Dimensionamento de Estruturas de Concreto

Prévia do material em texto

1
Universidade de São PauloUniversidade de São Paulo
Escola Politécnica Escola Politécnica -- Engenharia CivilEngenharia Civil
PEF PEF -- Departamento de Engenharia de Estruturas Departamento de Engenharia de Estruturas 
e Fundaçõese Fundações
ES25 - Conceitos Fundamentais de 
Dimensionamento de Estruturas de 
Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
Solicitações Tangenciais
Professores: Túlio N. Bittencourt 
Rui Oyamada
ES25ES25
ES025ES025
Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de Conceitos Fundamentais de Dimensionamento de 
Estruturas de Concreto: Vigas, Lajes e PilaresEstruturas de Concreto: Vigas, Lajes e Pilares
____________________________________________________
Objetivos:
• Transmitir os conceitos fundamentais de 
dimensionamento de estruturas de concreto: 
vigas, lajes e pilares
• Introduzir os avanços tecnológicos provenientes da 
atualização das normas técnicas.
• Aplicar técnicas computacionais disponíveis.
Aula 03 - Solicitações Tangenciais
2
ES25ES25
Solicitações Tangenciais
Cisalhamento
______________________________________________________________________
1. Panorama de Tensões Principais numa Viga de comportamento elástico 
linear 
2. Arranjos Usuais de Armadura nas Vigas de Concreto Armado 
3. Modos de Ruptura 
4. Verificação da Segurança para Solicitações Tangenciais 
5. Método de Verificação 
5.1. Modelo Simplif. para o Comportamento da Viga - Treliça Clássica 
(Mörsch) 
5.2. Modelo da Treliça Generalizada 
5.3. Estados Limites Últimos na Solicitação Tangencial 
6. Arranjo da Armadura Transversal 
7. Exemplos 
ES25ES25
Solicitações Tangenciais
Cisalhamento
______________________________________________________________________
8. Complementos 
8.1 Seções Próximas aos Apoios 
 
9. Armadura de Costura nas Abas das Seções Transversais
10. Armadura de Suspensão
3
ES25ES25
Panorama de tensões principais
______________________________________________________________________
P P
a a
P.a
P
M
V
σ1
σ245o
>45o σ1
C
S
I
P
σ1
<45o
trajetóriad
e σ2
trajetória
de σ1
M V
σ τ
ES25ES25
Arranjos usuais de armaduras
______________________________________________________________________
a - armadura longitudinal (reta + dobrada) + armadura transversal (estribo)
P
ferro dobrado
(cavalete)
ferro reto
estribo
porta estribo
b - armadura longitudinal (reta) + armadura transversal (estribo)
P
ferros retos
estribo
porta estribo
4
ES25ES25
Modos de ruptura
______________________________________________________________________
Ruptura momento-compressão
Ruptura cortante-tração
estribos escoados
ES25ES25
Modos de ruptura
______________________________________________________________________
Ruptura momento-cortante-compressão
Ruptura cortante-compressão
5
ES25ES25
Modos de ruptura
______________________________________________________________________
Ruptura por escorregamento
ES25ES25
Modelo simplificado
Treliça clássica ou de Morsch
______________________________________________________________________
Solicitações nos elementos da treliça
z
45
z= 0,9 d
Rcd
Rsd
z
J
Rsd1 Rsd
Rswd=Vd
Rcwd
Rcd
Rcwd
VdRsd
Rcwd Rswd=Vd
Rsd1
Rsd
Rswd = Vd e 2VR dcwd =
6
ES25ES25
Modelo simplificado
Treliça clássica ou de Morsch
______________________________________________________________________
Decalagem 
.
Md/z
diagrama de força 
resultante no banzo 
tracionado
pd
al
al
al
.
z a z
2
≤ ≤l
ES25ES25
Modelo simplificado
Treliça clássica ou de Morsch
______________________________________________________________________
TENSÕES MÉDIA NOS ELEMENTOS DA TRELIÇA 
..
Tensão média na diagonal comprimida
z
z
bw
h1
zb
V
zb
V
hb
R
w
d
w
d
w
cwd
cwd
2
2
2
1
===σ
db
V
db
V
zb
V
zb
V
hb
R
w
d
w
d
w
d
w
d
w
cwd
cwd 22,2
9,0
22
2
2
1
=≅===σ
7
ES25ES25
Modelo simplificado
Treliça clássica ou de Morsch
______________________________________________________________________
TENSÕES MÉDIA NOS ELEMENTOS DA TRELIÇA 
..
Tensão média no estribo
z
z
s
φt
As1
estribos
 
ww
d
w
sw
w
d
w
wsw
d
sw
swd
swd db9,0
V
sb
Azb
V
b
b
s
Az
V
A
s
z
R
ρ
=
⋅
=⋅==σ 
ES25ES25
Modelo simplificado
Treliça clássica ou de Morsch
______________________________________________________________________
TENSÕES MÉDIA NOS ELEMENTOS DA TRELIÇA 
..
Tensão média no estribo
ww
d
w
sw
w
d
w
wsw
d
sw
d
sw
d
sw
swd
swd
ρ0,9db
V
sb
A0,9db
V
b
b
s
A0,9d
V
s
A0,9d
V
s
A0,9d
V
A
s
z
Rσ
⋅⋅
=
⋅⋅
=
⋅
=
⋅
=
⋅
≅=
z / s = número de estribos no comprimento z de viga e
ρw
w
w
A
b s
= = taxa geométrica de armadura transversal.
8
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003
______________________________________________________________________
.
Verificação do estado limite último - Cálculo da resistência
Modelo de cálculo I
VSd < VRd2
VSd < VRd3 = Vc + Vsw
diagonais de compressão inclinadas de θ=45° θ: inclinação da biela
a) verificação da compressão diagonal do concreto
VRd2 = 0,27 αv fcd bw d
sendo: αv = (1 - fck / 250) fck em (MPa)
Elementos lineares sujeitos à força cortante
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
.
b) cálculo da armadura transversal
Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (sen α + cos α) α: inclinação dos estribos
Vc = 0 nos elementos estruturais tracionados quando a linha
neutra se situa fora da seção
Vc = Vc0 na flexão simples e na flexo-tração com a linha 
neutra cortando a seção;
Vc = Vc0 (1+ Mo / MSd,máx ) ≤ 2Vc0 na flexo-compressão
Vc0 = 0,6 fctd bw d
fctd = fctk,inf/γc
9
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
c) decalagem do diagrama de força no banzo tracionado






α−α+
−
= gcot)gcot1(
)VV(2
V
da
cmáx,Sd
máx,Sd
l
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Modelo de cálculo II
com θ variável livremente entre 30° e 45°. 
a) verificação da compressão diagonal do concreto
VRd2 = 0,54 αv2 fcd bw d sen2 θ (cotg α + cotg θ) α: inclinação dos estribos
θ: inclinação da biela
com: αv2 = (1- fck/250) e fck em MPa.
b) cálculo da armadura transversal
VRd3 = Vc + Vsw
Vsw = (Asw / s)0,9 d fywd (cotg α + cotg θ) sen α
10
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Vc= 0, em elementos estruturais tracionados quando a linha neutra
se situa fora da seção;
Vc= Vc1 , na flexão simples e na flexo-tração com a linha neutra
cortando a seção;
Vc= Vc1 (1+ M0 / MSd,máx) < 2Vc1 na flexo-compressão , com:
Vc1 = Vc0 quando VSd ≤ Vc0
Vc1 = 0 quando VSd = VRd2 , interpolando-se linearmente para 
valores intermediários
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
c) deslocamento do diagrama de momentos fletores
)gcotg(cotd5,0a α−θ=l
al ≥ 0,5d, no caso geral;
al ≥ 0,2d, para estribos inclinados a 45°.
11
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Armadura transversal mínima
ywk
ctm
w
sw
sw f
f2,0
sen.s.b
A
≥
α
=ρ
Asw é a área da seção transversal dos estribos; 
s é o espaçamento dos estribos, medido segundo
o eixo longitudinal do elemento estrutural;
α é a inclinação dos estribos em relação ao
eixo longitudinal do elemento estrutural;
bw é a largura média da alma, medida ao longo da altura útil da seção
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Espaçamento longitudinal máximo entre estribos
Vd ≤ 0,67 VRd2 , então smáx = 0,6 d ≤ 300 mm
Vd > 0,67 VRd2 , então smáx = 0,3 d ≤ 200 mm 
Espaçamento transversal máximo entre ramos 
Vd ≤ 0,20 VRd2 , então st,máx = d ≤ 800 mm 
Vd > 0,20 VRd2 , então st,máx = 0,6d ≤ 350 mm
12
ES25ES25
Prescrições da NB1-2003 
______________________________________________________________________
Torção e força cortante
1
T
T
V
V
Rd2
Sd
Rd2Sd ≤+
VSd e TSd são os esforços de cálculo que agem 
concomitantemente na seção.
ES25ES25
Complementos
______________________________________________________________________
Seções próximas aos apoios
h/2 h/2 h/2
h
diagrama de V
diagrama de V
“corrigido”
p
P
a
h
V Vred = V [a / (2 h)]
13
ES25ES25
Armadura de costura
______________________________________________________________________
.
.
armaduras
de costura
área compri-mida na 
flexão
Seção 1 - Vão
área compri-mida na 
flexão
armaduras de flexão
Seção 2 - Apoio
Seção 1 - Vão
Seção 2 - Apoio
ES25ES25
Armadura de costura
______________________________________________________________________
.
ds
b’ bf
ds
b’
Rcd
Rcd+dRc
d
Rfd
Rfd+dRf
d
τfo
hf
R b
b
M
zfd
f
d=
′ . 
dR b
b
dM
zfd
f
d=
′ .
ds
z
V
b
bdR Sd
f
fd
′
= . 
Aba comprimida
14
ES25ES25
Armadura de costura
______________________________________________________________________
.
1
hf
Asf
ywd
fd
sf 0,9d.f
VA =
(verificação da compressão na biela diagonal)
ρf ≥ 0,2(fctm/fywk) (taxa mínima de armadura transversal).
.d.h.f0,27.αV fcdv2fd ≤
0,9dh
V
zh
V
zh
V
b
b
τ
f
fd
f
fd
f
Sd
f
fo ⋅
==
′
=
Aba comprimida
f
sf
ywd
fo
f h
A
f
τρ ==
Sd
f
fd V
b
bV
′
=
ES25ES25
Armadura de costura
z
M
A
AR d
s
sf
sfd = . 
z
dM
A
AdR d
s
sf
sfd = . ds
z
V
A
A
dR Sd
s
sf
sfd =
Aba Tracionada
f
fd
f
fd
f
Sd
s
sf
fo h0,9d
V
0,9dh
V
zh
V
A
A
τ
⋅
=
⋅
=
⋅
=
ywd
fd
sf 0,9d.f
VA =
f
sf
ywd
fo
f h
A
f
τρ ==
Sd
s
sf
fd V
A
AV =
(verificação da compressão na biela diagonal)
ρf ≥ 0,2(fctm/fywk) (taxa mínima de armadura transversal).
.d.h.f0,27.αV fcdv2fd ≤
ds
ds
Rsd
Rsd+dR
sd
Rsf
d
Rsfd+dR
sfd
τf
o
hf
Rcd
z
15
ES25ES25
Armadura de suspensão
______________________________________________________________________
.
.
P4V2
V3 V4
V3 V4 P4
R1 R2
ES25ES25
Armadura de suspensão
______________________________________________________________________
.
.
ha
h
viga de apoio
viga apoiada
ha
h
16
ES25ES25
Armadura de suspensão
______________________________________________________________________
.
Força (Zd) e armadura de suspensão (Asusp)
Zd = Rd (h / ha) ≤ Rd
onde h = altura da viga apoiada
ha = altura da viga de apoio.
Asusp = Zd / fywd.
ha / 2ha / 2
viga de 
apoio
h / 2
viga 
apoiada