pdf

Prévia do material em texto

FUNDAMENTOS DE 
MATEMÁTICA 
AULA 1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Profª Ana Paula de Andrade Janz Elias 
Profª Denise Terezinha Marques Wolski 
Profª Flavia Sucheck Mateus da Rocha 
Profª Taniele Loss Nesi 
 
 
 
 
2 
CONVERSA INICIAL 
Nesta aula, vamos estudar a trigonometria no triângulo retângulo. 
Iniciaremos conversando sobre proporcionalidade e semelhança, relembrando o 
teorema de Tales. Estudaremos, também, o teorema de Pitágoras, as relações 
trigonométricas no triângulo retângulo, a lei dos senos e dos cossenos, e o 
teorema das áreas. 
TEMA 1 – TEOREMA DE TALES 
É possível fazer uma comparação entre dois segmentos através do 
quociente entre os números referentes às medidas desses segmentos. 
Lembrando que é necessário que essas medidas estejam na mesma unidade. O 
Teorema de Tales traz esta ideia de proporcionalidade: 
 
Com base neste teorema, é possível afirmar o seguinte: sejam dados 
feixes de retas paralelas que são intersectados ou cortados por segmentos 
transversais, temos que esses feixes formam segmentos de retas que são 
proporcionais entre si. 
Esse teorema pode ser utilizado para realizar o cálculo de medidas 
proporcionais, como para determinar a altura de um determinado prédio a partir 
da altura de um poste que seja paralelo a ele. Vale lembrar que os prédios e 
demais construções são projetados por engenheiros e arquitetos que, 
primeiramente, desenham e desenvolvem seus projetos a partir de plantas e 
maquetes, que têm as medidas reduzidas do projeto idealizado. 
 
 
 
3 
TEMA 2 – SEMELHANÇA DE TRIÂNGULOS 
Mesmo que duas figuras não tenham o mesmo tamanho, se elas 
apresentam a mesma forma, dizemos que elas são semelhantes. Contudo, 
quanto tratamos de polígonos, para que eles sejam efetivamente semelhantes, 
é preciso que os ângulos entre eles sejam congruentes e os lados 
correspondentes sejam proporcionais. Como os triângulos são polígonos, 
podemos afirmar que se eles respondem às duas condições citadas 
anteriormente, eles são semelhantes, contudo, essas figuras geométricas são 
singulares, quando tratamos da ideia de semelhança. 
Podemos considerar situações mínimas que garantam a semelhança de 
dois triângulos. Vejamos três casos. 
1° caso: ângulo-ângulo (aa) 
 
Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes, se e 
somente se eles apresentam dois ângulos congruentes. Ou seja: 
 
2° caso: lado-ângulo-lado (LAL) 
 
 
 
 
4 
Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são semelhantes, se e 
somente se eles apresentarem um ângulo congruente, e se os dois lados que 
formam esses ângulos forem proporcionais. Ou seja: 
 
3° caso: lado-lado-lado (LLL) 
 
Neste caso, podemos afirmar que dois triângulos são congruentes, se os 
três lados forem proporcionais. Ou seja: 
 
TEMA 3 – RELAÇÕES MÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Antes de iniciar este tema, vamos lembrar que a soma dos três ângulos 
internos de um triângulo qualquer é igual a 180°. 
O triângulo que possui um ângulo reto, ou seja, um ângulo que mede 90°, 
é chamado de triângulo retângulo. Nele, o lado que é oposto ao ângulo de 90° é 
denominado de hipotenusa, e os outros dois lados são chamados de catetos. 
 
Podemos relacionar as medidas dos lados de um triângulo retângulo com 
seus outros segmentos através de equações; essas relações são chamadas de 
relações métricas. Além da hipotenusa e dos catetos, já apresentados na figura 
 
 
5 
anterior, os demais segmentos que compõem um triângulo retângulo são 
apresentados na figura abaixo: 
 
 O segmento h é referente à altura relativa à hipotenusa; 
 O segmento m refere-se à projeção do cateto b sobre a hipotenusa; 
 O segmento n é referente à projeção do cateto c sobre a hipotenusa. 
 Uma importante relação métrica no triângulo retângulo é o Teorema de 
Pitágoras. Com base em um triângulo retângulo, o enunciado desse teorema é: 
“a soma dos quadrados dos seus catetos é igual ao quadrado da sua 
hipotenusa”. Com base na figura anterior, em que b e c são catetos, e tomando 
a como sendo hipotenusa, temos a seguinte equação para o teorema: 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 
Podemos representar o Teorema de Pitágoras da seguinte maneira: 
 
Além do Teorema de Pitágoras, veja abaixo outras relações métricas no 
triângulo retângulo. Tomando a hipotenusa por a, os catetos por b e c, a altura 
por h, o segmento m pela projeção do cateto b sobre a hipotenusa, e o segmento 
n pela projeção do cateto c sobre a hipotenusa, temos: 
 
 
6 
 𝒉𝟐 = 𝒎. 𝒏 (o quadrado da altura de um triângulo retângulo é igual ao 
produto das projeções de seus catetos sobre a hipotenusa). 
 𝒄𝟐 = 𝒂. 𝒏 (o quadrado do cateto c é igual ao produto da hipotenusa pela 
projeção de c sobre a hipotenusa). 
 𝒃𝟐 = 𝒂. 𝒎 (o quadrado do cateto b é igual ao produto da hipotenusa pela 
projeção de b sobre a hipotenusa). 
 𝒂. 𝒉 = 𝒃. 𝒄 (o produto da hipotenusa pela altura relativa a essa hipotenusa 
é igual ao produto entre os catetos). 
 𝒂 = 𝒎 + 𝒏 (a hipotenusa é igual à soma das projeções dos catetos sobre 
a hipotenusa). 
TEMA 4 – RELAÇÕES TRIGONOMÉTRICAS NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
As relações entre as medidas dos lados de um triângulo, quando seus 
ângulos internos são levados em consideração, são estudadas pela 
trigonometria. Como exemplo dessas relações, podemos citar o seno, o cosseno 
e a tangente. 
Em um triângulo retângulo, cada cateto será oposto a um determinado 
ângulo e adjacente a outro. Por isso, para estudarmos as relações de seno, 
cosseno e tangente, é importante que identificar o ângulo de referência. 
Vejamos o seguinte exemplo: 
 
Na figura, o cateto b é oposto ao ângulo β e adjacente ao ângulo α. Já o 
cateto c é oposto ao ângulo α e adjacente ao ângulo β. A razão entre o cateto 
oposto a um determinado ângulo e a hipotenusa do triângulo retângulo é o seno 
do ângulo. Ou seja: 
𝑺𝒆𝒏𝒐 𝛂 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝛂
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
 
 
7 
A razão entre o cateto adjacente a um determinado ângulo e a hipotenusa 
do triângulo retângulo é o cosseno do ângulo. Ou seja: 
𝑪𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 𝛂 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝛂
𝒉𝒊𝒑𝒐𝒕𝒆𝒏𝒖𝒔𝒂
 
A razão entre o cateto oposto e o cateto adjacente de um determinado 
ângulo é a sua tangente. Ou seja: 
𝑻𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛂 =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝒂𝒐 Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝛂
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒂𝒐 Â𝒏𝒈𝒖𝒍𝒐 𝛂
 
É possível ainda identificar as razões inversas em um triângulo retângulo. 
São elas: secante, cossecante e cotangente. A razão de um sobre o cosseno de 
um ângulo é a secante. Ou seja: 
𝑺𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝛂 =
𝟏
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 𝛂
 
A razão de um sobre o seno de um ângulo é a cossecante. Ou seja: 
𝑪𝒐𝒔𝒔𝒆𝒄𝒂𝒏𝒕𝒆 𝛂 =
𝟏
𝒔𝒆𝒏𝒐 𝛂
 
A razão entre o cosseno e o seno de um ângulo é a sua cotangente. Ou 
seja: 
𝑪𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛂 =
𝒄𝒐𝒔𝒔𝒆𝒏𝒐 𝛂
𝒔𝒆𝒏𝒐 𝛂
 
 Também é possível definir a tangente de um ângulo a partir da razão entre 
1 e a sua tangente: 
𝑪𝒐𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛂 =
𝟏
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝛂
 
TEMA 5 – LEI DOS SENOS E DOS COSSENOS 
Em um triângulo qualquer, a lei dos senos indica uma relação entre as 
medidas dos lados desse triângulo com o seno dos ângulos opostos a esses 
lados. Considerando a triângulo abaixo, podemos indicar uma equação 
relacionada à lei dos senos: 
 
 
8 
 
 
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝑨
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 𝑩
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝑪
 
 
Considerando uma circunferência, de raio r, inscrita em um triângulo 
qualquer, pela lei dos senos podemos escrever a seguinte relação: 
𝒂
𝒔𝒆𝒏 𝑨
=
𝒃
𝒔𝒆𝒏 𝑩
=
𝒄
𝒔𝒆𝒏 𝑪
= 𝟐𝑹 
Considerando agora um triângulo qualquer com lados a, b e c, e os 
ângulos α, β e φ, conforme a figura a seguir: 
 
Pela lei dos cossenos, temos que: 
𝒂𝟐 = 𝒃𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒃𝒄. 𝐂𝐨𝐬 𝜶 
𝒃𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒄𝟐 − 𝟐𝒂𝒄. 𝐂𝐨𝐬 𝜷 
𝒄𝟐 = 𝒂𝟐 + 𝒃𝟐 − 𝟐𝒂𝒃. 𝐂𝐨𝐬 𝝋 
TEMA 6 – TEOREMADAS ÁREAS 
A partir do teorema das áreas, é possível afirmar que a área de qualquer 
triângulo é igual ao produto de dois de seus lados pelo seno formado por eles, 
dividido por 2. Considere o triângulo a seguir: 
 
 
 
9 
Para o triângulo dado, a seguinte relação pode ser escrita a partir do 
teorema das áreas: 
𝑨∆ =
𝒂. 𝒃. 𝒔𝒆𝒏𝜶
𝟐
=
𝒃. 𝒄. 𝒔𝒆𝒏𝜽
𝟐
=
𝒄. 𝒂. 𝒔𝒆𝒏𝜷
𝟐
 
NA PRÁTICA 
 A partir da sua utilização da trigonometria, podemos determinar a altura 
do prédio a seguir: 
 
 Observando a figura, notamos que se trata de um triângulo retângulo. 
Conhecemos a medida do cateto adjacente ao ângulo de 30º. Como desejamos 
determinar a medida da altura do prédio, devemos calcular a medida do cateto 
oposto ao ângulo de 30º. Assim, podemos utilizar a tangente de 30º: 
𝒕𝒂𝒏𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟑𝟎∘ =
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒐𝒑𝒐𝒔𝒕𝒐 𝟑𝟎∘ 
𝒄𝒂𝒕𝒆𝒕𝒐 𝒂𝒅𝒋𝒂𝒄𝒆𝒏𝒕𝒆 𝟑𝟎∘
=
𝒙
𝟐𝟎
 
√𝟑 
𝟑
=
𝒙
𝟐𝟎
 
𝟑𝒙 = 𝟐𝟎. √𝟑 
𝒙 =
𝟐𝟎√𝟑
𝟑
𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐𝒔 
 Perceba a importância de conhecermos os valores do seno, cosseno e 
tangentes de alguns ângulos – os chamados ângulos notáveis de 30, 45 e 60 
graus. No exemplo acima, o conhecimento sobre a tangente de 30º possibilitou 
o cálculo da altura do prédio. Problemas que contemplem ângulos diferenciados 
normalmente apresentam os valores relativos de seno, cosseno e tangente. 
 
 
 
10 
FINALIZANDO 
Nesta aula, estudamos os seguintes conteúdos: Teorema de Tales, 
semelhança de triângulos, relações métricas no triângulo retângulo, relações 
trigonométricas no triângulo retângulo, Lei dos Senos e dos Cossenos e 
Teorema das áreas. 
 
 
 
11 
REFERÊNCIAS 
DOLCE, O.; POMPEO, J. N. Coleção fundamentos de matemática elementar. 
São Paulo: Atual, 1993. v. 9. v. 10. 
IEZZI, G. Coleção fundamentos de matemática elementar. São Paulo: Atual, 
1993. v. 3. 
IEZZI, G.; DOLCE, O.; MURAKAMI, C. Coleção fundamentos de matemática 
elementar. São Paulo: Atual, 1993. v. 2. 
LEITE, A. E.; CASTANHEIRA, N. P. Geometria plana e trigonometria. Curitiba: 
InterSaberes, 2014. 
_____. Logaritmos e funções. Curitiba: InterSaberes, 2015. 
MACEDO, L. R. D.; CASTANHEIRA, N. P.; ROCHA, A. Tópicos de matemática 
aplicada. Curitiba: InterSaberes, 2013. 
OLIVEIRA, C. A. M. Matemática. Curitiba: InterSaberes, 2016.