aula 12 - desenho de mecânismo - restrição de participação

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Microeconomia II
parte 2
Aula 12 – restrição de participação e implementação ótima
Professor: Renato Schwambach Vieira
Bibliografia:
[BKM] 
[MWG] A. Mas-Colell, M. Whinston, and J. Green.
 Microeconomic Theory. Oxford University Press, 1995..
Vimos até aqui: - a implementação de funções de escolha sociais
- através de mecanismos com compatibilidade de incentivo
Em equilíbrio de estratégias dominantes (EED) :
- em um contexto amplo: não é possível implementar funções não ditatoriais
(teorema de Gibbard-Satterthwaite)
- em ambientes quase-lineares:
• em geral, pode-se implementar funções eficientes apenas em 𝑘 (Groves-Clarke)
• eficiência em 𝑘 e 𝑡 pode ser alcançada com agentes sem informação privada (sem preferência em 𝑘) 
se e participação desses agentes for não-voluntária
Em equilíbrio Bayesiano de Nash (EBN) :
- em ambientes quase-lineares:
• pode-se implementar funções eficientes em 𝑘 e 𝑡 de forma mais geral 
(mecanismo de externalidade esperada)
novamente, se e participação de todos os agentes for não-voluntária 
Entretanto, em muitas aplicações a participação não-voluntária dos agentes não é razoável
(
Estratégia dominante vs ENB
O equilíbrio por estratégia dominanres independe dos jogadores 
conhecerem as distribuições de probabilidade 𝜙()
a estratégia 𝑠𝑖
○ ∶ Θ → 𝑆𝑖 é dominante para 𝑖 no mecanismo Γ se ∀ 𝜃𝑖 e ∀ s−i:
𝐸 𝑢𝑖 𝑔 𝑠𝑖
○ 𝜃𝑖 , s−i 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 | 𝜃𝑖 ≥ 𝐸 𝑢𝑖 𝑔 Ƹ𝑠𝑖 , s−i 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 | 𝜃𝑖 ∀ Ƹ𝑠𝑖 ∈ 𝑆𝑖
Definições equivalentes de estratégia dominante:
a estratégia 𝑠𝑖
○ ∶ Θ → 𝑆𝑖 é dominante para 𝑖 no mecanismo Γ se ∀ 𝜃𝑖
𝑢𝑖 𝑔 𝑠𝑖
○ 𝜃𝑖 , s−i , 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖 𝑔 Ƹ𝑠𝑖 , s−i , 𝜃𝑖 ∀ Ƹ𝑠𝑖 ∈ 𝑆𝑖 e ∀s−i ∈ 𝑆−𝑖
Exemplo numérico
Considere um problema de construção de um bem público 𝑘 com 3 indivíduos (𝑖 = {1,2,3}) tais que:
a) Defina Θ, isso é, todos os recortes possíveis para os indivíduos do problema
Considerando que o custo de construção do bem público é de 𝑐 = 1.2, vamos calcular o mecanismo de externalidade esperada
conforme as seguintes especificações:
𝑘∗(𝜃) =
1 𝑠𝑒 ෍
𝑖
𝜃𝑖 ≥ 𝑐
0 𝑠𝑒 ෍
𝑖
𝜃𝑖 < 𝑐
𝑢𝑖 𝑥, 𝜃𝑖 = 𝑣𝑖 𝑘, 𝜃𝑖 + ( ഥ𝑚 + 𝑡𝑖) sendo: 𝑣𝑖 𝑘, 𝜃𝑖 = 𝑘 ∙ 𝜃𝑖 −
𝑐
𝐼
𝜃𝑖 ∈ {0,1}
Pr 𝜃𝑖 = 1 = 50% ∀ 𝑖
Pr 𝜃𝑖 = 0 = 50% ∀ 𝑖
𝑡𝑖
∗ 𝜃 = 𝜉𝑖(𝜃𝑖) −
1
𝐼 − 1
෍
𝑗≠𝑖
𝜉𝑗 𝜃𝑗 𝑖
𝜉𝑖 𝜃𝑖 = 𝐸 ෍
𝑗≠𝑖
𝑣𝑗 𝑘∗ 𝜃𝑖, ෨𝜃−𝑖 , ෨𝜃𝑗
b) 𝑘∗(𝜃)
c) 𝑣1 𝑘, 𝜃1 , 𝑣2 𝑘, 𝜃2 e 𝑣3 𝑘, 𝜃3
Considerando um mecanismo de revelação verdadeira, calcule para cada possível recorte:
d) 𝜉1 𝜃1 , 𝜉2 𝜃2 e 𝜉3 𝜃3
e) 𝑡1
∗ 𝜃 , 𝑡2
∗ 𝜃 , 𝑡3
∗ 𝜃 . Verifique se ∑𝑡𝑖 𝜃 = 𝑘 𝜃 ∙ 𝑐 ∀ 𝜃
f) 𝑢1 𝜃 ,𝑢2 𝜃 e 𝑢3 𝜃
g) Calcule E−1 𝑢1 𝜃 |𝜃1 = 0 e E−1 𝑢1 𝜃 |𝜃1 = 1
h) Verifique se o mecanismo de externalidade esperada possui compatibilidade de incentivos
h) A utilidade esperada é positiva para qualquer que seja o tipo do jogador?
Mecânismo de externalidade esperada é eficiente em k e t
E implementável em equilíbrio de Nash
Mas mecânismo de externalidade esperada não é implementável em estratégia 
dominante
)
Restrições de participação
Tipo de restrição de 
participação
Até quando o jogador pode 
abandonar o jogo
Restrição de participação
1 – ex-ante
somente antes dos tipos
serem definidos
𝐸𝜃𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 ≥ 𝐸𝜃𝑖
[𝑢𝑖(𝜃𝑖)]
Existem basicamente 3 tipos de restrição de participação.
Definidas de acordo com o momento em que os agentes podem abandonar o “jogo” e extrair uma utilidade de 
reserva 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
Tipo de restrição de 
participação
Até quando o jogador pode 
abandonar o jogo
Restrição de participação
1 – ex-ante
somente antes dos tipos
serem definidos
𝐸𝜃𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 ≥ 𝐸𝜃𝑖
[𝑢𝑖(𝜃𝑖)]
2 – interim
Após o tipo ser definido,
mas antes das estratégias
serem jogadas
𝐸𝜃−𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 | 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
∀ 𝜃𝑖
Existem basicamente 3 tipos de restrição de participação.
Definidas de acordo com o momento em que os agentes podem abandonar o “jogo” e extrair uma utilidade de 
reserva 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
Tipo de restrição de 
participação
Até quando o jogador pode 
abandonar o jogo
Restrição de participação
1 – ex-ante
somente antes dos tipos
serem definidos
𝐸𝜃𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 ≥ 𝐸𝜃𝑖
[𝑢𝑖(𝜃𝑖)]
2 – interim
Após o tipo ser definido,
mas antes das estratégias
serem jogadas
𝐸𝜃−𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 | 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
∀ 𝜃𝑖
3 – ex-post
após a alocação 𝑥 ∈ 𝑋 do 
mecanismo ser definida
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖 𝜃𝑖
∀ 𝜃
Existem basicamente 3 tipos de restrição de participação.
Definidas de acordo com o momento em que os agentes podem abandonar o “jogo” e extrair uma utilidade de 
reserva 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
Troca bilateral
Considere novamente o exemplo da aula anterior de uma troca bilateral com:
Um vendedor (𝑖 = 1) e um comprador (𝑖 = 2) onde 𝜃𝑖~𝑢 0,1 ∀ 𝑖:
𝑘∗(𝜃) = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 ≥ 𝜃1
0 𝑠𝑒 𝜃2 < 𝜃1
𝑡1 𝜃 =
𝜃1
2 − 𝜃2
2
2
𝑡2 𝜃 =
𝜃1
2 − 𝜃2
2
2
Um mecanismo de externalidade esperada seria implementável com revelação verdadeira na seguinte forma:
𝑢1 = 𝜃1(1 − 𝑘) + 𝑡1𝑘
Considere um recorte 𝜃 = 𝜃1 =
1
2
, 𝜃2 =
9
10
 e calcule :
a) Qual será a utilidade alcançada por cada jogador se ambos revelarem seus tipos verdadeiros:
𝑢2 = 𝜃2(𝑘) + 𝑡2𝑘
b) Qual será a utilidade alcançada por cada jogador se eles não participarem do mecanismo:
c) Para o vendedor, qual a utilidade esperada de participar do mecanismo jogando de forma verdadeira após 
saber o próprio tipo 𝜃1 =
1
2
 mas antes de saber o tipo do vendedor?
d) Qual era a utilidade esperada do vendedor antes de saber o próprio tipo?
Pr 𝜃2 < 𝜃1 ∗ 𝜃1 + 𝐸𝜃2
𝜃2
2 − 𝜃1
2
2
|𝜃1 < 𝜃2
𝜃1
2 + න
𝜃1
1 𝜃2
2 − 𝜃1
2
2
𝑑𝜃2
= 𝜃1
2 +
𝜃2
3
6 ቚ
𝜃1
1
−
𝜃1
2𝜃2
2 ቚ
𝜃1
1
= 𝜃1
2 +
1
6
−
𝜃1
3
6
−
𝜃1
2
2
−
𝜃1
3
2
=
1
6
+
𝜃1
2
2
+
𝜃1
3
3
c) Para o vendedor, qual a utilidade esperada de participar do mecanismo jogando de forma verdadeira após 
saber o próprio tipo 𝜃1 =
1
2
 mas antes de saber o tipo do vendedor?
𝑢1 = 𝜃1(1 − 𝑘) + 𝑡1𝑘
𝐸𝜃−1
[𝑢1|𝜃1] = 𝐸𝜃−1
𝜃1 1 − 𝑘 + 𝑡1𝑘|𝜃1
𝑘∗(𝜃) = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 ≥ 𝜃1
0 𝑠𝑒 𝜃2 < 𝜃1
𝑡1 𝜃 =
𝜃1
2 − 𝜃2
2
2
𝑡2 𝜃 =
𝜃1
2 − 𝜃2
2
2
𝑢𝑠𝑎𝑛𝑑𝑜 𝜃1 =
1
2
: 𝐸𝜃−1
[𝑢1|𝜃1] =
1
3
න
0
1 1
6
+
𝜃1
2
2
+
𝜃1
3
3
𝑑𝜃1
𝜃1
1
6
ቚ
0
1
+
𝜃1
3
6
ቚ
0
1
+
𝜃1
4
12
ቚ
0
1
5
12
d) Qual era a utilidade esperada do vendedor antes de saber o próprio tipo?
𝐸𝜃−1
[𝑢1|𝜃1] =
1
6
+
𝜃1
2
2
+
𝜃1
3
3
𝐸𝜃1
[𝐸𝜃−1
[𝑢1|𝜃1]] = 𝐸𝜃1
[
1
6
+
𝜃1
2
2
+
𝜃1
3
3
]
De uma forma mais geral, Teorema de Myerson-Satterthwaite
Em: um ambiente de trocas bilaterais (jogador 1 é um vendedor e jogador 2 é um comprador)
Onde o comprador e o vendedor são neutros ao risco
Os valores 𝜃1 e 𝜃2 são estatisticamente independentes nosintervalos [ 𝜃𝑖 , 𝜃𝑖] e 𝜙𝑖 𝜃𝑖 > 0 ∀ 𝜃𝑖 ∈ [ 𝜃𝑖 , 𝜃𝑖]
e [ 𝜃1, 𝜃1]⋂[ 𝜃2, 𝜃2] ≠ ∅
Então: Não existe função de escolha social com compatibilidade de incentivos em equilíbrio Bayesiano que seja ao mesmo tempo:
(i) eficiente ex-post
(ii) e que proporcione ganhos esperados não negativos a todos os possíveis tipos do comprador e do vendedor 
Em outras palavras, não existe mecanismo eficiente ex-post e que satisfaça a restrição de participação interim
𝐸𝜃−𝑖
𝑢𝑖 𝑓 𝜃𝑖 , 𝜃−𝑖 , 𝜃𝑖 | 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖(𝜃𝑖)
∀ 𝜃𝑖
Implementação ótima
Até aqui, focamos na implementabilidade de funções de escolha social em ambientes de informação incompleta.
Vamos discutir agora a avaliação do bem-estar proporcionadopor tais funções
Com informação completa, a eficiência de Pareto é a referencia para avaliação do bem-estar
A alocação 𝑥 é eficiente de Pareto se:
Com informação incompleta, a noção de eficiência para funções de escolha social 𝑓 . pode ser descrita como
“Não existe alocação alternativa 𝑥′ tal que melhore algum agente sem piorar nenhum outro”
𝑓 . é eficiente se for:
(i) Factível, e
(ii) Não houver outra função de escolha social factível መ𝑓 . que melhore algum agente sem piorar outro
𝑓 . é eficiente se for:
(i) Factível, e
(ii) Não houver outra função de escolha social factível መ𝑓 . que melhore algum agente sem piorar outro
Para a operacionalização de tal conceito, é necessário especificar alguns pontos:
Factibilidade: 𝑓 . será considerada factível se satisfizer: compatibilidade de incentivos
restrições de participação (variam conforme o problema)
Tempo: a componente (ii) da definição depende do momento da análise de bem-estar
- Antes da definição de tipos
- Após a definição de tipos, mas antes da revelação dos mesmos
- Após a revelação dos tipos
Eficiência de 
𝑓 .
Condição
1 – eficiência 
ex-ante
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑈𝑖
መ𝑓 ≥ 𝑈𝑖 𝑓 ∀ 𝑖
𝑈𝑖
መ𝑓 > 𝑈𝑖 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖
De forma paralela às restrições de participação, podemos definir três tipos de eficiência para a função de escolha 
social factíveis em ambientes de informação incompleta
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
𝑈𝑖 𝑓 é a utilidade eperada ex-ante para a função de escolha social f: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓) é a utilidade eperada para a função de escolha social f, condicional no tipo: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
Eficiência de 
𝑓 .
Condição
1 – eficiência 
ex-ante
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑈𝑖
መ𝑓 ≥ 𝑈𝑖 𝑓 ∀ 𝑖
𝑈𝑖
መ𝑓 > 𝑈𝑖 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖
2 – eficiência 
interim
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑈𝑖 𝜃𝑖 | መ𝑓 ≥ 𝑈𝑖 𝜃𝑖 | 𝑓 ∀ 𝜃𝑖 ∈ Θ𝑖 𝑒 ∀ 𝑖
𝑈𝑖 𝜃𝑖 | መ𝑓 > 𝑈𝑖 𝜃𝑖 | 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝜃𝑖 ∈ Θ𝑖
De forma paralela às restrições de participação, podemos definir três tipos de eficiência para a função de escolha 
social factíveis em ambientes de informação incompleta
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
𝑈𝑖 𝑓 é a utilidade eperada ex-ante para a função de escolha social f: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓) é a utilidade eperada para a função de escolha social f, condicional no tipo: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
Eficiência de 
𝑓 .
Condição
1 – eficiência 
ex-ante
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑈𝑖
መ𝑓 ≥ 𝑈𝑖 𝑓 ∀ 𝑖
𝑈𝑖
መ𝑓 > 𝑈𝑖 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖
2 – eficiência 
interim
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑈𝑖 𝜃𝑖 | መ𝑓 ≥ 𝑈𝑖 𝜃𝑖 | 𝑓 ∀ 𝜃𝑖 ∈ Θ𝑖 𝑒 ∀ 𝑖
𝑈𝑖 𝜃𝑖 | መ𝑓 > 𝑈𝑖 𝜃𝑖 | 𝑓 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝜃𝑖 ∈ Θ𝑖
3 – eficiência
ex-post
Não existe መ𝑓 . factível tal que: 
𝑢𝑖
መ𝑓 𝜃 , 𝜃𝑖 ≥ 𝑢𝑖 𝑓 𝜃 , 𝜃𝑖 ∀ 𝑖 𝑒 ∀ 𝜃 ∈ Θ
𝑢𝑖
መ𝑓 𝜃 , 𝜃𝑖 > 𝑢𝑖 𝑓 𝜃 , 𝜃𝑖 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝑖 𝑒 𝑝𝑎𝑟𝑎 𝑎𝑙𝑔𝑢𝑚 𝜃 ∈ Θ
De forma paralela às restrições de participação, podemos definir três tipos de eficiência para a função de escolha 
social factíveis em ambientes de informação incompleta
Natureza define os 𝜃𝑖
Jogadores executam 𝑠𝑖 e o
mecanismo indica a alocação 𝑥
A alocação 𝑥 é executada
Linha do tempo
𝑈𝑖 𝑓 é a utilidade eperada ex-ante para a função de escolha social f: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓) é a utilidade eperada para a função de escolha social f, condicional no tipo: 𝑈𝑖 𝑓 = 𝐸𝜃𝑖
[𝑈𝑖(𝜃𝑖|𝑓)]
Leilão ótimo
Considere um leilão com 3 participantes, sendo:
- 1 vendedor (𝑖 = 0) com 𝜃𝑖 = 0
- 2 compradores (𝑖 = {1,2}) com 𝜃𝑖~𝑢 0,1 :
Considere inicialmente um leilão de segundo preço, isso é, o seguinte mecanismo de alocação:
𝑢𝑖 = 𝜃𝑖𝑦 + 𝑡
a) Calcule a utilidade esperada do leiloeiro
𝑦1 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≥ 𝜃2
0 𝑠𝑒 𝜃1 < 𝜃2
𝑦2 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 > 𝜃1
0 𝑠𝑒 𝜃2 ≤ 𝜃1
𝑦0 𝜃 = 0
𝑡1 𝜃 = −𝜃2𝑦1 𝜃
𝑡2 𝜃 = −𝜃1𝑦2 𝜃
𝑡0 𝜃 = − 𝑡1 𝜃 + 𝑡2 𝜃
Considere agora que o leiloeiro possa declarar um valor de reserva 𝑅 de forma que::
𝑦1 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≥ 𝜃2 𝑒 𝜃1 > 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃1 < 𝜃2 𝑜𝑢 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑦2 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 > 𝜃1 𝑒 𝜃2 > 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃2 ≤ 𝜃2 𝑜𝑢 𝜃= ≤ 𝑅
𝑦0 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑒 𝜃2 ≤ 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃1 > 𝑅 𝑜𝑢 𝜃2 > 𝑅
𝑡1 𝜃 = − 𝑀𝑎𝑥 𝜃2, 𝑅 ∙ 𝑦1 𝜃 𝑡2 𝜃 = − 𝑀𝑎𝑥 𝜃1, 𝑅 ∙ 𝑦2 𝜃 𝑡0 𝜃 = − 𝑡1 𝜃 + 𝑡2 𝜃
b) Calcule a utilidade esperada do leiloeiro como função de 𝑅
c) Calcule o valor 𝑅∗ que maximiza a utilidade esperada do leiloeiro
d) Esse mecanismo é eficiente ex-post (dica considere os recortes em que 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑒 𝜃2 ≤ 𝑅)
Lista 3
Lista 3, exercícios 1 e 2:
Lista 3, exercícios 3:
Lista 3, exercício 3:
Lista 3, exercício 4:
Considere um problema de construção de um bem público 𝑘 com 3 indivíduos (𝑖 = {1,2,3}) tais que:
a) Defina Θ, isso é, todos os recortes possíveis para os indivíduos do problema
Considerando que o custo de construção do bem público é de 𝑐 = 1.2, vamos calcular o mecanismo de externalidade esperada
conforme as seguintes especificações:
𝑘∗(𝜃) =
1 𝑠𝑒 ෍
𝑖
𝜃𝑖 ≥ 𝑐
0 𝑠𝑒 ෍
𝑖
𝜃𝑖 < 𝑐
𝑢𝑖 𝑥, 𝜃𝑖 = 𝑣𝑖 𝑘, 𝜃𝑖 + ( ഥ𝑚 + 𝑡𝑖) sendo: 𝑣𝑖 𝑘, 𝜃𝑖 = 𝑘 ∙ 𝜃𝑖 −
𝑐
𝐼
𝜃𝑖 ∈ {0,1}
Pr 𝜃𝑖 = 1 = 50% ∀ 𝑖
Pr 𝜃𝑖 = 0 = 50% ∀ 𝑖
𝑡𝑖
∗ 𝜃 = 𝜉𝑖(𝜃𝑖) −
1
𝐼 − 1
෍
𝑗≠𝑖
𝜉𝑗 𝜃𝑗 𝑖
𝜉𝑖 𝜃𝑖 = 𝐸 ෍
𝑗≠𝑖
𝑣𝑗 𝑘∗ 𝜃𝑖, ෨𝜃−𝑖 , ෨𝜃𝑗
b) 𝑘∗(𝜃)
c) 𝑣1 𝑘, 𝜃1 , 𝑣2 𝑘, 𝜃2 e 𝑣3 𝑘, 𝜃3
Considerando um mecanismo de revelação verdadeira, calcule para cada possível recorte:
d) 𝜉1 𝜃1 , 𝜉2 𝜃2 e 𝜉3 𝜃3
e) 𝑡1
∗ 𝜃 , 𝑡2
∗ 𝜃 , 𝑡3
∗ 𝜃 . Verifique se ∑𝑡𝑖 𝜃 = 𝑘 𝜃 ∙ 𝑐 ∀ 𝜃
f) 𝑢1 𝜃 ,𝑢2 𝜃 e 𝑢3 𝜃
g) Calcule E−1 𝑢1 𝜃 |𝜃1 = 0 e E−1 𝑢1 𝜃 |𝜃1 = 1
h) Verifique se o mecanismo de externalidade esperada possui compatibilidade de incentivos
h) A utilidade esperada é positiva para qualquer que seja o tipo do jogador?
Considere um leilão com 3 participantes, sendo:
- 1 vendedor (𝑖 = 0) com 𝜃𝑖 = 0
- 2 compradores (𝑖 = {1,2}) com 𝜃𝑖~𝑢 0,1 :
Considere um leilão de segundo preço, isso é, o seguinte mecanismo de alocação:
𝑢𝑖 = 𝜃𝑖𝑦 + 𝑡
a) Sabendo que a revelação verdadeira é estratégia dominante, calcule a utilidade esperada do leiloeiro
𝑦1 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≥ 𝜃2
0 𝑠𝑒 𝜃1 < 𝜃2
𝑦2 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 > 𝜃1
0 𝑠𝑒 𝜃2 ≤ 𝜃1
𝑦0 𝜃 = 0
𝑡1 𝜃 = −𝜃2𝑦1 𝜃
𝑡2 𝜃 = −𝜃1𝑦2 𝜃
𝑡0 𝜃 = − 𝑡1 𝜃 + 𝑡2 𝜃
Considere agora que o leiloeiro possa declarar um valor de reserva 𝑅 de forma que::
𝑦1 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≥ 𝜃2 𝑒 𝜃1 > 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃1 < 𝜃2 𝑜𝑢 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑦2 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃2 > 𝜃1 𝑒 𝜃2 > 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃2 ≤ 𝜃2 𝑜𝑢 𝜃= ≤ 𝑅
𝑦0 𝜃 = ቊ
1 𝑠𝑒 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑒 𝜃2 ≤ 𝑅
0 𝑠𝑒 𝜃1 > 𝑅 𝑜𝑢 𝜃2 > 𝑅
𝑡1 𝜃 = − 𝑀𝑎𝑥 𝜃2, 𝑅 ∙ 𝑦1 𝜃 𝑡2 𝜃 = − 𝑀𝑎𝑥 𝜃1, 𝑅 ∙ 𝑦2 𝜃 𝑡0 𝜃 = − 𝑡1 𝜃 + 𝑡2 𝜃
b) Sabendo que a revelação verdadeira segue sendo a estratégia dominante, calcule a utilidade esperada do 
leiloeiro como função de 𝑅
c) Calcule o valor 𝑅∗ que maximiza a utilidade esperada do leiloeiro
d) Esse mecanismo é eficiente ex-post (dica considere os recortes em que 𝜃1 ≤ 𝑅 𝑒 𝜃2 ≤ 𝑅)
Lista 3, exercício 5
Lista 3, exercício 6
Lista 3, exercício 7
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