matematica universitaria (15)

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b) \( \ln(\sqrt{2}) \) 
 c) \( \ln(2) \) 
 d) \( \ln(1) \) 
 **Resposta:** a) \( \ln(\frac{\pi}{2}) \) 
 **Explicação:** A integral de \( \tan(x) \) de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{2} \) é \( -\ln|\cos(x)| \). 
Avaliando em \( \frac{\pi}{2} \) e \( 0 \), temos \( -\ln|\cos(\frac{\pi}{2})| - (-\ln|\cos(0)|) = -
\ln(0) - (-\ln(1)) = +\infty \). 
 
182. Se \( \log_5(y) = 3 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 125 \) 
 b) \( 25 \) 
 c) \( 5^3 \) 
 d) \( 15 \) 
 **Resposta:** c) \( 5^3 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 5^3 = y \), então \( y^3 = 5^{3 \cdot 3} = 
5^9 \). 
 
183. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan(3x)}{x} \)? 
 a) 0 
 b) 3 
 c) \( +\infty \) 
 d) Indefinido 
 **Resposta:** b) 3 
 **Explicação:** Ao substituir \( x = 0 \), a expressão se torna \( \frac{\tan(0)}{0} = 
\frac{0}{0} \), uma forma indeterminada. Utilizando a regra de L'Hôpital, derivamos o 
numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{3\sec^2(3x)}{1} = \frac{3\sec^2(0)}{1} = 3 \). 
 
184. Se \( f(x) = \sqrt[3]{x^2} \), qual é o valor de \( f'(8) \)? 
 a) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{4}} \) 
 b) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{2}} \) 
 c) \( \frac{4}{9\sqrt[3]{4}} \) 
 d) \( \frac{2}{3\sqrt[3]{2}} \)