Médias e Grandezas

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25/10/2022
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Medidas de 
tendência central
Média aritmética simples
 Pode ser entendida como a soma dos valores de todas as
observações realizadas dividida pelo número de observações.
 É utilizada no intuito de expressar, por meio de um único
valor, a ideia principal de um grupo de valores.
 A média aritmética é expressa pela seguinte equação:
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Dados os números 10, 8, 15 e 9, qual o valor da média 
aritmética simples?
Exemplo 1
Um grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em 
determinada área para analisar os níveis de ph. 
Calcule a média aritmética simples, após 
evidenciados os seguintes resultados:
Exemplo 2
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3
Considere os seguintes valores coletados 
de uma amostra com 36 casos sobre a 
espessura de uma peça (em mm) 
produzida pela empresa Delta. Calcule a 
espessura média.
Exemplo 3
Média aritmética ponderada
 Existe um grande perigo no cálculo da média aritmética
simples. Quando um ou mais valores for muito diferente do
conjunto pode distorcer a tendência apresentada pela média.
 Essa distorção pode ser amenizada aplicando-se pesos “as
observações”, isso possibilita atribuir importância diferente a
cada valor. Quando isso ocorre, temos a média aritmética
ponderada.
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Em uma unidade escolar, a média anual de cada matéria é 
calculada de acordo com os princípios da média ponderada. O peso 
das notas está relacionado ao número do bimestre. Assim, temos 
peso 1, 2, 3, 4, respectivamente, para cada um dos quatro bimestres 
do ano. Determine a média anual de um aluno, cujas notas estão 
relacionadas na tabela acompanhadas dos respectivos pesos.
Exemplo 1
Bimestre Peso Nota do aluno
1º Bimestre 1 7,0
2º Bimestre 2 5,5
3º Bimestre 3 8,3
4º Bimestre 4 3,2
Resolução
Bimestre Peso Nota
1º Bimestre 1 7,0
2º Bimestre 2 5,5
3º Bimestre 3 8,3
4º Bimestre 4 3,2
Aprovado!
Reprovado!
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Determinada prefeitura realizou 
uma pesquisa de satisfação com 
500 usuários em relação à 
prestação dos serviços públicos. 
As notas disponibilizadas aos 
entrevistados no intuito de avaliar 
o nível de satisfação 
compreendem valores inteiros de 
1 a 10. Os resultados da pesquisa 
estão tabulados na tabela ao lado. 
Calcule a média ponderada que 
represente o nível de satisfação 
evidenciado pela prefeitura.
Exemplo 2
Nota Nº de entrevistados
1 8
2 30
3 20
4 125
5 100
6 80
7 85
8 35
9 10
10 7
Total 500
Resolução
Nota Pesos Nota*pesos
1 8 8*1 = 8
2 30 30*2 = 60
3 20 20*3 = 60
4 125 125*4 = 500
5 100 100*5 = 500
6 80 80*6 = 480
7 85 85*7 = 595
8 35 35*8 = 280
9 10 10*9 = 90
10 7 7*10 = 70
Total 500 2643
O nível de satisfação é de 5,2 em 
uma escala que varia de 1 a 10
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Média harmônica
 É utilizada quando estamos trabalhando com grandezas
inversamente proporcionais.
 A média harmônica pode ser calculada pela divisão da
quantidade de elementos de um conjunto pela soma dos
inversos desses elementos, conforme apresentado a seguir:
𝑴𝒆𝒅𝒊𝒂 𝒉𝒂𝒓𝒎𝒐𝒏𝒊𝒄𝒂 =
𝒏
 
𝟏
𝒙𝟏
+
𝟏
𝒙𝟐
+
𝟏
𝒙𝟑
… +
𝟏
𝒙𝒏
 
Grandezas proporcionais
 Uma grandeza pode definida como algo que pode ser
medido ou calculado, como: velocidade, área ou volume de
um material. É útil para comparar com outras medidas, muitas
vezes de mesma unidade, representando uma razão.
 A proporção é uma relação de igualdade entre razões e,
assim, apresenta a comparação de duas grandezas em
diferentes situações.
 A relação entre as grandezas pode ocorrer de maneira
diretamente ou inversamente proporcional.
Fonte: https://www.todamateria.com.br
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Grandezas diretas
 Duas grandezas são diretamente proporcionais quando a
variação de uma implica na variação da outra na mesma
proporção, ou seja, duplicando uma delas, a outra também
duplica; reduzindo pela metade, a outra também reduz na
mesma quantidade... e assim por diante.
 Exemplo: Uma impressora tem a capacidade de imprimir 10
páginas por minuto. Se dobrarmos o tempo, dobramos a
quantidade de páginas impressas.
Fonte: https://www.todamateria.com.br
Grandezas inversas
 Duas grandezas são inversamente proporcionais quando o
aumento de uma implica na redução da outra, ou seja,
dobrando uma grandeza, reduz pela metade a outra.
 Exemplo: João decidiu contar o tempo que levava indo de
casa à escola de bicicleta em diferentes velocidades. Observe
a sequência registrada.
Tempo (min) 4 6 12 24
Velocidade (Km/h) 30 20 10 5
Fonte: https://www.todamateria.com.br
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Em uma determinada viagem, um carro desenvolveu duas velocidades 
distintas, durante a metade do percurso ele manteve a velocidade de 40 
km/h e durante a metade restante sua velocidade foi de 100 km/h. 
Determine a velocidade média do veículo durante o percurso.
Exemplo 1
𝑴𝐡 =
𝟐
 
𝟏
𝟒𝟎
+
𝟏
𝟏𝟎𝟎
 
𝑴𝐡 =
𝟐
 𝟎, 𝟎𝟐𝟓 + 𝟎, 𝟎𝟏 
𝑴𝐡 =
𝟐
 𝟎, 𝟎𝟑𝟓 
𝑴𝐡 = 57 km/h
Em uma determinada viagem, um carro desenvolveu duas 
velocidades distintas, durante a metade do percurso ele 
manteve a velocidade de 40 km/h e durante a metade 
restante sua velocidade foi de 100 km/h. Determine a 
velocidade média do veículo durante o percurso.
Exemplo 1
40km/h 100km/h
200km
1hora2,5 horas
200 km : 3,5 horas = 57 km/h 
(40 km + 100 km) : 2 = 70 km/h 
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Para encher um tanque, uma torneira leva 12 
horas. Para encher esse mesmo tanque, outra 
torneira leva 6 horas. Caso as duas torneiras 
fossem abertas ao mesmo tempo, quanto tempo 
elas levariam para encher o tanque?
Exemplo 2
𝑴𝐡 =
𝟐
 
𝟏
𝟏𝟐
+
𝟏
𝟔
 
𝑴𝐡 =
𝟐
 𝟎, 𝟎𝟖𝟑 + 𝟎, 𝟏𝟔𝟕
𝑴𝐡 =
𝟐
 𝟎, 𝟐𝟓 
𝑴𝐡 = 8 horas (média)
Como foram abertas juntas, levariam 4 
horas para encher o tanque
Mediana
 É uma medida de tendência central, cujo valor divide um
conjunto de dados em duas partes iguais.
 A mediana é o valor que ocupa a posição central do
conjunto dos dados ordenados.
 Ordenados os elementos de uma amostra, a mediana é o
valor (pertencente ou não à amostra) que a divide ao meio,
isto é, 50% dos elementos menores e 50% dos elementos
maiores da amostra.
 Caracteriza-se por ser uma medida de tendência central que
não é afetada por valores extremos.
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Mediana (não agrupados) 
 Para dados não agrupados, inicialmente os dados devem ser
ordenados para, em seguida, observar o valor central. Se n for
ímpar, a mediana será o elemento central.
(𝒏 + 𝟏)
 𝟐 
(𝟏𝟏 + 𝟏)
 𝟐 
𝟔º 𝒆𝒍𝒆𝒎𝒆𝒏𝒕𝒐
𝑴𝒅 = 𝟓, 𝟔
 Sejam os seguintes elementos de
uma amostra: 8,2 - 5,6 - 3,7 - 2,1 - 9,1
- 3,2 - 6,7 - 7,9 - 4,1 - 5,4 - 7,1.
Encontre a mediana.
Mediana (não agrupados) 
 Se n for par, a mediana será o resultado da média simples
entre os elementos:
Exemplo: Sejam os seguintes valores: 𝑴𝒅 =
𝟕, 𝟔 + 𝟕, 𝟖
 𝟐
𝑴𝒅 = 𝟕, 𝟕
𝒏
 𝟐 
e 
𝒏
 𝟐 
+ 1
𝟏𝟎
 𝟐 
= 5º elemento
𝟏𝟎
 𝟐 
+ 1 = 6º elemento
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Considerem os seguintes valores 
coletados de uma amostra com 36 casos 
sobre a espessura de uma peça (em mm) 
produzida pela empresa Delta. Calcule a 
mediana da espessura.
Exemplo
Exemplo
9,3 9,3 9,4 9,4 9,6 9,6 9,6 9,6 9,7 9,7 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,9 9,9
9,9 9,9 9,9 9,9 10,0 10,0 10,0 10,1 10,1 10,1 10,1 10,1 10,1 10,2 10,2 10,3 10,3 10,4
𝒏
 𝟐 
=
𝟑𝟔
 𝟐 
= 18º elemento
𝒏
 𝟐 
+ 1 = 
𝟑𝟔
 𝟐 
+ 1 = 19º elemento
Organizados em ordem crescente:
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Mediana (agrupados) 
 O cálculo da mediana para dados já agrupados se processa
de modo muito semelhante, porém, deve-se determinar
previamente as frequências acumuladas para identificar qual o
valor divide a distribuição em dois grupos com o mesmo
número de elementos.
 Veja o exemplo a seguir:
Nota Aprovados
6 10
7 15
8 2
9 14
10 10
Total 51
Mediana (agrupados) 
Nota Aprovados
Frequência 
acumulada
6 10 10
7 15 25
8 2 27
9 14 41
10 10 51
Total 51 -
(𝒏 𝟏)
 𝟐 
= 
(𝟓𝟏 𝟏)
 𝟐 
= 
𝟓𝟐
 𝟐 
= 26º elemento25/10/2022
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Mediana (agrupados) 
Se a frequência total for par, teríamos o seguinte exemplo:
Nota Aprovados
Frequência 
acumulada
6 10 10
7 15 25
8 1 26
9 14 40
10 10 50
Total 50 -
𝒏
 𝟐 
=
𝟓𝟎
 𝟐 
= 25º elemento
𝒏
 𝟐 
+ 1 = 
𝟓𝟎
 𝟐 
+ 1 = 26º elemento
Moda
 Define-se a moda como o valor ou atributo que ocorre com
maior frequência em um determinado conjunto de dados.
 A moda pode funcionar como medida descritiva quando se
trata de contar dados quantitativos ou qualitativos,
demonstrando as categorias que mais concentram dados.
 É considerada um tipo de medida central mais simples, pois
considera apenas os valores mais frequentes.
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Moda
 Observe a tabela ao lado. Ela
demonstra a temperatura média,
registrada de hora em hora, das
6h às 12h em uma cidade.
Podemos notar que a
temperatura de 18º C se repetiu
duas vezes. Dessa forma
dizemos que a moda das
temperaturas obtidas é 18º C.
Dia da 
mês
Temperatura 
°C
6 14
7 18
8 18
9 19
10 22
11 24
12 26
Moda
A moda não é necessariamente única, como ocorre na média ou
na mediana. Dependendo da quantidade será classificada em
Amodal, quando não possui moda, Bimodal, quando possui
dois valores modais ou Multimodal, quando possui mais do que
dois valores modais. Veja alguns exemplos:
a) {maçã, banana, laranja, laranja, laranja, pêssego} = laranja
b) {1, 3, 5, 5, 6, 6} = Bimodal: 5 e 6.
c) {1, 3, 2, 5, 8, 7, 9} = Amodal.
d) {1, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7} = Multimodal: 5, 6 e 7
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Moda (não agrupados)
Primeiramente os dados devem ser ordenados para, em
seguida, observar o valor que mais se repete. Exemplo Um
grupo de alunos realizou 10 coletas de solos em determinada
área de cultura de morango para analisar os níveis de ph.
Calcule a moda, após evidenciados os seguintes resultados:
6,8 6,9 7,0 7,1 7,4
7,4 7,5 7,7 8,0 8,2
𝑴𝐨 = 𝟕, 𝟒
Considerem os seguintes valores 
coletados de uma amostra com 36 casos 
sobre a espessura de uma peça (em mm) 
produzida pela empresa Delta. Calcule a 
moda da espessura.
Exemplo
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Exemplo
9,3 9,3 9,4 9,4 9,6 9,6 9,6 9,6 9,7 9,7 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,8 9,9 9,9
9,9 9,9 9,9 9,9 10,0 10,0 10,0 10,1 10,1 10,1 10,1 10,1 10,1 10,2 10,2 10,3 10,3 10,4
Organizados em ordem crescente:
Moda (dados agrupados)
Quando os dados já estiverem
agrupados em uma distribuição de
frequência, para encontrarmos a
moda basta observar qual é o valor
da variável que possui a maior
frequência.
𝑴𝐨 = 𝟔, 𝟎
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Exemplo
Uma fábrica de camiseta identificou os seguintes defeitos
durante o processo de produção. Qual seria a moda?
𝑴𝐨 = 𝑪𝒐𝒓 𝒅𝒊𝒇𝒆𝒓𝒆𝒏𝒕𝒆 𝒅𝒐 𝒅𝒆𝒔𝒆𝒏𝒉𝒐
Comparação
Medida Definição Vantagens Limitações Quando usar
Média
Soma de 
todos valores 
dividido pelo 
total de 
elementos
Reflete cada 
valor e possui 
propriedades 
matemáticas 
atraentes
É influenciada por 
valores extremos
Deseja obter uma medida 
com maior estabilidade. 
Houver necessidade de 
um tratamento matemático 
posterior
Mediana
Valor que 
divide o 
conjunto em 
duas partes 
iguais
Menos sensível 
a valores 
extremos do 
que a média
Difícil de determinar 
para grande 
quantidade de 
dados
Há valores extremos que 
afetam a média. Deseja-
se um ponto que divide o 
conjunto em duas partes
Moda
Valor mais 
frequente
Valor típico, que 
repete mais 
vezes. Permite 
analisar dados 
qualitativos
Não utiliza análise 
matemática. Pode 
não haver moda em 
certos conjuntos de 
dados
Deseja-se obter uma 
medida rápida e 
aproximada de posição. A 
medida de posição deve 
ser o mais comum
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ALVES, V. dos S. Estatística aplicada. Cuiabá: Ed. UFMT, 2013. 168 p.
BRUNI, A. L. Estatística aplicada à gestão empresarial. 4. ed. São Paulo: Atlas, 2013. 398 p.
COSTA, P. R. Estatística. 3. ed. Santa Maria: Universidade Federal de Santa Maria, Colégio
Técnico Industrial de Santa Maria, e-Tec Brasil, 2010. 95 p.
FONSECA, S. C. C. Fundamentos de Estatística. Cuiabá: Ed. UFMT, 2015. 92 p.
FREUND, J. E.; DOERING, C. I. Estatística aplicada: economia, administração e contabilidade.
11. ed. Porto Alegre: Bookman, 2006. 535 p.
MARTINS, G. de A.; DOMINGUES, O. Estatística geral e aplicada: utilizando a planilha Excel
e o SPSS. 6. ed. São Paulo: Atlas, 2019. 360 p.
McCLAVE, J. T.; BENSON, G. P. SINCICH, T. Estatística para Administração e Economia. 10.
ed. São Paulo: Prentice Hall, 2009. 888 p.
VIEIRA, S. Estatística básica. São Paulo: Cengage Learning, 2012. 176 p.
Bibliografias consultadas