3- Descomplica- Matemática Diferencial Aplicada- Funções Importantes

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Funções Importantes
esta aula, vamos falar de algumas funções especiais
como a função par e ímpar, as funções periódicas, a
função injetora, sobrejetora e bijetora, a função
inversa e como representá-las por meio de gráficos e
diagramas.
Função Par e Ímpar
Fazer uma função entre dois conjuntos é relacionar cada elemento
de um conjunto com apenas um elemento de outro conjunto. Neste
caso, há classificações para funções sendo duas delas as funções
pares e ímpares.
Dizemos que uma função é par quando a relação do conjunto de
saída, conhecida como domínio, tem seus valores simétricos
chegando nos mesmos valores no conjunto de chegada, conhecida
como imagem. Ou seja, uma função é par quando  .
Veja o seguinte diagrama, onde os valores 1 e –1 do domínio chegam
no valor 2 da imagem. Os valores 2 e –2 do domínio chegam no valor
4 da imagem e os valores 3 e –3 do domínio chegam no valor 6 da
imagem.
Neste caso, temos a função A → B, com A = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} e B =
{2, 4, 6}.
Fonte: autoria própria
Dizemos que uma função é ímpar quando a relação do conjunto de
saída, conhecida como domínio, tem seus valores simétricos
chegando em valores simétricos no conjunto de chegada, conhecida
como imagem. Ou seja, uma função é ímpar quando   
Veja o seguinte diagrama, onde os valores 1 e –1 do domínio chegam
nos valores 2 e –2 da imagem, respectivamente. Os valores 2 e –2 do
domínio chegam nos valores 4 e –4 da imagem e os valores 3 e –3 do
domínio chegam nos valores 6 e –6 da imagem.
Neste caso, temos a função A → B, com A = {-3, -2, -1, 1, 2, 3} e B =
{-6, -4, -2, 2, 4, 6}.
Fonte: autoria própria
Funções Periódicas
Uma função periódica é um tipo de função matemática em que o seu
valor se repete em intervalos regulares de tempo ou de entrada. Isso
significa que a função exibe um comportamento cíclico, retornando
aos mesmos valores em intervalos constantes, chamados de
período.
Por exemplo, para  tal que , podemos considerar os
seguintes valores associados na tabela seguinte.
Fonte: autoria própria
Perceba que , sempre que o valor de x for par e ,
sempre que o valor de x for ímpar.
Exemplos clássicos de funções periódicas são as funções
trigonométricas. Ou seja, .
Graficamente, vamos exemplificar a função .
Fonte: autoria própria
A função seno gera uma onda sinusoidal que oscila entre os valores
de -1 e 1 ao longo do eixo vertical, à medida que o ângulo varia ao
longo do eixo horizontal. Seu período é , o que significa que a
função se repete a cada unidades ao longo do eixo x. A funções
cosseno e tangente possuem o mesmo período.
Função Injetora, Sobrejetora e Bijetora
Função sobrejetiva: É aquela que tem o conjunto imagem igual ao
contradomínio.
Fonte: autoria própria
Função injetiva: É aquela que, para cada elemento da imagem, existe
apenas um elemento no domínio. Ou seja, em uma função injetora,
elementos distintos do domínio possuem imagens distintas no
contradomínio.
Fonte: autoria própria
Função bijetiva: Uma função é bijetora quando é simultaneamente
injetora e sobrejetora.
Fonte: autoria própria
Observação: É importante saber que existem funções que não são
nem injetoras e nem sobrejetoras. Elas simplesmente não
apresentam classificação sob esse critério.
Função Inversa
Uma função só pode ser uma função inversa se ela for uma função
bijetora. A função inversa de  é denotada por .
Neste caso, se uma função  é de forma geral um , em que
f(a) = b, então, a sua função inversa , em que .
Nem todas as funções admitem uma função inversa, por isso, é
importante saber que você só consegue encontrar a inversa de uma
função quando esta função é bijetora.
Neste caso, temos a função , com , 
 e .
Fonte: autoria própria
Neste caso, temos a função , com , 
 e .
Fonte: autoria própria
Conteúdo Bônus
Veja um mapa mental animado sobre o tema de funções!
Vídeo: O QUE SÃO FUNÇÕES MATEMÁTICAS? | QUER QUE
DESENHE? | DESCOMPLICA
Canal: Descomplica
Plataforma: Youtube
 
Referência Bibliográfica
FERNANDES, D. B. Matemática Diferencial. São Paulo: Pearson
Prentice Hall. 2014.
FLEMMING, D. M; Gonçalves, M. B. Cálculo A: Funções, Limite,
Derivação, Integração. São Paulo: Pearson Prentice Hall. 2006.
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f(−x) = f(x)
f(−x) = −f(x).
f : N → Z f(x) = (–1)x
f(x) = 1 f(x) = –1
f(x) = sen(x),f(x) = cos (x) e f(x) = tg(x)
f(x) = sen(x)
2π
2π
f(x) f(x)−1
f(x) f : A → B
f :−1 B → A f(b) = a
f : A → B Dm = {−3,−2,−1,1,2,3} Im =
{−6,−4,−2,2,4,6} CD = {−6,−4,−2,2,4,6}
f :−1 B → A Dm = {−6,−4,−2,2,4,6} Im =
{−3,−2,−1,1,2,3} CD = {−3,−2,−1,1,2,3}