Estatística Aplicada

Prévia do material em texto

universidade federal de santa maria
centro de ciências naturais e exatas
departamento de estatística
núcleo de estatística aplicada
Anaelena B. Moraes | Luciane F. Jacobi | Roselaine R. Zanini
ESTATÍSTICA
22ª edição
universidade federal de santa maria
centro de ciências naturais e exatas
departamento de estatística
núcleo de estatística aplicada
Anaelena B. Moraes
Luciane F. Jacobi
Roselaine R. Zanini
Santa Maria, 2011
ESTATÍSTICA	
Esse caderno é uma produção da Série Naturais e Exatas/ ccne/ ufsm
Contato: sne.ufsm@gmail.com
Felipe Martins Müller
reitor
Dalvan José Reinert
vice-reitor
Martha Bohrer Adaime
diretora do ccne
Paulo Roberto Magnago
vice-diretor do ccne
João Eduardo da Silva Pereira
chefe do departamento de estatística
Ligia Manara Miletto Marcuz
João Alfredo Carvalho Lopes
coordenação
Laboratório de Design Grágico da ufsm
projeto gráfico
Mariane Alves Rodrigues
diagramação & produção gráfica
Francielli Mancio Ferreira
Sabrina dos Santos Cardoso
revisão ortográfica
Anaelena Bragança de Moraes
Luciane Flores Jacobi
Roselaine Ruviaro Zanini
elaboração do conteúdo
Murilo Wehner Flores
colaborador
Ficha catalográfica elaborada por Maristela Eckhardt crb–10/737
Biblioteca Central - ufsm
Moraes, Anaelena B.
Estatística / Anaelena B. Moraes, Luciane F. Jacobi, 
Roselaine R. Zanini. – Santa Maria : ufsm, ccne, 
Departamento de Estatística, Núcleo de Estatística 
Aplicada, 2011.
152 p. : il. ; 29 cm. – (Série Naturais & Exatas)
1. Estatística 2. Probabilidade 3. Inferência
I. Jacobi, Luciane F. II. Zanini, Roselaine R.
III. Título IV. Série
cdu 519.2
M827e
sumário
Apresentação �������������������������������������������������������������������������������������������������� 6
Capítulo 1 | Conceitos iniciais ���������������������������������������������������������������������� 7
1�1�|�Conceito�de�estatística�������������������������������������������������������������������������������8�
1�2�|�Divisão�da�estatística����������������������������������������������������������������������������������8
1�3�|�População������������������������������������������������������������������������������������������������� 10�
1�4�|�Amostra����������������������������������������������������������������������������������������������������� 10
1�5�|�Dados�estatísticos������������������������������������������������������������������������������������ 10�
1�6�|�Variável����������������������������������������������������������������������������������������������������� 10
1�7�|�Níveis�de�mensuração�de�uma�variável��������������������������������������������������� 11�
1�8�|�Arredondamento�de�dados���������������������������������������������������������������������13
1�9�|�Método�estatístico����������������������������������������������������������������������������������� 14
1�10�|�Representação�tabular����������������������������������������������������������������������������15
1�11�|�Séries�estatísticas������������������������������������������������������������������������������������� 16
1�12�|�Representação�gráfica�����������������������������������������������������������������������������17
Capítulo 2 | Distribuições de frequências ������������������������������������������������� 23
2�1�|�Representação�de�variáveis��������������������������������������������������������������������� 24
 2.1.1 | Discretas .............................................................................................. 24
 2.1.2 | Contínuas ............................................................................................ 24
2�2�|�Alguns�conceitos�básicos������������������������������������������������������������������������ 24
 2.2.1 | Dados brutos ...................................................................................... 25
 2.2.2 | Rol ....................................................................................................... 25
 2.2.3 | Amplitude total .................................................................................. 25
 2.2.4 | Classe .................................................................................................. 25
 2.2.5 | Limites de classe ................................................................................. 25
 2.2.6 | Amplitude de classe .......................................................................... 26
 2.2.7 | Ponto médio de classe ....................................................................... 26
 2.2.8 | Tipos de frequências .......................................................................... 26
 2.2.9 | Exemplos de distribuições de frequências ....................................... 27
 2.2.10 | Gráficos representativos de uma distribuição de frequências em 
classes ............................................................................................................ 28
Capítulo 3 | Medidas descritivas ������������������������������������������������������������������ 33
3�1�|�Introdução������������������������������������������������������������������������������������������������ 34
3�2�|�Medidas�de�tendência�central���������������������������������������������������������������� 35
 3.2.1 | Média aritmética ................................................................................. 35
 3.2.2 | Mediana .............................................................................................. 36
 3.2.3 | Moda .................................................................................................. 38
3�3�|�Separatrizes��������������������������������������������������������������������������������������������� 40
 3.3.1 | Quartis .................................................................................................40
 3.3.2 | Decis ................................................................................................... 42
 3.3.3 | Percentis ............................................................................................. 42
3�4�|�Medidas�de�dispersão����������������������������������������������������������������������������� 43
 3.4.1 | Amplitude de variação ....................................................................... 44
 3.4.2 | Soma de quadrados ........................................................................... 44
 3.4.3 | Variância ............................................................................................. 44
 3.4.4 | Desvio padrão ....................................................................................46
 3.4.5 | Coeficiente de variação .....................................................................46
3�5�|�Assimetria�e�curtose��������������������������������������������������������������������������������47
 3.5.1 | Assimetria ............................................................................................ 47
 3.5.2 | Curtose ...............................................................................................49
Capítulo 4 | Probabilidade ������������������������������������������������������������������������� 53
4�1�|�Introdução������������������������������������������������������������������������������������������������54�
4�2�|Noções�de�experimento,�espaço�amostral�e�eventos���������������������������54
 4.2.1 | Experimento aleatório ........................................................................ 55
 4.2.2 | Espaço amostral ................................................................................. 55
 4.2.3 | Evento ................................................................................................. 55
4�3�|�Álgebra�de�eventos����������������������������������������������������������������������������������57
4�4�|�Conceitos�de�probabilidade������������������������������������������������������������������57
 4.4.1 | Conceito empírico .............................................................................57
 4.4.2 | Definição clássica de probabilidade ................................................58
 4.4.3 | Definição axiomática ........................................................................59
4�5�|�Probabilidade�condicionada������������������������������������������������������������������59
4�6�|�Independência�estatística��������������������������������������������������������������������� 60
4�7�|�Teorema�de�Bayes�����������������������������������������������������������������������������������62
4�8�|�Resumo�das�propriedades�do�cálculo�de�probabilidades�������������������62
4�9�|�Avaliação�de�testes�diagnósticos�����������������������������������������������������������63
 4.9.1 | Sensibilidade e especificidade ..........................................................64
 4.9.2 | Valores de predição de um teste .....................................................65
4�10�|�Coeficientes�e�índices���������������������������������������������������������������������������65
 4.10.1 | Estatística vital ...................................................................................66
 4.10.2 | Frequência relativa ou proporção ..................................................66
 4.10.3 | Número-índice ................................................................................67
 4.10.4 | Coeficiente ou taxa .........................................................................67
 4.10.5 | Índice ...............................................................................................68
 4.10.5 | Alguns coeficientes na área da saúde .............................................69
5 | Variáveis aleatórias ��������������������������������������������������������������������������������� 70
5�1�|�Noções�sobre�variáveis�aleatórias���������������������������������������������������������� 70�
5�2�|�Variáveis�aleatórias�discretas������������������������������������������������������������������ 71
 5.2.1 | Função de probabilidade .................................................................. 72
 5.2.2 | Valor esperado ou média de uma variável aleatória discreta .......... 72
 5.2.3 | Variância de uma variável aleatória discreta .................................... 73
5�3�|�Variáveis�aleatórias�contínuas���������������������������������������������������������������� 73
 5.3.1 | Função densidade de probabilidade ................................................74
 5.3.2 | Valor esperado ou média de uma variável aleatória contínua ........74
 5.3.3 | Variância de uma variável aleatória contínua ................................... 75
5�4�|�Modelos�probabilísticos�para�variáveis�aleatórias�������������������������������75
 5.4.1 | Distribuição binomial ........................................................................76
 5.4.2 | Distribuição de Poisson ....................................................................78
 5.4.3 | Distribuição normal .......................................................................... 81
 5.4.4 | Distrubuição qui-quadrado (2) ....................................................... 81
 5.4.5 | Distribuição “t” de Student ...............................................................82
 5.4.6 | Distribuição “F” (Fisher) de Snedecor ..............................................85
Capítulo 6 | Amostragem ��������������������������������������������������������������������������� 86
6�1�|�Introdução����������������������������������������������������������������������������������������������� 86
 6.1.1 | Definição de amostragem ..................................................................87
 6.1.2 | Importância da utilização da amostragem ........................................87
 6.1.3 | Situações em que pode não valer a pena a realização de uma 
amostragem ...................................................................................................88
 6.1.4 | Tipos de investigação .........................................................................88
6�2�|�Tipos�de�amostragem�probabilística���������������������������������������������������� 88
 6.2.1 | Amostragem aleatória simples (a.s.s) ............................................... 89
 6.2.2 | Amostragem sistemática ..................................................................90
 6.2.3 | Amostragem estratificada ................................................................. 91
6�3�|�Distribuição�por�amostragem��������������������������������������������������������������� 92
 6.3.1 | Amostragem com ou sem reposição ................................................92
 6.3.2 | Distribuição amostral das médias .................................................... 93
6�4�|Determinação�do�tamanho�da�amostra������������������������������������������������ 94
 6.4.1 | Para estimar uma média populacional ............................................. 95
 6.4.2 | Para estimar uma proporção populacional ..................................... 97
Capítulo 7 | Estimação de parâmetros �������������������������������������������������������98
7�1�|�Introdução����������������������������������������������������������������������������������������������� 99
7�2�|�Estimativas�pontuais�e�intervalares������������������������������������������������������� 99
7�3�|�Tipos�de�intervalos��������������������������������������������������������������������������������� 99
 7.3.1 | Intervalo de confiança para uma média populacional .................. 100
 7.3.2 | Intervalo de confiança para uma proporção populacional ........... 101
 7.3.3 | Intervalo de confiança para a diferença entre duas médias popula-
cionais ......................................................................................................... 104
 7.3.4 | Intervalo de confiança para a diferença entre duas proporções 
populacionais ............................................................................................. 104
Capítulo 8 | Testes de hipóteses paramétricos ��������������������������������������� 105
8�1�|�Introdução��������������������������������������������������������������������������������������������� 106
8�2�|�Hipótese�estatística������������������������������������������������������������������������������ 106
8�3�|�Teste�de�hipótese��������������������������������������������������������������������������������� 106
 8.3.1 | Hipóteses .........................................................................................107
 8.3.2 | Tipos de erros ..................................................................................107
 8.3.3 | Níveis de significência do teste ..................................................... 108
 8.3.4 | Graus de liberdade .........................................................................108
 8.3.5 | Teste bilateral ..................................................................................108
 8.3.6 | Teste unilateral ............................................................................... 109
 8.3.7 | Probabilidade exata do teste ..........................................................109
 8.3.8 | Procedimento para a realização de um teste de hipóteses ..........109
8�4�|�Testes�de�hipóteses�paramétricos������������������������������������������������������� 110
 8.4.1 | Teste para uma média com variância populacional s2 conhecida . 110
 8.4.2 | Teste para uma média com variância populacional s2 desconhecida 
.........................................................................................................................111
 8.4.3 | Teste para uma proporção populacional ....................................... 112
 8.4.4 | Teste para a diferença entre duas médias populacionais indepen-
dentes ...........................................................................................................116
 8.4.5 |Teste para a diferença entre duas amostras dependentes –Teste t 
pareado .........................................................................................................119
 8.4.6 | Teste para a diferença entre duas proporções populacionais ..... 121
 8.4.7 | Teste para a diferença entre duas variâncias populacionais .......... 121
Capítulo 9 | Análise de variância – anova �������������������������������������������������122
9�1�|�Introdução���������������������������������������������������������������������������������������������� 122
9�2�|�Pressuposições�básicas�à�aplicação�da�anova������������������������������������� 122
9�3�|�anova�–�Uma�classificação:�amostras�de�mesmo�tamanho���������������� 125
9�4�|�anova�–�Uma�classificação:�amostras�de�tamanhos�diferentes��������� 125
9�5�|Comparação�de�médias������������������������������������������������������������������������126
 9.5.1 | Teste de Tuckey .................................................................................129
Capítulo 10 | Testes de hipóteses não-paramétricos ������������������������������ 130
10�1�|�Testes�de�adequação����������������������������������������������������������������������������132
10�2�|�Teste�de�independência�����������������������������������������������������������������������133
10�3�|�Coeficiente�de�contingência����������������������������������������������������������������137
Capítulo 11 | Correlação e regressão linear simples �������������������������������� 138
11�1�|�Correlação�linear�simples��������������������������������������������������������������������� 140
 11.1.1 | Estimativa do coeficiente de correlação .......................................... 140
 11.1.2 | Teste para o coeficiente de correlação.............................................142
11�2�|�Regressão�linear�simples���������������������������������������������������������������������� 142
 11.2.1 | Considerações na análise de regressão ............................................145
11�3�|�Teste�para�a�significância�da�regressão����������������������������������������������� 146
11�4�|�Coeficiente�de�determinação�������������������������������������������������������������� 146
Capítulo 12 | Referências bibliográficas ��������������������������������������������������� 149
O objetivo principal deste texto é oferecer um material didático básico, 
em português, para o desenvolvimento das disciplinas de estatística ofer-
tadas nos cursos de graduação e pós-graduação da Universidade Federal 
de Santa Maria.
O texto se originou de notas de aulas das disciplinas de estatística minis-
tradas pelas autoras.
Existem vários livros sobre os assuntos abordados nesse material didá-
tico, mas os materiais já existentes não apresentam a seqüência aconse-
lhada e a objetividade necessária para o desenvolvimento do conteúdo 
programático das disciplinas.
Este texto certamente não está livre de erros. Portanto, comentários e 
sugestões dos leitores são sempre bem-vindos.
Santa Maria, 2011
Anaelena Bragança de Moraes
Luciane Flores Jacobi
Roselaine Ruviaro Zanini
apresentação
CCNE��.�UFSM
estatística
8
conceitos iniciais
Conceito de estatística
Divisão da estatística
População
Amostra
Dados estatísticos
Variável
Níveis de mensuração de uma variável
Arredondamento de dados
Método estatístico
Representação tabular
Séries estatísticas
Representação gráfica
1
CCNE��.�UFSM
estatística
10
1 | Conceitos iniciais
1.1 | conceito de estatística
Existem muitas definições propostas por autores, objetivando estabelecer 
com clareza o que é estatística, como por exemplo:
•	 a estatística é um conjunto de métodos destinados à coleta, organi-
zação, resumo, apresentação e análise de dados de observação, bem 
como a tomada de decisões razoáveis baseadas em tais análises;
•	 a estatística é a matemática aplicada aos dados de observação;
•	 a estatística é um conjunto de processos ou técnicas empregadas na 
investigação e análise de fenômenos coletivos ou de massa.
1.2 | divisão da estatística
A estatística divide-se em estatística geral ou metodológica e estatística 
aplicada. A estatística geral subdivide-se em descritiva e indutiva.
Estatística geral
Visa a elaborar métodos gerais aplicáveis a todas as fases do estudo dos 
fenômenos de massa. A estatística matemática é a parte da estatística geral 
que tem por finalidade o estudo das propriedades matemáticas dos fenô-
menos de massa e a dedução e demonstração rigorosa dos procedimen-
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
11
tos e fórmulas usadas. A estatística geral ainda pode ser dividida em dois 
grandes campos:
Estatística descritiva
Trata da coleta, organização, classificação, apresentação e descrição dos 
dados de observação. Refere-se à maneira de apresentar um conjunto de 
dados em tabelas e gráficos e à maneira de resumir, através de certas me-
didas, as informações contidas nestes dados.
Estatística indutiva ou inferencial
Visa a tirar conclusões sobre a população a partir de amostras. Refere-se à 
maneira de estabelecer conclusões para toda uma população quando se 
observar apenas parte desta população.
Estatística aplicada
É todo o ramo do conhecimento científico que proceda, única ou princi-
palmente, por intermédio da metodologia estatística. Exemplos: Biometria 
(ciência que trata da mensuração da vida e dos processos vitais), Demo-
grafia, Econometria, Psicometria (mensuração da personalidade, do de-
senvolvimento mental e do comportamento de indivíduos e grupos e seus 
ajustamentos a mudanças no meio ambiente), Mecânica Estatística, Socio-
metria (maneira como as pessoas vivem, sua cultura, opiniões e atitudes, 
assim como o relacionamento de uns com os outros).
Algumas aplicações da estatística
A estatística é uma ciência de múltiplas aplicações e de fundamental im-
portância no campo da investigação científica, sendo de utilização cada 
vez mais acentuada em qualquer atividade profissional. Então, é razoável 
que os profissionais de diversas áreas adquiram um mínimo de conheci-
mento técnico sobre estatística que possibilite a compreensão de termos 
como: variabilidade, regressão, correlação, significância, etc. que apare-
cem com frequência em artigos de publicações especializadas.
CCNE��.�UFSM
estatística
12
1.3 | população
É todo conjunto de elementos que possuam ao menos uma característica 
comum observável.
Obs.: elementos = objetos, animais, pessoas, material contínuo (sólido, 
líquido ou gás).
 
1.4 | amostra
É uma parte da população, sendo que essa parcela deve ser selecionada de 
acordo com algum critério para que possa ser representativa da população.
 
1.5 | dados estatísticos
São as características observadas ou medidas nos elementos, sendo que os 
dados de observação constituem a matéria-prima da estatística. 
 
1.6 | variável
É um símbolo, como X, Y, Z, ..., que pode assumir resultados de um con-
junto, os quais lhe são atribuídos. Este conjunto é chamado domínio da 
variável; se a variável pode assumir somente um valor, ela é denominada 
constante.
As variáveis podem ser classificadas em:
Variáveis qualitativas ou atributos: indica alguma propriedade do fenô-
meno de observação;
Variáveis quantitativas discretas: quando podem assumir apenas al-
guns valores de um conjunto;
Variáveis quantitativas contínuas: quando podem assumir, teoricamen-
te, qualquer valor de um conjunto.
Em geral, as medições dão origem a variáveis contínuas, enquanto as 
enumerações ou contagens resultam em variáveis discretas.
Exemplo: Classificar as variáveis em qualitativas ou quantitativas (discretas 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
13
ou contínuas).
a) quantidade de alcatrão em cigarros;
b) altitude de um avião;
c) número de assinantes de um serviço de computador on-line;
d) precipitação pluviométrica durante um ano;
e) salário dos funcionários de uma empresa;
f) gênero dos filhos de casais residentes em uma cidade.
Solução: a) variável quantitativa contínua;b) variável quantitativa contí-
nua; c) variável quantitativa discreta; d) variável quantitativa contínua; e) 
variável quantitativa discreta; f) variável qualitativa.
1.7 | níveis de mensuração de uma variável
Nível de mensuração significa a escala em que foi medida a variável, obje-
to de investigação. São quatro os níveis de mensuração: nominal, ordinal, 
intervalar e de razão.
Nível nominal 
A mensuração, em seu mais baixo nível, existe quando números ou ou-
tros símbolos são utilizados para classificar um elemento. Estes números 
ou símbolos constituem uma escala nominal ou classificadora. As únicas 
estatísticas aplicáveis são: a moda e as frequências.
Nível ordinal
Pode ocorrer que os elementos em uma categoria de dada escala não se-
jam apenas diferentes dos elementos de outras categorias da mesma escala, 
mas que guardem certo tipo de “relação” com eles. Isto é, a variável em es-
tudo é partida em categorias ordenadas em graus convencionados haven-
do uma relação entre categorias do tipo: “maior do que”. Pode-se calcular a 
mediana e todas as estatísticas de postos, além da moda e das frequências.
Nível intervalar
Quando a escala tem todas as características de uma escala ordinal e, além 
CCNE��.�UFSM
estatística
14
disso, conhecem-se as distâncias entre dois números quaisquer da escala, 
consegue-se uma mensuração consideravelmente mais forte que a ordinal. 
Atribui-se à variável um número real, uma unidade constante e comum de 
mensuração. A unidade de mensuração e o ponto zero são arbitrários. A 
escala intervalar é a primeira escala verdadeiramente quantitativa. Neste 
nível todas as estatísticas paramétricas comuns são aplicáveis.
Nível de razão
Quando uma escala tem todas as características de uma escala de interva-
los e, além disso, tem um verdadeiro ponto zero como origem, é chamada 
escala de razão. Como no nível anterior, todas as estatísticas são aplicáveis.
Exemplo: Determinar o nível de mensuração mais adequado (nominal, or-
dinal, intervalar ou razão).
a) classificação como acima da média, médio ou abaixo da média para 
encontros marcados com desconhecidos;
b) conteúdo de nicotina (em miligramas) de cigarros;
c) números de inscrição do inss;
d) temperaturas (em graus Celsius);
e) anos em que ocorreram eleições presidenciais;
f) graus finais (a, b, c, d, f) de estudantes de estatística;
g) códigos de endereçamento postal (cep);
h) rendas anuais de enfermeiras;
i) carros classificados como subcompacto, compacto, intermediário ou 
grande;
j) cores de uma amostra de confetes m&m.
Solução: a) nível ordinal; b) nível de razão; c) nível nominal; d) nível inter-
valar; e) nível intervalar; f) nível ordinal; g) nível nominal; h) nível razão; i) 
nível ordinal; j) nível nominal.
1.8 | arredondamento de dados
Arredondar um número significa reduzir a sua quantidade de algarismos 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
15
significativos após a vírgula. O objetivo é reduzir os erros por arredonda-
mento, nos casos em que é grande o volume de números a arredondar.
A Portaria 36, do Instituto Nacional de Pesos e Medidas, de 6 de agosto 
de 1965, estabelece os seguintes critérios para o arredondamento de dados.
Regras de arredondamento
•	 Quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 
0, 1, 2, 3, 4, conserva-se o algarismo a ser arredondado e desprezam-se 
os seguintes;
•	 quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 
6, 7, 8, 9 ou 5, este último seguido de outros algarismos, em que pelo 
menos um é diferente de zero, aumenta-se uma unidade no algarismo 
a ser arredondado e desprezam-se os seguintes;
•	 quando o primeiro algarismo após aquele que será arredondado for 
5 seguido de zeros, conserva-se o algarismo a ser arredondado se ele 
for par, ou aumenta-se uma unidade, se ele for ímpar, desprezando 
os seguintes.
Par 5 Ímpar
Conserva Soma uma unidade
0, 1, 2, 3 ou 4 6, 7, 8, 9 ou 5+
Exemplo: Dados os valores abaixo, fazer o arredondamento para centésimo.
 a) 33,5630; b) 9,5194; c) 10,32500; 
d) 63,4850000001; e) 6,7153; f) 0,9880;
Solução: a) 33,56; b) 9,52; c)10,32; d) 63,49; e) 6,72; f) 0,99
1.9 | método estatístico
Quando se pretende empreender um estudo estatístico completo, exis-
tem diversas fases do trabalho que devem ser desenvolvidas para se chegar 
aos resultados finais do estudo.
CCNE��.�UFSM
estatística
16
Fases do método estatístico
Definição do problema: a primeira fase do trabalho estatístico consiste 
em uma definição ou formulação correta do problema a ser estudado. 
Além de considerar detidamente o problema objeto do estudo, o analis-
ta deverá examinar outros levantamentos realizados no mesmo campo e 
análogos, uma vez que parte da informação de que necessita pode, muitas 
vezes, ser encontrada nesses últimos.
Planejamento da pesquisa: o passo seguinte, após a definição do pro-
blema, compreende a fase do planejamento, que consiste em determinar 
o procedimento necessário para resolver o problema e, em especial, em 
como levantar informações sobre o assunto objeto do estudo. É nessa fase 
que será escolhido o tipo de levantamento a ser utilizado. Outros elemen-
tos importantes que devem ser tratados nessa mesma fase são: o crono-
grama das atividades; através do qual são fixados os prazos para as várias 
fases; os custos envolvidos; o exame das informações disponíveis; o deli-
neamento da amostra e a forma como serão escolhidos os dados.
Coleta ou levantamento dos dados: o terceiro passo é essencialmente 
operacional, compreendendo a coleta das informações propriamente di-
tas. Formalmente, a coleta de dados se refere à obtenção, à reunião e ao 
registro sistemáticos de dados, com um objetivo determinado.
Crítica e digitação dos dados: antes de começar a analisar os dados, é 
conveniente que lhes seja dado algum tratamento prévio, a fim de torná-
los mais expressivos. É um trabalho de condensação e de tabulação dos 
dados, que chegam ao analista de forma desorganizada, tornando impos-
sível a tarefa de apreender todo o seu significado pela simples leitura.
Organização e representação dos dados: a apresentação ou exposição 
dos dados observados constitui a quinta fase do método estatístico. Há 
duas formas de apresentação, que não se excluem mutuamente.
a) A apresentação tabular é uma apresentação numérica dos dados. Con-
siste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo 
ordenado, segundo algumas regras práticas adotadas pelos diversos 
sistemas estatísticos.
b) A apresentação gráfica dos dados numéricos constitui uma apresen-
tação geométrica. Embora a apresentação tabular seja de extrema im-
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
17
portância, no sentido de facilitar a análise numérica dos dados, não 
permite ao analista obter uma visão tão rápida, fácil e clara do fenô-
meno e de sua variação como a conseguida através de um gráfico.
Análise dos dados e interpretação dos resultados: a última fase do 
trabalho estatístico é a mais importante e também a mais delicada. Nesta 
etapa, o interesse maior reside em tirar conclusões que auxiliem o pes-
quisador a resolver seu problema. A análise dos dados estatísticos está 
ligada essencialmente ao cálculo de medidas, cuja finalidade principal é 
descrever o fenômeno. Assim, o conjunto de dados a ser analisado pode 
ser expresso por números-resumos, as estatísticas, que evidenciam carac-
terísticas particulares desse conjunto.
 
1.10 | representação tabular
Consiste em dispor os dados em linhas e colunas distribuídas de modo or-
denado. A elaboração de tabelas deve obedecer às normas editadas pelo 
Instituto Brasileiro de Geografia e Estatística - ibge.
Abaixo, apresenta-se uma tabela esquemática sendo indicados os seus 
elementos.
Figura 1.10 | Tabela esquemáticaNo rodapé de uma tabela podem aparecer, se necessárias a fonte (en-
tidade responsável pelas informações contidas na tabela), notas (observa-
Título: O quê?; Onde?; Quando?
Cabeçalho Total
Total
Coluna indicadora Corpo da tabela
Fonte:
* Chamada
Nota: Rodapé
CCNE��.�UFSM
estatística
18
ções gerais sobre a tabela) e/ou chamadas (observações feitas em relação 
a pontos específicos da tabela cujos símbolos usados são: *, **, ...; ’, ”, ...; 
i, ii, ... e k).
1.11 | séries estatísticas
Uma série estatística é um conjunto de dados ordenados segundo uma ca-
racterística comum, sendo apresentada sob forma de tabela e/ou gráfico.
A classificação de uma série é feita de acordo com a variação de três 
elementos que a compõem: a espécie (o fenômeno), o local (o lugar onde 
o fenômeno acontece) e a época (fator temporal ou cronológico a que se 
refere o fenômeno).
O nome da série depende do(s) elemento(s) que varia(m). Assim, pode-
se ter uma série específica, geográfica, temporal, mista ou uma distribuição 
de frequências.
Exemplos de séries:
Série específica (série simples):
Tabela: Frequência e porcentagens dos 2000 empregados
da Companhia MB, segundo o grau de instrução
Grau de instrução Frequência (ni) Porcentagem
Fundamental
Médio
Superior
Total
650
1020
330
2000
32,50
51,00
16,50
100,00
Fonte: Dados Hipotéticos
Figura 1.11 - 1 | Série específica (série simples). Créditos: Dados hipotéticos
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
19
Série geográfica-específica (série composta ou mista):
Tabela: Opinião da populaçã, por local de residência, sobre
um projeto governamental.
Opinião Urbano Suburbano Rural Total
Total 90 60 50 200
Local de residência
A favor
Contra
30
60
35
15
100
100
35
25
Figura 1.11 - 2 | Série geográfica-específica (série composta ou mista). Créditos: Dados hipotéticos 
1.12 | representação gráfica
Um gráfico é toda forma de representação das séries estatísticas que seja 
baseada no desenho.
O gráfico deve ser atraente para cumprir sua finalidade de mostrar re-
sultados, além de bem construído para permitir a análise do fenômeno 
exposto. A fim de que isso aconteça, devem-se observar alguns aspectos 
básicos como simplicidade, clareza e veracidade.
Do mesmo modo, nas tabelas estatísticas e, nos gráficos, deve-se consi-
derar um título que informe a espécie, o lugar e o tempo do fenômeno re-
presentado, bem como a fonte de onde foram coletados os dados expostos.
CCNE��.�UFSM
estatística
20
Gráficos analíticos
Classificação
dos gráficos
analíticos
Simples
Sobrepostas
Justapostas
Barras
Pontos
Linhas
Superfícies Colunas
Setores
Simples
Sobrepostas
Justapostas
Figura 1.12 - 1 | Gráficos analíticos. Créditos: Dados hipotéticos
Exemplos de gráficos
V
ar
iá
ve
is
 Y
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 98
Variáveis X
Gráfico de pontos
Figura 1.12 - 2 | Exemplo de gráficos: Gráfico de pontos
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
21
Gráfico de linha
Variáveis X
Va
riá
ve
is
 Y
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 98
Figura 1.12 - 3 | Exemplo de gráficos: Gráfico de linha
Gráfico de colunas
Variáveis X
Va
riá
ve
is
 Y
10
8
6
4
2
0 1 2 3 4 5 6 7 98
Figura 1.12 - 4 | Exemplo de gráficos: Gráfico de colunas
CCNE��.�UFSM
estatística
22
Gráfico de colunas justapostas Sequência 1
Sequência 2
Variáveis X
V
ar
iá
ve
is
 Y
10
5
0 1 2 3 4 5 6 7
Figura 1.12 - 5 | Exemplo de gráficos: Gráfico de colunas justapostas
Gráfico de colunas sobrepostas
Variáveis X
10
8
6
6 7
4
4 5
2
2 310
V
ar
iá
ve
is
 Y
Série 1
Série 2
Figura 1.12 - 6 | Exemplo de gráficos: Gráfico de colunas sobrepostas
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
conceitos iniciais
23
Gráfico de barras
Variáveis X
Va
riá
ve
is
 Y
1
3
5
7
0 2 4 6 8 10
Figura 1.12 - 7 | Exemplo de gráficos: Gráfico de barras
Figura 1.12 - 8 | Exemplo de gráficos: Gráfico de setores
Gráfico de setores
CCNE��.�UFSM
estatística
24
distribuições de frequências
Representação de variáveis 
Alguns conceitos básicos
2
CCNE��.�UFSM
estatística
26
2 | Distribuições de 
frequências
Uma distribuição de frequência é uma tabela que reúne o conjunto de da-
dos, conforme as frequências ou as repetições de seus valores. Esta tabela 
pode representar os dados em classes ou não, de acordo com a classifica-
ção dos dados em discretos ou contínuos. 
2.1 | representação de variáveis 
2�1�1 | Discretas
Neste caso, representam-se as observações numa tabela de frequências, 
não agrupadas em classes, designadas de séries de magnitude por ponto. É 
útil quando a série apresenta poucos valores distintos.
2�1�2 | Contínuas
Neste caso, utiliza-se também a tabela de frequências, mas sob forma de 
intervalos, mesmo que isso sacrifique algum detalhe na ordenação de va-
lores individuais. É útil quando a série apresenta muitos valores distintos.
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
distribuições de frequências
27
2.2 | alguns conceitos básicos
2�2�1 | Dados brutos
São os valores originais, conforme foram coletados, os quais ainda não es-
tão prontos para análise, pois não estão numericamente organizados ou 
tabelados.
2�2�2 | Rol
É uma lista onde as observações são dispostas em uma determinada ordem 
(crescente ou decrescente). Os objetivos da ordenação são tornar possível 
a visualização das variações ocorridas, uma vez que os valores extremos 
são percebidos de imediato, e também facilitar a construção da distribui-
ção de frequências.
2�2�3 | Amplitude total 
 Simbologia: H, At ou R
É a diferença entre o maior e o menor valor observado da variável em es-
tudo: H = Xmáx - Xmín
2�2�4 | Classe 
É cada um dos grupos ou intervalos de valores em que se subdivide a am-
plitude total do conjunto de tamanho n.
Para a determinação do número de classes, existem diversos métodos, 
dentre os quais destaca-se a regra de Sturges, que estabelece que o núme-
ro de classes (k) é calculado por: k = 1 + 3,3 log n
O analista deverá ter em mente que a escolha do número de classes de-
penderá antes da natureza dos dados e da unidade de medida em que 
eles forem expressos, do que de regras muitas vezes arbitrárias e pouco 
flexíveis. Recomenda-se considerar 4 ≤ k ≤ 12.
rol crescente
Xmín Xmáx
CCNE��.�UFSM
estatística
28
2�2�5 | Limites de classe
São os dois valores extremos de cada classe.
Limite inferior (Li): é o menor valor da classe considerada;
Limite superior (Ls): é o maior valor da classe considerada.
2�2�6 | Amplitude de classe 
 Simbologia: h
 
É a diferença entre o limite superior e o limite inferior da classe, ou seja:
h = Ls – Li, quando a distribuição de frequências já existe; ou 
h = H/k, para a determinação da amplitude das classes de uma distribuição 
de frequências a ser construída.
2�2�7 | Ponto médio de classe 
 Simbologia: Xi
É a média aritmética dos limites da classe. É o valor representativo da classe:
i sX =
L + L
2i
 
2�2�8 | Tipos de frequências
 
Para construção de uma tabela de distribuição de frequência é necessário 
conhecer alguns de seus termos:
Tipos de frequências
Simples
Acumulada
Crescente
Decrescente
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
Absoluta
Relativa
Figura 2.2.8 – 1 | Tipos de frequências
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
distribuições de frequências
29
Frequência absoluta 
Simbologia: fi
É o número de observações que aparece em uma classe ou valor individual.
Frequência relativa 
Simbologia: fri
É o quociente entre a frequência absoluta e o número total de observações, 
sendo que:
 f =
f
f
r
i
i
i= 1
ki
∑ 
f
f
f
ri
i
i
i
k
% x=
=
∑
1
100
 
de: 0 < fri < 1; fri
i
k
=
=
∑ 1
1
 
Frequência acumulada crescente 
Simbologia: faci ou Fci
É a soma de todas as frequências anteriores com a frequência do intervalo 
considerado.
2�2�9 | Exemplos de distribuições de frequências
Valores Frequência (fi)
10
15
20
25
30
Total
7
12
14
8
10
51
Figura 2.2.9 – 1 | Distribuição de frequênciaspor ponto
CCNE��.�UFSM
estatística
30
Preço, em R$, de certo produto
Preço (R$)
Total 28
Limites
inferiores
Frequência
das classes
Limites
superiores
fi
Classes
2
5
10
6
3
2
8
10
12
14
16
18
6
8
10
12
14
16
Figura 2.2.9 – 2 | Distribuição de frequências por intervalo
2�2�10 | Gráficos representativos de uma 
distribuição de frequências em classes
Histograma
É um gráfico de colunas justapostas, cujas alturas são proporcionais 
às frequências absolutas e cujas bases correspondem ao intervalo 
de classe da distribuição. 
Polígono de frequências
É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às frequên-
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
distribuições de frequências
31
cias absolutas e correspondem aos pontos médios das classes da distribui-
ção.
Figura 2.2.10 – 2 | Polígono de frequências
Ogiva
É um gráfico de linha, cujos vértices são proporcionais às frequências acu-
muladas e correspondem aos limites inferiores das classes da distribuição.
CCNE��.�UFSM
estatística
32
Figura 2.2.10 – 3 | Ogiva 
Exemplo 1: Os dados abaixo apresentam as vendas diárias de um determi-
nado aparelho elétrico, durante um mês, por uma firma comercial. Cons-
truir uma distribuição de frequências por pontos: 14 – 12 – 11 – 13 – 14 – 13 
– 12 – 14 – 13 – 14 – 11 – 12 – 12 – 14 – 10 – 13 – 15 – 11 – 15 – 13 – 16 – 17 – 14 – 14.
Solução:
O gráfico de bastões e o polígono de frequência são dados por:
fi
Figura 2.2.10 – 4 | Gráfico de bastões e polígono de frequências
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
distribuições de frequências
33
Assim como o gráfico das frequências acumuladas (ogiva):
Fci
Figura 2.2.10 – 5 | Ogiva crescente
Exemplo 2: Dado o rol de 50 notas (dadas em créditos), agrupar os ele-
mentos em classe e construir os gráficos: 33 – 35 – 35 – 39 – 41 – 41 – 42 – 45 
– 47 – 48-50 – 52 – 53 – 54 – 55 – 55 – 57 – 59 - 60 – 60-61 – 64 – 65 – 65 – 65 
– 66 – 66 – 66 – 67 – 68-69 – 71 – 73 – 73 – 74 – 74 – 76 – 77 – 77 – 78-80 – 81 
– 84 – 85 – 85 – 88 – 89 – 91 – 94 – 97
Solução: Amplitude total (H) H= 97 – 33 = 64
Número de classes (k): k ≅ 1 + 3,3 log 50 ≅ 1 + 3,3 (1,7) ≅ 7 classes
Amplitude de classe (h): h ≅ 64/7 ≅ 10
A primeira classe inicia-se por 33. Assim, a distribuição de frequência será:
O histograma e o polígono de frequências para os dados estão a seguir:
fi
Figura 2.2.10 – 6 | Histograma e polígono
Assim como o gráfico das frequências acumuladas (ogiva):
Fci
Figura 2.2.10 – 7 | Ogiva crescente
medidas descritivas
Introdução
Medidas de tendência central
Separatrizes
Medidas de dispersão
Assimetria e curtose
3
CCNE��.�UFSM
estatística
36
3 | Medidas descritivas
3.1 | introdução
A estatística descritiva visa a descrever os dados disponíveis da forma mais 
completa possível sem, no entanto, preocupar-se em tirar conclusões so-
bre um conjunto maior de dados (população). As medidas descritivas bási-
cas mais importantes são as de posição e as de dispersão ou variabilidade.
Classificação das medidas descritivas:
Figura 3.1 | Classificação das medidas descritivas
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
37
3.2 | medidas de tendência central
Quando se trabalha com dados numéricos, observa-se uma tendência des-
tes de se agruparem em torno de um valor central. Isso indica que algum 
valor central é característica dos dados, e que pode ser usado para descre-
vê-los e representá-los.
As medidas de tendência central são: média, mediana e moda.
3�2�1 | Média aritmética 
 
Simbologia: 
 
É a mais utilizada das medidas de tendência central para descrever, resu-
midamente, um conjunto de dados.
Média aritmética para dados não-tabelados
A média aritmética consiste na soma de todas as observações Xi dividida 
pelo número “n” de observações do grupo.
X
X
n
X
n
n
i
i
n
=
+
= =
∑
1
Propriedades da média aritmética:
A soma dos desvios em relação à média é nula; ( )X Xi − =∑ 0
A média de uma constante é igual à constante; X k k( ) =
A média do produto de uma constante por uma variável é igual ao produto 
da constante pela média da variável; ( )X kXi k X Xi( ) = 



A soma dos quadrados dos desvios em relação à média é um mínimo.
∀ ≠( ) a X−
2 2,
Exemplo: Para os dados do exemplo 1, determinar a média aritmética.
Solução:
X
X
n
i
i
n
=
∑
1 =
24
13 21,
µ →
→



população
X amostra
CCNE��.�UFSM
estatística
38
Média aritmética para dados tabelados
Se os dados estiverem agrupados em uma tabela de frequências, pode-se 
obter a média aritmética da distribuição, calculando-se: 
X
X f
f
i i
i
k
i
i
k
= =
=
∑
∑
1
1
 Onde: Xi = ponto médio da classe i;
 fi = a frequência absoluta da classe i.
Exemplo: Para os dados do exemplo 1 e 2, determinar a média aritmética
Solução:
No exemplo 1:
X
X f
n
i i
i
k
+
=
=
∑
1
10 12 14 16 7 1
24
13
x
,22
 
 No exemplo 2: 
X
X f
n
i i
i
k
=
=
∑
1
38 58 98 2
50
65 6
x
,
3�2�2 | Mediana
 Simbologia: Md ou �X
A mediana divide em duas partes o conjunto das observações ordenadas. 
Colocando-se os valores em ordem crescente ou decrescente, a mediana 
é o elemento que ocupa o valor central.
Mediana para dados não-tabelados
Procedimento no caso de dados brutos:
1) Colocam-se os dados em ordem (rol);
2) Se o número de elementos “n” for ímpar, a mediana será o elemento 
central que ocupa a posição n+1
2
 do rol;
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
39
Se “n” for par, a mediana será a média aritmética entre os dois elementos 
centrais que ocupam as posições n
2
 e n
2
1+ do rol. 
Exemplo: Determinar a mediana para os dados do exemplo 1.
Solução: Primeiro se faz o rol: 10 – 11 – 11 – 11 – 12 – 12 – 12 – 12 – 13 – 13 – 13 – 
13 – 13 – 14 – 14 – 14 – 14 – 14 – 14 – 14 – 15 – 15 – 16 – 17.
Como n = n° par, encontra-se os termo n/2 e n/2 + 1.
P
n
Md = = =
2
24
2
12 º P
n
Md 2
1
24
2
1 13º
Os números que ocupam as posições 12° e 13° são os mesmos, então
Md = 13.
Mediana para dados tabelados
Procedimento no caso de distribuição por ponto:
1) Calcula-se a posição da mediana: PMd = n
2
 (n par) ou PMd = n+1
2
 
(n ímpar);
 Onde: n =  fi = número total de observações; 
 PMd = posição da mediana.
2) Se “n” é ímpar, a mediana será o valor de Xi correspondente à primeira 
Fci  PMd;
3) Se “n” é par, a mediana será o valor de Xi correspondente à primeira 
Fci > PMd. Caso Fci = PMd , será a média entre o valor de Xi correspondente 
a esta Fci e o próximo valor de Xi.
Exemplo: Determinar a mediana para os dados do exemplo 1.
Solução: Calcula-se PMd , como n = n° par, obtém-se o termo n/2; 
P
n
TermoMd =
2
24
2
12 º
Como a 1ª Fci maior que 12 é 13, a mediana será o Xi correspondente a essa 
Fci , logo Md = 13.
CCNE��.�UFSM
estatística
40
Procedimento no caso de distribuição por classe:
1) Calcula-se a posição da mediana: PMd = 
n
2
 ;
2) A mediana estará localizada na classe onde, pela primeira vez, Fci  PMd;
3) Para encontrar o valor da mediana, aplica-se a seguinte fórmula:
M L
F
f
Md c
Md
ant
−( )
Onde: Li = limite inferior da classe que contém a mediana;
 Fcant = frequência acumulada da classe anterior à 
 classe que contém a mediana;
 h = amplitude da classe que contém a mediana;
 fMd = frequência da classe que contém a mediana.
 
Exemplo: Determinar a mediana para os dados do exemplo 2.
 
Solução: Primeiro se acha em qual classe está o termo PMd. 
 
 
O 25° termo se encontra na 4ª classe, assim.
 
3�2�3 | Moda
 Simbologia: Mo ou x̂
A moda de um grupo de observações é definida como a medida de frequ-
ência máxima ou é (são) o(s) valor(es) que se repete(m) mais vezes. Pode 
ser utilizada para dados qualitativos. 
Moda para dados não-tabelados
A moda será o valor mais frequente no conjunto de dados, podendo,este 
mesmo conjunto, possuir mais de uma moda (bimodal ou plurimodal), ou 
ainda, não apresentar moda (amodal).
 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
41
Exemplo: Achar a moda dos seguintes conjuntos de dados: 
a) 5,40 1,10 0,42 0,73 0,48 1,10 
b) 27 27 27 55 55 55 88 88 99 
c) 1 2 3 6 7 8 9 10
Solução:
a) O número 1,10 é a moda porque é o valor que ocorre mais frequente-
mente.
b) Os números 27 e 55 são ambos modas porque ocorrem com a mesma 
maior frequência. Esse conjunto de dados é bimodal porque tem duas 
modas.
c) Não há moda, porque nenhum valor se repete.
 
Moda para dados tabelados
Quando a distribuição é por ponto, a determinação da moda é imediata 
pela simples inspeção da tabela, já que a Mo é o valor de frequência máxima.
Quando a distribuição de frequências é por intervalo, pode-se calcular a 
moda bruta que é o ponto médio da classe de maior frequência (método 
rudimentar).
 
Exemplo: Determinar a moda para os dados do exemplo 1 e 2.
 
Solução: No exemplo 1, a moda é o elemento com a maior frequência, o 14.
No exemplo 2, a moda é o valor de Xi da classe onde ocorre a maior frequ-
ência, neste caso o 68.
 
Observações importantes:
Não há regra fixa para se escolher entre a média, a mediana e a moda. En-
tretanto algumas observações podem ser feitas quanto às suas utilizações. 
A média aritmética é a medida de tendência central mais utilizada, prin-
cipalmente quando não há valores aberrantes (muito extremos) no conjun-
to de dados, sendo a medida mais conveniente para cálculos posteriores;
A mediana deve ser usada, sempre que possível, como medida repre-
sentativa de distribuições fortemente assimétricas, ou seja, quando os va-
lores extremos do conjunto são muito distantes dos outros, pois o seu valor 
CCNE��.�UFSM
estatística
42
não é afetado por estes valores;
A moda é usada quando há interesse em saber o ponto de concentração 
do conjunto ou o tipo de distribuição que se está analisando, sendo que o 
seu valor, em se tratando de dados agrupados, é fortemente afetado pela 
maneira como as classes são constituídas.
3.3 | separatrizes
São valores de posição, que dividem o rol. As principais medidas separatri-
zes são: mediana, quartis, decis e centis ou percentis.
3�3�1 | Quartis 
 Simbologia: Qi
Os quartis dividem um conjunto de dados em quatro partes iguais. Assim:
Onde: Q1 = primeiro quartil e separa os primeiros 25% dos 75% restantes;
 Q2 = segundo quartil ou mediana e separa o conjunto de dados em 
 2 partes iguais;
 Q3 = terceiro quartil e separa os primeiros 75% dos 25% restantes.
Quartis para dados não-tabelados
Procedimento no caso de dados brutos:
1) Colocam-se os dados em ordem (rol);
2) Calcula-se a posição do quartil através da fórmula: PQi = i x n
4
;
3) O quartil será o valor que ocupa, no rol, a posição calculada ante-
riormente.
Exemplo: Determinar Q1 e Q3 para os dados do exemplo 1. 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
43
Solução: 
Calcula-se a posição do elemento.
O 6° e 18° elementos são Q1=12 e Q3=14 respectivamente.
Quartis para dados tabelados
Procedimento no caso de distribuição por ponto:
1) Calcula-se a posição do quartil 
f
n
Qi
i
n
k
=
∑
1
2) O quartil será o valor de Xi correspondente à primeira Fci  PQi. Calcu-
la-se a posição do elemento.
Exemplo: Determinar Q1 e Q3 para os dados do exemplo 1.
Solução: 
O 6° e 18° elementos são Q1 e Q3 respectivamente.
Procedimento no caso de distribuição por classe:
1) Calcula-se a posição do quartil ;
2) O quartil estará localizado na classe onde, pela primeira vez, Fci  PQi;
3) Para encontrar o valor do quartil aplica-se a seguinte fórmula: 
Q L
Fc
fi i
Qi
Qi
ant−
 
Onde: Li = limite inferior da classe que contém o respectivo quartil;
 Fcant= frequência acumulada da classe anterior à classe que contém 
 o quartil; 
 h = amplitude da classe que contém o quartil;
 fQi = frequência da classe que contém o quartil.
Exemplo: Determinar Q1 e Q3 para os dados do exemplo 2.
CCNE��.�UFSM
estatística
44
Solução:
No exemplo 2, calcula-se a posição do elemento.
 e 
Após verifica-se a classe onde se encontra cada posição. O Q1 encontra-se 
na 3ª classe e o Q3 encontra-se na 5ªclasse. Assim:
 
3�3�2 | Decis 
 Simbologia: Di
São valores que dividem o conjunto das observações em 10 (dez) partes 
iguais. Para encontrar o valor do decil desejado, procede-se como no caso 
dos quartis, sendo que para o cálculo da posição do decil, a fórmula será:
PDi = i fi∑
10
= i x n
10
Para encontrar o valor do decil quando os dados estão agrupados em 
classe, a fórmula será:
D L
h P Fc
f
Di
Di
ant−( )
 
3�3�3 | Percentis
 Simbologia: Pi
São valores que dividem o conjunto das observações em 100 partes iguais. 
Para encontrar o valor do percentil desejado, procede-se como no caso dos 
quartis, sendo que para o cálculo da posição do percentil, a fórmula será:
 
Para encontrar o valor do percentil quando os dados estão agrupados 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
45
em classe, a fórmula será:
 
P L
h P Fc
fi i
Pi
Pi
ant−( )
3.4 | medidas de dispersão
As medidas de dispersão visam a descrever os dados no sentido de infor-
mar o grau de dispersão ou afastamento dos valores observados em torno 
de um valor central. Elas indicam se um conjunto é homogêneo (pouca ou 
nenhuma variabilidade) ou heterogêneo (muita variabilidade).
A descrição do conjunto de dados é mais completa quando se considera 
além de uma medida de tendência central, uma medida de dispersão ou 
variação, porque é comum encontrar-se séries que, apesar de apresenta-
rem a mesma média, são compostas de maneiras diferentes, o que mostra 
que as medidas de tendência central são insuficientes para descrever ade-
quadamente uma série estatística.
Algumas medidas de variação são: a amplitude de variação, a soma de 
quadrados, a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação.
Classificação das medidas de dispersão:
Figura 3.4 – 1 | Classificação das medidas de dispersão
3�4�1 | Amplitude de variação 
 Simbologia: H
É a diferença entre o maior e o menor valor do conjunto, sendo a mais 
CCNE��.�UFSM
estatística
46
simples das medidas de dispersão, porém de grande instabilidade, porque 
considera somente os valores extremos do conjunto. Também é chamada 
de desvio extremo.
H = Xmáx. - Xmín.
Exemplo: Determinar H para os dados do exemplo 1 e 2.
Solução: Para o exemplo 1: = 17 – 10 = 7
 Para o exemplo 2: = 98 – 38 = 60
3�4�2 | Soma de quadrados
 Simbologia: SQ
( ) ( ) ∑∑
∑
SQ = X
X
i
n
i
i
n i
−
= =
2
1
2
2
1
2
1
...... ii
n
n
=






1
2
A soma de quadrados refere-se à soma dos quadrados dos desvios em re-
lação à média:
 
3�4�3 | Variância 
 Simbologia σ2
2
→
→




população
s amostra
 
A variância populacional (2) é a soma de quadrados dividida pelo número 
de observações N:
 
σ


 


( )
Quando a variância é calculada a partir de uma amostra para fins de esti-
mação, o denominador passa a ser (n - 1), o que nos fornece uma estimativa 
imparcial da variância populacional.
Variância para dados não-tabelados
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
47
O denominador (n – 1) é denominado de “graus de liberdade” dessa 
estimativa.
Exemplo: Determinar a variância para os dados do exemplo 1.
Solução:
 
s
n
i
i
n
2
2
1
1
10 13 21 11 13 21 11
=
−
−
=
− +=
∑ ... 17 13 21
24 1
2 78
2
−
−
=
,
,
Propriedades da variância
A variância de uma constante é zero; s2(k) = 0
A variância da soma ou diferença de uma constante k com uma variável é 
igual a variância da variável; s2(k ± X) = s2(X)
A variância da soma de variáveis independentes é igual à soma das variân-cias das variáveis; s2(X + Y) = s2(X) + s2(Y) 
A variância do produto de uma constante por uma variável é igual ao produ-
to do quadrado da constante pela variância da variável. s k X k s X2 2 2( . ( )=
Variância para dados tabelados
 
2
2
 ou s
X f
X f
n
n
i i
i
i
k
i
i
k
1
1
1
=
−






−
=
=
∑
∑
2
2
2
 
Exemplo: Determinar a variância para os dados do exemplo 1 e 2.
Solução: No exemplo 1,
No exemplo 2, 
CCNE��.�UFSM
estatística
48
s
3�4�4 | Desvio padrão 
 Simbologia σ→
→




população
s amostra
O desvio padrão é uma das medidas mais úteis da variação de um grupo 
de dados. A vantagem do desvio padrão sobre a variância é que este per-
mite uma interpretação direta da variação do grupo, por ser expresso na 
mesma unidade das medidas observadas.
O desvio padrão é a raiz quadrada da variância, então, é calculado por: 
s s= 2.
Para os dados de medição, especialmente em grandes amostras (n  30), 
verifica-se que cerca de 68% das observações estarão entre X s± ; 95% das 
observações estarão entre X s±2 e praticamente 100% entre X s±3 . 
Exemplo: Determinar o desvio padrão amostral para os dados do exemplo 
1 e 2.
Solução: No exemplo 1, s s =2 2 7 67 .
 No exemplo 2, .
3�4�5 | Coeficiente de variação 
 Simbologia: CV ou CV%
O coeficiente de variação é uma medida de dispersão relativa, utilizada quan-
do se deseja comparar a variação de conjuntos de dados que apresentem di-
ferentes unidades de medição e/ou tamanhos diferentes, pois o coeficiente 
de variação independe da unidade de medida dos dados. O coeficiente de 
variação pode também ser expresso como percentagem da média.
 ou = ⋅CV
s
X
% 100 
s
f
n
i
k
2
2
1
2 2
1
10 13 21 12 13 21
=
−
−
=
−=
∑ .
,( −( )
−
=
3 2
24 1
2 78
. ...
,
 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
49
Exemplo: Determinar o CV para os dados do exemplo 1 e 2.
Solução: No exemplo 1, .
No exemplo 2, .
3.5 | assimetria e curtose
As medidas de assimetria e curtose complementam as medidas de posição 
e de dispersão no sentido de proporcionar uma descrição e compreensão 
mais completa das distribuições de frequências. Estas distribuições não di-
ferem apenas quanto ao valor médio e à variabilidade, mas também quan-
to a sua forma (assimetria e curtose).
3�5�1 | Assimetria
Assimetria é o grau de desvio, afastamento da simetria ou grau de deforma-
ção de uma distribuição de frequências. Se a curva de frequências de uma 
distribuição tem uma “cauda” mais longa à direita da ordenada máxima do 
que à esquerda, diz-se que a distribuição é desviada para a direita ou que 
ela tem assimetria positiva. Se ocorrer o inverso, diz-se que ela é desviada 
para a esquerda ou tem assimetria negativa. 
O coeficiente de assimetria serve para medir o “grau” de deformação da 
distribuição.
Coeficiente de assimetria de Pearson
Simbologia: C�A�
Intensidade da assimetria:
CCNE��.�UFSM
estatística
50
Figura 3.5.1 – 3 | Coeficiente de assimetria de Pearson
Interpretação:
•	 Coeficiente negativo: distribuição assimétrica negativa (à esquerda), 
sendo X < Md < Mo;
•	 Coeficiente nulo: distribuição simétrica, sendo X= Md = Mo;
•	 Coeficiente positivo: distribuição assimétrica positiva (à direita), sen-
do X> Md > Mo.
Figura 3.5.1 – 1 | Simetria 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
51
Figura 3.5.1 – 2 | Assimetria positiva e negativa
Exemplo: Determinar a assimetria para os dados do exemplo 1 e 2. 
Solução:
No exemplo 1: C A
X Mo
s
. .
,
,
,=
−
=
−13 21 14
1 668
0 474;
C.A = 0 474, ; os dados apresentam assimetria fraca.
No exemplo 2: C A
X Mo
s
. .
,
,
,=
−
=
−65 6 68
16 97
0 1414; ; 
os dados apresentam simetria.
3�5�2 | Curtose
É o grau de achatamento (afilamento) de uma curva em relação à curva 
normal, tomada como padrão. 
Uma distribuição pode ser classificada quanto à curtose, como segue:
•	 Platicúrtica: a curva é mais achatada do que a normal ( ou s grandes);
•	 Mesocúrtica: a curva é normal ( ou s intermediários);
•	 Leptocúrtica: a curva é mais alta do que a normal ( ou s pequenos).
Para medir o grau de curtose de uma distribuição, podem-se usar o se-
guinte coeficiente:
CCNE��.�UFSM
estatística
52
Coeficiente centílico de curtose 
Simbologia: K
 
Onde: Q1 = o primeiro quartil;
 Q3 = o terceiro quartil;
 D1 = o primeiro decil;
 D9 = o nono decil.
Interpretação:
 K < 0,263 curva leptocúrtica;
 K = 0,263 curva mesocúrtica;
 K > 0,263 curva platicúrtica.
Figura 3.5.2 – 1 | Curva leptocúrtica
Figura 3.5.2 – 2 | Curva platicúrtica
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
medidas descritivas
53
Figura 3.5.2 – 3 | Curva mesocúrtica
Exemplo: Determinar a curtose para os dados do exemplo 1 e 2
Solução: 
No exemplo 1, primeiro se encontra o D1 e D9;
PD1 =1
24
10
x = 2,4 ou seja, o D1 = 11;
PD9 = 9
24
10
x = 21,6 ou seja, o D9 = 15;
Após calcula-se o coeficiente centílico de curtose 
K
Q Q
D D
−
−
=3 1
9 12
14 12
2 1 1
-
( - )
, então a curva é leptocúrtica.
No exemplo 2, primeiro se encontra o D9 e D1;
PD1
1
50
10
= x = 5 ou seja, 
D =L +
h P -Fc
f
= 33+
10. 5- 0
7
= 40,141 1
D1
D1
ant( ) ( )
 
P = D9
9
50
10
x = 45 ou seja,
D =L +
h P -Fc
f
= 83+
10. 45- 42
6
= 889 9
D
D
9
ant
9
( ) ( )
Após, calcula-se o coeficiente centílico de curtose: 
 , então a curva é leptocúrtica.
CCNE��.�UFSM
estatística
54
probabilidade
4
Introdução
Noções de experimento, espaço 
amostral e eventos
Álgebra de eventos
Conceitos de probabilidade
Probabilidade condicionada
Independência estatística
Teorema de Bayes
Resumo das propriedades do cálculo
de probabilidades
Avaliação de testes diagnósticos 
Coeficientes e índices
CCNE��.�UFSM
estatística
56
4 | Probabilidade
4.1 | introdução
O trabalho estatístico se desenvolve a partir da observação de determi-
nados fenômenos e emprega dados numéricos relacionados a eles, para 
tirar conclusões que permitam conhecê-los e explicá-los a ponto de poder, 
com determinado grau de crença, obter o desenvolvimento teórico do fe-
nômeno. Para tanto, é necessário que se formule um modelo que ajude a 
melhor elucidá-lo.
No campo da estatística, os modelos matemáticos utilizados são deno-
minados, modelos não-determinísticos ou probabilísticos, ou seja, que 
avaliam com que probabilidade os resultados podem ocorrer.
4.2 | noções de experimento, espaço 
 amostral e eventos
4�2�1 | Experimento aleatório 
 Simbologia: E
É uma das realizações do fenômeno sob observação. Se o fenômeno seguir 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
57
um modelo não-determinístico, tem-se um experimento aleatório, com as 
seguintes características:
•	 O experimento pode ser repetido;
•	 embora não seja possível afirmar qual resultado em particular ocor-
rerá, é possível descrever o conjunto de todos os resultados possíveis 
do experimento;
•	 à medida que aumenta o número de repetições, aparece uma certa re-
gularidade que torna possível a construção de um modelo matemático.
4�2�2 | Espaço amostral 
 Simbologia: S
É o conjunto de todos os possíveis resultados de um experimento aleatório. 
4�2�3 | Evento 
 Simbologia: A, B, C, ...
É qualquer subconjunto do espaço amostral de um experimento.
Tipos de eventos:
1) Eventos mutuamente exclusivos: dois eventos A e B são denominados 
mutuamente exclusivos, se eles não puderem ocorrer juntos, isto é, 
AB =Ø
2) Eventos complementares: são os eventos que se completam em rela-
ção ao espaço amostral, isto é, A A = S, onde A é o evento comple-
mentar de A.
3) Eventos impossíveis: são eventos que não possuem elementos no es-
paço amostral, isto é, A =  e P(A) = 0.
4) Eventos certos: são eventos que possuem todos os elementos do es-
paço amostral, isto é, A = S eP(A) = 1.
5) Eventos independentes: são eventos que podem ocorrer simultanea-
mente, isto é, AB ≠  e P(AB) = P(A) x P(B).
6) Eventos dependentes: são eventos em que a ocorrência de um deles 
está condicionada à ocorrência de outro, acontece um evento se o ou-
CCNE��.�UFSM
estatística
58
tro já ocorreu, isto é, AB ≠  e P(AB) = P(A) x P(B/A), com P(A)≠0.
4.3 | álgebra de eventos
Podem-se combinar os eventos da mesma maneira que se faz com os con-
juntos:
1) Se A e B forem dois eventos, A  B significa que A e B ocorrem;
2) Se A e B forem dois eventos, A  B significa que A ou B ocorrem.
 
Exemplo: Lançar um dado e uma moeda. 
a) Construa o espaço amostral
b) Enumere os seguintes eventos
 A = {coroa, marcado por número par} 
 B = {cara, marcado por número ímpar}
 C = {múltiplos de 3}
c) Expresse os eventos
 I) B
 II) A ou B ocorrem
 III) B e C ocorrem
 IV) A B∪
d) Verifique dois a dois os eventos A, B e C e diga quais são mutuamente 
exclusivos.
Solução: C = cara, K = coroa:
a) S={(1,C);(2,C);(3,C);(4,C);(5,C);(6,C);(1,K);(2,K);(3,K);(4,K);(5,K);(6,K)};
b) A = {(2,K);(4,K);(6,K)};
 B = {(1,C);(3,C);(5,C)};
 C = {(3,K);(6,K);(3,C);(6,C)}.
c) i) = {(1,K);(2,K);(3,K);(4,K);(5,K);(6,K);(2,C);(4,C);(6,C)};
 ii) A  B = {(2,K);(4,K);(6,K);(1,C);(3,C);(5,c)};
 iii) B  C = {(3,C)};
 iv) A B∪ = {(1,K);(3,K);(5,K);(2,C);(4,C);(6,C)}.
d) A  B = , são mutuamente exclusivos;
 A  C = {(6,K)}, não são mutuamente exclusivos;
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
59
 B  C = {(3,C)}, não são mutuamente exclusivos.
4.4 | conceitos de probabilidade
Interpretação como frequência relativa, definição clássica e definição 
axiomática.
O problema fundamental da probabilidade consiste em: “atribuir um 
número a cada evento A, o qual avaliará as chances de ocorrência de A 
quando o experimento for realizado”.
4�4�1 | Conceito empírico
É uma interpretação da probabilidade como frequência relativa.
Repetindo-se um experimento E um grande número de vezes e calcu-
lando-se a frequência relativa do evento A, obtém-se um número “p” que 
pode ser tomado como a probabilidade da ocorrência de A, que nesse 
caso, poderia ser tomada como:
→∞
4�4�2 | Definição clássica de probabilidade
É válida para espaços amostrais finitos e equiprováveis.
Se todos os resultados de um espaço amostral finito forem igualmente 
prováveis, ou seja, admitindo-se que S possa ser escrito sob a forma 
S = {a1, a2, .... , ak}, então, a cada evento formado por um resultado simples 
(ai) associa-se um número “pi”, denominado probabilidade de A, que satis-
faça as seguintes condições: 
pi  0;
P(S) = p1 + p2 + .... + pk = ;
p
ki =
1
 , já que todos os resultados são igualmente prováveis.
CCNE��.�UFSM
estatística
60
Disto decorre que, para qualquer evento A constituído de r resultados sim-
ples, tem-se:
P(A) = r . 1/k = r
k
, sendo que:
P(A) = nº de casos favoráveis a A pelos quais E pode ocorre r
n totº aal de casos pelos quais E pode ocorrer
 = r / k
Pela definição clássica de probabilidade devida a Laplace: seja E um ex-
perimento aleatório que dá origem a k resultados mutuamente excludentes 
e igualmente possíveis. Seja A um evento constituído por r resultados de E. 
A probabilidade de ocorrer o evento A é definida como sendo a razão r/k.
4�4�3 | Definição axiomática
Seja E um experimento e S um espaço amostral associado a E. A cada even-
to A associa-se um número real representado por P(A) e denominado pro-
babilidade de A, que satisfaça aos seguintes axiomas:
1) 0  P(A)  1;
2) P(S) = 1;
3) Se A e B forem eventos mutuamente excludentes, então: P (A  B) = 
P(A) + P(B);
4) Se A1, A2, ... , An,... forem dois a dois eventos mutuamente excludentes, 
então:
 P(∪ =
∞
i 1Ai) = P(A1) + P(A2) + ... + P(An) + ...
Exemplo: Um lote é formado por 10 peças boas, 4 com defeitos leves e 
duas com defeitos graves. Uma peça é escolhida ao acaso. Calcular a pro-
babilidade de que: a) ela não tenha defeitos graves; b) ela não tenha defei-
tos; c) ela seja boa ou tenha defeitos graves.
Solução: Adotando dl = peça com defeito leve; b = peça boa; dg = peça 
com defeito grave:
a) P(dg) = P(dl  b) = P(dl) + P(b) = 10/16 + 4/16 = 14/16; b) P(b) = 
10/16; c) P(b  dg) = 10/16 + 2/16 = 12/16.
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
61
Teoremas fundamentais:
Teorema 1: se  for um evento (conjunto) vazio, então: P() = 0;
Teorema 2: seAfor um evento complementar de A, então: P(A) = 1 - P(A);
Teorema 3: se A e B forem eventos quaisquer, então: 
P(A  B) = P(A) + P(B) - P(A  B);
Teorema 4: se A e B forem eventos de um espaço amostral S e se A  B, então: 
P(A)  P (B).
4.5 | probabilidade condicionada
Sejam A e B dois eventos associados a um experimento E. Denota-se por 
P(B/A), a probabilidade do evento B, condicionada à ocorrência do evento A.
Sempre que se calcula a P(B/A), está-se, essencialmente, calculando P(B) em 
relação ao espaço reduzido A e utiliza-se a seguinte fórmula, onde P(A)  0:
 P(B/A) =P A B
P A
( )
( )
∩ com P(A)  0, pois A já ocorreu.
Pode-se escrever também, através do teorema do produto:
 P(AB) = P(A/B) P(B) e P(BA) = P(B/A) P(A)
O teorema do produto representa uma alternativa para o cálculo da pro-
babilidade da interseção de dois eventos.
Exemplo: Uma urna contém cinco bolas pretas, três vermelhas e duas 
brancas. Foram extraídas 3 bolas sem reposição. Qual a probabilidade de 
terem sido duas bolas pretas e uma vermelha?
Solução: Sendo os eventos: P = bolas pretas, V = bolas vermelhas e B = bo-
las brancas;
P(P  P  V) + P(P  V  P) + P(V  P  P) =
4.6 | independência estatística
Se a ocorrência ou não do evento A não afetar a probabilidade de ocorrên-
cia do evento B e vice-versa, diz-se que A e B são independentes.
5
10
4
9
3
8
5
10
3
9
4
8
3
10
5
9
4
8
60
720
3 0 25= ,
CCNE��.�UFSM
estatística
62
É compreensível que os eventos A e B sejam inteiramente não relaciona-
dos. Saber que B ocorreu não fornece qualquer informação sobre a ocor-
rência de A. De fato, o cálculo seguinte mostra isso:
Se A e B forem independentes, pode-se escrever:
 P(A/B) = P(A) e P(B/A) = P(B)
Nesse caso, usando-se a expressão anterior para P(AB), tem-se:
P(AB) = P(A/B) P(B) = P(A)P(B)
P(AB) = P(B/A) P(A) = P(A) P(B)
Chega-se, então, à condição de independência, na qual A e B serão 
eventos independentes se e somente se:
P(AB) = P(A) P(B)
Exemplo: As probabilidades de 3 jogadores marcarem um pênalti são res-
pectivamente 2/3, 4/5 e 7/10.
Se cada um “cobrar” uma única vez, qual a probabilidade de: a) todos 
acertarem; b) apenas um acertar; c) todos errarem.
Solução: Considerando: A o jogador 1 acertar; B o jogador 2 acertar; C o 
jogador 3 acertar, temos:
a) P(A  B  C) = = =
2
3
4
5
7
10
56
150
0 3733x x ,
b) P(A ∩ ∩B C ) + P(A ∩B ∩ C ) + P( A B∩ ∩ C) =
 
c) P(A B C∩ ∩ ) = 
1
3
1
5
3
10
3
150
0 02 2x x = = =, % 
4.7 | teorema de bayes
P(B1/A) = P B A
P A
( )
( )
1∩
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
63
Onde: P(A) = P(A/B1) . P(B1) + P(A/B2) . P(B2) + ... + P(A/Bk) . P(Bk) = 
 
 P(B1/A) = P A B P B
P A
( / )x ( )
( )
1 1
 P(B1/A) = P A B P B
P A B P B P A B P B P A B P B
( / )x ( )
( / ) ( ) ( / ) ( ) ( / ) ( )
1 1
1 1 2 2 3 3+ +
Generalizando-se essa aplicação para Bi:
P B A
P A
B P B
P A
B P B
i
i
i
i
i
i
n( / )
( )
( )
=


 







=
∑
1
probabilidade total.
Onde: P(Bi) = probabilidades à priori (conhecidas);
 P(A/Bi) = probabilidades condicionais (conhecidas);
 P(Bi /A) = probabilidades a posterior.
Esse resultado é conhecido como teorema de Bayes. É também deno-
minada fórmula da probabilidade das causas ou dos antecedentes. Desde 
que os Bi`s constituam uma partição do espaço amostral, um e somente 
um dos eventos Biocorrerá. Portanto, a expressão acima nos dá a proba-
bilidade de um particular Bi dado que o evento A tenha ocorrido. A fim de 
aplicar esse teorema, deve-se conhecer os valores dos Bi`s, sendo que, se 
esses valores são desconhecidos, fica impossibilitada a sua aplicação.
Exemplo: Três máquinas, A, B e C produzem respectivamente 0,4, 0,5 e 0,1 
do total de peças de uma fábrica. As porcentagens de peças defeituosas 
nas respectivas máquinas são de 3/100, 5/100 e 2/100. Uma peça é sorte-
ada ao acaso e se verifica que é defeituosa. Qual a probabilidade de que a 
peça tenha vindo da máquina B?
Solução: P(A) = 0,4; P(B) = 0,5; P(C) = 0,1;
 P(def/A) = 3
100
 ; P(def/B) = 1
20
 ; P(def/C) =
1
50
 ;
Deseja se calcular P(B/def):
CCNE��.�UFSM
estatística
64
 
 
def
fP A AP P P PC CPB Bde fde fde
) P PB Bfde=
=
+ +
=
+ +
=
0 5
1
20
0 4
3
100
0 5
1
20
0 1
1
50
1
40
12 25 2
1000
1
40
1000
39
,
, , ,
x
x x x
x == 0 641,
4.8 | resumo das propriedades do cálculo 
 de probabilidades
Figura 4.8 – 1 | Resumo das propriedades do cálculo de probabilidades
4.9 | avaliação de testes diagnósticos
Um teste diagnóstico consiste em um instrumento capaz de diagnosticar a 
doença com determinada precisão.
Para cada teste diagnóstico existe um valor de referência que determina 
a classificação do resultado do teste como negativo ou positivo.
Um teste diagnóstico é considerado útil quando ele identifica bem a 
presença da doença. Antes de ser adotado , um teste deve ser avaliado 
para verificar sua capacidade de acerto do diagnóstico. Esta avaliação é 
feita aplicando-se o teste a dois grupos de pessoas: um grupo de pessoas 
doentes e outro de não doentes. Nesta fase, o diagnóstico é feito por outro 
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
65
teste chamado padrão ouro. Os resultados obtidos nesta avaliação podem 
ser organizados de acordo com a Tabela abaixo.
Resultados de um teste para pacientes doentes e não doentes
Doença
Presente
Total
Teste
Ausente
Total
a + b
c + d
n
Positivo (+) Negativo (-)
a
c
a + c
b
d
b + d
O teste é aplicado a n indivíduos, dos quais sabidamente (a + b) são do-
entes e (c + d) são não doentes.
4�9�1 | Sensibilidade e especificidade 
 Simbologia: “s” e “e”
Sensibilidade: s = P(+/D) = P(+  D)/P(D)
Especificidade: e = P(-/D) = P(-D)/P(D)
A sensibilidade e a especificidade são estimadas por: s = a/(a + b) e e = d/(c + d)
Estas duas quantidades traduzem as proporções de acerto do teste.
Numa situação ideal a sensibilidade e a especificidade deveriam ser 
iguais a 1. Quanto mais próximas de 1 estiverem “s” e “e”, maior será a capa-
cidade de acerto do teste.
 Observe que para calcular “s” utiliza-se apenas os doentes e para 
calcular “e” apenas os não doentes. Considerando que as amostras de do-
entes e não doentes foram cuidadosamente selecionadas, espera-se que 
em repetições do experimento (nas mesmas condições), os valores de “s” 
e “e” permaneçam constantes.
CCNE��.�UFSM
estatística
66
4�9�2 | Valores de predição de um teste
 Simbologia: VPP e VPN
Embora os índices sensibilidade e especificidade, sintetizem bem a qua-
lidade de um teste, o clínico em geral, não pode depender apenas de “s” 
e “e”, pois estes valores são provenientes de uma situação onde se tem 
certeza do diagnóstico. O clínico, diante de um resultado do teste, precisa 
decidir se considera o paciente doente ou não. A ele interessa conhecer 
as probabilidades:
VPP = P(D/+) VPN = P( D/-)
Chamadas, respectivamente, de valor de predição positiva e valor de 
predição negativa.
As probabilidades abaixo são chamadas de proporção de falso positivo 
e proporção de falso negativo.
PFP = P(D /+) = 1 - P(D/+) = 1 - VPP
PFN = P(D/-) = 1 - P(D/-) = 1 - VPN
Usando a notação da Tabela tem-se:
VPP = a/(a + c) VPN = d/(b + d)
Observações:
As afirmações que se faz em relação aos valores de VPP e VPN são válidas 
para pacientes de populações de mesma prevalência;
A prevalência de uma doença é a proporção de pessoas com a doença 
(casos novos + antigos) na população e é estimada pela proporção de do-
entes na amostra;
A incidência de uma doença é a proporção de casos novos da doença 
na população.
Exemplo: Para os dados da tabela, encontre o que é pedido.
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
67
a) Qual a probabilidade do teste ser positivo dado que o paciente é do-
ente (sensibilidade)?
b) Qual a probabilidade do teste ser negativo dado que o paciente não é 
doente (especificidade)?
c) Qual é a estimativa da probabilidade do VPP e do VPN.
Solução: a) s = 815/1023 = 0,797 = 79,7%
 b) e = 327/442 = 0,74 = 74%
 c) VPP = 815/930 = 0,876 = 87,6% e VPN = 327/535 = 0,611 = 61,1%
4.10 | coeficientes e índices
Na prática, a medição de saúde é difícil de ser realizada, se não impossível. 
A avaliação é feita através de indicadores que medem indiretamente o ní-
vel de saúde, isto é, medem os desvios do estado de saúde e não a saúde 
propriamente dita.
Em saúde pública é de interesse conhecer os valores numéricos refe-
rentes a eventos como nascimentos, óbitos, casos de doenças, leitos hos-
pitalares, número de consultas médicas, etc. Estes valores numéricos são 
as chamadas frequências relativas, os coeficientes ou taxas, os índices e os 
números-índices.
4�10�1 | Estatística vital
É a parte da estatística que tem interesse no estudo de fatos ou eventos vi-
tais como: os nascimentos vivos, óbitos, perdas fetais, doenças, casamen-
tos, divórcios, etc. O trabalho com populações indica uma variação destes 
eventos no tempo, bem como uma variação interna relativa à composição 
CCNE��.�UFSM
estatística
68
da população quanto ao sexo, idade, doença, etc. Uma das funções do 
epidemiologista é conhecer o risco de contrair as doenças em cada locali-
dade, qual a razão e, também, como se distribuem estas doenças segundo 
a idade e o sexo, por exemplo.
4�10�2 | Frequência relativa ou proporção
É a relação entre o número de elementos que apresentam um atributo e o 
total de elementos considerados. O tipo de frequência relativa mais usado 
é aquele dado em percentagem. 
Exemplo:
N decasosdiagnosticados
N totaldeóbitos
º
º
= =
581
1831
0,3173129 ouu 31,73%
 
 
4�10�3 | Número-índice
É uma maneira de apresentar a evolução, no tempo, de determinado va-
lor numérico que representa a frequência de um evento, conferindo-se, 
a esse número, um outro número, arbitrariamente escolhido, geralmente 
100 ou 1000. O número-índice é utilizado também para comparar as fre-
quências de eventos em diferentes classes. O cálculo nada mais é do que 
uma simples regra de três.
Exemplo: Número de casos de poliomelite em São Paulo 
Tabela: Casos de poliomelite em São Paulo
Ano Número de casos Número-índice
O número-índice tem a vantagem de expressar mais facilmente as varia-
ções de uma frequência.
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
probabilidade
69
4�10�4 | Coeficiente ou taxa
É uma relação (quociente) entre dois valores numéricos, que estimaria 
uma probabilidade ou determinado risco.
Coeficiente = n/p
Onde: n = número de vezes que ocorre determinado evento;
 p = número de elementos expostos ao risco de apresentar o 
 determinado evento.
É usual multiplicar-se o resultado por um número múltiplo de 10 (100, 
1000, 10000), que constitui a chamada base do coeficiente à qual deve, 
obrigatoriamente, ser acrescentada à unidade de referência usada no de-
nominador (habitantes, homens, mulheres, nascidos vivos, etc).
4�10�5 | Índice
 
É preciso distinguir índice de coeficiente ou taxa. O índice não indica uma 
probabilidade, é também um quociente, mas o que está expresso no de-
nominador não está sujeito ao risco de vir a apresentar o evento que está 
expresso no numerador. Assim, quando se apresenta a relação óbito/po-
pulação, trata-se de um coeficiente, no caso: coeficiente de mortalidade.