MATEMATICA COMPLEXA-117

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**Resposta**: a) \( \cot(x) \) 
 
**Explicação**: Usando a regra da cadeia, temos \( f'(x) = \frac{1}{\sin(x)} \cos(x) = \cot(x) 
\). 
 
### Questão 67 
**Enunciado**: Encontre a integral de \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
a) \( \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin(2x)) + C \) 
b) \( \frac{1}{2}(x + \sin(2x)) + C \) 
c) \( \frac{1}{2}(x - \frac{1}{2} \sin(2x)) + C \) 
d) \( \frac{1}{2}(x - \sin(2x)) + C \) 
 
**Resposta**: a) \( \frac{1}{2}(x + \frac{1}{2} \sin(2x)) + C \) 
 
**Explicação**: Usando a identidade \( \cos^2(x) = \frac{1+\cos(2x)}{2} \), temos \( \int 
\cos^2(x) \, dx = \frac{1}{2} \int (1 + \cos(2x)) \, dx = \frac{1}{2} (x + \frac{1}{2} \sin(2x)) + C \). 
 
### Questão 68 
**Enunciado**: Qual é a integral de \( \int \frac{1}{x^2 + 4} \, dx \)? 
a) \( \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C \) 
b) \( \frac{1}{4} \arctan(\frac{x}{2}) + C \) 
c) \( \arctan(2x) + C \) 
d) \( \arctan(x) + C \) 
 
**Resposta**: a) \( \frac{1}{2} \arctan(\frac{x}{2}) + C \) 
 
**Explicação**: Usamos a substituição \( u = \frac{x}{2} \), então \( du = \frac{1}{2} dx \). A 
integral se torna \( \int \frac{1}{4u^2 + 1} \cdot 2 du = \frac{1}{2} \arctan(u) + C = \frac{1}{2} 
\arctan(\frac{x}{2}) + C \). 
 
### Questão 69 
**Enunciado**: Qual é a derivada de \( f(x) = \arctan(x) \)?