Lista de Exercicios - Funcoes de Varias Variaveis

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MTM 1020 Cálculo B Turma 13 Lista 2 Funções de várias variáveis
1. Determine a função que expressa o volume do cone em função de sua
geratriz x e do raio da base y:
2. Seja a função
z = f(x; y) =
x2 + y2
2xy
:
Determine f(1; y
x
):
3. Determine os domínios (máximos) das seguintes funções. Represente
no plano cartesiano.
a) f(x; y) = 1
x�1 +
1
y
b) f(x; y) =
p
1� x2 +
p
1� y2
c) f(x; y) = ln(x2 + y)
d) f(x; y) =
p
xy +Arcsen x
2
4. Dizemos que uma função f : D ! R; onde D � R2, é homogênea de
grau � 2 R se f(tx; ty) = t�f(x; y); para todo t > 0 e para todo (x; y) 2 A
tal que (tx; ty) 2 A: Veri…que se
a) a função f(x; y) = 3x2 + 5xy + y2 é homogênea de grau � = 2;
b) A função f(x; y) = xe
y
x
x2+y2
é homogênea de grau � = �1.
5. Determine as curvas de nível para as funções f dadas. Represente no
plano cartesiano.
a) f(x; y) = x� y + 2
b) f(x; y) = x2 + 4y
c) f(x; y) = x
y
d) f(x; y) = x2y
e) f(x; y) = ln (x2 + y)
1
2
6. Seja a função
z = f(x; y; z) = x2 + y2 � z2:
Determine
a) As superfícies de nível 0 de f , isto é, N0.
b) A interseção de N0 com o plano z = a; a constante.
c) A interseção de N0 com o plano Oyz; e com o plano Oxz:
d) Faça o desenho de N0 em um sistema Oxyz:
e) Itens a; b; c; d para Nc com c > 0:
f) Itens a; b; c; d para Nc com c < 0:
7. Use mudança de variável adequada para o cálculo dos limites seguintes.
a) lim
(x; y)!(0;0)
sen(x2+y2)
x2+y2
b) lim
(x; y)!(0;0)
exy�1
xy
c) lim
(x; y)!(0;0)
1�cos(x2+y2)
x2+y2
d) lim
(x; y)!(
p
2
2
;
p
2
2
)
h(x; y)
x2+y2�1 onde h é de…nida por
h(x; y) =
(
e
1
x2+y2�1 se x2 + y2 < 1
0 se x2 + y2 � 1
9. Determine se as funções f dadas são contínuas em seus respectivos
domínios. Justi…que suas respostas.
a) f(x; y) = yex + sen (xy) + (xy)4
b) f(x; y) =
(
e
� jx�yj
x2�2xy+y2 ; se x 6= y
0; se x = y