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Modelos Probabilísticos Aplicados à Engenharia Responsável pelo Conteúdo: Prof.ª Dr.ª Brena Silva Revisão Textual: Prof. Me. Luciano Vieira Francisco Noções de Probabilidade Noções de Probabilidade • Discutir como a probabilidade e modelos probabilísticos são usados em Engenharia e em Ciência; • Entender e descrever espaços amostrais e eventos para experimentos aleatórios. OBJETIVOS DE APRENDIZADO • Introdução; • Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos. UNIDADE Noções de Probabilidade Introdução A probabilidade é usada no nosso dia a dia o tempo todo. Muitas vezes nós acorda- mos e nos perguntamos: será que hoje fará frio ou calor? Será que choverá? Quanto tempo ficarei no trânsito? De uma forma geral, atribuímos um valor à chance de que determinado evento acon- teça. Então, decidimos qual roupa devemos usar e qual horário devemos sair de casa para cumprir os nossos compromissos, por exemplo. Assim, muitas de nossas decisões são baseadas em probabilidades de que eventos ocorram ou não. Assim como usamos no nosso dia a dia, a probabilidade é empregada em muitas situações em Engenharia como, por exemplo, desenvolvimento de novos produtos em análises de desempenho de qualidade e condições de funcionamento; planejamento de rotinas de prevenção de máquinas em análise de probabilidade de falhas; desenvol- vimento de tecnologias para a construção civil. Em outras palavras, usamos modelos matemáticos probabilísticos para estimar possíveis resultados em função de determi- nadas características, antes que fenômenos ocorram. Segundo Meyer (2003), todas as vezes que empregamos a matemática a fim de estudar alguns fenômenos de observação, deveremos essencialmente começar por cons- truir um modelo matemático, determinístico ou probabilístico, para esses fenômenos. Os modelos determinísticos são aqueles que estipulam que as condições sob as quais um experimento seja executado determinem o resultado do experimento. Por exemplo, se introduzirmos uma bateria em um circuito simples, o modelo matemático que, pre- sumivelmente, descreveria o fluxo de corrente elétrica observável seria VI R = , isto é, a Lei de Ohm. O modelo prognostica o valor de I (corrente elétrica) tão logo os valores de V (tensão) e R (resistência) sejam fornecidos. Já os modelos probabilísticos são aqueles em que as condições da experimenta- ção determinam somente o comportamento probabilístico do resultado observável. Por exemplo, suponhamos que se tenha um fragmento de material radioativo que emita partícula alfa. Com o auxílio de um dispositivo de contagem, poderemos registrar o nú- mero dessas partículas emitidas durante um intervalo de tempo especificado. É evidente que não poderemos antecipar precisamente o número de partículas emitidas, ainda que se conheçam de modo exato a forma, dimensão, a composição química e a massa do objeto em estudo. Por isso, deveremos considerar um modelo probabilístico de modo a estipularmos a probabilidade de n partículas como uma função de várias características do experimento. Os modelos de probabilidade ajudam a quantificar os riscos envolvidos em inferências estatísticas, isto é, os riscos envolvidos em decisões feitas todos os dias. Nesse contexto, devido à importância da probabilidade para a Engenharia e a Ciên- cia, nesta Unidade aprenderemos alguns conceitos básicos para o entendimento de pro- babilidade e modelos probabilísticos, tais como experimentos aleatórios, espaço amos- tral, técnicas de contagem, probabilidade condicional e teorema de Bayes. 8 9 Experimentos Aleatórios, Espaço Amostral e Eventos Segundo Dantas (2013), um experimento aleatório pode ser definido como experi- mentos que ao serem repetidos nas mesmas condições não produzem o mesmo resultado. Exemplos: • Quando retiramos um lote de peças num processo de produção, observamos que o número de peças defeituosas em um período de 8 horas; • Jogue um dado e observe o número mostrado na face de cima; • A resistência à tração de uma barra pode variar a cada medição de uma barra; • Uma lâmpada é fabricada. Em seguida é ensaiada quanto à duração da vida, pela colocação em um soquete e anotação de tempo decorrido até queimar. O que esses experimentos têm em comum? Cada experimento poderá ser repetido indefinidamente sob condições essencialmente inalteradas e produzirá resultados inesperados. Ou seja, resultados aleatórios. Muito embora não sejamos capazes de afirmar que um resultado particular ocorrerá, seremos capazes de descrever o conjunto de todos os possíveis resultados do experimento. Se medirmos a corrente em um fio fino de cobre, conduziremos um experimento. Entretanto, em repetições diárias da medida, os resultados poderão diferir levemente, por causa de pequenas variações em variáveis que não estejam controladas em nos- so experimento, incluindo variações nas temperaturas de cada ambiente, leves varia- ções nos medidores e pequenas impurezas na composição química do fio, se diferentes localizações forem selecionadas e se a fonte da corrente oscilar. Consequentemente, esse experimento (assim como muitos que conduzimos) é dito ter um componente alea- tório. Em alguns casos, as variações aleatórias que experimentamos são suficientemente pequenas, relativas aos nossos objetivos experimentais, que podem ser ignoradas. No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento tenha sido pla- nejado e conduzido, a variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser suficientemente grande de modo que as conclusões importantes de nosso experimento podem não ser óbvias. Nesses casos, os métodos aqui apresentados para modelar e analisar resultados experimentais são bem valiosos (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Nosso objetivo é compreender, quantificar e modelar os tipos de variações que encontramos com frequência. Quando incorporamos a variação em nosso pensamento e análises, podemos fazer julgamentos baseados em nossos resultados que não sejam invalidados pela variação. Modelos e análises que incluem variação não são diferentes dos modelos usados em outras áreas de Engenharia e Ciência. Um modelo (ou abstração) matemático(a) do sistema físico é desenvolvido(a). Não neces- sita ser uma abstração perfeita. Além disso, são modelos úteis que podem ser estudados e analisados para quantificar aproximadamente o desempenho de uma ampla faixa de produtos de Engenharia. Dada uma abstração matemática que seja válida com medidas de nosso sistema, podemos usar o modelo para entender, descrever e quantificar aspectos 9 UNIDADE Noções de Probabilidade importantes do sistema físico e prever a resposta do sistema à alimentação de dados (inputs) (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Denominamos espaço amostral associado a um experimento o conjunto de seus resultados possíveis (DANTAS, 2013). Para cada experimento ε do tipo que estamos considerando, definiremos o espaço amostral como o conjunto de todos os resultados possíveis de ε. Geralmente, represen- taremos esse conjunto por S (MEYER, 2003). Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018) Considere um experimento em que você seleciona uma câmera de telefone celular e registra o tempo de recarga de um flash (o tempo necessário para aprontar a câmera para outro flash). Os valores possíveis para esse tempo dependem da resolução do tem- porizador e dos tempos máximo e mínimo de recarga. Entretanto, pode ser conveniente definir o espaço amostral como simplesmente a linha real positiva: S = R+ = {x|x > 0} Se é sabido que todos os tempos de recarga estão entre 1,5 e 5 segundos, o espaço amostral pode ser: S1 = {x|1,5 < x < 5} Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de o tempo de recarga ser baixo, médio ou alto, então o espaço amostral poderá ser considerado como o conjunto de três resultados: S2 = {baixo, médio, alto} Se o objetivo da análise for considerar apenas o fato de a câmera particular satisfazer ou não às especificações do tempo de recarga mínimo,então o espaço amostral poderá ser simplificado para um conjunto de dois resultados: S3 = {sim, não} Segundo Montgomery e Runger (2018), um espaço amostral pode ser considerado discreto ou contínuo: um espaço amostral é considerado discreto quando é composto por um conjunto finito ou infinito contável de resultados. Por exemplo, o espaço amos- tral S3 é considerado espaço amostral discreto. Já um espaço amostral é considerado contínuo se contém um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais. Por exem- plo, o espaço amostral S1 é considerado espaço amostral contínuo. Evento Um evento A (relativo a um particular espaço amostral S associado a um experimento ε) é simplesmente um conjunto de resultados possíveis. Na terminologia dos conjuntos, um evento é um subconjunto de um espaço amostral S (MEYER, 2003). 10 11 Segundo Montgomery e Runger (2018), podemos estar interessados em descrever novos eventos a partir de combinações de eventos existentes. Pelo fato de eventos serem subconjuntos, podemos usar operações básicas de conjuntos, tais como uniões, inter- seções e complementos, para formar outros eventos de interesse. Se A e B forem dois eventos, podemos chamar: • A união de dois eventos, que é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois eventos. Denotamos a união por A ∪ B; • A interseção de dois eventos como o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos, simultaneamente. Denotamos a interseção por A ∪ B. Quando há dois eventos mutuamente excludentes, temos que a interseção deles é ø, isto é, A ∪ B = ∅; • O complemento de um evento em um espaço amostral é o conjunto dos resulta- dos no espaço amostral que não estão no evento. Denotamos o complemento do evento A por A’. A notação Ac é também usada em algumas literaturas para deno- tar o complemento. Como os eventos são subconjuntos do espaço amostral, podemos representar a união, interseção de dois eventos e o complementar de um evento, conforme os diagra- mas representados na Figura 1: A ∩ B A ACA ∪ B Figura 1 – União, interseção e complementar de eventos Fonte: Adaptada de DANTAS, 2013 Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) Uma urna contém bolas numeradas de 1 a 15. Uma bola é retirada da urna e seu número anotado. Sejam A e B os seguintes eventos: • A o número da bola retirada é par; • B o número da bola retirada é múltiplo de 3; • Determinemos os eventos A ∪ B, A ∩ B e Ac. Resolução • O espaço amostral S associado a esse experimento é o conjunto: S = {1, 2, 3, ... 14, 15} • O evento A será: A = {2, 4, 6, 8, 10, 12, 14} • O evento B será: B = {3, 6, 9, 12, 15} Assim: A ∪ B = {2, 3, 4, 6, 8, 9, 10, 12, 14, 15} A ∩ B = {6, 12} Ac = {1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15} 11 UNIDADE Noções de Probabilidade Interpretações e Axiomas de Probabilidade Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de um resultado de um experimento aleatório (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Con- sideremos um espaço amostral S com N eventos simples, que suporemos igualmente possíveis. Seja A um evento de S composto de m eventos simples. A probabilidade de A, que denotaremos P(A), é definida por (DANTAS, 2013): ( ) mP A N = Definição Seja um experimento ε. Seja um espaço amostral S associado ao experimento ε. A cada evento A associaremos um número real representado por P(A) e denominado probabilidade de A, que satisfaça às seguintes propriedades (MEYER, 2003): • 0 ≤ P(A) ≤ 1; • P(S) = 1; • Se A e B forem mutuamente excludentes, P (A ∪ B) = P(A) + P(B); • Se Ac for um evento complementar de A, então P(A) = 1 – P(Ac); • Se A e B forem dois eventos quaisquer, então P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B). Assim, a probabilidade de um evento conjunto pode frequentemente ser determinada a partir de probabilidades dos eventos individuais que o compreendem. Operações básicas de conjuntos são também, algumas vezes, úteis na determinação da probabilidade de um evento conjunto. Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUNGER, 2018) Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados {a, b, c, d} com proba- bilidades 0,1; 0,3; 0,5; 0,1, respectivamente. Seja o evento A = {a, b}, B o evento {b, c, d} e C o evento {d}. Calcule: a) P(A) b) P(A ∩ B) c) P(A ∪ B) d) P(Cc) Resolução a) P(A) = {a, b} = 0,1 + 0,3 = 0,4 b) P(A ∩ B) = {b} = 0,3 c) P(A ∪ B) = P(A) + P(B) – P(A ∩ B) P(B) = 0,3 + 0,5 + 0,1 = 0,9 P(A ∩ B) = 0,3 P(A ∪ B) = 0,4 + 0,9 – 0,3 = 1 d) P(Cc) = {a, b, c} = 0,1 + 0,3 + 0,5 = 0,9 12 13 Técnicas de Contagem Em muitos exemplos é fácil determinar o número de resultados em cada qual. Em exemplos mais complicados, a determinação de resultados que compreendem o espaço amostral (ou um evento) se torna mais difícil. Nesse sentido, a contagem dos números de resultados no espaço amostral e os vários eventos são usados para analisar os experimentos aleatórios. Esses métodos são referidos como técnicas de contagem, de modo que a seguir serão apresentados alguns princípios ou regras de contagem: Regra da multiplicação (para técnicas de contagem) Suponhamos que uma tarefa pode ser executada em duas etapas. Se a primeira eta- pa pode ser realizada de n maneiras e a segunda etapa de m maneiras, então, a tarefa completa pode ser executada de n ⋅ m maneiras. Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) Desejamos ir da Cidade A à Cidade C. Os caminhos de A e C passam pela Cidade B. Se há dois caminhos que ligam A e B e três caminhos que ligam B e C, de quantas maneiras podemos ir de A à C? Resolução O número de caminhos que ligam A à C é seis, conforme o seguinte desenho: A B C Figura 2 Se designarmos por 1 e 2 os caminhos que ligam A à B e por 3, 4 e 5, temos: A B C 1 2 3 4 5 Figura 3 Assim, um possível caminho seria 1 até 3, isto é, 13: A C 1 2 3 4 5 3 B Figura 4 Então, os caminhos que ligam A à C são: 13, 14, 15, 23, 24, 25. 13 UNIDADE Noções de Probabilidade Permutações Outro cálculo útil é o número de sequências ordenadas dos elementos de um conjunto. Considere um conjunto de elementos, tal como S = {a, b, c}. Uma permutação é uma sequ- ência ordenada dos elementos. Por exemplo: abc, acb, bac, e cba são todas as permuta- ções dos elementos de S (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Consideramos uma amostra como ordenada se os seus elementos forem ordenados, isto é, se duas amostras com os mesmos elementos, porém, em ordens diferentes, forem consideradas diferentes. O número de permutações de n elementos diferentes é n!, sendo n! = n × (n – 1) × (n – 2) ... × 2 × 1. Permutações tais como esta são referidas algumas vezes como permutações lineares. Consideramos uma amostra como não ordenada se os seus elementos não forem ordenados; assim, uma amostra não ordenada de tamanho n coincide com um subcon- junto de tamanho n (DANTAS, 2013). O número de amostras não ordenadas sem reposição de tamanho n, de um conjunto com N elementos, é dado por: ( ) ! ! ! n r n nC r r n r = = − Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018) Um silo com 50 itens fabricados contém três itens defeituosos e 47 itens não defeitu- osos. Uma amostra de 6 itens é selecionada a partir dos 50 itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens. Quantas amostras diferentes existem, de tama- nho 6, que contêm exatamente 2 itens defeituosos? Resolução Um subconjunto contendo exatamente dois itens defeituosos pode ser formado esco- lhendo primeiro os dois itens defeituosos a partir de três itens defeituosos: 3 3! 3 2 2!1! maneiras diferentes = = Então, a segunda etapa é selecionar os quatro itens restantes dos 47 itens aceitáveis no silo: 47 47! 178.365 4 4!3! maneiras diferentes = = Por conseguinte, da regra de multiplicação, o número de subconjuntos de tamanho seis que contém exatamente dois itens defeituosos é: 3 × 178.365 = 535.095 14 15Com um cálculo adicional, o número total de subconjuntos diferentes de tamanho seis é: 50 50! 15.890.700 6 6!44! = = Probabilidade Condicional Algumas vezes, probabilidades necessitam ser reavaliadas à medida que informações adicionais se tornam disponíveis. Uma maneira útil de incorporar informação adicional em um modelo de probabilidade é considerar o resultado que será gerado como um membro de um dado evento. Considere a seguinte situação: um lote de 80 peças não defeituosas e 20 peças defeituosas. Suponha que escolhemos duas peças desse lote: (a) com reposição; (b) sem reposição. Definamos os dois eventos seguintes: { } A a primeira peçaé defeituosa= { } B a segunda peçaé defeituosa= Se estivermos extraindo com reposição, P(A) = P(B) = 20/100 = 1/5, porque cada vez que extrairmos do lote, existirão 20 peças defeituosas no total de 100. No entanto, se estivermos extraindo sem reposição, os resultados não serão tão imediatos. É ainda verdade, naturalmente, que P(A) = 1/5. Mas sobre P(B)? É evidente que, a fim de cal- cularmos P(B), deveremos conhecer a composição do lote no momento de se extrair a segunda peça. Isto é, deveremos saber se A ocorreu ou não. Este exemplo mostra a necessidade de se introduzir o seguinte conceito (MEYER, 2003): Sejam A e B dois eventos associados ao experimento ε. Denotaremos por P(B |A) a probabilidade condicionada do evento B, quando A tiver ocorrido. Nesse exemplo, P(B|A) = 19/99, porque se A tiver ocorrido, então, para a segunda extração restarão somente 99 peças, das quais 19 serão defeituosas. Segundo Dantas (2013), a probabilidade condicional de B dado A é definida por: ( ) ( )( ) | P A B P B A P A ∩ = Frequentemente, necessita-se calcular a probabilidade da interseção de dois eventos. Tal definição pode ser utilizada para prover uma fórmula conhecida como regra da multiplicação para probabilidades, na qual: P(A ∩ B) = P (B|A) P(A) = P(A|B) P(B) Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018) A probabilidade de que o primeiro estágio de uma operação, numericamente controlada, de usinagem para pistões com alta rotação por minuto (rpm) atenda às 15 UNIDADE Noções de Probabilidade especificações é igual a 0,90. Falhas são causadas por variações no metal, alinhamento de acessórios, condição da lâmina de corte, vibração e condições ambientais. Dado que o primeiro estágio atende às especificações, a probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda às especificações é de 0,95. Qual é a probabilidade de ambos os estágios atenderem às especificações? Resolução Sejam A e B os eventos em que o primeiro e o segundo estágios atendem às especi- ficações, respectivamente, a probabilidade requerida é: P(A ∩ B) = P(B|A) P(A) = 0,95 (0,90) = 0,855 Interpretação prática: a probabilidade de que ambos os estágios atendam às espe- cificações é aproximadamente 0,85, e se estágios adicionais fossem necessários para completar um pistão, a probabilidade diminuiria mais. Consequentemente, a proba- bilidade de que cada estágio seja completado com sucesso necessita ser grande para que um pistão atenda a todas as especificações. Em alguns casos, a probabilidade condicional de P(B|A) pode ser igual a P(B). Nesse caso especial, o conhecimento de que o resultado do experimento esteja no evento A não afeta a probabilidade de que o resultado esteja no evento B. Segundo Montgomery e Ruger (2018), chama-se independência de dois eventos quando dois eventos são independentes e qualquer uma das seguintes afirmações for verdadeira: ( ) ( )|P A B P A= ( ) ( )|P B A P B= ( ) ( ) ( )P A B P A P B∩ = Exemplo (adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018) O seguinte circuito opera somente se houver uma rota de dispositivos funcionais da esquerda para a direita. A probabilidade de cada dispositivo funcionar é mostrada no seguinte diagrama. Suponha que os dispositivos falhem independentemente. Qual é a probabilidade de o circuito operar? 0,8 0,9 Figura 5 Fonte: Adaptado de MONTGOMERY; RUGER, 2018 Resolução Sejam E e D os eventos em que os dispositivos da esquerda e da direita operem, respec- tivamente, há somente uma rota se ambos operam. A probabilidade de o circuito operar é: P(E e D) = P(E ∩ D) = P(E) P(D) = 0,80 (0,90) = 0,72 16 17 Interpretação prática: note que a probabilidade de o circuito operar diminui para aproximadamente 0,5 quando todos os dispositivos tiverem de ser funcionais. A pro- babilidade de cada dispositivo ser funcional necessita ser grande para um circuito operar quando muitos dispositivos são conectados em série. Teorema de Bayes Essas probabilidades condicionais comumente fornecem a probabilidade de um evento dada uma condição. Entretanto, depois de um experimento aleatório gerar um resultado, estamos naturalmente interessados na probabilidade de uma condição estar presente dado um resultado. Thomas Bayes tratou essa questão essencial na década de 1700 e desen- volveu o resultado fundamental, conhecido como teorema de Bayes (MONTGOMERY; RUNGER, 2018). Seja B1, B2, ... Bn eventos que são mutuamente exclusivos e seja A um evento qual- quer, temos: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 1 1 1 1 2 2 | | | | | n n P A B P B P B A P A B P B P A B P B P A B P B = + +…+ Para P(A)>0. Exemplo (adaptado de DANTAS, 2013) Uma companhia monta rádios cujas peças são produzidas em três de suas fábricas denominadas A1, A2, e A3. Produzem, respectivamente, 15%, 35% e 50% do total. As probabilidades das fábricas A1, A2, e A3 produzirem peças defeituosas são 0,01; 0,05 e 0,02, respectivamente. Uma peça é escolhida ao acaso do conjunto das peças produzi- das. Essa peça é testada e verifica-se que é defeituosa. Qual é a probabilidade que tenha sido produzida pela fábrica Ai, para i = 1, 2, 3? Resolução A probabilidade de as fábricas produzirem peças são 15%; 35% e 50%, respectiva- mente; então, a probabilidade de a peça ser escolhida ao acaso nas três fábricas é: ( )1 0,15P A = ( )2 0,35P A = ( )3 0,5P A = Chamaremos de D o evento de peças defeituosas, então, a probabilidade de as fábri- cas produzirem peças defeituosas é: ( )1| 0,01P D A = ( )2| 0,05P D A = ( )3| 0,02P D A = 17 UNIDADE Noções de Probabilidade Temos que: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3| | |P D A P A P D A P A P D A P A+ + = ( )( ) ( )( ) ( )( )0,01 0,15 0,05 0,35 0,02 0,5 0,0290+ + = Assim, o cálculo de P(A1|D) será: ( ) ( ) ( )( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )1 1 2 2 3 3 | | | | | i i i P D A P A P A D P D A P A P D A P A P D A P A = + + ( ) ( ) ( )|| 0,0290 i i i P D A P A P A D = Portanto, calculando cada probabilidade condicional, temos: ( ) ( ) ( ) ( )( )1 11 | 0,15 0,01 | 0,0517 0,0290 0,0290 P D A P A P A D = = = ( ) ( ) ( ) ( )( )2 22 | 0,35 0,05 | 0,6034 0,0290 0,0290 P D A P A P A D = = = ( ) ( ) ( ) ( )( )3 33 | 0,50 0,02 | 0,3448 0,0290 0,0290 P D A P A P A D = = = 18 19 Material Complementar Indicações para saber mais sobre os assuntos abordados nesta Unidade: Vídeos Conjuntos Numéricos https://youtu.be/wD7a9DAYb-4 Probabilidade Condicional | Ep 9 https://youtu.be/IDdvfEia8RA Leitura Probabilidade https://bit.ly/38Y1mXm Noções de probabilidade https://bit.ly/331aK8y 19 UNIDADE Noções de Probabilidade Referências DANTAS, C. A. B. Probabilidade: um curso introdutório. 3. ed. São Paulo: Edusp, 2013. MEYER, P. L. Probabilidade: aplicações à estatística. 2. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. MONTGOMERY, D. C.; RUNGER, G. C. Estatística aplicada e probabilidade para engenheiros. 6. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2018. 20