Capítulo 3 - Item 3.2

Prévia do material em texto

EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Capítulo 3
3.2 ELEMENTOS CINEMÁTICOS
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2 ELEMENTOS CINEMÁTICOS
3.2.2 Composição de velocidades no rotor
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
3.2.1 Projeção meridional (meridiana) e
projeção normal (transversal)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2.4 Convenção para o escoamento relativo no rotor
3.2.5 Convenção de pontos para MFG e MFM
3.2.6 Triângulos de velocidades para a entrada e saída do
rotor e diagramas de velocidade para a entrada e
saída do estator
3.2 ELEMENTOS CINEMÁTICOS
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Para maior clareza e simplicidade dos desenhos, o estudo dos
elementos hidromecânicos das máquinas de fluxo (MF) que
têm simetria em relação ao seu eixo (particularmente o rotor e
estator) é feito mediante a consideração de duas projeções: 1)
Projeção meridional (meridiana) e 2) Projeção normal
(transversal).
1) Projeção meridional (meridiana) é a projeção (rebatimento)
do elemento hidromecânico (EH) no plano que contém o eixo
de simetria da MF (eixo da MF).
3.2.1 Projeção meridional (meridiana) e
projeção normal (transversal)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Na realidade, não se trata de uma projeção como esta é
normalmente entendida, mas sim de um rebatimento do
elemento hidromecânico (EH) no plano meridional.
Cada ponto do EH é representado no plano meridional pelo
traço da circunferência que ele descreveria se fosse dotado de
movimento de rotação em torno do eixo de simetria (linha de
centro do eixo da MF), ou seja, as projetantes são arcos de
círculos (circunferências) contidos em planos normais ao eixo
de simetria e passando pelos pontos.
3.2.1 Projeção meridional (meridiana) e
projeção normal (transversal)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Todos os pontos dispostos sobre a mesma circunferência são,
portanto, representados pelo mesmo ponto (em cada lado do
eixo de simetria (linha de centro do eixo da MF)) no plano
meridional, uma vez que a projetante de todos eles é a mesma.
2) Projeção normal (transversal) é a projeção do elemento
hidromecânico (EH) no plano normal ao eixo de simetria (linha
de centro do eixo da MF).
3.2.1 Projeção meridional (meridiana) e
projeção normal (transversal)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
CLeixo
Figura 3.2.1 Representação de um ponto P do espaço em 
projeções meridional e normal
1
2
P
P’ P’’
P1
Plano meridional
(meridiano)
1
Plano normal
(transversal)
2
P  Ponto do espaço
P’ e P’’  Projeções 
meridionais do ponto P
P1  Projeção normal 
do ponto P
P’P P’’ Arco de 
circunferência que 
passa pelo ponto P
(projetante)
rP
rP
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.2 Projeções meridional e normal da linha de corrente PQ
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
CL
5
4
4
5
(a) Rotor Radial
4
5
5
4 4 5
(b) Rotor Diagonal
(c) Rotor Axial
Figura 3.2.3 Seções meridionais de rotores e
superfícies de revolução médias
54
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(Cinta)
(Cubo)
(Anéis de
Desgaste)
(Cone) (Rotor Francis)
(Eixo da Turbina)
(Pá)
(Aresta de
Entrada)
(Aresta de Saída)
A figura abaixo não representa a seção meridional de um rotor Francis; trata-
se apenas de um corte longitudinal do rotor. Observe que as pás não estão
rebatidas (projetadas) no plano meridional.
A nomenclatura indicada na 
cor azul é da norma NBR 6445
Figura 1.34 da Coletânea de Figuras sobre máquinas de fluxo
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
A figura abaixo representa as seções meridionais de dois rotores Francis,
sendo um rotor normal (nqA em torno de 250) e um outro rápido (nqA em
torno de 400).
Figura 1.36 da Coletânea de Figuras sobre máquinas de fluxo
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Será demonstrado no Capítulo 4 de EME705T que, no caso geral de translação e
rotação do rotor, as velocidades num ponto P qualquer do escoamento no rotor estão
relacionadas vetorialmente por
  occ u w
3.2.2 Composição de velocidades no rotor
c é a velocidade absoluta do fluido (em relação ao referencial inercial).
co é a velocidade de translação do VC (no caso, o rotor da MF) em relação ao
referencial inercial.
u é a velocidade circunferencial (tangencial, periférica ou de condução) do rotor no
ponto considerado.
w é a velocidade relativa do fluido (em relação ao referencial não-inercial).
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
P
Ro
PR
Pr
XZ
Y
Referencial 
Inercial (RI)
z
y
x Referencial 
Não-inercial 
(RNI)
o PP RR r 
(Capítulo 4)
Pru  
 = 2 n
u =  r = 2 r n =  D n
Figura 3.2.4 Referenciais inercial e não-inercial e relação entre vetores-posição
 Velocidade angular
PR
Pr
Vetor posição de uma partícula de 
fluido P em relação ao RI
Vetor posição de uma partícula de 
fluido P em relação ao RNI
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
uc w 
OBSERVAÇÃO:
No caso particular de máquinas de fluxo estacionárias
( ), tem-seconstanteoR 
(Capítulos 3 e 4)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.5 Escoamento no interior de um canal fixo (estacionário)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.6 Escoamento no interior de um canal movendo-se com 
velocidade u constante
u  velocidade circunferencial (MF) 
ou velocidade linear (canal)
c  velocidade absoluta
w  relativa velocidade
uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(a) Rotor
cm wm
c
u
cu
w
wu
 
Figura 3.2.7 Triângulo de velocidades para um ponto P do escoamento no rotor
uc w 
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
P
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
c  velocidade absoluta
w  velocidade relativa
u  velocidade circunferencial (tangencial, periférica ou de condução)
cm  componente meridional da velocidade absoluta ou componente da
velocidade absoluta na direção (no plano) meridional
wm  componente meridional da velocidade relativa ou componente da
velocidade relativa na direção (no plano) meridional
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
cu  componente circunferencial da velocidade absoluta ou componente
da velocidade absoluta na direção circunferencial
wu  componente circunferencial da velocidade relativa oucomponente
da velocidade relativa na direção circunferencial
  ângulo do escoamento absoluto ou ângulo que a velocidade absoluta
faz com a velocidade circunferencial
  ângulo do escoamento relativo ou ângulo que a velocidade relativa
faz com a velocidade circunferencial
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
cr
ca
ˆ ˆm r R a Zc c e c e 
 m r ac c c
R
ˆRe
ZˆZe
mc
Figura 3.2.8 Componente meridional da velocidade absoluta
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
ˆ ˆm r r a zw w e w e 
m r aw w w 
wr
wa
r
ˆre
z
zê
mw
Figura 3.2.9 Componente meridional da velocidade relativa
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
NOTAS:
1) cm (ou wm) é responsável pela vazão de fluido através do rotor
(QR = cm A = wm A).
2) cu (ou wu) é responsável pelo trabalho específico ideal (Ypá) ou
real (Ypá) do rotor:
 upá uu ucY c5 4 45
u6pá u35 4cY u u c 
(Trabalho específico ideal do rotor para MFRG)
(Trabalho específico real do rotor para MFRG)
Exemplos:
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
OBSERVAÇÕES:
uc w 1) Vetorialmente, para máquinas de fluxo estacionárias, .
2) No triângulo de velocidades não se indica o sinal de vetor (seta)
em c, w e u.
3) No plano normal (transversal), as grandezas c, w, cm, wm,  e 
somente aparecem em verdadeira grandeza para rotores
puramente radiais.
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(b) Estator (Não há triângulo de velocidades no estator)
(Veja a OBSERVAÇÃO no próximo slide)
cm
cu
m
ˆme
ê
c
Figura 3.2.10 Velocidade (absoluta) no estator (no caso geral, cm e c não 
estão em verdadeira grandeza no plano normal (transversal))
ˆ ˆm r R a Zc c e c e 
m r ac c c 
m uc c c 
ˆu uc c e
r u ac c c c  
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
OBSERVAÇÃO:
No ponto de projeto (ponto de máximo rendimento), a velocidade
(absoluta) no estator deve ter módulo, direção e sentido da
velocidade absoluta, c, no rotor. Esta condição deve ser para o
estator antes e/ou após o rotor.
3.2.3 Convenção para os triângulos de velocidades no rotor e 
diagramas de velocidade no estator
5 7
5 7
5 7
5 7m m
c c
c c
c c


  

Estator após o rotor Estator antes do rotor
2 4
2 4
2 4
2 4m m
c c
c c
c c


  

EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
De uma maneira geral (rotor diagonal) e para o sistema de
coordenadas cilíndrico, tem-se para o escoamento relativo (no
rotor),
ˆ ˆ ˆr r u a Zw w e w e w e  
ˆ ˆ ,m r a r r a zw w w w e w e   
Sendo
pode-se escrever que
ˆm u m uw w w w w e   
wr e wa são componentes da velocidade relativa nas direções radial
e axial.
3.2.4 Convenção para o escoamento relativo no rotor
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.11 Triângulo de velocidades para um ponto P no rotor diagonal
P
P
cm
cr
ca
wm
wa
wr

r
z
c
w


cu
wu
u
ˆ ˆ ˆr r u a Zw w e w e w e  
ˆ ˆm r a r r a zw w w w e w e   
4
5
4
5
4
5
P
uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.12 Triângulo de velocidades para um ponto P no rotor radial
P
cr
wr

r
z
c
w


cu
wu
u
P
4
5
ˆ ˆr r uw w e w e 
ˆm r r rw w w e 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.13 Triângulo de velocidades para um ponto P no rotor axial
P
P4 5
ca
wa
r
z
c
w


cu
wu
u
ˆ ˆu a Zw w e w e 
ˆm a a zw w w e 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.14 Convenção de pontos para
máquinas de fluxo motora e geradora
Em alguns tipos de ventiladores
há um sistema diretor antes do 
rotor (pontos E  1 e S  2) e/ou 
um sistema diretor após o rotor
(pontos E  7 e S  8) 
Em turbinas hidráulicas com 
pré-distribuidor (P) e 
distribuidor (D) a nomenclatura 
é E  1P , S  2P e E  1D , S 
2D).
3.2.5 Convenção de pontos para MFG e MFM
E  Entrada ; S  Saída
Pontos 3 e 6 (EME803T)
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2.6 Triângulos de velocidades para a entrada e saída do
rotor e diagramas de velocidade para a entrada e
saída do estator
1) Para o caso de número infinito de pás (de espessura
desprezível), Capítulo 4, o ângulo do escoamento relativo é igual
ao ângulo da pá.
OBSERVAÇÕES:
2) As velocidades meridionais (cm e wm) são determinadas pela
equação da continuidade, Capítulo 5.
3) No caso de rotor de MF puramente axial (rotor puramente
axial) e para número infinito de pás (de espessura desprezível), cm4
= cm5 = ca4 = ca5, portanto, ca4 = ca5  wa4 = wa5.
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2.6 Triângulos de velocidades para a entrada e saída do
rotor e diagramas de velocidade para a entrada e
saída do estator
4) No ponto de projeto, se não há sistema diretor antes do rotor de
MF Geradora, o ângulo do escoamento absoluto na entrada do
rotor de MFG, 4, deve ser igual a 90º (não há giro do escoamento
absoluto na entrada do rotor).
5) No ponto de projeto, se não há sistema diretor após o rotor
(caso típico de turbinas hidráulicas), o ângulo do escoamento
absoluto na saída do rotor, 5, deve ser igual a 90º (não há giro do
escoamento absoluto na saída do rotor).
OBSERVAÇÕES (continuação):
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2.6 Triângulos de velocidades para a entrada e saída do
rotor e diagramas de velocidade para a entrada e
saída do estator
6) Ao desenhar os triângulos de velocidades “fora” do rotor de MF
geradoras, por convenção, as velocidades meridionais (cm e wm)
devem ser desenhadas com as setas apontadas para cima, em
consequência, os triângulos são semelhantes aos das Figuras
3.2.15, 3.2.16 e 3.2.17.
7) Ao desenhar os triângulos de velocidades “fora” do rotor de MF
motoras, por convenção, as velocidades meridionais (cm e wm)
devem ser desenhadas com as setas apontadas para baixo, em
consequência, os triângulos são semelhantes aos das Figuras
3.2.18, 3.2.19 e 3.2.20.
OBSERVAÇÕES (continuação):
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
3.2.6 Triângulos de velocidades para a entrada e saída do
rotor e diagramas de velocidade para a entrada e
saída do estator
8) No ponto de projeto, a velocidade (absoluta) no estator deve ter
módulo, direção e sentido da velocidade absoluta, c, no rotor. Esta
condição deve ser para oestator antes e/ou após o rotor.
9) No caso de rotor de MF diagonal (rotor diagonal) os triângulos
de velocidades são semelhantes (e não iguais) ao do rotor radial,
porém todos os componentes dos triângulos são obtidos de valores
médios, Capítulo 4, e são representados por uma “barra” superior
no símbolo representativo do componente.
OBSERVAÇÕES (continuação):
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
u5
(a.1) Triângulos de velocidades para rotor de MF Geradora Radial
4
cm4 wm4
w4
wu4
Figura 3.2.15 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Geradora Radial
4 44 uc w 
c4
u4
c5 w5
cu4
5
cu5
cm5 wm5
5
MFG5
4 4
5 55 uc w 
wu5
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
u4 = u5
(a.2) Triângulos de velocidades para rotor de MF Geradora Axial
4
w4
Figura 3.2.16 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Geradora Axial
c4 c5 w5
cu4
5
cu5
cm5 wm5
5
MFG5
4 4
wu5
wu4
cm4 wm4
4 44 uc w  5 55 uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(a.3) Triângulos de velocidades para rotor de MF Geradora Diagonal
Figura 3.2.17 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Geradora Diagonal
4
5
MFG
c4 c5
cu5
cu4
u4 u5
w4 w5
cm5 wm5
cm4 wm4
wu4
wu5
545
4
4 44 uc w  5 55 uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
w4
(a.4) Triângulos de velocidades para rotor de MF Motora Radial
Figura 3.2.18 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Motora Radial
u4
4
cm5 wm5
u5
c4 c5w5
cu5
cu4
cm4 wm4
5
MFM
5
44
5
wu5
wu4
4 44 uc w  5 55 uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(a.5) Triângulos de velocidades para rotor de MF Motora Axial
Figura 3.2.19 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Motora Axial
MFM
Triângulos de velocidades semelhantes aos da Figura 3.2.16
(lembre-se que u4 = u5), porém as velocidades meridionais (cm e
wm) devem ser desenhadas com as setas apontadas para baixo.
Como exercício, o(a) estudante deve 
desenhar os triângulos.
4 44 uc w  5 55 uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
(a.6) Triângulos de velocidades para rotor de MF Motora Diagonal
Figura 3.2.20 Triângulos de velocidades para a entrada (4) e saída (5) de rotor 
de MF Motora Diagonal
MFM
Triângulos de velocidades semelhantes aos da Figura 3.2.17
(lembre-se da “barra” superior no símbolo representativo do
componente), porém as velocidades meridionais (cm e wm) devem
ser desenhadas com as setas apontadas para baixo.
Como exercício, o(a) estudante deve 
desenhar os triângulos.
4 44 uc w  5 55 uc w 
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Algumas Aplicações
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Traçar a circunferência de Raio R4 MFRG
R4
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Traçar a circunferência de Raio R5 MFRG
R5
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Dividir a circunferência de Raio R 
em Z (número de pás) partes iguais
Para Z=4 pás (por exemplo)
Utilizar transferidor e compasso
4 MFRG
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Calcular o raio R na equação para a 
Pá Arco de Círculo:
MFRG
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Traçar uma linha tangente ao ponto 4 
e coincidente com a direção da 
Velocidade tangencial
MFRG
4
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
A partir da linha tangente traçada 
marcar o ângulo  e o raio R
MFRG
4
4

4
R×o
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
MFRG
4

4
×
R
Traçar a circunferência de Raio R 
até a intersecção com a saída do rotor
o
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Verificar o ângulo  na saída do 
rotor (Raio R )
MFRG
4

4
R
5
5
5
5
×o
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
As figuras abaixo representam as seções transversais de rotores centrífugos com 
diversos formatos de pás, e, suas respectivas equações são dadas por:
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
MFRG
4

4
R
5
5
× 
4

5
R
R5
R4
X
o
Lei dos Co-Senos
« Em todo triângulo, o quadrado da medida 
de um lado é igual à soma dos quadrados 
das medidas dos outros lados menos o dobro 
do produto dessas medidas pelo co-seno do 
ângulo que eles formam ».
Se a pá for reta:
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
wr5
5
cu5
w5
u5
5
cr5
wu5
c5
Figura 3.2.21 Triângulos (R) e diagramas (E) de velocidades para MFGR
wu4
u4 w4
c4
cr7
cr8
cu7
c7
7
cu8c8 8
wr55
cu5
w5
u5
5
cr4
wu5
c5
wu4
u4
w4c4
cr7
cu4 = 0
cr5
wr4
44
cr8
cu7
7
cu8
c7
c8
8
4
OR
Opá
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.22 Outra representação dos triângulos de velocidades da Fig. 3.2.21
c4
wr5
5
cu5
w5
u5
5
wu5
c5
wu4
u4
w4
cr5
4
4OR
Opá
EME705T Capítulo 3 – Item 3.2: Elementos Cinemáticos
Instituto de Engenharia Mecânica Universidade Federal de Itajubá
Figura 3.2.23 Uma outra representação dos triângulos de velocidades da Fig. 3.2.21
c4
wr5
5
cu5
w5u5
5
wu5
c5
wu4
u4
w4
cr5
4
4OR
Opá
4 44 uc w  5 55 uc w 