Sumário - OSCILAÇÕES

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OSCILAÇÕES 
 
OSCILAÇÕES 
 
 
 
As vezes não temos a noção, mas ao acionarmos a ignição de um veículo, 
desencadeamos uma série de processos. Dentre eles, podemos exemplificar a oscilação 
dos pistões dentro dos cilindros, executando uma MHS (Movimento Harmônico Simples) 
quando em regime estacionário que é transmitido pelas bielas ao virabrequim na forma 
de MCU (Movimento Circular Uniforme). O exemplo que acabamos de descrever é 
apenas um, dentre muitos que podemos encontrar no nosso cotidiano e na natureza 
acerca das oscilações mecânicas. Esse estudo é de tremenda importância, pois além da 
sua grande aplicabilidade, serve de modelo matemático para compreensão de alguns 
Circuitos Elétricos e do estudo da estrutura da matéria através da Mecânica Quântica. 
 
1. MOVIMENTOS PERIÓDICOS E OSCILATÓRIOS 
 
 
 
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Embora haja uma similaridade e, em alguns casos, até uma complementaridade, 
podemos dizer que movimentos periódicos e oscilatórios são conceitualmente 
diferentes. Um movimento é dito PERIÓDICO quando ele se repete para um intervalo de 
tempo específico denominado período. Já o movimento OSCILATÓRIO acontece quando 
observamos de maneira sistemática e regular, uma inversão no sentido desse 
movimento. 
 
2. MOVIMENTO HARMÔNICO SIMPLES 
 
Como vimos no mapa conceitual da figura anterior, um movimento é 
considerado harmônico simples quando ele é, simultaneamente, oscilatório e periódico. 
Para chegarmos a tais condições, podemos estabelecer que nesse tipo de movimento a 
energia mecânica deve se conservar. Na prática, um movimento com essas 
características não existe, pois por menores que sejam, as forças que promovem 
dissipação de energia, existem. Ainda assim, podemos enquadrar algumas aplicações 
práticas como um MHS genuíno. São os casos dos pêndulos simples e dos sistemas 
massa-mola. 
 
 
 
 
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2.1. SISTEMA MASSA-MOLA 
 
Abaixo, temos uma figura que exemplifica o diagrama de forças e as equações 
dinâmicas de um sistema massa-mola posto a oscilar entre as posições 𝑋𝑚𝑖𝑛 = −𝑋0 e 
𝑋𝑚á𝑥 = +𝑋0 em torno do ponto 𝑋 = 0 (posição de equilíbrio do sistema). 
 
 
 
No estágio de mola comprimida, aceleração e força são máximas em sua 
intensidade (módulo), mas diz-se mínimas por considerar que estão no sentido oposto 
ao que se arbitrou como positivo. 
Como resultado da aplicação da 2ª Lei de Newton ao sistema, encontramos uma 
equação diferencial, cuja solução nos permite determinar a função da posição da mola 
no decorrer do tempo: 
𝑋(𝑡) = 𝑋0cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜃0), 
 
Onde,⁡𝑋0 é a deformação inicial sofrida pela mola (amplitude máxima do MHS), 
ω é a frequência angular e 𝜃0 é a fase inicial. Derivando a equação da posição em função 
do tempo, podemos encontrar a função horária da velocidade, dada por: 
𝑣(𝑡) = −𝜔𝑋0sen⁡(𝜔𝑡 + 𝜃0) 
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Derivando mais uma vez a equação da posição, encontramos, por fim, a equação 
da aceleração em função do tempo: 
𝑎(𝑡) = −𝜔²𝑋0cos⁡(𝜔𝑡 + 𝜃0) 
𝑜𝑢 
𝑎(𝑡) = −𝜔²𝑋(𝑡) 
Teremos ainda que a frequência angular será: 
𝜔 = √
𝑘
𝑚
 
Onde, k é a constante elástica ou rigidez elástica da mola e m é a massa do corpo 
pendurado nela. Já para o período, podemos estabelecer que: 
𝑇 =
2𝜋
𝜔
 
Substituindo pela equação da frequência angular: 
𝑇 = 2𝜋√
𝑚
𝑘
 
 
3. OSCILAÇÕES AMORTECIDAS 
 
Como dissemos anteriormente, em termos práticos, não existem sistemas físicos 
isentos de forças dissipativas. Quando dizemos que uma oscilação é harmônica simples, 
o que fazemos é tornar o efeito dessas forças aproximadamente desprezível. No 
entanto, existem situações em que esse tipo de aproximação não é possível. É o caso 
das oscilações amortecidas, onde devemos acrescentar ao nosso diagrama de forças e 
equações dinâmicas, um termo correspondente a essa força dissipativa (proporcional à 
velocidade). Sendo assim, nossa equação diferencial assumirá a seguinte forma: 
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𝑚
𝑑²𝑋
𝑑𝑡²
+ 𝑏
𝑑𝑋
𝑑𝑡
+ 𝑘𝑋 = 0, 
Ainda podemos arrumar a equação de modo que ela assuma a seguinte forma: 
𝑑²𝑋
𝑑𝑡²
+ 𝛾
𝑑𝑋
𝑑𝑡
+𝜔0
2𝑋 = 0, 
Onde, 𝛾 =
𝑏
𝑚
 é o fator de amortecimento e 𝜔0 = √
𝑘
𝑚
 é a frequência angular 
inicial. 
Por se tratar de uma Equação Diferencial Ordinária de Grau 2, a solução proposta 
para ela é do tipo exponencial e nesse caso específico, estará vinculada à três condições 
que estabelecerão três regimes possíveis para esse amortecimento: subamortecido, 
superamortecido e criticamente amortecido. 
Em termos práticos, as oscilações amortecidas podem ser aplicadas e observadas 
nos regimes de oscilação de amortecedores de portas ou veículos. 
 
 
 
Uma observação puramente analítica das curvas da posição em função do tempo 
nos permite distinguir os três regimes de oscilação, como é possível verificarmos na 
imagem a seguir: 
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A interpretação gráfica nos leva a perceber os diferentes comportamentos de 
cada tipo de oscilação amortecida, sendo: 
Oscilações subamortecidas: O movimento oscilatório perdura 
consideravelmente em torno do ponto de equilíbrio (y=0), com sucessivas diminuições 
de amplitude. 
Amortecimento crítico: O movimento de retorno para a posição de equilíbrio é 
brusco, sem oscilar em torno dessa posição. 
Oscilações superamortecidas: É observado um movimento bastante lento de 
retorno da mola da posição em que se encontrava tensionada até a posição de 
equilíbrio. 
Nesta explanação teórica, apresentamos de maneira suscinta, os principais 
aspectos das oscilações inerentes ao presente experimento. Um aprofundamento 
nessas teorias, bem como soluções de equações diferenciais, pode ser visto nos diversos 
livros texto existentes na literatura desta disciplina. Não mencionamos também as 
oscilações forçadas, em virtude das mesmas não se fazerem presentes na prática 
experimental. 
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