Problemas de Matemática

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**Explicação:** Por definição de logaritmo, \( b^2 = a \), então \( b^3 = a^{\frac{3}{2}} = 
a^3 \). 
 
40. Qual é a solução da equação \( e^{2x} = 10 \)? 
 a) \( x = \ln(5) \) 
 b) \( x = \ln(10) \) 
 c) \( x = 2\ln(5) \) 
 d) \( x = 2\ln(10) \) 
 **Resposta:** b) \( x = \ln(10) \) 
 **Explicação:** Tomando o logaritmo natural de ambos os lados, obtemos \( 2x = \ln(10) 
\), então \( x = \frac{\ln(10)}{2} \). 
 
41. Qual é o valor de \( \int_{1}^{e} \frac{1}{x} \, dx \)? 
 a) \( \ln(e) \) 
 b) \( \ln(2) \) 
 c) 1 
 d) 0 
 **Resposta:** c) 1 
 **Explicação:** A integral de \( \frac{1}{x} \) é \( \ln(x) \). Avaliando de \( 1 \) a \( e \), 
obtemos \( \ln(e) - \ln(1) = 1 \). 
 
42. Se \( \cos(\gamma) = \frac{24}{25} \), qual é o valor de \( \sin(\gamma) \)? 
 a) \( \frac{7}{25} \) 
 b) \( \frac{25}{7} \) 
 c) \( \frac{21}{25} \) 
 d) \( \frac{24}{7} \) 
 **Resposta:** a) \( \frac{7}{25} \) 
 **Explicação:** Como \( \sin^2(\gamma) + \cos^2(\gamma) = 1 \), então \( 
\sin^2(\gamma) = 1 - \frac{576}{625} = \frac{49}{625} \). Portanto, \( \sin(\gamma) = \pm 
\frac{7}{25} \), mas como \( \gamma \) está no primeiro quadrante, escolhemos \( 
\sin(\gamma) = \frac{7}{25} \). 
 
43. Qual é o valor de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{\tan(4x)} \)?