?v=iXSSWWzVG68 
http://www.youtube.com/watch?v=iXSSWWzVG68