4- Produtos Notáveis

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Produtos Notáveis 
 
❖ Propriedade Distributiva 
É uma das propriedades da multiplicação e se aplica relativamente a uma adição ou subtração. Essa 
propriedade indica que dois ou mais termos presentes numa operação de soma ou subtração, multiplicada por 
outra quantidade, é igual à soma ou à diferença da multiplicação de cada um dos termos da adição ou da 
subtração pelo número. 
Acompanhe: 
 
(x + 5) · (x + 1) = x² + 1 · x + 5 · x + 5 · 1 = x² + 6 · x + 5 
 
❖ Quadrado da soma entre dois termos 
 
(a + b)² = (a + b) · (a + b) = a² + ab + ab + b² = a² + 2ab + b² 
 
O quadrado da soma entre dois termos resulta no quadrado do primeiro termo, mais o dobro do produto 
do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
Exemplos 
a) (r + s)² = r² + 2rs + s² 
b) (2x + 3y)² = (2x)² + 2 · 2x · 3y + (3y)² = 4x² + 12xy + 9y² 
c) 51² = (50 + 1)² = 50² + 2 · 50 · 1 + 1² = 2.500 + 100 + 1 = 2.601 
 
❖ Quadrado da diferença entre dois termos 
 
(a – b)² = (a – b) · (a – b) = a² – ab – ab + b² = a² – 2ab + b² 
 
O quadrado da diferença entre dois termos resulta no quadrado do primeiro termo, menos o dobro do 
produto do primeiro pelo segundo termo, mais o quadrado do segundo termo. 
a) (r – s)² = r² – 2rs + s² 
b) (5x – 2y)² = (5x)² – 2 · 5x · 2y + (2y)² = 25x² – 20xy + 4y² 
c) 49² = (50 – 1)² = 50² – 2 · 50 · 1 + 1² = 2.500 – 100 + 1 = 2.401 
 
❖ Produto da soma pela diferença entre dois termos 
 
(a + b) · (a – b) = a² – ab + ba – b² = a² – b² 
 
O produto da soma pela diferença entre dois termos resulta no quadrado do primeiro termo, menos o 
quadrado do segundo termo. 
Exemplos 
a) (r + s) · (r – s) = r² – s² 
b) (4x + 3y) · (4x – 3y) = (4x)² – (3y)² = 16x² – 9y² 
c) 156² – 155² = (156 + 155) · (156 – 155) = 311 . 1 = 311 
 
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Hora de Praticar 
1- Escreva, na forma mais simples, o resultado de cada produto a seguir. 
a) (x2 + 1) · (x2 – x + 3) 
b) (2x2 – 1) · (x2 – 1) 
c) (3x3 + 2) · (x2 + 1) 
d) (x2 + 2x + 1) · (x2 – x – 3) 
 
2- Faça uso do caso de produto notável sobre o quadrado da soma de dois termos e escreva a expressão 
equivalente a cada quadrado a seguir. 
a) (x + 9)2 
b) (3x + 4)2 
c) (5 + 2y)2 
d) (7a + 3b)2 
 
3- Faça uso de um dos casos de produtos notáveis e desenvolva cada quadrado a seguir. 
a) (x – 7)2 
b) (10 – y)2 
c) (2x – y)2 
d) (x2 – 1)2 
e) (3x2 – y3)2 
 
4- Faça uso de um dos casos de produtos notáveis e resolva cada produto a seguir. 
a) (5 + y) · (5 – y) 
b) (7x + 8y) · (7x – 8y) 
c) (x² + y) · (x² – y) 
e) (xy + 3) · (xy – 3) 
f) (2a – 7) · (2a + 7) 
g) (4x – 2) · (4x + 2) 
 
 
Fatoração – Escrevendo as multiplicações a partir dos produtos 
Para representar um número ou uma expressão como produto de fatores, faz-se uso da fatoração. Ao 
escrever um polinômio como a multiplicação de outros polinômios, frequentemente conseguimos simplificar 
a expressão. Veja o exemplo numérico a seguir: 
 
4 · 3 + 4 · 7 = 4 · (3 + 7) 
 
Inicialmente havia-se uma adição. A seguir, colocando-se o fator comum (4) em evidência, transforma-
se a adição em uma multiplicação entre os fatores 4 e (3 + 7), sendo este último uma expressão indicada 
entre parênteses. Noutro exemplo algébrico, tem-se: 
 
a · x + a · y 
 
No caso, o fator a é comum aos dois termos. Assim, colocando-o em evidência, tem-se a forma 
fatorada: 
Respostas no final do capítulo 
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a · (x + y) 
Assim: 
 
 
Fonte: COC – 8ºano – Capítulo 13 
 
O processo apresentado é chamado de Fatoração por evidência ou fator comum e consiste em 
determinar a distributiva que gerou o resultado dado. 
Exemplos: 
❖ 12x + 18y = 6 · (2x + 3y) 
❖ 15x³ + 20x²y = 5x² (3x + 4y) 
❖ 6x²y – 10xy + 14xy² = 2xy · (3x – 5 + 7y) 
❖ 4 · 17 + 4 · 13 = 4 · (17 + 13) = 4 · 30 = 120 
 
Fatoração por agrupamento 
A fatoração por agrupamento se faz com o uso, de duas vezes, da fatoração por evidência. Assim: 
 
ax + ay + bx + by 
 
Num primeiro olhar, não há um fator comum a todos os termos, ou seja, não há como colocar um fator 
em evidência para todo o polinômio. Por outro lado, podemos visualizar a expressão em duas partes: 
 
(ax + ay) + (bx + by) 
 
Dessa forma, nos dois primeiros termos, o fator comum é a. Já nos dois últimos termos, o fator comum 
é b. Então, agrupam-se os termos fatorando-os separadamente, por evidência: 
 
(ax + ay) + (bx + by) = 
a(x + y) + b(x + y) 
 
A seguir, tem-se um fator comum aos dois termos obtidos na primeira fatoração: 
 
a(x + y) + b(x + y) 
 
Colocando-se esse fator comum em evidência, tem-se: 
 
(x + y) · (a + b) 
 
Logo, 
 
ax + ay + bx + by = (x + y) · (a + b) 
 
O processo de fatoração por agrupamento consiste em descobrir a distributiva que gerou o resultado 
dado. 
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Exemplo 
❖ 2x – 2y + ax – ay = (2x – 2y) + (ax – ay) = 2(x – y) + a(x – y) = (x – y) · (2 + a) 
❖ 3a + 3b + 3c + xa + xb + xc = 3(a + b + c) + x(a + b + c) = (a + b + c) · (3 + x) 
❖ 14a + 7b + 2xa + xb = 7(2a + b) + x(2a + b) = (2a + b) · (7 + x) 
 
Diferença entre dois quadrados 
Uma expressão que seja a diferença de dois quadrados é escrita como a subtração entre dois termos 
que são quadrados perfeitos. Sua forma fatorada é feita usando as raízes desses quadrados. É a “volta” do 
produto da soma pela diferença de dois termos. Veja: 
❖ 351² – 350² = (351 + 350) · (351 – 350) = 701 · 1 = 701 
❖ x² – 49 = (x + 7) · (x – 7) 
❖ 25 – y2 = (5 + y ) · (5 – y) 
❖ a4 – 9y2 = (a2 + 3y) · (a2 – 3y) 
 
Trinômio quadrado perfeito 
É um dos casos de fatoração que tem por objetivo reescrever a expressão inicial como um quadrado 
perfeito. É a “volta” do quadrado da soma ou da diferença de dois termos: 
 
(a + b)² = a² + 2ab + b² 
ou 
(a – b)² = a² – 2ab + b² 
 
De forma prática, segue-se os passos para se escrever o trinômio quadrado perfeito no quadrado de 
uma soma (ou de uma diferença): 
❖ Calcular a raiz quadrada dos dois termos que sejam quadrados perfeitos 
❖ Confirmar se o dobro do produto das raízes calculadas no passo anterior é o outro termo. Caso não 
seja, não se trata de um trinômio “quadrado perfeito”, mas apenas de um trinômio. 
❖ Escrever o trinômio no quadrado da soma (ou da diferença) das raízes calculadas. 
 
Exemplos 
❖ x² + 6x + 9 = (x + 3)², pois 2 . x . 3 = 6x 
❖ x2 – 4x + 4 = (x – 2)2, pois 2 . x . 2 = 4x 
❖ 4x2 – 12x + 9 = (2x – 3)2, pois 2 . 2x . 3 = 12x 
❖ a4 + 12a2 + 36 = (a2 + 6)2 = 2 . a2 . 6 = 12a2 
 
 
Hora de Praticar 
5- Escreva a forma fatorada de cada expressão. 
a) 2a + 2b 
b) xyz + 3xy 
c) 25x + 50y – 75z 
d) 3a – 3b – 3c 
e) 15xy – 20xz + 35xyz 
f) 17ab + 19bc 
 
 
Respostas no final do capítulo 
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6- Fatore os polinômios a seguir. Faça uso da fatoração por agrupamento. 
a) ax + ay + 5x + 5y 
b) 7a + 7b + 7c + xa + xb + xc 
c) 5x – 5 + 7x² – 7x + ax – a 
d) a² + a³ + b + ba 
e) 7ab + 14b + 5a + 10 
f) 30 + 5xy + 12a + 2axy 
 
7- Fatore os seguintes binômios: 
a) 4x2 – y2 
b) a2b2 – 100 
c) 49x2 – 144 
d) (x + 5)² – 49 
e) (2a + 3)² – a² 
f) a² – (b – 1)² 
g) 9x² – (2x + 2)² 
 
8- Fatore cada trinômio. Caso não seja um quadrado perfeito, escreva que não se trata de um trinômio quadrado 
perfeito. 
a) x2 + 24x + 144 
b) 9x2 – 24x + 16 
c) 4x2 – 28x + 49 
d) x2 + 10x + 25 
e) 9x2 – 12x + 4 
f) 16x2 – 16x + 1 
g) a2x2 + 2ax + 1 
h) 9x2 + 12x + 16 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Referência Bibliográfica 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA, Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Fundamental. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
BOSQUILHA, Alessandra; AMARAL, João Tomás do; MIRANDA,Mônica. Manual Compacto de 
Matemática: Ensino Médio. São Paulo: Rideel, 2010. 
 
"Polinômios" em Só Matemática. Virtuous Tecnologia da Informação, 1998-2022. Consultado em dez de 
2022. Disponível em https://www.somatematica.com.br/emedio/polinomios/polinomios.php 
 
Coleção COC Infinito do 8º ano do Ensino Fundamental - COC. 3ª edição. COC by Pearson. Vol. 4, Capítulo 
13, pág. 94 – 113. 
 
Coleção COC Infinito do 8º ano do Ensino Fundamental - COC. 3ª edição. COC by Pearson. Vol. 5, Capítulo 
12, pág. 71 – 98. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Respostas e Resoluções 
 
1- 
a) x4 – x3 + 4x2 – x + 3 
b) 3x5 + 3x3 + 2x2 + 2 
c) x4 + x3 – 4x2 – 7x – 3 
d) 2x4 – 3x2 + 1 
 
2- 
x2 + 18x + 81 
9x2 + 24x + 16 
25 + 20y + 4y2 
49a2 + 42ab + 9b2 
 
3- 
a) x2 – 14x + 49 
b) 100 – 20y + y2 
c) 4x2 – 4xy + y2 
d) x4 – 2x2 + 1 
e) 9x4 – 6x2y3 + y6 
 
4- 
a) 25 – y² 
b) 49x² – 64y² 
c) x4 – y2 
d) x²y² – 9 
e) 4a² – 49 
f) 16x² – 4 
 
5- 
a) 2(a + b) 
b) xy(z + 3) 
c) 25(x + 2y – 3z) 
d) 3(a – b – c) 
e) 5x(3y – 4z + 7yz) 
f) b(17a + 19c) 
 
6- 
a) a(x + y) + 5(x + y) = (x + y) · (a + 5) 
b) 7(a + b + c) + x(a + b + c) = = (a + b + c)(7 + x) 
c) 5(x – 1) + 7x(x – 1) + a(x – 1) = (x – 1)(5 + 7x 
+ a) 
d) a²(1 + a) + b(1 + a) = (1 + a) · (a² + b) 
e) 7b(a + 2) + 5(a + 2) = (a + 2) · (7b + 5) 
f) 5(6 + xy) + 2a(6 + xy) = (6 + xy) · (5 + 2a) 
 
7- 
a) (2x + y) · (2x – y) 
b) (ab + 10) · (ab – 10) 
c) (7x + 12) · (7x – 12) 
d) [(x + 5) + 7] · [(x + 5) – 7] = (x + 12) · (x – 2) 
e) [(2a + 3) + a] · [(2a + 3) – a] = (3a + 3) · (a + 3) 
= 3(a + 1) · (a + 3) 
f) [a + (b – 1)] · [a – (b – 1)] = (a + b – 1) · (a – b 
+ 1) 
g) [3x + (2x + 2)] · [3x – (2x + 2)] = (5x + 2) · (x 
– 2) 
 
8- 
a) (x + 12)2 
b) (3x – 4)2 
c) (2x – 7)2 
d) (x + 5)2 
e) (3x – 2)2 
f) Não se trata de um trinômio quadrado perfeito. 
g) (ax + 1)2 
h) Não se trata de um trinômio quadrado perfeito.