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Estatística Aplicada à Economia
Distribuição Binomial
Carlos Alberto Gonçalves Junior
Distribuição Binomial
O conhecimento de certas distribuições teóricas é essencial para a resolução de problemas de inferência estatística. Entre as distribuições de variáveis discretas, a distribuição binomial, que veremos em seguida, é a fundamental.
Consideremos um experimento constituído por n ensaios independentes, em que cada ensaio pode resultar em um de dois eventos mutuamente exclusivos.
Suponhamos que estamos interessados em um desses eventos, que denominamos resultado favorável. Seja p a probabilidade de ocorrer o resultado favorável, em qualquer dos n ensaios.
Então, como cada ensaio pode resultar em um, e apenas um, de dois eventos mutuamente exclusivos, a probabilidade de não se obter resultado favorável é q = (1 – p)
Distribuição Binomial
Seja X o número de resultados favoráveis em n ensaios, então, X é uma variável aleatória discreta que pode assumir valores inteiros de zero a n. Dizemos que X tem distribuição binomial com parâmetros n e p.
Para exemplificar, consideremos um tetraedro regular que tem uma face azul (A) e três faces brancas (B). O resultado do lançamento desse tetraedro será considerado favorável se a face azul ficar em contato com a mesa, do que segue que p = ¼ e q = 1 – p = ¾. Vamos analisar sucessivamente experimentos com n = 1, n = 2, n = 3 e n = 4 ensaios.
Distribuição Binomial
Se o experimento for constituído por dois ensaios, o número de resultados favoráveis (X) pode ser 0, 1 ou 2.
Distribuição Binomial
Se o experimento for constituído por três ensaios, o número de resultados favoráveis (X) pode ser 0, 1, 2 ou 3
Distribuição Binomial
Se o experimento for constituído por quatro ensaios, o número de resultados favoráveis (X) pode ser 0, 1, 2, 3 ou 4
Distribuição Binomial
É conveniente, neste ponto, relembrar os termos do desenvolvimento do binômio de Newton. Em matemática, o binômio de Newton permite escrever na forma canônica o polinômio correspondente à potência de um binômio. O nome é dado em homenagem ao físico e matemático Isaac Newton.
Em que k é o número de resultados favoráveis (X=k)
Distribuição Binomial
Analisando as tabelas anteriores, verifica-se que P(X) corresponde sempre a um dos termos do desenvolvimento de (p + q)n 
Lembrando a expressão do termo geral, podemos afirmar que a probabilidade de que ocorrem X = k resultados favoráveis em n ensaios é dada por:
Para exemplificar, valor calcular a probabilidade de obter duas vezes a face azul em seis lançamentos do tetraedro
Média da Distribuição Binomial
A média do número X de resultados favoráveis em uma distribuição binomial, ou seja, a esperança de X, é dada pela soma de todos os produtos que se obtêm multiplicando cada valor de X pela respectiva probabilidade.
Entretanto, existe uma maneira mais fácil de obter a média de X. Basta definir uma variável aleatória Ii com i = 1, 2, ..., n, que será igual a 1 se no i-ésimo ensaio ocorrer resultado favorável, e igual a zero se no i-ésimo ensaio ocorrer resultado desfavorável. Então o número X de resultados favoráveis em n ensaios é dado pela soma de n termos de Ii 
Como Ii assume valores 1 e 0 com probabilidades p e q, respectivamente 
Se X é uma soma de n termos, com esperança p
A Variância da Distribuição Binomial
Usando o mesmo raciocínio, podemos calcular a variância de X
Como p + q = 1 tem-se que V(Ii) = pq
Como X é a soma de n termos independentes, cada um com variância pq, podemos escrever que
Sabendo que (1-p) = q
Aplicação
Admitamos que, em uma população com m elementos, existam mp elementos com determinada característica. Então, se tomarmos ao acaso um elemento qualquer dessa população, a probabilidade de que ele apresente a característica considerada é p. Importante frisar que todos os elementos tem que ter a mesma probabilidade 1/m para que a probabilidade de se obter um elemento com a característica considerada seja p.
Imagine uma amostra de n elementos dessa população. Cada elemento da população pode apresentar ou não a característica considerada, o que indicaremos por A e , respectivamente. Vamos supor que os elementos da amostra são sorteados, um após o outro. A probabilidade do primeiro elemento sorteado ter a característica considerada é P(A) = p. Se todo o elemento sorteado for reposto manteremos P(A) = p em todos os sorteios dos elementos da amostra.
Aplicação
Entretanto, quando se amostram n elementos de uma população com m elementos, NÃO é usual proceder à reposição dos elementos sorteados, nesse caso, ao sortear o segundo elemento temos:
Se o primeiro elemento sorteado apresentar a característica:
- Se o primeiro elemento sorteado NÃO apresentar a característica:
Pode-se dizer então que P(A) irá variar de elemento para elemento durante a obtenção da amostra. 
Concluímos, então, que, a rigor, se a amostragem for feita sem reposição, o número X de elementos da amostra com a característica considerada, não tem distribuição binomial.
Aplicação
Entretanto, se a população for bastante grande, a distribuição de X pode ser considerada praticamente binomial.
Na pior das hipóteses, o valor de P(A) difere de p, no caso dos (n – 1) primeiros elementos sorteados apresentarem a característica desejada em:
Aplicação
Se os (n-1) primeiros elementos sorteados NÃO apresentarem a característica desejada, ao sortear o último elemento da amostra temos:
Aplicação 
Para exemplificar, consideremos uma população com um milhão de indivíduos, dos quais 250 mil são analfabetos. A probabilidade de um indivíduo escolhido aleatoriamente ser analfabeto é p = 0,25. Se tirarmos uma amostra aleatória de 300 indivíduos dessa população, sem fazer reposição dos elementos sorteados, o valor da probabilidade de um indivíduo sorteado ser analfabeto, indicada por P(A), varia durante a amostragem, mas o valor máximo da diferença entre p e P(A) é:
Concluímos que P(A) é praticamente constante e igual a p = 0,25. Consequentemente, podemos considerar que a distribuição do número X de analfabetos na amostra tem distribuição binomial com parâmetros p = 0,25 e n = 300.
EXERCÍCIOS
7.1 a 7.8
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