Fisica 2 - Ramalho-439-441

Prévia do material em texto

388
U
n
id
a
d
e
 F
 • 
O
n
d
a
s
388
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
 Objetivos
 Relacionar 
o MHS e o MCU.
 Definir as funções 
cinemáticas 
(função horária, 
função da velocidade, 
função da aceleração) 
no MHS a partir da sua 
relação com o MCU.
 Analisar os 
gráficos das funções 
cinemáticas do MHS.
 Compreender o que é 
fase inicial no MHS.
 Termos e conceitos
• pulsação
• elongação
• fase inicial
Seção 16.3
1 O MHS e o movimento circular uniforme
O MHS e o movimento circular uniforme (MCU) estão relacionados, 
de modo que um pode ser estudado por meio do outro. Esse estudo 
possibilita-nos chegar às equações cinemáticas do MHS.
Assim, seja o ponto P em MCU na circunferência de raio R. Os espaços s 
são me didos na própria circunferência (fig. 7) e os espaços angulares A são 
os ângulos centrais que de ter minam os arcos s. O ponto descreve a circun-
ferência com velocidade escalar v e velocidade angular h; a aceleração 
centrípeta acp é orientada para o centro. Se os ângulos A estão em radia-
nos (reveja Volume 1, Capítulo 10), temos:
s  AR v  hR acp  
v2
 __ 
R
  h2R
Considere que, no instante inicial t  0, o espaço inicial seja s0 (e A0, o 
espaço angular inicial), conforme a figura 8. A função horária do MCU é:
s  s0  vt ou A  A0  ht (na forma angular)
Funções horárias e gráficos do MHS
x
ϕ
s
+
P
acp
ω
O
R
v
 Figura 7.
ϕ0
s0
P0 (t = 0)
ω
O
P (t )
ϕ
x
 Figura 8.
No endereço eletrônico http://www.phy.ntnu.edu.tw/oldjava/portuguese/
mecanica/shm/shm.html (acesso em agosto/2009) você encontra animações que 
ilustram a relação entre o MHS e o MCU.
Entre na redeEntre na rede
Quando observamos 
frontalmente uma pessoa 
na bicicleta ergométrica, 
vemos que seus pés 
parecem apenas subir 
e descer, fato que nos 
leva a perceber a relação 
entre o MCU e o MHS. 
V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 388 02.09.09 09:14:10
389
C
a
p
ít
u
lo
 1
6
 • 
M
o
vi
m
e
n
to
 h
a
rm
ô
n
ic
o
 s
im
p
le
s 
(M
H
S
)
389
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
2 Função horária do MHS
Seja, agora, o ponto Q projeção ortogonal de P 
no eixo orientado Ox (fig. 9). Enquanto o ponto P 
descreve a circunferência em MCU, o ponto Q se 
move num e noutro sentido no diâ me tro horizon-
tal orien tado Ox. A posição de Q no eixo Ox é dada 
pela abscissa x, que pode ser obtida no triân gulo 
destacado OPQ pela de finição do cosseno:
x  R 3 cos A
A abscissa x, que define a posição do ponto Q, é chamada elongação.
Enquanto P descreve um MCU, o ponto Q oscila no diâmetro com um movimento não uni-
for me, cuja função horária é cossenoidal. Movimentos com fun ção horária idêntica à anterior 
são movimentos harmônicos simples, como iremos demonstrar no item 4, ao analisarmos a 
ace le ra ção e o tipo de força que gera o movimento.
Assim, P descreve a circunferência com MCU e Q oscila em torno de O com MHS. A velo-
cidade angular h do MCU é, no MHS, denominada pulsação ou frequência angular e ex pres sa 
em radianos por segundo (rad/s). O período T do MCU é o mesmo do MHS, pois a cada volta 
completa de P na circunferência corresponde uma oscilação completa de Q no diâmetro ho-
rizontal. Po de mos, então, escrever:
h  
2s
 ___ 
T
 ou T  
2s
 ___ 
h
 
3 Função da velocidade escalar do MHS
A velocidade de Q em MHS pode ser obtida a 
partir da velocidade de P em MCU (fig. 10). No tri-
ângulo destacado ABP da figura 10, a velocidade v 
de Q é a projeção da velocidade do ponto P (vP) no 
eixo Ox. Como o sentido dessa velocidade é con-
trário ao sentido positivo de Ox, acrescentamos o 
sinal menos ():
v  vP 3 sen A
v  ha 3 sen (A0  ht) ] v  ha 3 sen (ht  A0) 
 Figura 9.
ϕ
ω
O
P
x
Q
R = a
R
x
x  a 3 cos A  a 3 cos (A0  ht) ] x  a 3 cos (ht  A0) 
 Figura 10.
x
ϕ
O
P
v Q
vp = ωR
x
ϕ
vB
A
Sendo R  a, isto é, o raio da circunferência igual à amplitude a, temos: x  a 3 cos A.
O ângulo A é o espaço angular do ponto P que rea liza MCU.
Sendo A  A0  ht, resulta:
Como vP  hR ou vP  ha e A  A0  ht, obtemos:
V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 389 02.09.09 09:14:11
390
U
n
id
a
d
e
 F
 • 
O
n
d
a
s
390
R
ep
ro
d
uç
ão
 p
ro
ib
id
a.
 A
rt
.1
84
 d
o 
C
ód
ig
o 
P
en
al
 e
 L
ei
 9
.6
10
 d
e 
19
 d
e 
fe
ve
re
iro
 d
e 
19
98
.
4 Função da aceleração escalar do MHS
A aceleração de Q em MHS pode ser obtida a partir da 
aceleração centrípeta de P em MCU (fig. 12). No triângulo des-
tacado da figura 12, a aceleração a de Q é a projeção de acp 
no eixo Ox. Como o sentido dessa aceleração é contrário ao 
sentido positivo de Ox, acrescentamos o sinal menos ():
a  acp 3 cos A
Como acp  h2R ou acp  h2a e A  A0  ht, obtemos:
A fórmula , x  a 3 cos (ht  A0), substituída em  nos conduz a: a  h2x 
Como a velocidade angular h é constante, podemos afirmar:
A aceleração no MHS é proporcional à abscissa que define a 
posição e tem sinal contrário ao desta abscissa.
Sendo assim, quando x é positivo, a é negativo (ponto Q na figura 12) e, quando xe é negativo, 
ae é positivo (ponto Qe na figura 12).
Na posição de equilíbrio, temos:
• x  0 e a  0
Nos pontos de inversão do movimento:
Nesses dois pontos a aceleração assume módulo máximo, ou seja: OaOmáx.  h2a
 Figura 12.
xO
acp = ω2R acp
Q' Qα'
ϕ
α
xx'
PP'
A B
xO
P
v
ϕ = — radπ
2
vp
O
P
v
vp
ϕ = –— rad3π
2
x
Quando o ponto Q passa pela posição de equilíbrio 
O, podemos ter:
• A  
s
 __ 
2
 rad (fig. 11A); como @ sen 
s
 __ 
2
  1 # , vem: v  ha 
• A  
3s
 ___ 
2
 rad (fig. 11B); como @ sen 
3s
 ___ 
2
  1 # , vem: v  ha
Portanto, em O, a velocidade escalar assume os valores:
Na posição O, o módulo da velocidade é máximo:
OvOmáx.  ha
v  ! ha
A
 Figura 11.
B
a  h2a 3 cos (A0  ht) ] a  h2a 3 cos (ht  A0) 
• x  a e a  h2a (valor mínimo)
• x  a e a  h2a (valor máximo)
V2_P3_UN_F_CAP_16a.indd 390 02.09.09 09:14:12