1- Descomplica- Matemática Diferencial Aplicada- Conjuntos Numéricos

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Conjuntos Numéricos
Conjunto dos Números Naturais ( )
O estudo dos conjuntos numéricos começa com o conjunto dos
números naturais, simbolizado pela letra “ℕ”.  Este conjunto
emergiu da necessidade humana de contar elementos.
ℕ = {0, 1, 2, 4, 5, 6, …}
Existe também uma variação deste conjunto, denotada como ℕ*, que
exclui o número zero.
ℕ* = {1, 2, 3, 4, 5, 6, …} 
A presença do asterisco na notação “ℕ”  indica especificamente a
ausência do elemento zero neste conjunto.
Conjunto dos Números Inteiros ( )
O conjunto de números inteiros, simbolizado pela letra “ ”, abrange
tanto os números negativos quanto os positivos, incluindo o zero.
Esses números negativos são considerados simétricos aos números
naturais.
Dentro desse conjunto, há subconjuntos notáveis que merecem
atenção:
1.   Conjunto  * dos números inteiros não nulos:
2.   Conjunto  dos números inteiros positivos:
    
3.   Conjunto  , dos números inteiros não negativos:
    
4.  Conjunto  , dos números negativos:
    
5.  Conjuntos , dos números inteiros não positivos:
    
Conjunto dos Números Racionais ( )
Os números racionais, representados pelo símbolo  ,  surgiram da
necessidade de representar frações de um número inteiro. Este
conjunto é constituído por todos os números que podem ser
expressos na forma   , onde  . Portanto, os números racionais são
essencialmente quocientes ou razões entre dois números inteiros. A
definição formal é: .
Alguns exemplos:
●  
 ●  
●  
Assim como existem várias subclassificações do conjunto dos
números inteiros, como   os números racionais também
possuem suas variantes, como  ,  com definições
semelhantes às dos inteiros.
Vale ressaltar que entre quaisquer dois números racionais, existem
infinitos outros números racionais. Além disso, é importante lembrar
que as dízimas periódicas são consideradas números racionais, pois
podem ser convertidas em forma fracionária.
Conjunto dos Números Irracionais ( )
Números irracionais são aqueles que não podem ser expressos como
frações. Eles são caracterizados por serem decimais infinitos sem
repetição periódica.
Por exemplo:
● 
 ● 
 ● 
Conjunto dos Números Reais ( )
O conjunto dos números reais, simbolizado por , abrange todos os
números racionais   e irracionais . 
No diagrama de conjuntos numéricos,    é representado como a
união dos conjuntos de números racionais e irracionais, mostrando
que ele inclui tanto os números que podem ser expressos como
frações (racionais) quanto aqueles que não podem (irracionais). 
Fonte: autoria própria
Desigualdades
Inequação é sinônimo de desigualdade. Ou seja, enquanto uma
equação é definida por uma igualdade (=), a inequação é
praticamente o oposto.
Vamos relembrar alguns outros símbolos matemáticos:
●    , sinal de menor que.
  lemos “4 é menor do que 5”.
●    , sinal de maior que.
  lemos “4 é maior do que 3”.
●    , sinal de menor ou igual a.
 lemos “4 é menor ou igual a 5”.
●    , sinal de maior ou igual a.
 lemos “4 é maior ou igual a 3”. 
Agora, podemos definir inequação:
●     é uma função e não possui um valor determinado,
não sendo passível de classificação quanto a ser verdadeira ou
falsa.
●       é uma equação e possui apenas um valor que a
torna verdadeira. 
●     é uma inequação e possui infinitos valores que a
tornam verdadeira. 
 Inequações são expressões matemáticas marcadas pelo uso dos
símbolos > (maior que), < (menor que), ≥ (maior ou igual a) e ≤
(menor ou igual a). Ao contrário das equações, as inequações
resultam em um conjunto de soluções, que podem formar um
intervalo. Isso implica que, em vários casos, uma inequação pode ter
uma quantidade infinita de soluções.
Por exemplo:   é uma inequação! Quais valores de    fazem
essa sentença ser verdadeira?  Intuitivamente, podemos notar que,
de fato, muitos valores de x tornam a sentença verdadeira. Repare
que a expressão   precisa ser maior do que 19. Não precisamos
fazer contas para notar que basta x ser um número muito grande que
o seu quádruplo mais 3 será um número maior ainda, muito maior do
que 19. Como existem infinitos números muito grandes, há infinitas
soluções para essa inequação.
Valor Absoluto
O valor absoluto, ou módulo, de um número real x  , é a distância
deste número até a origem da reta real, ou seja, o número 0. Por isso,
o módulo de um número sempre será um número positivo. O valor
absoluto de um número é representado por |x|.
A definição de valor absoluto ou módulo de um número real x   é a
que segue:
Exemplos:
●    
●    
Seguem algumas propriedades dos módulos:
1)  
2)  
3)  
4)  
5)  
6)   desigualdade triangular 
7)  
8)  
9)  
10)  
Intervalos
Um conjunto de números reais definido por desigualdades é
chamado de intervalo. Devido à natureza infinita dos números reais,
os intervalos são comumente representados através de retas
numéricas, notações de conjuntos ou por meio de colchetes. Essas
representações são úteis para ilustrar visualmente a extensão e os
limites desses conjuntos numéricos.
Podemos ter vários tipos de intervalos:
●    Intervalo aberto: quando os extremos a e b, {a, b}   não
pertencem ao intervalo.
]a , b[
●   Intervalo fechado: quando os extremos a e b, {a, b} 
 pertencem ao intervalo. 
[a , b]
●   Intervalo semiaberto à direita: quando temos os extremos a e
b, {a, b} , de forma que a pertence ao intervalo e b não
pertence ao intervalo. 
[a , b[
●    Intervalo semiaberto à esquerda: quando temos os extremos a
e b, {a, b} , de forma que a não pertence ao intervalo e b
pertence ao intervalo. 
]a , b]
Conteúdo Bônus
Separamos um vídeo para que você possa entender conjuntos de
maneira mais animada!
Vídeo: CONJUNTOS | QUER QUE DESENHE | DESCOMPLICA
Canal: Descomplica
Plataforma: Youtube
Referência Bibliográfica
FERNANDES, D. B. Matemática Diferencial. São Paulo: Pearson
Prentice Hall. 2014.
FLEMMING, D. M; Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2006.
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N
Z
Z
Z = {…,−3,−2,−1,0,1,2,3,…}
Z
Z∗ = {x ∈ Z∣x = 0} = {…,−3,−2,1,1,2,3,…}
Z =+
∗ N∗
Z =+
∗ N =∗ {x ∈ Z∣x > 0} = {1,2,3,…}
Z =+ N
Z =+ N = {(x ∈ Z∣x ≥ 0} = {1,2,3,…}
Z −
∗
Z =−
∗ {x ∈ Z∣x < 0} = {…,−3,−2,−1}
Z −
Z =− {x ∈ Z∣x ≤ 0} = {…,−3,−2,−1,0}
Q
Q
 
b
a
b = 0
Q = {x = ∣a ∈
b
a
Z e b ∈ Z }∗
0 =
1
0
−2 = 
1
−2
 
2
1
Z ,Z ,Z ,Z ,Z ,∗
+
∗
+ −
∗
−
Q ,Q ,Q ,Q ,Q 
∗
+
∗
+ −
∗
−
R − Q
π
 ≈2 1,414213562…
 ≈5 2,236067977…
R
R
Q R − Q
R
<
4 < 5
>
 4 > 3
≤
4 ≤ 5
≥
4 ≥ 3
f(x) = 4x+ 3
4x+ 3 = 19
4x+ 3 > 19
4x+ 3 > 19 x
4x+ 3
∈ R
∈ R
x = {x,se x ≥ 0
−x,se x < 0
∣3∣ = 3
∣ − 5 = 5∣
∣x∣ ≥ 0 e ∣x∣ = 0 ↔ x = 0
∣x∣ =2 x2
∣x∣ = x2
∣x.y∣ = ∣x∣.∣y∣
∣x/y∣ = ∣x∣/∣y∣,se y = 0
∣x+ y∣ ≤ ∣x∣ + ∣y∣ →
∣x∣ = ∣y∣ → x = ± y
∣x∣ = a → x = ±a, para x > 0
∣x∣ ≤ a → −a ≤ x ≤ a
∣x∣ ≥ a → x ≤ –a ou x ≥ a
∈ R
{x ∈ R/a < x < b}
∈ R
{x ∈ R/a ≤ x ≤ b}
∈ R
{x ∈ R/a ≤ x < b}
∈ R
{x ∈ R/a < x ≤ b}