matematica universitaria (17)

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numerador e o denominador em relação a \( x \), obtendo \( \lim_{x \to 0} 
\frac{4\cos(4x)}{1} = \frac{4\cos(0)}{1} = 4 \). 
 
188. Se \( f(x) = e^{\frac{1}{x}} \), qual é o valor de \( f'(0) \)? 
 a) \( e \) 
 b) \( \frac{1}{e} \) 
 c) 1 
 d) \( +\infty \) 
 **Resposta:** d) \( +\infty \) 
 **Explicação:** A derivada de \( e^{\frac{1}{x}} \) em relação a \( x \) é \( -
\frac{e^{\frac{1}{x}}}{x^2} \). Ao substituir \( x = 0 \), temos \( f'(0) = -\frac{e^0}{0^2} = -
\frac{1}{0} = -\infty \). 
 
189. Qual é o valor de \( \int_{0}^{\pi} \cos^2(x) \, dx \)? 
 a) \( \frac{\pi}{2} \) 
 b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 c) \( \frac{\pi}{6} \) 
 d) \( \frac{\pi}{8} \) 
 **Resposta:** b) \( \frac{\pi}{4} \) 
 **Explicação:** A integral de \( \cos^2(x) \) de \( 0 \) a \( \pi \) é \( \frac{x}{2} + 
\frac{\sin(2x)}{4} \). Avaliando em \( \pi \) e \( 0 \), temos \( \frac{\pi}{2} + \frac{\sin(2\pi)}{4} - 
(0 - 0) = \frac{\pi}{2} - 0 = \frac{\pi}{2} \). 
 
190. Se \( \log_{11}(y) = 3 \), qual é o valor de \( y^3 \)? 
 a) \( 1331 \) 
 b) \( 121 \) 
 c) \( 11^9 \) 
 d) \( 11^6 \) 
 **Resposta:** a) \( 1331 \) 
 **Explicação:** Por definição de logaritmo, \( 11^3 = y \), então \( y^3 = 11^{3 \cdot 3} = 
11^9 = 1331 \). 
 
191. Qual é o resultado de \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin(5x)}{x} \)?