Aula 06-ISDB

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Instituto Superior Dom Bosco ISDB
Mecânica 
dos
Sólidos 
CMateus
https://www.google.com.br/url?sa=i&rct=j&q=&esrc=s&source=images&cd=&cad=rja&uact=8&ved=0ahUKEwiUsuW-iurUAhVCbrwKHUpVAewQjRwIBw&url=https://www.dreamstime.com/stock-illustration-service-icon-wrench-key-gear-sign-cogwheel-circle-star-speech-bubble-square-buttons-award-medal-check-mark-thank-you-image59705078&psig=AFQjCNH2muAgtLVjTTIWSjeEGR_IiOn6bQ&ust=1499067095354053
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EQUILÍBRIO DE CORPOS 
RÍGIDOS
VÍNCULOS
(Aula 6)
TÓPICO 4
3
A acção que restringe o 
movimento de um corpo
Vínculo
O que 
é um
VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES
As acções ou 
reacções se 
transmitem de 
corpo a corpo 
através de 
vínculos
Os vínculos 
determinam as
forças reactivas 
ou reacções. 
Reacções
Só há reacção quando há
um movimento impedido
4
A
P
H
R = - P
A
F
H
R = - F
B
B
H
F
A
B
A parede vertical B não oferece 
reacção sobre o corpo A
A parede vertical B oferece uma 
reacção horizontal igual e contrária 
à acção de F
O plano H sempre ofereceu uma 
reacção vertical igual e contrária 
ao acção do peso P
EXEMPLOS SIMPLES DE ACÇÃO E REACÇÃO
5
Na técnica os vínculos são chamados apoios e transmissões ou 
ligações, conforme a sua situação relativa na estrutura que se 
estuda.
Apoio
Ligação 
ou
Transmissão
Quando o vínculo é
exterior à estrutura
Quando o vínculo está
contido na estrutura
VÍNCULO
VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES
6
F F
M1
M
v
b
c
a
b
a
EXEMPLOS
M e M1 – estão unidos por – V; V – é uma ligação
MVM1e F – estão unidos por uma soldadura em a; a - é uma ligação
C – é apoio em relação a toda estrutura.
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A acção de um sistema de forças qualquer sobre um 
ponto é a mesma que a de sua resultante e do seu 
momento resultante em relação ao ponto considerado.
A resultante tende a dar uma translação ao longo de 
um eixo, passando pelo ponto, e o momento 
resultante uma rotação em torno de um eixo, 
passando pelo ponto.
Para exprimir comodamente esse facto, diremos que 
a translação é a resultante de 3 translações segundo 
três eixos ortogonais e a rotação, a resultante de 3 
rotações segundo esses mesmos eixos.
VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES
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Um corpo no espaço tem 6 graus de liberdade:
• 3 de translação e;
• 3 de rotação. Z
X
Y
Rx
Ry
O
Rz
R
VÍNCULOS, APOIOS E LIGAÇÕES
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CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
Este tipo de vínculo, impede somente um único 
movimento, deixando livres os restantes 5. 
Z
Y
X
Esfera
X
Y
Z
Superfície polida
RZ
X
Y
Uma componentes de força
1. VÍNCULOS COM 5 GRAUS DE LIBERTDADE
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2. VÍNCULOS COM 4 GRAUS DE LIBERTDADE
Este tipo de vínculo, impede dois movimentos, 
deixando livres os restantes 4. 
Y
Z
X
Y
Z
X
Rolete sobre 
superfície rugosa Roda sobre trilho
Duas componentes de 
força
Rz
Ry
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
11
3. VÍNCULOS COM 3 GRAUS DE LIBERTDADE
Este tipo de vínculo, impede três movimentos, 
deixando livres os restantes 3. 
X
Y
Z
Superfície rugosa
RY
RX
RZ
Três componentes de força
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
12
4. VÍNCULOS COM 2 GRAUS DE LIBERTDADE
Este tipo de vínculo, impede quatro movimentos, 
deixando livres os restantes 2. 
RY
RZ
Duas componentes de 
força e dois binários
Mancal suportando 
somente carga radial
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
13
5. VÍNCULOS COM 1 GRAUS DE LIBERTDADE
Este tipo de vínculo, impede cinco movimentos, 
deixando livre apenas um movimento. 
Pino e suporte
RY
RZ
Três componentes de 
força e dois binários
Rx
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
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6. VÍNCULOS COM 0 GRAUS DE LIBERTDADE
Este tipo de vínculo, impede qualquer movimento relativo 
dos corpos em contacto. É uma ligação rígida ou 
encastramento. 
O
RY
RZ
RX
X
MZ
MX
MY
Y
Z
Três componentes de 
força e três binários
RX
RZ
RY
MX
MZ
MY
Apoio fixo ou 
encastramento
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS
15
Na prática frequentemente, os sistemas são 
susceptíveis de se deslocar num único plano, 
em que actuam todas as forças que solicitam 
a estrutura. 
Em consequência, há apenas 3 graus de 
liberdade e portanto somente 3 tipos de 
vínculos a considerar.
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO
16
RZ
RZ
1. VÍNCULOS DO 1º GÉNERO
Este tipo de vínculo, possui 2 graus de liberdade – é o 
chamado apoio simples, de 1º grau ou apoio de Charriot
RZ
Rx
RZ
Representaçã
o simplificada
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO
17
EXEMPLOS
N1
N2
T
M
A
A reacção tem a 
direcção da normal 
comum à superfícies 
dos corpos no seu 
ponto de contacto e 
está aplicada nesse 
ponto.
A reacção tem a 
direcção do tirante e 
é dirigida para o 
ponto de suspensão 
do tirante .
Tirante
Superfície polida
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2. VÍNCULOS DO 2º GÉNERO
Este tipo de vínculo, possui 1 único grau de liberdade – é 
designado apenas por articulação ou rótula.
RZ
RX RX
RZ
RZ
RX
Representaçã
o simplificada
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO
19
3. VÍNCULOS DO 3º GÉNERO
O grau de liberdade para este tipo de vínculo é zero. Isto é 
todos os movimentos são impedidos – é designado por 
encastramento rígido.
RX
RZ
M
Representaçã
o simplificada
CLASSIFICAÇÃO DE VÍNCULOS NO PLANO
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O estudo do equilíbrio dos corpos ligados basea-se 
no seguinte axioma:
Todo o corpo ligado se pode considerar livre, se 
se suprimirem as ligações (vínculos) e se 
substituirem pelas forças de ligação (reacções).
B
C
A
D
K
P
P
B
A
C
K
D
ND
NA
T
Corpo Livre
As intensidades das 
reacções são 
incógnitas. Podem ser 
determinadas a partir 
das equações de 
equilíbrio das forças 
que actuam sobre o 
corpo.
CORPO LIVRE
21
RaY
RaX
RaY
F
A B X
Y
F
RaY
RaX
A
B
Tb
X
Y
P
R
T
Corpo suspenso por um fio
Uma barra fixa por uma articulação e apoiada por um fio
Uma barra fixa por duas articulações fixa e móvel.
EXEMPLOS DE DETERMINAÇÃO DE REACÇÕES 
No estudo do equilíbrio dos corpos rígidos, ou seja a situação 
quando a as forças externas que agem sobre um corpo rígido 
formam um sistema equivalente a zero, temos
S F = 0 S MO = S (r x F)
Decompondo cada força e cada momento em seu componentes 
retangulares, as condições necessárias e suficientes para o 
equilíbrio de um corpo rígido são expressas através de seis 
equações de escalares:
SFx = 0 SFy = 0 SFz = 0
SMx = 0 SMy = 0 SMz = 0
Estas equações podem ser usadas para determinar forças 
desconhecidas aplicadas ao corpo rígido ou reações de 
desconhecidas exercidas sobre ele por seu apoios.
EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO 
SFx = 0 SFy = 0 SMA = 0 
Onde A é um ponto qualquer no plano da estrutura.
No caso do equilíbrio das estruturas bidimensionais, cada uma 
das reações exercida sobre a estrutura pelo seu suporte poderia 
envolver uma, duas ou três incógnitas, dependendo do tipo de 
suporte ou vínculo.
No caso de uma estrutura bidimensional, três equações de 
equilíbrio são utilizadas na forma mais geral, nomeadamente
EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO 
EM DUAS DIMENSÕES
Estas equações podem ser usadas para resolver o caso de três
incógnitas. Embora estas três equações de equilíbrio não possam
ser acrescentadas a equações adicionais, qualquer uma delas
pode ser substituída por outra equação. Portanto, podemos
escrever conjuntos alternativos de equilíbrio equações, tais como
SFx = 0 SMA = 0 SMB = 0 
O ponto B é escolhido de forma a que a linha AB não seja
paralela ao eixo dos y, ou
SMA = 0 SMB = 0 SMC = 0 
Onde os pontos A, B e C não estão em linha recta.
EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO 
EM DUAS DIMENSÕES
Umavez que qualquer conjunto de equações equilíbrio 
possam ser resolvidas por apenas três incógnitas, as reacções 
nos apoios de uma estrutura rígida bidimensional não podem 
ser completamente determinadas se envolvem mais de três 
incógnitas; são estaticamente indeterminados. Por outro 
lado, se as reações envolvem menos de três incógnitas, 
equilíbrio não será mantido sob condições de carga geral; a 
estrutura é designada de parcialmente vinculada.
EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO 
EM DUAS DIMENSÕES
A
B
F1
F2
Se um corpo rígido sujeito a acçao de duas forças F1 e F2 
está em equilíbrio, as duas forças devem ter igual 
intensidade, igual linha de acção e sentidos opostos.
EQUILIBRIO DE UM CORPO SUJEITO 
À ACÇAO DE DUAS FORÇAS
A
B
F1
F2
C
D
F3
Um corpo rígido sujeito a acção de três forças F1, F2 e 
F3 , as linhas de acção das três forças devem ser 
concorrentes ou paralelas. 
EQUILIBRIO DE UM CORPO SUJEITO
À ACÇAO DE TRÊS FORÇAS
S F = 0 S MO = S (r x F)
Quando considerado o equilíbrio de um corpo tridimensional,
cada uma das reações de suporte exercidas sobre o corpo 
podem envolver entre uma à seis incógnitas, dependendo do 
tipo de suporte.
No caso geral de equilíbrio de um corpo tridimensional, as seis
equações escalares de equilíbrio indicadas no início do presente 
reexame, devem ser utilizadas e resolvidas por seis incógnitas. 
Na maior parte dos casos, estas equações são mais facilmente 
obtidas se, primeiro escrevermos:
EQUILÍBRIO EM DUM CORPO RÍGIDO 
EM TRÊS DIMENSÕES
Exprimem-se as forças F e os vectores posição r em termos 
de componentes escalares e vectores unitários. O produto 
vetorial pode então ser calculado quer directamente, quer 
por meio de determinantes.
Observamos que até três componentes da reacção 
desconhecidos podem ser eliminados desses cálculos por 
uma escolha criteriosa do ponto O. Igualando a zero os 
coeficientes dos vectores unitários em cada uma das duas 
reacções, obtemos as equacções escalares desejadas.
EQUILÍBRIO DUM CORPO RÍGIDO 
EM TRÊS DIMENSÕES
Se as reações envolvem mais de seis incógnitas, algumas 
das equações são estaticamente indeterminados; se 
envolvem menos de seis incógnitas, o corpo rígido é 
apenas parcialmente condicionado. Mesmo com seis ou 
mais incógnitas, o corpo rígido será indevidamente 
constrangido se a reacções associadas com o dado suporte 
são paralelas ou se cruzam numa mesma linha.
EQUILÍBRIO DUM CORPO RÍGIDO 
EM TRÊS DIMENSÕES
OBRIGADO
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Problema1Ex
Um guindaste fixo tem uma massa de 1.000kg e é usado para
Suspender um caixote de 2.400kg. O guindaste é mantido na
Posição indicada na figura por um pino em A e suporte
basculante em B. O centro de gravidade do guindaste está
Localizado em G. Determine os componentes das reacções
Em A e B
EXERCÍCIOS DE APLICAÇÃO
Problema2Ex
Uma escada de 20kg usada para
alavancar prateleiras altas em um
depósito está apoiada por duas rodas
flangeladas A e B montadas sobre um
trilho e por uma roda em C sem flange
apoiada sobre um trlho fixo à parede.
Um homen de 80kg está em pé sobre a
escadab e inclina-se para a direita. A
linha de acção do peso combinado W do
homen e da escada intercepta o piso no
ponto D. Determine as reacções em A, B
e C.
Problema1
O máximo valor admssivel de cada uma das reacções e de
180𝑁. Desprezando o peso da viga, determine o intervalo de
valores da distância d para o qual a viga esta segura.
Problema2
Duas hastes AB e DE sao conectadas por uma alavanca
BCD como mostrado. Sabendo que a tracção na haste AB e
720 N,determine:
a) A tracção da haste DE.
b) A reacção em C.
Problema3
Determine as reacções em 𝐴 𝑒 𝐵 e Bquando:
(a) ℎ = 0 (b) ℎ = 200 𝑚𝑚
Problema4
Para a estrutura e carregamento mostrados na figura,
determine as reacções em 𝐴 e 𝐸, quando:
(a) 𝛼 = 30° (b)𝛼 = 45°
Problema5
Determine as reacções em A e B, quando:
(a)𝛼 = 0° (b)𝛼 = 90°