Derivadas e Funções Matemáticas

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Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro
Métodos Determińısticos II
Profª. Fernanda Mendonça e Profª. Cecilia Saraiva
1o Semestre de 2026
AD2
GABARITO
Questão 1:[3,0 pts] Considere a função descrita a seguir, e faça o que se pede nos itens de (a)
a (c), justificando todas as suas respostas.
f(x) =

2x
x− 1
se x 0 e (x + 1)2 > 0
para qualquer x ̸= −1.
4
Questão 4: [3,0 pts] Uma função que relaciona a quantidade x de um produto ofertado
no mercado e seu preço p é chamada função oferta. Uma função que relacione o preço
p e a quantidade y demandada pelo mercado é chamada de função demanda. Quando a
quantidade ofertada x é igual à demandada y, dizemos que o mercado está em equiĺıbrio.
Considerando que a função oferta de determinado bem é dada por x = 2p − 3 e a função
demanda é y =
1
p− 1
, responda os itens a seguir.
a) [1,0 pto] Encontre os valores de preço p para os quais o mercado estará em equiĺıbrio;
b) [2,0 pts] Podemos definir a diferença entre oferta e demanda como excesso do produto
no mercado. Se considerarmos a função excesso em função do preço E(p) = x − y,
determine para quais valores de p temos E crescente, decrescente, e se possui pontos
de máximo/mı́nimo locais, de modo a localizar valores de preço para os quais o excesso
cresce, diminui ou muda de comportamento. Justifique suas respostas.
Solução:
a) Para que o mercado esteja em equiĺıbrio, devemos ter x = y, isto é,
2p− 3 =
1
p− 1
,
donde (2p− 3)(p− 1) = 1, ou seja,
2p2 − 2p− 3p+ 3 = 1 ⇒ 2p2 − 5p+ 2 = 0.
Resolvendo a equação do segundo grau acima, encontramos p1 = 1/2 = 0, 5 e p2 = 2
unidades de moeda corrente. Ambos são positivos, então ambos são valores aceitáveis.
b) Temos que E(p) = x− y = 2p− 3− 1
p− 1
=
2p2 − 5p+ 2
p− 1
.
Para encontrar pontos cŕıticos e avaliar os intervalos de crescimento/decrescimento, pre-
cisamos que E ′(p) = 0. Para isso, vamos usar a Regra do Quociente:
E(p) =
2p2 − 5p+ 2
p− 1
⇒ E ′(p) =
(p− 1)(4p− 5)− (2p2 − 5p+ 2) · 1
(p− 1)2
=
(2p2 − 4p+ 3
(p− 1)2
=
0,
5
o que ocorre apenas se o numerador for zero, ou seja, 2p2−4p+3 = 0. Mas esta equação
de segundo grau possui discriminante ∆ = −8, o que significa que não possui ráızes reais,
e portanto, sem pontos de máximo/mı́nimo. Logo, a função excesso dada acima é
sempre crescente, pois tanto o numerador 2p2− 4p+3 quanto o denominador (p− 1)2
são positivos para qualquer p no domı́nio de E.