Estatística Aplicada

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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Estatística 
Aplicada 
Uanderson Rebula de Oliveira 
uanderson@csn.com.br 
uanderson.rebula@yahoo.com.br 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
EMENTA: 
Probabilidades e condicional. Teorema de Bayes. Variáveis aleatórias: distribuição, esperança e 
variabilidade. Distribuições de probabilidades discretas e contínuas. Inferência: População e amostra. 
Métodos de amostragem. Distribuições amostrais. Intervalos de confiança. Teste de hipóteses. 
Correlação e Regressão. 
 
 
OBJETIVO: 
Possibilitar aos estudantes o acesso a conceitos e procedimentos fundamentais da metodologia 
estatística, como ferramenta de suporte à tomada de decisão e à abordagem cientifica de populações, 
sistemas e processos, nas áreas de engenharia, indústria, comercio e serviços. 
 
 
 
 
 
 Engenharia de Produção 
 
 UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança, Saúde e Higiene do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
 
Professor na UNIFOA para o curso de Pós graduação em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor na 
Associação Educacional Dom Bosco - AEDB para os cursos de Administração e Engenharia de Produção nas 
disciplinas de Segurança do Trabalho e Estatística. Professor da Universidade Estácio de Sá - UNESA nas disciplinas 
de Gestão Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e 
Estatística, Ergonomia, Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais, 
Gestão da Qualidade: programa 5S (curso de férias). Ex-professor na Universidade Barra Mansa – UBM para os 
cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo na disciplina de Segurança do Trabalho. Ex-professor Conteudista 
na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). Ex - professor na Escola Técnica Bom Pastor 
nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de 
Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. 
Ex-professor do SENAI. Desenvolvedor e instrutor de diversos cursos corporativos na CSN, a níveis Estratégicos, 
Táticos e Operacionais. Membro do IBS–Instituto Brasileiro de Siderurgia. 
 
 
ESTATÍSTICA APLICADA
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia 
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, 
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e 
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença 
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, 
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu 
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como 
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, 
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas 
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas 
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de 
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, 
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos 
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que 
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões 
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos 
de probabilidade. 
 
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito 
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos 
marcos consagrados na literatura probabilística foi a 
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo 
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o 
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma 
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma 
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a 
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos 
matemáticos. 
 
A análise combinatória deve grande parte de seu 
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas 
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em 
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de 
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. 
 
Nesta apostila encontraremos as definições de 
Probabilidades, esperança e variabilidade de probabilidades e 
distribuições contínuas e discretas de probabilidades. Inferência: 
Intervalos de confiança e muito mais. 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da 
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua 
saída da terra do Egito, dizendo: 
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as 
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos 
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; 
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em 
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. 
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos 
seus pais. 
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e 
cinquenta. 
 
Números 1: 1-4; 46 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Sumário 
 
1 – INTRODUÇÃO À PROBABILIDADE 
 
PROBABILIDADE BÁSICA, 7 
Revisão de Contagem e Probabilidade, 7 
Probabilidade com eventos complementares, 8 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES, 9 
Probabilidade com eventos mutuamente exclusivos, 9 
Probabilidade com eventos NÃO mutuamente exclusivos, 9 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE 
PROBABILIDADES, 10 
Probabilidade com eventos dependentes, 10 
Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes, 12 
Multiplicação de probabilidade com eventos independentes, 13 
Teorema de Bayes, 14 
Apêndice A – Quadro resumo de probabilidades, 15 
 
2 – VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES, 17 
VALOR ESPERADO, 19 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO, 20 
 
 
3 – DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
Distribuição Binomial, 22 
Distribuição Hipergeométrica, 30 
Distribuição de Poisson, 32 
 Poisson como aproximação para a Binomial, 36 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
Distribuição Uniforme, 37 
Distribuição Normal, 38 
 Normal comoaproximação para a Binomial, 47 
Distribuição Exponencial, 49 
Distribuição de Erlang, 51 
Distribuição de Weibull, 52 
 
4 – INTRODUÇÃO À ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
 
CONCEITOS BÁSICOS EM ESTATÍSTICA INFERENCIAL, 54 
Estatística inferencial, 54 
Parâmetros e estatísticas, 54 
 
TÉCNICAS DE AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICAS, 55 
Amostragem aleatória simples, 55 
Amostragem estratificada, 56 
Amostragem por conglomerado, 57 
Amostragem sistemática, 59 
 
DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS, 60 
 
 
ESTIMATIVAS E TAMANHOS AMOSTRAIS, 62 
Estimativa pontual e intervalar, 62 
Intervalos de confiança – IC, 62 
Intervalos de confiança para média (amostras grandes), 62 
 Determinação do tamanho da amostra, 64 
Intervalos de confiança para média (amostras pequenas), 64 
Intervalos de confiança para Proporções P, 66 
Determinação do tamanho da amostra para P, 66 
Intervalos de confiança para o Desvio padrão, 67 
 
5 – CORRELAÇÃO E REGRESSÃO 
 
CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES, 71 
Introdução e Diagrama de Dispersão, 71 
Correlação Linear, 71 
Coeficiente de correlação de Pearson, 72 
 
REGRESSÃO LINEAR SIMPLES, 74 
Introdução, 74 
Ajustamento da reta aos pontos grafados, 74 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 76 
 
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 77 
ANEXO II – Software BIOESTAT , 78 
ANEXO III – ESTATÍSTICA NO EXCEL, 79 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É possível quantificar o 
acaso? 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 1 
 
INTRODUÇÃO À 
PROBABILIDADE 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Revisão de Contagem e Probabilidade 
 
Princípio Fundamental da Contagem 
Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: etapa 1 
(projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6,7 ou 8 meses). Quais os resultados possíveis? Qual o 
prazo mais provável para conclusão total do projeto? 
 
 
 
Probabilidade 
 
 
 Naipes Observe o baralho abaixo (Total de 52 cartas) Valete Dama Reis Ás 
(Paus) 
13 cartas 
 
(Ouros) 
13 cartas 
 
(Espadas) 
13 cartas 
 
(Copas) 
13 cartas 
 
 
Quando retiramos uma carta de um baralho de 52 cartas, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Sair um Ás de Ouros: Como temos somente 1 Ás de Ouros no baralho, então: 
 
A = {Ás} 
S = {52 cartas} 
→ A = 1 
→ S = 52 
Logo: P(A) = 1 = 0,019 = 1,9% 
 52 
 
O resultado permite afirmar que existe a chance dela sair um “Ás de Ouros” em 1,9%. 
 
Sair um Reis: Como temos 4 Reis no baralho (um de Paus, um de Ouros, um de Espadas e um de Copas). Então: 
 
A = {R,R,R,R} 
S = {52 cartas} 
→ A = 4 
→ S = 52 
Logo: P(A) = 4 = 0,076 = 7,6% 
 52 
 
O resultado permite afirmar que existe a chance de sair um Rei em 7,6%. 
 
2 meses
(2,6) = 8 meses Etapa 1-Projeto
Espaço amostral
Projeto 
Etapa 2-Construção
3 meses
4 meses
6 meses
7 meses
8 meses
(2,7) = 9 meses 
 (2,8) = 10 meses 
(3,6) = 9 meses 6 meses
7 meses
8 meses
 (3,7) = 10 meses 
 (3,8) = 11 meses 
 (4,6) = 10 meses 6 meses
7 meses
8 meses
 (4,7) = 11 meses 
 (4,8) = 12 meses 
É mais provável que o projeto 
seja concluído dentro de 
prazo de 10 meses.
 3 x 3 = 9 
 
figuras 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Interpretação de valores probabilísticos 
 
 Os valores probabilísticos sempre são atribuídos em uma escala de 0 a 1 (ou 0% a 100%) 
 
Uma probabilidade próxima de 0 indica que é pouco provável que um evento ocorra, enquanto que próxima de 1 revela que um 
evento é quase certo. Outras probabilidades entre 0 e 1 representam o grau de possibilidade de um evento vir a ocorrer. A figura 
abaixo retrata a imagem da probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de um evento ocorrer. 
 
A probabilidade como uma medida numérica da possibilidade de ocorrência de um evento 
 
 
 
 
 
 
 
 
Por exemplo, o meteorologista diz que a probabilidade de chover amanhã é de 0,4 (ou 40%). Assim, os 0,4 (ou 40%) de chances de 
chover amanhã podem significar que se você observar os dados obtidos a partir de um grande número de dias semelhantes ao tipo 
de dia esperado para amanhã, vai descobrir que choveu em 40% desses dias. 
 
Probabilidade com Eventos complementares 
 
 É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO (A). 
 
Eventualmente, queremos determinar a probabilidade de um EVENTO NÃO OCORRER. Portanto, é o evento 
formado pelos resultados que não pertencem ao evento A. Sendo P( A ) a probabilidade de que ele não ocorra e P(A) 
a probabilidade de que ele ocorra, para um mesmo evento existe sempre a relação: 
 
Probabilidade com Evento complementar 
P( A ) = 1 – P(A) 
 
 
EXEMPLO 
 
No lançamento de um dado, qual a probabilidade de o resultado: 
 
Pela probabilidade clássica 
ser o número 2 
 
Probabilidade com evento complementar 
NÃO ser o número 2 
 
A={2} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ S = 6 
P(A) = 1 = 0,1666 
 6 
 P( A ) = 1 – P(A) 
 = 1 – 0,1666 → 0,8333 ou 83,33% 
Aplicada para valores na forma unitária (ex.: 0,1666). 
 
O diagrama e Venn abaixo ilustra a relação entre o espaço amostral, o evento A e seu complemento A : 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
0 0,5 1 
Possibilidade crescente de ocorrência 
Chance 50-50 
0% 50% 100%
Impossível improvável provável Certo 
 
Números que não 
podem representar 
probabilidade: 
10/5 120% -0,456 
 2 
 
A 1
3
4
5
6
 
 
S
P(A) = 16,66% P( A ) = 83,33% 
Probabilidade 
Clássica 
Probabilidade com 
Evento 
Complementar 
A 
Probabilidade do 
evento não ocorrer Probabilidade clássica 
AAA equação 1- P( A ) fundamenta-se na 
interpretação dos valores probabilísticos: 
 0 1
 0,1666 A = 0,8333
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos 
 
 É a probabilidade com eventos que não ocorrem ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou ocorre B (A ou B). 
A ocorrência de um evento impossibilita a ocorrência do outro.Dois eventos são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento exclui a ocorrência de outro. É impossível ocorrer os eventos A 
e B ao mesmo tempo. Então, o termo “ou” indicará “adição de probabilidades”. Para encontrar a probabilidade de um evento ou outro 
ocorrer, adicionamos as probabilidades de cada evento: P(A ou B) = P(A) + P(B). 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 2 ou 5 é: 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Ao retirar uma carta de um baralho de 52 cartas, a 
probabilidade de sair um Rei ou uma Dama é: 
 
 
A = {R,R,R,R } 
B = {D,D,D,D} 
S = {52 cartas 
 
→ A = 4 
→ B = 4 
→ S = 52 
 P(AouB) = 4 + 4 = 8 = 0,1538 
 52 52 52 
 
Exemplo 3. Numa urna estão 10 bolas, sendo 2 pretas 
(P), 5 amarelas (A) e 3 verdes (V). Pegando-se uma bola, 
qual a probabilidade de ela ser preta ou verde? 
 
A = {P,P } 
B= {V,V,V} 
S = {10} 
 
→ A = 2 
→ B = 3 
→ S = 10 
 P(AouB) = 2 + 3 = 5 = 0,5 
 10 10 10 
 
 
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos 
 
 É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. Ou ocorre A ou B ou AMBOS (A e B). 
A ocorrência de um NÃO impossibilita a ocorrência do outro. 
 
 
Dois eventos NÂO são mutuamente exclusivos quando a ocorrência de um evento não exclui a ocorrência de outro. É possível ocorrer os 
eventos A e B ao mesmo tempo. O termo “ou”, indicará “adição” e “e” indicará “ambos” 
 
Exemplo 1 Ao lançar um dado, a probabilidade de obter um número ímpar ou menor que 3 é: 
 
Os eventos A e B não são mutuamente exclusivos, pois “1” ocorre em A e B (ambos). 
 
Se aplicarmos P(AouB) = P(A) + P(B) teremos: 3/6 + 
2/6 = 
5/6. Observe no diagrama que 
este resultado está incorreto, pois P(AouB) = 4/6. Este erro foi provocado pela dupla 
contagem de “1”. 
 
Neste caso, ajustaremos a regra da soma para evitar a dupla contagem. A equação será: 
 
P(AouB) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 
 Então, a probabilidade de lançar um número ímpar ou menor que 3 será: 
 
A = {1,3,5} 
B = {1,2} 
A e B = {1} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 3 
→ B = 2 
→ A e B = 1 
→ S = 6 
 
P(AouB) = 3 + 3 - 1 = 4 = 0,6666 
 6 6 6 6 
 
Exemplo 2 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas, sendo que 250 lêem o jornal A, 180 
lêem o jornal B e 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de que seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) Leitor dos jornais A ou B? 
 
A = {250} 
B = {180} 
A e B = {60} 
S = {470} 
 
 
 P(A ou B) = P(A) + P(B) – P(A e B) 
 
 250 + 180 – 60 = 370 = 0,7872 
 470 470 470 470 
 
A = {2} 
B = {5} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 1 
→ S = 6 
P(A ou B) = 1 + 1 = 2 = 0,3333 
 6 6 6 
 
“ou” indica Adição de probabilidades. P(A ou B) = P(A) + P(B) 
 B 
 60 
Jornal 
Jornal 
A 
A e B 
* Regra da soma para três eventos: P(A ou B ou C) = P(A) + P(B) + P(C) - P(A e B) - P(B e C) + P(A e B e C)
 
A 
 1 
 3 
 4 
 6 
S B 
5 
ou 2 
4 
6 
 
S B 
5 2 
A e B (Ambos) 
1 
Menor que 3 ímpar 
3 
A 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
 
Probabilidade com Eventos dependentes 
 
 É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o evento A já tenha ocorrido. 
 
 
; Diz-se probabilidade condicional quando a ocorrência de um evento está condicionada à ocorrência do outro. 
Portanto, os eventos são dependentes. A probabilidade de um é alterada pela existência do outro. 
 
A probabilidade condicional do Evento B, dado que A ocorreu é denotada por: 
 
 
 
 
Ao calcular P(B|A) tudo se passa como se P(A) fosse o novo espaço amostral “reduzido” dentro do qual, queremos 
calcular a probabilidade de B. Não utilizamos o espaço amostral original. 
P(B|A) = P(A e B)
 P(A) → espaço amostral de A, “reduzido” 
 
Exemplo 1. Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 2 (evento A ocorreu). Qual a probabilidade de esse 
número ser o “5” (evento B)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
 A = {3, 4, 5, 6} 
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer o número 5 no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S. 
A e B = {5} → 1 
A = {3,4,5,6} → 4 
 P(B|A) = P(A e B) → 1 = 0,25 
 P(A) 4 
 
EXEMPLO 2 Ao lançar um dado, observou-se um número maior que 1 (evento A ocorreu). Qual é a probabilidade de esse 
número ser ímpar (Evento B)? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Espaço amostral original S = {1,2,3,4,5,6} 
O evento A ocorreu e queremos saber o B (dentro de A): 
 
 A = {2, 3, 4, 5, 6} 
 
 
P(B|A) será a probabilidade de ocorrer número ímpar no novo espaço 
amostral reduzido de A. Então: 
 
Observe que não usamos o espaço amostral original S 
A e B = {3,5} → 2 
A = {2,3,4,5,6} → 5 
 P(B|A) = P(A e B) → 2 = 0,40 
 P(A) 5 
 
EXEMPLO 3 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 2ª 
carta seja uma dama, dado que a 1ª seja um rei. (assuma que o rei está sem reposição). 
 
Solução. Em razão de a primeira carta ser um rei e não ser a resposta, 
o baralho restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. Então: 
 P (B|A) = 4 = 0,078 
 51 
 
EXEMPLO 4 Cinco cartas são selecionadas em sequência em um baralho. Qual a probabilidade de que a 5ª carta seja uma 
dama. Dado que a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás. (assuma que não há reposição). 
 
Solução. Em razão de a 1ª = rei; 2ª = dama; 3ª = 8 ; 4ª = Ás, o baralho 
restante tem 48 (52-4) cartas, 3 das quais são dama. Então: 
 P (E|A,B,C,D) = 3 = 0,062 
 48 
 Note que o espaço amostral original foi reduzido 
 
 
 
Maior que 1 ímpar 
A 
Novo espaço 
amostral 
4 
6 
1
2 
Maior que 2 Ser o 5 
A 
Novo espaço 
amostral 
6 5 
1
2 
ocorreu (lê-se “probabilidade de B, dado que A ocorreu”) 
4 3 
 
B = {5} 
3 
5
 
B = {3, 5} 
 
B 
 
B 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
EXEMPLO 5 Numa pesquisa sobre a preferência de dois jornais, consultamos 470 pessoas e o resultado foi o seguinte: 250 
lêem o jornal A, 180 lêem o jornal B, 60 lêem os jornais A e B. Escolhendo uma pessoa ao acaso, qual a probabilidade de: 
 
 a) Um leitor do jornal A, também ser leitor do B? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento A ocorreu e queremos saber o B. Então, denotamos 
P(B|A). Dentre os leitores do Jornal A, devemos destacar os que 
lêem B; logo, o espaço amostral desse evento é A (190+60=250). 
Então, a probabilidade é: 
A e B = {60} → 60 
A= {190+60} → 250 
 P(B|A)=P(A e B) → 60 = 0,24 
 P(A) 250 
 b) Um leitor do jornal B, também ser leitor do A? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O evento B ocorreue queremos saber o A. Então, denotamos 
P(A|B). Dentre os leitores do Jornal B, devemos destacar os que 
lêem A; logo, o espaço amostral desse evento é B (120+60=180). 
Então, a probabilidade é: 
 
 
 
EXEMPLO 6. O quadro abaixo mostra os resultados de um estudo no qual os pesquisadores examinaram o QI de uma criança 
e a presença de um gene específico nela. 
 Gene 
presente 
 Gene não 
presente 
QI alto 
QI normal 
33 
39 
19 
11 
52 
50 
 72 30 102 
A probabilidade de que a criança tenha um QI alto (Evento B), dado que 
a criança tenha o gene (Evento A) é? 
 
Solução. Há 72 crianças que têm o gene. Então, o espaço amostral consiste 
dessas 72 crianças. Dessas, 33 tem QI alto. Então: 
 
 P (B|A) = 33 = 0,458 
 72 
 
EXEMPLO 7 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Ao selecionar duas peças em sequência, sem 
reposição, qual a probabilidade de: 
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 
peças, 3 das quais são defeituosas. Então: 
 P (B|A) = 3 = 0,2727 
 11 
 
a 2ª peça ser “defeituosa”, dado que a 1ª é de “qualidade”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser de qualidade, o lote restante tem 11 
peças, 4 das quais são defeituosas. Então: 
 P (B|A) = 4 = 0,3636 
 11 
 
a 2ª peça ser de “qualidade”, dado que a 1ª é “defeituosa”. 
 
Solução. Em razão de a 1ª peça ser defeituosa, o lote restante tem 11 
peças, 8 das quais são de qualidade 
 P (B|A) = 8 = 0,7272 
 11 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Jornal 
Jornal 
B Jornal 
Jornal 
A 
190 
120 
 60 Novo espaço 
amostral 120 
 
B 
Novo espaço 
amostral 
 60 190
 
A 
 - 12 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Multiplicação de probabilidade com eventos dependentes ...ache P(A e B) , dado P(B|A) e P(A) 
 
Uma consequência matemática importante da definição de probabilidade condicional é a seguinte: 
P(B|A) = P(A e B) 
 P(A) 
 se quero achar: P(B|A) = ? então → 
 P(A e B) P(A) 
P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
Isto é, a probabilidade dos eventos (A e B) é o produto da probabilidade de um deles pela probabilidade do outro, dado o primeiro. 
 
EXEMPLO 1 Duas cartas são selecionadas em sequência em um baralho de 52 cartas. Qual a probabilidade de 
selecionar um Rei e uma Dama? (não há reposição). 
 A probabilidade de a 1ª carta ser um Rei é 
4/52. A 
2ª carta ser uma Dama é 4/51, pois o baralho 
restante tem 51 cartas, 4 das quais são dama. 
P(A e B) = ? 
P(A) = 4/52 
P(B|A) = 4/51 
 P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
 4 x 4 → 16 = 0,006 
 52 51 2652 
 
EXEMPLO 2 Em um lote de 12 peças, 8 são de “qualidade” e 4 são “defeituosas”. Sendo retiradas duas peças em sequência, 
qual a probabilidade de que: (não há reposição) 
 
a) Ambas sejam “defeituosas” b) Ambas sejam de “qualidade” 
P(A e B) = ? 
P(A) = 4/12 
P(B|A) = 3/11 
4 x 3 = 0,090 
 12 11 
P(A e B) = ? 
P(A) = 8/12 
P(B|A) = 7/11 
 
 8 x 7 = 0,4242 
 12 11 
A probabilidade de a 1ª peça ser defeituosa é 4/12 e a 2ª é 
3/11, pois o 
lote restante tem 11 peças, 3 das quais são defeituosas. 
A probabilidade de a 1ª peça ser de qualidade é 8/12 e a 2ª é 
7/11, 
pois o lote restante tem 11 peças, 7 das quais são de qualidade. 
 
EXEMPLO 3 Uma urna contém 7 bolas brancas (B) e 3 pretas (P). Extraindo-se três bolas em sequência, qual a probabilidade 
de que: (não há reposição). 
 
a) As duas primeiras sejam brancas e a terceira seja preta (ou seja, BBP) 
 
A probabilidade de a 1ª bola ser branca é 7/10 e a 2ª é 
6/9. A 
probabilidade de a 3ª bola ser preta é 3/8, pois a urna restante 
tem 8 peças, 3 das quais são pretas. 
P(A) = 7/10 
P(B|A) = 6/9 
P(C|B) = 3/8 
 
 7 x 6 x 3 = 0,175 
 10 9 8 
 
b) Duas sejam brancas e uma seja preta (ou seja: BBP, BPB ou PBB) = 3[BBP] 
 
O evento sair “duas brancas e uma preta” pode ocorrer de três maneiras que 
diferem apenas pela ordem de aparecimento das bolas: (BBP, BPB, PBB). Logo, a 
probabilidade será a soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de 
uma dessas maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(BBP). 
P(A) = 7/10 
P(B|A) = 6/9 
P(C|B) = 3/8 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
8
3x
9
6x
10
73 = 0,525 
 
c) Pelo menos duas sejam brancas (ou seja: 3[BBP] + [BBB]) 
 2 brancas 3 brancas 
 
“Pelo menos duas brancas“ é a mesma coisa que “no 
mínimo duas brancas”, ou seja, duas ou três brancas. 
Então, calculamos duas brancas + três brancas. 
3[BBP] 
P(A) = 7/10 
P(B|A) = 6/9 
P(C|B) = 3/8 
[BBB] 
P(A) = 7/10 
P(B|A) = 6/9 
P(C|B) = 5/8 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
8
3x
9
6x
10
73 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
8
5x
9
6x
10
7
= 0,8166 
 
d) No máximo uma seja branca (ou seja: [PPP] + 3[PPB]) 
 0 branca 1 branca 
 
No máximo uma branca é a mesma coisa que “ou 
nenhuma branca ou uma branca”. Então, calculamos 
nenhuma branca (todas pretas) + uma branca. 
[PPP] 
P(A) = 3/10 
P(B|A) = 2/9 
P(C|B) = 1/8 
3[PPB] 
P(A) = 3/10 
P(B|A) = 2/9 
P(C|B) = 7/8 
 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
8
1x
9
2x
10
3
 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
8
7x
9
2x
10
33 = 0,0667 
 
e) Pelo menos uma seja preta. (ou seja: 3[PBB] + 3[PPB] + [PPP]) 
 1 preta 2 pretas 3 pretas 
 
3[PBB] 
P(A) = 3/10 
P(B|A) = 7/9 
P(C|B) = 6/8 
3[PPB] 
P(A) = 3/10 
P(B|A) = 2/9 
P(C|B) = 7/8 
[PPP] 
P(A) = 3/10 
P(B|A) = 2/9 
P(C|B) = 1/8 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
8
6x
9
7x
10
33 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛•
8
7x
9
2x
10
33 + ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
8
1x
9
2x
10
3
 = 0,7083 
 
MÉTODO ALTERNATIVO: 
É mais prático usar o 
evento complementar: 
1 – BBB (nenhuma preta) 
[BBB] 
P(A) = 7/10 
P(B|A) = 6/9 
P(C|B) = 5/8 
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
8
5x
9
6x
10
71 = 0,7083 
f) Todas sejam da mesma cor: 
[PPP]+[BBB] 
 
 - 13 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Multiplicação de Probabilidade com Eventos independentes 
 
 É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. Não existe dependência. 
 A e B podem ocorrer simultaneamente (ao mesmo tempo). São independentes. 
 
; A regra da multiplicação é usada para achar P(A e B) para eventos independentes. Aqui associaremos a palavra “e” 
com “multiplicação”. O termo chave usado é “simultâneo”. A equação é : P(A e B) = P(A) x P(B). Existe reposição 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo 1. Ao lançar dois dados simultaneamente,qual a 
probabilidade de: 
 
Obter o número 2 e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore: 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
 
Então, a probabilidade é: 
 
3 = 8,33% 
 36 
Se aplicarmos a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2} 
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 3 
→ S = 6 
 P(A e B) = P(A) x P(B) 
 1 x 3 = 3 = 8,33% 
 6 6 36 
 
Obter um número par e ímpar ? 
 
Pelo Diagrama de árvore 
 
(2,1), (2,3), (2,5) 
(4,1), (4,3), (4,5) 
(6,1), (6,3), (6,5) 
Então, a probabilidade é: 
 
 9 = 25% 
 36 
 
Aplicando a regra da multiplicação, temos: 
 
A={2,4,6} 
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 3 
→ B = 3
→ S = 6 
P(A e B) = P(A) x P(B) 
 3 x 3 = 9 = 25% 
 6 6 36 
 
Esta regra pode ser estendida para qualquer número de eventos 
independentes: P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C)... 
 
O resultado do evento B independe do resultado de A. 
 “São independentes” 
 
 
Exemplo 2. Cirurgias de microfraturas no joelho têm 75% de chance de Sucesso em pacientes com joelhos 
degenerativos (25% é de fracasso). A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Calcule a probabilidade de que: 
 
Nota: A probabilidade de que cada cirurgia seja um sucesso é de 0,75. A chance de um sucesso para uma cirurgia é 
independente das chances para as outras cirurgias. Portanto, os eventos são independentes. 
 
a) As três cirurgias sejam um sucesso. ou seja:[SSS] 
 
[SSS] 
P(A) = 0,75 
P(B) = 0,75 
P(C) = 0,75 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,75 x 0,75 x 0,75 = 0,4218 
 
b) As três cirurgias sejam um fracasso. ou seja:[FFF] 
 
[FFF]
P(A) = 0,25 
P(B) = 0,25 
P(C) = 0,25 
P (A e B e C) = P(A) x P(B) x P(C) 
 
0,25 x 0,25 x 0,25 = 0,0156 
 
 
c) Duas cirurgias sejam um sucesso (ou seja: SSF, SFS, FSS) = 3[SSF] 
 
O evento “Duas cirurgias” pode ocorrer de três maneiras que diferem apenas pela 
ordem dos resultados das cirurgias: (SSF, SFS, FSS). Logo, a probabilidade será a 
soma dessas maneiras. Então, basta calcular a probabilidade de uma dessas 
maneiras (por exemplo, a primeira) e multiplicar por 3. Então: 3(SSF). 
P(A) = 0,75 
P(B) = 0,75 
P(C) = 0,25 
3 * (0,75*0,75*0,25) = 0,4218 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
 S = {36} Evento A e Evento B 
 
 
 - 14 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Teorema de Bayes (THOMAZ BAYES – 1701-1761 – MATEMÁTICO) 
 
 É uma extensão da probabilidade condicional, que procura responder a pergunta: sabendo-se que o 
evento A ocorreu, qual a probabilidade de que esse evento tenha provindo de X? 
 
; Usamos o Teorema de Bayes para rever probabilidades com base em informação adicional obtida posteriormente. Uma idéia-chave 
para se entender a essência do teorema é reconhecer que estamos trabalhando com eventos sequenciais, pelos quais novas 
informações são obtidas para se rever a probabilidade do evento inicial. Nesse contexto, os termos probabilidade a priori e 
probabilidade a posteriori são comumente usados. 
; Uma probabilidade a priori é um valor de probabilidade inicial originalmente obtido antes que seja obtida qualquer informação 
adicional. Uma probabilidade a posteriori é um valor de probabilidade que foi revisto usando-se informação adicional obtida 
posteriormente. O teorema de Bayes pode ser obtido por meio de tabelas, diagrama de árvore e pela equação de Bayes. 
 
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore e a Equação de Bayes 
 
As máquinas A e B são responsáveis por 65% e 35%, respectivamente, da produção de uma empresa. Os índices de 
peças defeituosas na produção destas respectivas máquinas valem 2% e 5%. Se uma peça defeituosa foi selecionada 
da produção desta empresa, qual é a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina A? 
 
Resolução: Portanto, ao selecionar uma peça, atribuímos as probabilidades iniciais: P(A) = 0,65 e P(B) = 0,35, incluindo as peças 
perfeitas e defeituosas. Denotamos P = peça perfeita e D = peça defeituosa 
 
 
Pelo Diagrama de Árvore 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A probabilidade da peça sair defeituosa, 
seja da máquina A ou B, é 0,0305 
(0,0130+0,0175), que é a probabilidade 
total da peça sair defeituosa. 
 
Se queremos saber a probabilidade de a 
peça defeituosa ter sido produzida pela 
máquina A, será: 
 
0,0130 = 0,4262 
0,0305 
 
Enquanto que ter sido produzida pela 
máquina B será: 
 
0,0175 = 0,5738 
0,0305 
 
Pela equação de Bayes 
 
A equação de Bayes é dada por 
 
P(A1) . P(B|A1) P(x) = 
P(A1) . P(B|A1) + P(A2) . P(B|A2) 
 
Sendo o numerador a probabilidade condicionada 
procurada, o denominador a probabilidade total 
condicionada, podendo estender a P(An) . P(B|An). 
 
 
 
Usando a equação de Bayes e as probabilidades do exemplo 1, 
referente ao cálculo da peça defeituosa ter sido produzida pela 
máquina A, temos: 
 
P(A1) = 0,65 (peça ser produzida pela máquina A) 
P(B|A1) = 0,02 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) 
P(A2) = 0,35 (peça ser produzida pela máquina B) 
P(B|A2) = 0,05 (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) 
 
(0,65) . (0,02) 
P(x) = 
(0,65) . (0,02) + (0,35) . (0,05) 
= 0,4262 
 
Exemplo 2. As máquinas A e B são responsáveis por 400 e 150, respectivamente, da produção de peças de uma 
empresa. A quantidade de peças defeituosas produzidas pelas respectivas máquinas são 10 e 20. Se uma peça 
defeituosa foi selecionada da produção, qual a probabilidade de que tenha sido produzida pela máquina B? 
 
O total de peças produzidas é igual a 550 (400+150), logo: 
 
A 
P(A1) = 0,727 (
400/550) (peça ser produzida pela máquina A) 
 
P(B|A1) = 0,025 (
10/400) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina A) 
 
B 
 
P(A2) = 0,272 (
150/550) (peça ser produzida pela máquina B) 
 
P(B|A2) = 0,133 (
20/150) (peça ser defeituosa, dado ser produzida pela máquina B) 
 
Logo, a probabilidade da peça ser defeituosa e ter sido produzida pela máquina B será: 
 
 
P(A2) . P(B|A2) P(x) = 
P(A2) . P(B|A2) + P(A1) . P(B|A1) 
 
(0,272) . (0,133) 
P(x) = 
(0,272) . (0,133) + (0,727) . (0,025) 
= 0,6661 
 
 
Peça 
fabricada 
0,65 
0,35 
 
máquina 
A 
 
 
 
 
 
 
 
máquina 
B 
 
Peça 
perfeita 
 
 
 
 
 
Peça 
defeituosa 
 
0,98 
 
 
 
0,02 
Peça 
perfeita 
 
 
 
 
Peça 
defeituosa 
 
0,950,05 
P(A) * (P|A) = 0,6370 
 
 
 
 
 
 
P(A) *(D|A) = 0,0130 
 
 
P(B) * (P|B) = 0,3325 
 
 
 
 
 
P(B) * (D|B) = 0,0175 
 
+
 - 15 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
APÊNDICE A - QUADRO RESUMO DE PROBABILIDADES - 
 
 
Probabilidade Clássica 
P(A) = _n(A)_ → 
 S → 
 número de elementos no evento A___ 
espaço amostral 
 
Probabilidade com Eventos complementares 
 É a probabilidade com todos os RESULTADOS que NÃO FAZEM PARTE DO EVENTO A. 
P( A ) = 1 – P(A) P( A ) – Probabilidade do evento não ocorrer 
P(A) – Probabilidade do evento ocorrer 
 
 
 
 
 
 
 
ADIÇÃO DE PROBABILIDADES 
Probabilidade com Eventos mutuamente exclusivos 
 É a probabilidade com Eventos que não podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um impossibilita 
a ocorrência do outro. Ou ocorre A ou ocorre B. (A ou B) 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade com Eventos NÃO mutuamente exclusivos 
 É a probabilidade com Eventos que podem ocorrer ao mesmo tempo. A ocorrência de um NÃO impossibilita a 
ocorrência do outro. Ou ocorre A ou B ou ocorre AMBOS (A e B). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 PROBABILIDADE CONDICIONAL E MULTIPLICAÇÃO DE PROBABILIDADES 
Probabilidade com Eventos dependentes 
 É a probabilidade do Evento B ocorrer, dado que o A já tenha ocorrido. 
 
P(B|A) = P(A e B) Multiplicação: P(A e B) = P(A) x P(B|A) 
 P(A) 
Probabilidade com Eventos independentes 
 É quando a ocorrência do Evento A não afeta a probabilidade da ocorrência do B. 
Ocorre A e B. Os dois ocorrem simultaneamente. São independentes. P(A e B) = P(A) x P(B) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Ao lançar um dado, a probabilidade de se tirar o 3 ou 5 é:
 
A = {2} 
B = {5} 
S = {1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 1 
→ S = 6 
P(A ou B)= 1 + 1 = 2 = 33,33% 
 6 6 6 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
Lançar dois dados
Ao lançar dois dados simultaneamente, qual a probabilidade de: 
 
Obter o número 2 e ímpar? 
Pelo Diagrama de árvore, temos: 
(2,1), (2,3), (2,5) 
Então, a probabilidade é: 
 3 = 16,66% 
 36 
ao aplicarmos a regra da multiplicação o resultado é o mesmo! 
A={2} 
B={1,3,5} 
S={1,2,3,4,5,6} 
→ A = 1 
→ B = 3 
→ S = 6 
P(AeB) = P(A) x P(B) 
 1 x 3 = 3 = 16,66% 
 6 6 36 
 
 - 16 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Construindo modelos teóricos... 
 
É possível criar um modelo teórico 
que descreva como se espera que o 
experimento se comporte? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
CAPÍTULO 2 
 
VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
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4
5
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
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2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
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4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
 
Soma dos dados 
 6/36 
 
 5/36 
 
 4/36 
 
 3/36 
 
 2/36 
 1/36
 - 17 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
VARIÁVEL ALEATÓRIA E DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADE 
 
 Uma variável aleatória “X” representa um valor numérico associado a cada resultado de um 
experimento de probabilidade. 
 
Exemplo 1. A tabela e o gráfico abaixo representam um modelo de probabilidade para a soma de dois dados 
lançados simultaneamente: 
 
 
 
 
 
 
Soma dos 
dados “X” 
f Probabilidade “P(x)” 
2 1 1/36 
3 2 2/36 
4 3 3/36 
5 4 4/36 
6 5 5/36 
7 6 6/36 
8 5 5/36 
9 4 4/36 
10 3 3/36 
11 2 2/36 
12 1 1/36 
- ∑=36 ∑=1 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Notas e comentários 
 
A palavra “aleatório” indica que “X” é determinado pelo acaso. A variável aleatória é uma regra que associa um valor 
numérico a cada resultado experimental possível. 
 
A distribuição de probabilidades de uma variável aleatória descreve como as probabilidades estão distribuídas sobre os 
valores da variável aleatória. Para uma variável “X”, a distribuição de probabilidade é definida por uma função probabilidade, 
denotada por f(x). A função probabilidade fornece a probabilidade correspondente a cada um dos valores da variável aleatória. 
 
A principal vantagem de definir uma variável aleatória “X” e sua distribuição de probabilidade é que, uma vez que a 
distribuição seja conhecida, torna-se relativamente fácil determinar a probabilidade de uma série de eventos que podem ser 
do interesse de um tomador de decisões. 
 
 
É a lista de cada valor de 
uma variável aleatória “X” 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
2
1
2
3
45
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
1
2
3
4
5
6
( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
5
6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
1
2
3
4
5
6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
2
3
4
5
6
5
4
3
2
1
 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 
 
Soma dos dados 
 6/36 
 5/36 
 4/36 
 
 3/36 
 2/36 
 1/36 
Representação 
gráfica da 
distribuição 
Distribuição de
probabilidades 
Variáveis aleatórias(X)
Valor numérico de cada 
experimento 
frequências
 - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Exemplo 2. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). 
 
Definindo a variável aleatória “X” como o prazo para 
conclusão do projeto e, usando a Regra da Adição com as 
probabilidades no diagrama de árvore, você poderá 
determinar a probabilidade de ocorrência dos meses para 
conclusão do projeto. Então, poderá usar essa informação 
para estabelecer as distribuições de probabilidades: 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) “X” 
f Probabilidade “P(x)” 
8 1 1/9 = 0,11 
9 2 2/9 = 0,22 
10 3 3/9 = 0,33 
11 2 2/9 = 0,22 
12 1 1/9 = 0,11 
- ∑=9 ∑=1 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 8 meses? R.: 11% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 9 meses? R.: 22% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 meses? R.: 33% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído em 10 ou 11 meses? R.: 55% 
Qual a probabilidade de o projeto ser concluído entre 9 e 11 meses? R.: 77% 
 
 
 
 
 
Exemplo 3. Uma pesquisa entrevistou 200 casas de um bairro sobre quantas televisões possuem. Os dados mostram 
que 3 casas não possuem televisão, 38 casas possuem 1 televisão, 95 casas possuem 2 televisões, 52 casas possuem 3 
televisões e 12 casas possuem 4 televisões. 
 
Definimos a variável aleatória de interesse como “X” o número de televisões. A partir dos dados, sabemos que X é uma variável 
aleatória que pode assumir 0, 1, 2, 3, ou 4. Temos, então, a distribuição de probabilidades e o gráfico abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Assim, podemos responder rapidamente alguns questionamentos: 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela não possuir televisão? R.: 1,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 1 televisão? R.: 19% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 televisões? R.: 47,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir 2 ou 3 televisões? R.: 73,5% 
Ao selecionar aleatoriamente uma casa, qual a probabilidade de ela possuir televisão? R.: 98,5% 
 
 
Nº de 
televisões “X” 
f 
(casas) 
Probabilidade 
“P(x)” 
0 3 3/200 = 0,015 
1 38 38/200 = 0,190 
2 95 95/200 = 0,475 
3 52 52/200 = 0,260 
4 12 12/200 = 0,060 
- ∑=200 ∑=1 
0.11
0.22
0.33
0.22
0.11
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pr
ob
ab
ili
da
de
8 9 10 11 12
meses
Prazo para conclusão do projeto
0.015
0.19
0.475
0.26
0.06
0
0.2
0.4
0.6
0.8
1
Pr
ob
ab
ili
da
de
0 1 2 3 4
Número de televisões
Casas com televisões em um bairro
 - 19 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
1
1
2
3
4
5
6
( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
1
2
3
4
5
6
( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
1
2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
2
3
4
5
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
3
4
5
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
1
1
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5
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
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( 1, 1 )
( 1, 2 )
( 1, 3 )
( 1, 4 )
( 1, 5 )
( 1, 6 )
2
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
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( 2, 6 )
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( 2, 1 )
( 2, 2 )
( 2, 3 )
( 2, 4 )
( 2, 5 )
( 2, 6 )
3
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2
3
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( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
3
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2
3
4
5
6
( 3, 1 )
( 3, 2 )
( 3, 3 )
( 3, 4 )
( 3, 5 )
( 3, 6 )
4
1
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3
4
5
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
4
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( 4, 1 )
( 4, 2 )
( 4, 3 )
( 4, 4 )
( 4, 5 )
( 4, 6 )
5
1
2
3
4
5
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( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
5
1
2
3
4
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6
( 5, 1 )
( 5, 2 )
( 5, 3 )
( 5, 4 )
( 5, 5 )
( 5, 6 )
6
1
2
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( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
6
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2
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6
( 6, 1 )
( 6, 2 )
( 6, 3 )
( 6, 4 )
( 6, 5 )
( 6, 6 )
Lançar dois dados
VALOR ESPERADO E(X) 
 
 O Valor esperado de variáveis aleatórias “X” é um valor que você esperaria acontecer em vários testes. 
 
Podemos considerar o Valor esperado no sentido de que é o valor médio que esperaríamos se o experimento fosse feito diversas vezes. 
Então, podemos dizer que o conceito de Valor esperado aplicado em uma variável aleatória é equivalente à Média ponderada dos 
possíveis valores que “X” pode receber, onde os pesos são as probabilidades associadas. É semelhante ao cálculo da Média de uma 
Distribuição de frequência. Obtemos, então, a seguinte fórmula: 
 
EQUAÇÃO DO VALOR ESPERADO 
 
 
 
 
 
Cada valor de X é multiplicado por sua probabilidade e os produtos são adicionados. O Valor esperado, representado por 
E(X), também é chamado de Média de uma Variável Aleatória, Esperança matemática, Esperança ou Expectância. 
E (X) = ∑ X . P(x) 
 
Exemplo 1. Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas 
seqüenciais: etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo 
esperado para conclusão do projeto? 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) 
8 0,11 0,88 
9 0,22 1,98 
10 0,33 3,30 
11 0,22 2,42 
12 0,11 1,32 
- ∑=1 ∑ X.P(x) = 10 
 
Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera-se que o projeto seja concluído em 10 meses 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 8(0,11) + 9(0,22) + 10(0,33) + 11(0,22) + 12(0,11) = 10 meses 
 
Exemplo 2. A tabela abaixo representa um modelo de probabilidade para a soma de dois dados lançados 
simultaneamente. Qual o valor esperado para a soma dos dados? 
3 
Soma dos 
dados “X” 
Probabilidade 
“P(x)” 
X . P(x) 
2 0,0278 0,0556 
3 0,0556 0,1667 
4 0,0833 0,3333 
5 0,1111 0,5556 
6 0,1389 0,8333 
7 0,1667 1,1667 
8 0,1389 1,1111 
9 0,1111 1,0000 
10 0,0833 0,8333 
11 0,0556 0,6111 
12 0,0278 0,3333 
- ∑=1 ∑ X.P(x) = 7 
 
 Valor esperado E(X) 
 
Interpretação: Espera-se que a soma dos dados seja 7. 
 
NOTA: Posso fazer também da seguinte forma: 
E(X) = 2(0,0278) + 3(0,0556) + 4(0,0833) + 5(0,1111) 6(0,1389) + 7(0,1667) + 
8(0,1389) + 9(0,1111) + 10(0,0833) + 11(0,0556) + 12(0,0278) = 7 
Valor esperado de “X”
Variáveis Aleatórias
Probabilidades associadas 
 x = 
 x =- 20 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO 
 
 Podemos aplicar os conceitos de Variância e Desvio Padrão para o Valor esperado E (X). 
 
; Embora o Valor esperado de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória descreva um resultado 
comum, ela não dá informações sobre a maneira que os resultados variam. Para estudar a variação dos resultados, 
você pode usar a variância e o desvio padrão de uma distribuição de probabilidades da variável aleatória. Então: 
 
FÓRMULA DA VARIÂNCIA E DESVIO PADRÃO DO VALOR ESPERADO 
 
VARIÂNCIA 
S2 = ∑ (x – EX)2 . P(x) 
DESVIO PADRÃO 
S = 2s 
 
 
 
 
 
Exemplo Um projeto de ampliação da capacidade produtiva da empresa ABC divide-se em duas etapas seqüenciais: 
etapa 1 (projeto – em 2, 3 ou 4 meses) e etapa 2 (construção – em 6, 7 ou 8 meses). Qual o prazo esperado para 
conclusão do projeto, a variância e o desvio padrão? 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Então, a Variância é: S2 = 1,32 e o Desvio padrão é: S = 2s → S = 32,1 → 1,15 meses 
 
 
 
Podemos calcular também, sem montagem de tabela, da seguinte forma: 
S2 = ∑ (x – EX)2.P(x) → (8-10)2. (0,11) + (9-10)2. (0,22) + (10-10)2. (0,33) + (11-10)2. (0,22) + (12-10)2. (0,11) = 1,32 
S = 32,1 → 1,15 meses 
 
Interpretação do desvio padrão: 
O Desvio padrão indica que a maioria dos valores de dados difere do Valor esperado não mais que 1,15 meses, para mais ou 
para menos. Então, podemos afirmar que os valores esperados estão dentro dos limites de: 
 
 
 
 
 
 
Conclusão do projeto 
(em meses) X 
P(x) X . P(x) (X – EX)2 . P(x) 
8 0,11 0,88 ( 8–10)2 . (0,11) = 0,44 
9 0,22 1,98 ( 9–10)2 . (0,22) = 0,22 
10 0,33 3,30 (10–10)2 . (0,33) = 0 
11 0,22 2,42 (11–10)2 . (0,22) = 0,22 
12 0,11 1,32 (12–10)2 . (0,11) = 0,44 
Total ∑=1 EX = 10 ∑ = 1,32 
 Variáveis Aleatórias
Valor esperado
Probabilidades associadas
Variância 
8 meses 9 meses 10 meses 11 meses 12 meses 
 E(X) 
8,85 11,15
 - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
As variáveis aleatórias podem ser discretas ou contínuas, conforme mostra o esquema abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Em Probabilidade, existem as chamadas “distribuições de probabilidades” criadas por diversos estudiosos no tema, 
que podem ser discretas ou contínuas. As principais são listadas abaixo: 
 
DISTRIBUIÇÕES DISCRETAS 
Distribuição Binomial 
Distribuição Hipergeométrica 
Distribuição de Poisson 
DISTRIBUIÇÕES CONTÍNUAS 
Distribuição Uniforme 
Distribuição Normal 
Distribuição Exponencial 
Distribuição de Erlang 
Distribuição de Weibull 
 
Veremos cada uma delas adiante. 
 
CAPÍTULO 3 
 
DISTRIBUIÇÕES DE 
PROBABILIDADES 
 - 22 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL (JAKOB BERNOULLI 1654-1705) 
 
 É um experimento de probabilidades para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO. 
 
; Sucesso corresponde à probabilidade procurada enquanto que Fracasso à probabilidade não procurada, ou seja, o 
evento complementar. A palavra sucesso como usada aqui é arbitrária e não representa, necessariamente, algo bom. 
Qualquer uma das duas categorias pode ser chamada de sucesso, desde que seja a probabilidade procurada. 
; A probabilidade Binomial é aplicada para Eventos independentes. A amostra é feita com reposição. 
 
Revisão de FATORIAL (O fatorial é usado na equação binomial, por isso a importância da revisão) 
FATORIAL é um procedimento matemático utilizado para calcular o produto de uma multiplicação cujos 
fatores são números naturais consecutivos, denotado por x!. Exemplos: 
 
 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
30! = 30.29.28 . ... .1 
 0! = 1 
 
5! = 5.4.3! = 20 
3! 3! 
 
 5! = 5.4.3! = 5 
3! 4 3! 4 
 
 5! = 5.4.3! = 10 
3! (5-3)! 3! (2)! 
Para calcular 5! use a calculadora na tecla x! . Procedimento: Introduza 5 x! = 120 
 
Há várias formas de encontrar probabilidade Binomial. Uma forma é usar um Diagrama de Árvore e a regra de multiplicação. 
Outra forma é usar a equação de probabilidade Binomial, onde usamos Fatorial. Podemos também usar tabelas. 
 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE BINOMIAL 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
 
 
 
 
Nota: p e q foram substituídos por S e F por fins didáticos. 
 
Exemplo 1. Usando um Diagrama de Árvore (evento independente) e a equação da probabilidade Binomial 
 
Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com joelhos degenerativos. A 
cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso em 2 pacientes. 
 
Pelo Diagrama de Árvore ou Pela equação Binomial 
 
 
A probabilidade de sucesso em 1 paciente será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 1 . 0,25 3 – 1 ≈ 0,141 
 1! (3-1)! 
 Pelo Diagrama será (0,047+0,047+0,047) 
A probabilidade de não ter sucesso será: 
 
P(x)= 3! . 0,75 0 . 0,25 3 – 0 ≈ 0,016 
 0! (3-0)! 
Nota: x0 = 1 
1ª 2ª 3ª Resultado Sucessos Probabilidade (ev. indepen) 
 S (S,S,S) 3 0,75 . 0,75 . 0,75 = 0,422 
 0,75 
0,75 S F (S,S,F) 2 0,75 . 0,75 . 0,25 = 0,141 + 
S 
 0,25 S (S,F,S) 2 0,75 . 0,25 . 0,75 = 0,141 + 
 F 
 (S,F,F) 1 0,75 . 0,25 . 0,25 = 0,047 
 
 
F 
 S (F,S,S) 2 0,25 . 0,75 . 0,75 = 0,141 + 
 
0,25 
0,75 
 S F (F,S,F) 1 0,25 . 0,75 . 0,25 = 0,047 
F 
 0,25 S (F,F,S) 1 0,25 . 0,25 . 0,75 = 0,047 
 F 
 (F,F,F) 0 0,25 . 0,25 . 0,25 = 0,016 
 
F 
 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
 
n = 3 
x = 2 
S = 0,75 
F = 0,25 (evento complementar) 
 
P(x)= 3! . 0,75 2 . 0,25 3 - 2 
 2! (3-2)! 
 
P(x)= 0,422 
Há três resultados que têm dois sucessos e cada um tem uma probabilidade de 
0,141. Aplicando a Regra da Adição, a probabilidade de a cirurgia ser um sucesso 
com dois pacientes é 0,422. (0,141 + 0,141 + 0,141) 
 Usando a equação Binomial obtemos 
o mesmo resultado pelo método do 
Diagrama de árvore, de 0,422. 
 F = probabilidade de Fracasso 
(evento complementar) 
 
S = probabilidade de Sucesso 
(evento procurado) 
 n tamanho da amostra 
 x nº sucessos na amostra 
 - 23 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Exemplo 2. Um levantamento estatístico realizado pelo IBGE constatou que a taxa de desemprego na cidade de 
Resende é da ordem de 13%. Ao tomarmos uma amostra de 30 pessoas, com reposição, qual a probabilidade de: 
 
a) 5 estarem desempregados 13% desemprego(Sucesso) 87% emprego(Fracasso) 
b) 28 estarem empregados 
c) 27 estarem empregados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Para calcular0,135 use a tecla Xy ou ^. Introduza 0,13 Xy 5 = 3,7-05 que é o mesmo que 0,000037 
 
Exemplo 3. Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual a 
probabilidade de saírem: 
 
a) 2 bolas pretas 
b) 4 bolas brancas 
 
 
 
Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Binomiais. Siga o caminho abaixo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R resposta 
 
Para usar o Bioestat, basta incluir “n” tamanho da amostra e “x” nº sucessos na amostra. Observe que não é necessário incluir os dados 
do Fracasso. O próprio software já entende que o Fracasso será o valor restante. Ex.: Se Sucesso = 20%, então Fracasso = 80% (omitido no 
software). A resposta será o valor que está destacada no quadro azul. 
 P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
a) 5 estarem desempregados 
 
n = 30 
x = 5 
S = 0,13 
F = 0,87 
 
P(x)= 30! . 0,13 5 . 0,87 30 - 5 
 5! (30-5)! 
 
P(x)= 142506 . 0,000037 . 0,0307 
 
P(x) ≈ 0,1627 
 b) 28 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 28 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
P(x)= 30! . 0,87 28 . 0,13 30-28
 28! (30-28)! 
 
P(x)= 435 . 0,0202 . 0,0169 
 
P(x) ≈ 0,1489 
 c) 27 estarem empregados 
 
n = 30 
x = 27 
S = 0,87 
F = 0,13 
 
P(x)= 30! . 0,87 27 . 0,13 30-27 
 27! (30-27)! 
 
P(x)= 4060 . 0,0232 . 0,0021 
 
P(x) ≈ 0,1978 
a) 2 bolas pretas 
n = 5 
x = 2 
S = 0,20 (10/50) 
F = 0,80 (40/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,202 . 0,805–2 ≈ 0,2048
 2! (5-2)! 
 
 b) 4 bolas brancas 
n = 5 
x = 4 
S = 0,80 (40/50) 
F = 0,20 (10/50) 
 
 
 
 P = 5! . 0,804 . 0,205 –4 ≈ 0,4096 
 4! (5-4)! 
 
87% emprego(Sucesso) 13% desemprego(Fracasso) 
Sucesso é o que se deseja estudar; 
Fracasso é o que não se deseja estudar 
 - 24 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Exemplo 4. Uma moeda é lançada 5 vezes. Qual a probabilidade de obter “3 caras” nessas cinco provas? 
 
 
Exemplo 5. Um dado é lançado 6 vezes. Qual a probabilidade de que a “face 4” apareça 2 vezes? 
 
 
Exemplo 6. Dois times de futebol, A e B, jogam entre si 6 vezes. Qual a probabilidade de o time A ganhar 4 jogos? 
 
* 1/3 o time A pode ganhar, empatar ou perder. Logo, a probabilidade para cada evento é de 
1/3 
 
Exemplo 7. Em uma fábrica, 3 em cada 10 peças são defeituosas. Uma remessa a um determinado cliente possui 5 
peças. Determine a probabilidade de que, nessa remessa: 
 
2 estejam defeituosas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,30 ( = 3/10 a p peça ser defeituosa) 
F = 0,70 (= 7/10 a p peça ser perfeita) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,302 . 0,705–2 ≈ 0,3087 
 2! (5-2)! 
4 estejam perfeitas 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,70 ( = 7/10 a p peça ser perfeita) 
F = 0,30 (= 3/10 a p peça ser defeituosa) 
 
 P(x) = 5! __ . 0,704 . 0,305–4 ≈ 0,3602 
 4! (5-4)! 
 
DIFICULTANDO UM POUCO 
 
Exemplo 8. Uma máquina produz parafusos, dos quais 12% apresentam algum tipo de defeito. Calcular a 
probabilidade de, em um lote de 40 parafusos produzidos por essa máquina: 
 
a) Entre 3 e 5 parafusos estejam defeituosos, inclusive (ou seja: P3 + P4 + P5) 
 
Neste caso, calcularemos a probabilidade de 3, 4 e 5 parafusos defeituosos. Depois somamos as probabilidades. (Adição de Prob.) 
 
3 parafusos defeituosos 
n = 40 
x = 3 
S = 0,12 
F = 0,88 
 
P = 40! . 0,123 . 0,8840–3 ≈ 0,1507 
 3! (40-3)! 
 
4 parafusos defeituosos 
n = 40 
x = 4 
S = 0,12 
F = 0,88 
 
P = 40!_ . 0,124. 0,8840–4 ≈ 0,1901 
 4! (40-4)! 
 
5 parafusos defeituosos 
n = 40 
x = 5 
S = 0,12 
F = 0,88 
 
P = 40! _ . 0,125. 0,8840–5 ≈ 0,1867 
 5! (40-5)! 
 
P (3 e 5, inclusive) = 0,1507 + 0,1901 + 0,1867 = 0,5275 
 
b) Pelo menos dois parafusos defeituosos (ou seja: P2 + P3 + P4 + . . . + P40) Neste caso use: 1 - (P0 + P1) 
 
Ao invés de calcularmos P2 + P3 + P4 + . . . + P40 é mais conveniente usarmos o método do evento complementar (1 – p), pois dá menos 
trabalho. Então, calculamos 1 – (P0 +P1 ) 
 
nenhum parafuso defeituoso 
 
n = 40 (tamanho da amostra) 
x = 0 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,12 
F = 0,88 
 
P0 = 40! . 0,12
0 . 0,8840–0 ≈ 0,0060 
 0! (40-0)! 
 
1 parafuso defeituoso 
 
n = 40 (tamanho da amostra) 
x = 1 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,12 
F = 0,88 
 
P1 = 40! . 0,12
1. 0,8840–1 ≈ 0,0328 
 1! (40-1)! 
 
Evento complementar 
 
P (x ≥ 2) = 1 – (P0 + P1) 
 
P = 1 – (0,0060 + 0,0328) 
 
P = 0,9612 
 
 
 
n = 5 (tamanho da amostra) 
x = 3 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,50 ( = ½ a p de obter cara) 
F = 0,50 (= ½ a p de obter coroa) 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
 
 P(x) = 5! __ . 0,503 . 0,505–3 ≈ 0,3125 
 3! (5-3)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 2 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,17 ( = 1/6 a p de obter “4”) 
F = 0,83 (= 5/6 a p de não obter “4”) 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,172 . 0,836–2 ≈ 0,2057 
 2! (6-2)! 
 
n = 6 (tamanho da amostra) 
x = 4 (nº sucessos da amostra) 
S = 0,33 ( = 1/3 a p de ganhar)* 
F = 0,66 (= 2/3 a p de não ganhar) 
 
 
 P(x) = 6! __ . 0,334 . 0,666–4 ≈ 0,0823 
 4! (4-2)! 
 
 - 25 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
c) No máximo 3 parafusos defeituosos (ou seja: P0 + P1 + P2 + P3) 
 
Neste caso, somamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + P3, Ou seja, aplicamos o método de adição de probabilidades. 
 
nenhum parafuso 
defeituoso 
 
P0 = 0,0060 
1 parafuso 
defeituoso 
 
P1 = 0,0328 
2 parafusos 
defeituosos 
 
P2 = 0,0872 
3 parafusos 
defeituosos 
 
P3 = 0,1507 
Adição 
 
 P (x ≤ 3) = 0,0060+0,0328+0,0872+0,1507 = 0,2768 
 
d) Pelo menos 39 parafusos de qualidade (ou seja: ... P39 + P40) 
 
Ou seja, no mínimo 39 parafusos de qualidade. Então, somamos P39 + P40 
 
39 parafusos de qualidade 
n = 40 
x = 39 
S = 0,88 
F = 0,12 
 
P39 = 40! . 0,88
39 . 0,1240–39 ≈ 0,0328 
 39! (40-39)! 
 
40 parafusos de qualidade 
n = 40 
x = 40 
S = 0,88 
F = 0,12 
 
P1 = 40! . 0,88
40. 0,1240–40 ≈ 0,0060 
 40! (40-40)! 
 
Adição 
 
P = P39 + P40 
 
P = (0,0328 + 0,0060) 
 
P = 0,0388 
 
 
 
e) No máximo 39 parafusos de qualidade (ou seja: ...P0 + P1 + P2 + ... + P39) 
 
Neste caso, somaríamos as probabilidades de : P0 + P1 + P2 + ... + P39, Mas são muitos cálculos. Então, é mais conveniente usar o 
método de evento complementar (1 – p). Então, calculamos 1 – P40 
 
P (x ≤ 39) = 1 – P40 → P = 1 – 0,0060 = 0,9940 
 
 
 
 
 
Encontrando probabilidades Binomiais por meio do Excel 
 
Além do BIOESTAT, você pode encontrar probabilidades Binomiais pelo EXCEL, bastando inserir os dados, conforme 
demonstrado abaixo. A figura abaixo se refere ao exemplo 8 que acabamos de ver.- 26 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Encontrando probabilidades Binomiais por meio de tabelas. 
 
Repetindo o exemplo 1. Cirurgias de microfaturas no joelho têm 75% de chance de sucesso em pacientes com 
joelhos degenerativos. A cirurgia é realizada em 3 pacientes. Encontre a probabilidade de a cirurgia 
 
a) ser um sucesso em 2 pacientes. 
b) Ser um sucesso em 1 paciente. 
c) Não ter sucesso. 
 
Resolução. Uma parte da tabela pode ser vista aqui. Usando o sucesso de 75% (ou 0,75), n do tamanho da amostra = 3 e com 
número de sucessos 2, 1 e 0 das letras a), b) e c), respectivamente, você pode encontrar a probabilidade Binomial conforme 
visto nas áreas destacadas na tabela abaixo. 
 
Nota: Para Sucesso <= 0,50, considere as linhas e colunas verdes para a probabilidade e os sucessos e para Sucesso > 0,50 
considere as linhas e colunas vermelhas para a probabilidade e os sucessos. Para valores de Sucessos "quebrados", use a 
fórmula DISTRBINOM (sucessos;n;p;0) no Excel. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
DISTRIBUIÇÃO HIPERGEOMÉTRICA 
 
 É um experimento de probabilidade para os quais os resultados de cada tentativa podem ser reduzidos a 
dois resultados: SUCESSO ou FRACASSO, MAS SEM REPOSIÇÃO DA AMOSTRA. 
 
; Da mesma maneira que a distribuição Binomial, a distribuição Hipergeométrica tem dois resultados possíveis: 
SUCESSO ou FRACASSO. A diferença é que ao experimento Binomial exige que a amostragem seja feita COM 
REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser independente dos outros, enquanto que o experimento Hipergeométrico 
exige que a amostragem seja feita SEM REPOSIÇÃO, pois cada resultado deve ser dependente dos outros. 
; O experimento Hipergeométrico é aplicado para Eventos dependentes. A amostra é sem reposição. 
 
 EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE HIPERGEOMÉTRICA 
 
 
S = nº sucessos da população 
s = nº sucessos da amostra 
 
 
 
 
 
 
 
Exemplo Binomial 
 
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, COM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: 
 
a) 2 bolas pretas 
b) 4 bolas brancas 
 
 
 
COM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas com reposição, isto é, retira-se uma bola, verifica-se a cor, coloca-se novamente a 
bola na caixa, retira-se novamente uma bola, verifica-se a cor, coloca-se de volta na caixa, até que se completem as 5 extrações. 
 
Exemplo Hipergeométrico 
 
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: 
 
a) 2 bolas pretas 
b) 4 bolas brancas 
 
 
 
 
 
 
SEM REPOSIÇÃO. Se as bolas são extraídas sem reposição, isto é, extraem-se as 5 bolas sem que nenhuma delas retorne à caixa. 
Os eventos – cor de cada bola – já não são mais independentes, pois a probabilidade de uma bola ser branca ou preta depende 
de que cor tenham saído as demais bolas. 
 
 
 
 
P(x) = n! . S x . F n - x 
 x! (n - x)! 
a) 2 bolas pretas 
n = 5 
x = 2 
S = 0,20 (10/50) 
F = 0,80 (40/50) 
 
 
 
P(x) = 5! . 0,20 2 . 0,80 5–2 
 2! (5-2)! 
 ≈ 0,2048 
 b) 4 bolas brancas 
n = 5 
x = 4 
S = 0,80 (40/50) 
F = 0,20 (10/50) 
 
 
 
P(x) = 5! . 0,80 4 . 0,20 5 –4 
 4! (5-4)! 
 ≈ 0,4096 
a) 2 bolas pretas 
 
S = 10 
s = 2 
F = 40 
f = 3 
N = 50 
n = 5 
 
5)!(505!
50!
3)!(403!
40!
 x 
2)!(102!
10!
−
−−=P
 
P(x) ≈ 0,2098 
 b) 4 bolas brancas 
 
S = 40 
s = 4 
F = 10 
f = 1 
N = 50 
n = 5 
 
5)!(505!
50!
1)!(101!
10!
 x 
4)!(404!
40!
−
−−=P 
 
 P(x) ≈ 0,4313 
N tamanho da população 
n tamanho da amostra 
F = nº fracassos da população 
f = nº fracassos da amostra 
 
 - 31 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
Você pode usar o software BIOESTAT para calcular probabilidades Hipergeométricas. Siga o caminho abaixo 
 
Uma caixa contém 50 bolas, sendo 40 brancas e 10 pretas. Tirando-se 5 bolas, SEM REPOSIÇÃO, qual P(x) de saírem: 
 
a) 2 bolas pretas 
 f = 3 
 N = 50 
 n = 5 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observe que não é necessário incluir os dados do Fracasso. O próprio software já reconhece que o Fracasso será o valor restante. Ex.: 
Se Sucesso = 10 e 2, então Fracasso = 40 e 3 (omitido), já que a população é 50 e 5. A resposta será o valor que está no quadro azul. 
 
 
 
Você pode usar o software EXCEL para calcular probabilidades Hipergeométricas. 
 
Demonstrando o exemplo anterior, temos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
S = 10 
s = 2 
F = 40 
resposta
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Uanderson Rebula de Oliveira Estatística Aplicada
 
DISTRIBUIÇÃO DE POISSON (DENIS POISSON 1781-1840) (LÊ-SE POASSÓN) 
 
 É um experimento de probabilidade que calcula o NÚMERO DE OCORRÊNCIAS de um evento em um 
DADO INTERVALO de TEMPO, DISTÂNCIA, ÁREA, VOLUME ou unidade similar. 
 
; O esquema abaixo ajuda a melhor interpretar o experimento de Poisson. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; Regras: É aplicada caso os eventos ocorram com uma MÉDIA conhecida e cada evento seja independente. 
; São exemplos: número de consultas a uma base de dados por minuto; número de falhas de um equipamento por hora; 
número de erros de tipografia em um formulário; número de defeitos em um m2 de piso cerâmico; número de buracos 
em um asfalto por km; número de acidentes por mês em uma rodovia etc. 
 
EQUAÇÃO DA PROBABILIDADE DE POISSON 
 
P(x) = μ x * e - μ 
 x ! 
μ = letra grega mi = Média 
 
Nota: Algumas literaturas usam 
λ (lambda) no lugar de μ 
 
Exemplo 1. A Média do número de acidentes por mês na rodovia Barra Mansa-Angra é de 3 acidentes por mês. 
Determine a probabilidade de que, em qualquer mês dado: 
 
a) 4 acidentes ocorram na rodovia 
b) 2 acidentes ocorram na rodovia 
c) Nenhum acidente ocorra na rodovia 
 
 
 Para calcular e - μ use a mesma tecla Xy ou ^. Introduza 2,7182 Xy - 3 = 0,0497 
 
Encontre e na calculadora 
 
Você pode usar o microsoft Excel para calcular probabilidades de Poisson. Veja abaixo (do exemplo 1) 
 
 
 
a) 4 acidentes ocorram