Matematica avancaçada-102

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255. Encontre a solução para a equação \(12^x = 1728\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(1728\) como \(12^3\), então a equação se torn 
 
a \(12^x = 12^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
256. Calcule a derivada de \(f(x) = \ln(x^3 - 8x^2 + 13x)\). 
 - Resposta: Aplicando a regra da cadeia, a derivada é \(f'(x) = \frac{1}{x^3 - 8x^2 + 13x} 
\cdot (3x^2 - 16x + 13)\). 
 
257. Resolva a equação diferencial \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^7 + y^7}{xy}\). 
 - Resposta: Vamos reescrever a equação como \(\frac{dy}{dx} = \frac{x^6}{y} + 
\frac{y^6}{x}\). Esta é uma equação diferencial separável. Separando as variáveis, 
obtemos \(\frac{dy}{y^6} = (\frac{x^6}{y} + \frac{y^6}{x}) dx\). Integrando ambos os lados, 
chegamos a \(-\frac{1}{5y^5} = \frac{x^7}{7} + \frac{y^7}{7x} + C\), onde \(C\) é uma 
constante de integração. Portanto, a solução geral é \(5y^5 = -\frac{1}{\frac{x^7}{5} - 
\frac{y^7}{5x} - C}\). 
 
258. Determine o limite \(\lim_{x \to \infty} \frac{7^x}{x^7}\). 
 - Resposta: À medida que \(x\) se aproxima do infinito, \(7^x\) cresce exponencialmente, 
enquanto \(x^7\) cresce apenas septicamente. Portanto, o limite é \(+\infty\). 
 
259. Calcule a integral indefinida de \(\int \frac{1}{\sin(x) - \cos(x)} \, dx\). 
 - Resposta: Podemos usar a substituição trigonométrica \(u = \tan(\frac{x}{2})\), então 
\(du = \frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) dx\). Reescrevendo \(\sin(x) - \cos(x)\) em termos de 
\(\tan(\frac{x}{2})\), obtemos \(\frac{1}{2} \sec^2(\frac{x}{2}) = \frac{1}{2} (1 + 
\tan^2(\frac{x}{2})) = \frac{1}{2} (1 + u^2)\). Portanto, a integral se torna \(\int 
\frac{1}{\frac{1}{2} (1 + u^2)} \, du = 2 \int \frac{1}{1 + u^2} \, du = 2 \arctan(u) + C = 2 
\arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C = 2 \arctan(\tan(\frac{x}{2})) + C\), onde \(C\) é a constante de 
integração. 
 
260. Encontre a solução para a equação \(13^x = 2197\). 
 - Resposta: Podemos reescrever \(2197\) como \(13^3\), então a equação se torna 
\(13^x = 13^3\). Assim, \(x = 3\). 
 
261. Calcule a derivada de \(f(x) = \cos^2(x) - \sin^2(x)\).