Aula de Revisão - Matemática Financeira

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Matemática Financeira
Revisão (Aula 09 a 16)
Professor: Fábio Ribeiro
Características
Introdução ao Valor do Dinheiro no Tempo
Ao se observar o sistema comercial, 
verifica-se que o valor do dinheiro 
se altera ao longo do tempo e que 
isso decorre de vários fatores 
econômicos, incluindo a sua própria 
desvalorização por conta dos 
diversos fatos sociais, como fatores 
econômicos em espécie (quebra de 
algum banco, por exemplo), fatores 
pandêmicos, fatores sanitários e 
demais fatores que se relacionam 
com a própria sociedade.
Valor presente: Valor atual, conforme
nomenclatura, o presente.
Valor futuro: Valor em determinado momento no
futuro.
Poder Aquisitivo: Valor real da moeda no 
momento de aquisição.
Inflação: é o aumento generalizado de preços, em
decorrência da perda do poder aquisitivo Um dos
motivos de seu início pode ser o aumento de
custos ou de demanda, ou ainda a combinação
dos dois.
Conceito de Porcentagem
Conceitos e Métodos de Cálculo de Porcentagem
Porcentagem nada mais é que uma 
razão que possui o 100 como 
denominador. Utilizamos o símbolo % 
para representar a porcentagem, 20%, 
por exemplo, significa que temos 20 
partes de algo que foi divido em 100. 
Podemos usar também a 
representação decimal (ou 
fracionária) para representar uma 
porcentagem.
Conceito e Taxas
Taxas Equivalentes, Capitalização e Descapitalização
Taxas de Juros
É a proporção do reajuste do montante
em função do ciclo de Capitalização. Uma
taxa de juros, ou taxa de crescimento do
capital, é a taxa de lucratividade
recebida num investimento.
Taxa efetiva ou real
É a taxa cuja unidade de referência de
tempo coincide com a unidade de tempo
do prazo de capitalização.
Taxa nominal
Na taxa nominal não há coincidência
entre a sua unidade de tempo e a unidade
de tempo dos períodos de capitalização.
Taxas de juros equivalentes e 
proporcionais
No que se refere à taxa proporcional, trata-se
de um tipo de taxa característico dos juros
simples, formada proporcionalmente. Quanto
à taxa equivalente, a sua aplicação e a sua
relevância estão conectadas com o regime
de juros compostos
Características Básicas
Propriedades
1. O logaritmo cujo o logaritmando é igual a 1 e a base é 
qualquer, é igual a zero;
2. O logaritmo cujo a base e o logaritmando são iguais é igual a 
um;
3. Dois logaritmos são iguais, numa mesma base, se os 
logaritmandos são iguais.
4. Logaritmo do produto: 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 . 𝒃 = 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 + 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒃)
5. Logaritmo da divisão: 𝐥𝐨𝐠𝒄
𝒂
𝒃
= 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂 − 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒃)
6. Logaritmo da potência: 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂𝒃 = 𝒃 . 𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂)
7. Logaritmo de uma raiz: 𝐥𝐨𝐠𝒄 𝒂
𝟏
𝒃 = 
𝐥𝐨𝐠𝒄(𝒂)
𝒃
Cálculo do Prazo Composto com uso de Logaritmos
Coeficiente de Financiamento
O coeficiente de financiamento consiste em um fator 
que, ao ser multiplicado pelo valor a ser financiado, 
fornece o valor de cada prestação
Fator para Cálculo de Prestação
CF = Coeficiente de financiamento
i = Taxa de juros cobrada pelo financiamento
n = Período ou número de parcelas mensais
Exemplos de amortização de empréstimo 
Sistema de 
Juros 
Antecipados 
Fator para Cálculo de Prestação
O devedor paga o total 
dos juros na data da 
liberação do empréstimo, 
não coincidindo o
valor liberado com o 
valor solicitado. Como 
consequência, a taxa 
efetiva não tem o mesmo 
valor que a taxa nominal 
contratada.
Sistema
Americano
No sistema americano, os 
juros são pagos 
periodicamente e o
valor emprestado se 
paga no final do prazo 
estipulado para o 
empréstimo.
Sistema Price
Nesse sistema, o devedor 
paga o empréstimo
em prestações iguais e 
imediatas, incluindo-se, 
em cada uma, uma 
amortização parcial do 
empréstimo e o juro sobre 
o saldo devedor.
Sistema SAC
O devedor paga o 
Principal em n 
pagamentos sendo que 
as amortizações são 
sempre constantes e 
iguais.
Características Básicas
Tais entradas e as saídas de caixa podem 
ser:
A. Regulares: geralmente ocorrem como
pagamento, por exemplo, de salários, 
impostos, aluguel, entre outros, e como 
recebimento.
B. Irregulares: ocorrem de forma inesperada 
ou inconstante, por exemplo, compra de uma 
peça para manutenção, entre outros.
Diagrama de Fluxo de Caixa
Para se ter uma visão desse planejamento, 
torna-se importante fazer, ao menos no 
planejamento a curto prazo, uma 
representação, que se realiza no
Diagrama de Fluxo de Caixa.
VP = valor presente
VF = valor futuro
saída = sinal –
entrada = sinal +
Eixo horizontal = tempo dividido em períodos;
i = taxa
Seta apontada para cima = entrada de recurso
Exemplos Práticos
Veja o diagrama de fluxo de caixa a seguir:
Diagrama de Fluxo de Caixa
O diagrama da figura acima, por exemplo, representa um projeto que envolve investimento inicial de 800, 
pagamento de 200 no terceiro ano, e que produz receitas de 500 no primeiro ano, 200 no segundo, 700 no 
quarto e 200 no quinto ano.
Convenção: 
dinheiro recebido > flecha para cima > valor positivo 
dinheiro pago > flecha para baixo > valor negativo
Exemplos Práticos
Vamos agora considerar o seguinte fluxo de caixa, onde C0, C1, C2, C3, ..., Cn são capitais referidos às 
datas, 0, 1, 2, 3, ..., n para o qual desejamos determinar o valor presente (PV).
Diagrama de Fluxo de Caixa
O problema consiste em trazer todos os capitais futuros para uma mesma data de referência. Neste caso, 
vamos trazer todos os capitais para a data zero. Do diagrama de fluxo de caixa visto acima, concluímos que 
o valor presente - PV - do fluxo de caixa será:
𝟏 𝟐 𝟑 𝒏
𝒏
𝒏
Obrigado