Notas de Aula - Pontes - UFJF

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1
UNIVERSIDADE FEDERAL DE JUIZ DE FORA 
FACULDADE DE ENGENHARIA 
DEPARTAMENTO DE ESTRUTURAS 
 
 
 
 
 
 
 
PONTES – ETU044 
NOTAS DE AULA 
 
 
 
 
 
PAULO ROBERTO MIANA 
 
 
 
 
 
MARÇO DE 2010 
 2
Conteúdo 
1. INTRODUÇÃO: .................................................................................................................... 6 
1.1. Definições: .......................................................................................................................... 6 
1.2. Requisitos: .......................................................................................................................... 7 
1.3. Classificação: ...................................................................................................................... 7 
1.3.1. Segundo a natureza do tráfego: ................................................................................... 7 
1.3.2. Segundo o material da superestrutura: ........................................................................ 8 
1.3.3. Segundo o desenvolvimento planimétrico: ................................................................. 8 
1.3.4. Segundo o desenvolvimento altimétrico: .................................................................... 9 
1.3.5. Segundo o sistema estrutural da superestrutura: ....................................................... 10 
1.3.6. Segundo o processo construtivo: ............................................................................... 11 
1.4. Dados para o projeto: ........................................................................................................ 11 
2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS: ......................................................................................... 12 
2.1. Esquema dos elementos: ................................................................................................... 12 
2.2. Superestrutura: .................................................................................................................. 13 
2.1.1. Laje do tabuleiro: ....................................................................................................... 13 
2.1.2. Vigas principais: ........................................................................................................ 13 
2.1.3. Transversinas: ............................................................................................................ 14 
2.1.4. Cortinas: .................................................................................................................... 14 
2.3. Infra-estrutura: .................................................................................................................. 14 
2.3.1. Pilares: ....................................................................................................................... 14 
2.3.2. Fundações: ................................................................................................................. 14 
2.3.3. Encontros: .................................................................................................................. 16 
2.4. Aparelhos de apoio: .......................................................................................................... 17 
3. PROJETO GEOMÉTRICO:................................................................................................. 17 
3.1. Seções típicas: ................................................................................................................... 21 
3.2. Laje do tabuleiro: .............................................................................................................. 22 
3.3. Pavimentação: ................................................................................................................... 22 
4. VIGA PRINCIPAL .............................................................................................................. 23 
4.1. Esquema estrutural: .......................................................................................................... 23 
4.2. Cargas: .............................................................................................................................. 24 
4.3. Esforços / Diagramas: ....................................................................................................... 26 
5. CARGAS MÓVEIS: ............................................................................................................ 27 
5.1. Carregamentos especiais: .................................................................................................. 27 
5.1.1. NBR 7188: ................................................................................................................. 27 
5.2. Trem-tipo: ......................................................................................................................... 32 
5.2.1. Distribuição transversal das cargas: .......................................................................... 32 
5.2.2. Cálculo dos trens-tipo: ............................................................................................... 35 
5.2.3. Exemplo numérico: ................................................................................................... 40 
5.2.4. Exemplo numérico – seção celular: ........................................................................... 42 
5.3. Linhas de Influência: ........................................................................................................ 46 
5.3.1. Introdução: ................................................................................................................. 46 
5.3.2. L.I de momentos fletores – tabelas de Anger: ........................................................... 47 
5.3.3. L.I de esforços cortantes – Tabelas de Anger: .......................................................... 49 
5.3.4. L.I de momentos de torção: ....................................................................................... 52 
5.3.5. Exemplo numérico: ................................................................................................... 54 
6. ENVOLTÓRIAS: ................................................................................................................. 58 
6.1. Envoltórias de momentos fletores: ................................................................................... 58 
6.2. Envoltórias de esforços cortantes: .................................................................................... 59 
6.3. Exemplo numérico: ........................................................................................................... 59 
 3
7. TREM-TIPO DE ALÍVIO: .................................................................................................. 62 
8. COMBINAÇÃO DAS AÇÕES (NBR 6118, NBR 8681): .................................................. 64 
9. COMPORTAMENTO DA VIGA DE CONCRETO ARMADO À FLEXÃO / FORÇA 
CORTANTE: ............................................................................................................................... 65 
9.1. Estádio 1: .......................................................................................................................... 66 
9.2. Estádio 2: .......................................................................................................................... 66 
9.3. Tipos de ruptura: ............................................................................................................... 67 
10. FLEXÃO: ......................................................................................................................... 68 
10.1. Estados limites últimos: ................................................................................................ 69 
10.1.1. Hipóteses de dimensionamento: ............................................................................ 69 
10.1.2. Diagrama dos estados limites últimos: ..................................................................69 
10.1.3. Diagramas tensão-deformação: ............................................................................. 71 
10.2. Dimensionamento de seções retangulares: ................................................................... 73 
10.2.1. Expressões para o dimensionamento: .................................................................... 74 
10.2.2. Armadura simples: ................................................................................................. 74 
10.2.3. Armadura dupla: .................................................................................................... 76 
10.3. Vigas com seção “T”: ................................................................................................... 77 
10.3.1. Largura de contribuição da laje: ............................................................................ 77 
10.3.2. Linha neutra cortando a mesa: ............................................................................... 78 
10.3.3. Linha neutra cortando a alma: ............................................................................... 79 
11. FORÇA CORTANTE:...................................................................................................... 81 
11.1. Treliça de Ritter-Mösch: ............................................................................................... 81 
11.2. Verificação em estado limite último: ............................................................................ 82 
11.3. Seções próximas aos apoios: ......................................................................................... 82 
11.4. Disposições construtivas: .............................................................................................. 83 
11.5. Armadura mínima: ........................................................................................................ 83 
11.6. Exemplo numérico: ....................................................................................................... 84 
12. FADIGA DAS ARMADURAS ........................................................................................ 88 
12.1. Fenômeno da fadiga: ..................................................................................................... 88 
12.2. Combinações de ações a considerar: ............................................................................. 88 
12.3. Valores limites da resistência à fadiga: ......................................................................... 89 
12.4. Modelo de cálculo: ........................................................................................................ 89 
12.4.1. Armaduras longitudinais: ....................................................................................... 89 
12.4.2. Armaduras transversais: ......................................................................................... 90 
12.5. Processo aproximado: ................................................................................................... 91 
12.5.1. Armaduras longitudinais: ....................................................................................... 91 
12.5.2. Armaduras transversais: ......................................................................................... 91 
12.6. Exemplo numérico: ....................................................................................................... 91 
13. VIGA PRINCIPAL – DETALHAMENTO DAS ARMADURAS .................................. 94 
13.1. Diagrama resistente das armaduras: .............................................................................. 94 
13.2. Condições a serem satisfeitas: ....................................................................................... 94 
13.2.1. Decalagem do diagrama: ....................................................................................... 94 
13.3. Detalhes complementares: ............................................................................................ 95 
13.3.1. Ancoragem: ............................................................................................................... 95 
13.3.2. Emendas por traspasse: .......................................................................................... 95 
13.3.3. Cobrimento: ........................................................................................................... 96 
13.3.4. Espaçamento das barras: ........................................................................................ 96 
13.3.5. Barras levadas até o apoio: .................................................................................... 96 
13.3.6. Armadura de pele: .................................................................................................. 97 
13.3.7. Armadura mínima: ................................................................................................. 97 
13.3.8. Ancoragem em apoios extremos: ........................................................................... 97 
 4
13.3.9. Armadura transversal: ............................................................................................ 97 
13.3.10. Lista de ferros: ....................................................................................................... 97 
13.4. Exemplo numérico: ....................................................................................................... 97 
14. LAJES ............................................................................................................................. 103 
14.1. Introdução: .................................................................................................................. 104 
14.2. Cálculo dos esforços nas lajes:.................................................................................... 105 
14.2.1. Considerações gerais: .......................................................................................... 105 
14.2.2. Superfícies de influência: .................................................................................... 106 
14.3. Tabelas de Rüsch: .................................................................................................... 107 
14.3.1. Definição das solicitações: .................................................................................. 107 
14.3.2. Convenções: ......................................................................................................... 108 
14.3.3. Dados de entrada: ................................................................................................ 109 
14.3.4. Cálculo dos momentos: ........................................................................................ 109 
14.3.5. Diagramas limites: ............................................................................................... 110 
14.3.6. Método aproximado para consideração da continuidade: ................................... 110 
14.4. Consideração do engastamento elástico: ..................................................................... 111 
14.4.1. Esforços finais na laje: ......................................................................................... 114 
14.4.2. Esforços na viga principal e nas transversinas: (devido a M’’) ........................... 114 
14.5. Exemplo numérico: ..................................................................................................... 117 
15. INFRA-ESTRUTURA ................................................................................................... 127 
15.1. Introdução: .................................................................................................................. 127 
15.2. Ações a considerar no projeto da infra-estrutura: ....................................................... 130 
15.2.1. Solicitações verticais: .......................................................................................... 130 
15.2.1.1. Cargas permanentes: ............................................................................................130 
15.2.1.2. Cargas móveis: ..................................................................................................... 130 
15.2.2. Solicitações horizontais longitudinais: ................................................................ 131 
15.2.3. Solicitações horizontais transversais: .................................................................. 134 
15.3. Rigidez e deformabilidade: ......................................................................................... 137 
15.3.1. Conceitos: ............................................................................................................ 137 
15.3.2. Rigidez do aparelho de apoio de neoprene = ka: ................................................. 137 
15.3.3. Rigidez do pilar = kp: .......................................................................................... 138 
15.3.4. Rigidez do conjunto pilar – aparelho de apoio = k: ............................................. 139 
15.3.5. Rigidez da infraestrutura = K: ............................................................................. 140 
15.3.6. Centro elástico: .................................................................................................... 141 
15.3.7. Distribuição dos esforços transversais: ................................................................ 142 
15.3.7.1. Rigidez transversal dos pilares: ........................................................................... 142 
15.3.7.2. Viga rígida sobre apoios elásticos: ...................................................................... 144 
15.3.7.3. Vento: .................................................................................................................. 145 
15.3.7.4. Empuxo de terras em cortinas de pontes esconsas: ............................................. 146 
15.3.7.5. Força centrífuga: .................................................................................................. 146 
15.3.7.6. Solicitações finais nos pilares: ............................................................................. 146 
15.4. Exemplo numérico: ..................................................................................................... 148 
16. PILARES ........................................................................................................................ 152 
16.1. Solicitações: ................................................................................................................ 152 
16.2. Valores limites do índice de esbeltez: ......................................................................... 153 
16.3. Efeitos das imperfeições locais: .................................................................................. 154 
16.4. Efeitos locais de 2ª ordem: .......................................................................................... 155 
16.5. Dimensionamento: ...................................................................................................... 155 
16.6. Disposições construtivas: ............................................................................................ 156 
16.6.1. Dimensão mínima: ............................................................................................... 156 
16.6.2. Armadura longitudinal: ........................................................................................ 156 
 5
16.6.2.1. Bitola mínima:.................................................................................................. 156 
16.6.2.2. Bitola máxima: 
8
b
L =φ ...................................................................................... 156 
16.6.2.3. Armadura mínima: ............................................................................................... 156 
16.6.2.4. Armadura máxima: .............................................................................................. 156 
16.6.2.5. Distribuição transversal: ...................................................................................... 156 
16.6.3. Armadura transversal: .......................................................................................... 157 
16.6.3.1. Bitola mínima: ..................................................................................................... 157 
16.6.3.2. Espaçamento dos estribos: ................................................................................... 157 
16.7. Exemplo numérico: ..................................................................................................... 157 
17. APARELHOS DE APOIO ............................................................................................. 166 
17.1. Generalidades: ............................................................................................................. 166 
17.1.1. Finalidade: ........................................................................................................... 166 
17.1.2. Classificação: ....................................................................................................... 166 
17.1.3. Tipos: ................................................................................................................... 166 
17.2. Pressão de contato em área reduzida: ......................................................................... 166 
17.3. Articulação Freyssinet: ............................................................................................... 168 
17.4. Aparelhos de apoio de neoprene: ................................................................................ 169 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 6
1. INTRODUÇÃO: 
1.1. Definições: 
Ponte é uma obra destinada a manter a continuidade de uma via de comunicação 
qualquer através de um obstáculo natural (rio, lago, braço de mar, “canyon”) ou artificial 
(rodovia, ferrovia, canal). 
• Obras de arte especiais: 
 
• Obras de arte correntes: 
 
Termo restrito: 
Ponte: obstáculo constituído predominantemente por água. 
Viaduto: caso contrário. 
Características: 
• Vãos proporcionalmente grandes. 
• Poucos elementos estruturais. 
• Cargas acidentais móveis de maior intensidade – Esforços máximos decorrentes 
da carga permanente são da mesma ordem de grandeza da carga móvel ou 
sobrecarga. O contrário das obras de edificações. 
 
 
 
 7
Seção transversal: 
 
 
1.2. Requisitos: 
(a) Funcionalidade: 
- Numero de faixas de tráfego necessárias no tempo de vida útil. 
- Existência ou não de circulação de pedestres. 
(b) Segurança: 
- Método dos estados limites. 
(c) Economia: 
- Escolha adequada do sistema estrutural. 
(d) Estética: 
 - Caráter subjetivo. 
1.3. Classificação: 
1.3.1. Segundo a natureza do tráfego: 
• Rodoviárias 
• Ferroviárias 
• Para pedestres ou passarelas 
• Pontes-canal 
• Aeroviárias 
• Mistas 
 
 8
1.3.2. Segundo o material da superestrutura: 
• De madeira (em desuso; as atuais são “provisórias” ou estão em regiões rurais de 
pouco tráfego). 
• De alvenaria 
• De concreto armado (máximo de 35m a 40m de vão) 
• De concreto protendido 
• De aço 
• Mistas 
1.3.3. Segundo o desenvolvimento planimétrico: 
(a) Pontes retas: 
Ortogonais: 
 
Esconsas: 
 
 
 
 
 
 9
(b) Pontes curvas: 
 
Aparecimento de esforços de torção devido à forma curva. Seções em caixão são uma 
solução melhor. 
1.3.4. Segundo o desenvolvimento altimétrico: 
(a) Pontes retas: 
Horizontais: 
 
Em rampa: 
 
 
 
 
 
 10
 
 
(b) Pontes curvas: 
 
1.3.5. Segundo o sistema estrutural da superestrutura: 
(a) De vigas: 
Ponte Stolmasundet - Noruega - l = 301m (1998) � concreto protendido 
Ponte Costa e Silva - Brasil - l = 300m (1974) � seção caixão metálico 
Ponte de Vitória 3 - Brasil - l = 260m (1989) � seção caixão metálico 
As pontes de vigas apresentam aparelhos de apoio na ligação viga-pilares. Se não forem 
colocados, a obra deixa de ser ponte de viga e passa a ser em pórtico. 
 
(b) Em pórtico: 
 11
 
(c) Em arco: 
PonteWaxian - China - l = 425m (1997) � concreto 
Ponte New River Gorge - EUA - l = 518m (1977) � aço 
(d) Em treliça 
Ponte Quebec - Canadá - l = 549m (1917) � aço 
(e) De cabos (ou suspensas): 
- De cabos atirantados (“estaiados”): Ponte Tatara � Japão – l = 890m (1999) 
- Pênseis: Ponte Akashi-Kaikyo – Japão (maior vão livre do mundo - l = 1990m) 
1.3.6. Segundo o processo construtivo: 
• Moldadas no local 
• Elementos pré-moldados 
• Em balanços sucessivos (moldados no local, por trecho) 
• Em aduelas ou segmentos (pré-moldados) 
1.4. Dados para o projeto: 
(a) Dados topográficos: 
• Perfil longitudinal mostrando o greide (eixo da via – seções a cada 20m com 
faixa de 200m) 
• Curvas de nível (de metro em metro) 
• Pontes curvas � raio da curva circular (R), tangente (TS), ângulo central (AC), e 
desenvolvimento (D); curvas de transição (lc, sc, ts); pontos (TS, SC, CS, ST) 
(b) Dados geométricos: 
 12
• Gabaritos rodoviários, ferroviários, para cursos d’água navegáveis, devido à 
proximidade de aeroportos 
• Existência de passeios ou não, barreiras (proteção de concreto armado com 80 
cm de altura e 40 cm de largura), guarda-corpo, etc. 
(c) Dados hidrológicos: 
NMC� nível máximo de cheia 
(Procura-se projetar o fundo do tabuleiro 1,5 m acima do nível máximo de cheia do 
curso d’água). 
Velocidade máxima das águas 
(d) Elementos geotécnicos e geológicos: 
Sondagens de simples reconhecimento dos solos com SPT no eixo de cada apoio (no 
mínimo). 
2. ELEMENTOS ESTRUTURAIS: 
2.1. Esquema dos elementos: 
 
Os elementos estruturais são divididos em 2 grupos: 
• Elementos da superestrutura 
• Elementos da infra-estrutura 
Seções transversais (corte A-A) � as seções transversais definem a distribuição 
transversal do carregamento: 
• Com 2 vigas principais: 
 13
 
 
 
 
• Seção celular: 
 
• Vigas múltiplas: 
 
2.2. Superestrutura: 
2.1. Laje do tabuleiro: 
 Recebe os acabamentos (de pista, asfalto, trilho, dormentes, lastro, etc.) e o 
carregamento de carga móvel, transferindo as cargas para o elemento principal de sustentação 
que são as vigas principais. 
2.2. Vigas principais: 
Principal elemento da superestrutura que transfere a carga para a infra-estrutura. 
 14
2.3. Transversinas: 
• Principal função: contraventamento das vigas principais. 
• Melhor enrijecimento da superestrutura (tabuleiro). 
• Podem ser: ligadas à laje ou desligadas da laje. 
2.4. Cortinas: 
 São introduzidas nas cabeceiras da ponte (pontas dos balanços) Além de enrijecer o 
tabuleiro, trabalhando como uma transversina, as cortinas servem de arrimo para o aterro de 
acesso. 
2.3. Infra-estrutura: 
2.3.1. Pilares: 
 
A seção A-A pode ser: Circular 
 Octogonal (mais fácil de ser executada) 
 Quadrada 
 
2.3.2. Fundações: 
(a) Superficiais: 
 15
- Sapatas: Usadas em fundações de pontes só quando a capacidade de carga do solo 
próximo a superfície do terreno natural for suficientemente alta. Não são as fundações mais 
utilizadas pois os pilares são muito carregados. 
 
(b) Profundas: 
- Tubulões: A céu aberto 
 Com ar comprimido 
- Estacas 
Obs.: Blocos de coroamento: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 16
 
 
 
 
2.3.3. Encontros: 
 
 
 
 17
 
 
 
 
 
2.4. Aparelhos de apoio: 
São ligações entre pilares e vigas que permitem a rotação dessas vigas nos pilares 
(rótulas). 
Podem ser: 
• Aparelho de apoio de neoprene (fretados) – Fretados com chapas de aço para 
aumentar sua resistência ao esforço normal. 
• Aparelhos de apoio metálicos 
• Articulações de concreto (Freyssinet) 
 
3. PROJETO GEOMÉTRICO: 
Elevação longitudinal: 
 18
8,25 16,504,675
1
3
,0
0
1
0
,0
0
1,20
1,20
0,40
C
C
B B
P
1
-A
0,40
4,67516,50 8,25
0,40
P
2
-A
TALUDE
TA
LU
DE
3
2
3
2
2
,7
5
 
 
Vista inferior: 
 
3
,4
0
7
,4
0
3
,4
0
0,60
0,60
0,40
8,25 16,504,675
C
C
1
,2
0
1
,2
0
2
 c
m
 (
ju
n
ta
 d
e
 d
ila
ta
çã
o)
2 
cm
 (
ju
nt
a 
de
 d
ila
ta
çã
o
)
2
 c
m
 (
ju
nt
a 
de
 d
ila
ta
ç
ão
)
2
 c
m
 (
ju
n
ta
 d
e
 d
ila
ta
çã
o)
4,675
0,25
0,404,02 4,02
16,50 8,25
0,50
0,25
7,80 16,10 16,100,40 7,80
P2-AP1-A
P1-B P2-B
V2 60/275
V1 60/275
0
,2
5
0
,2
5
1
4
,9
0
1
,5
0
 
Seção transversal: 
 
 19
0,
19
2
0,
07
0,
15
0,
80
0,
45
0,
45
2,
75
0,
12
2,
75
0,
25
1,50
1,50
-2% -2%
2,
10
0,
40
0,
80 0,
15
0,
07
1,20 0,40 12,20 0,40 1,20
3,40 7,40 3,40
3,10 6,80 3,10
0,30 0,30
1,20
0,60
1,20
0,60
 
2x16 DRENOS ø 100 mm C/300
PINGADEIRA
DETALHE DA BARREIRA
ESCALA 1:50
0,
20
0,
12
0,40
0,
80
0,
21
0,
20
0,
45
0,40
0,05 17,5
 
 
 20
Detalhe da seção transversal do pilar: 
 
 
 
 
 
Detalhe das cortinas: 
 
0,25
1,40
0,30
0,20
0,20
0,40
4,175
0,
25
ATERRO
-2% 0 ,3 0
0,30
DETALHE DA ALA,
CORTINA E LAJE DE TRANSIÇÃO
2 cm (junta de dilatação)
0,
25
0,
25
3
2
TALUDE
4,00 1,00
 
 21
 
3.1. Seções típicas: 
(a) Seção transversal com 2 vigas principais: 
 
Vão Longitudinal bw (m) Dp (m) 
ml 0,17< 0.40 0,60 
mlm 0,220,17 <≤ 0.45 0,70 
mlm 0,250,22 <≤ 0,50 0,75 
mlm 0,290,25 <≤ 0,55 0,80 
lm ≤0,29 0.60 0,90 
12
l
H = , sendo “ l ” o maior vão longitudinal 
Transversinas: 
- Distância entre transversinas: Ll×≤ 2 
- Altura da transversina desligada da laje: HhT 4
3
≥ 
- Largura da transversina desligada da laje: mbw 20,0≥ 
(b) Seção celular: 
- concreto armado: 
16
l
H = 
 22
- concreto protendido: 
23
l
H = 
- bw: 0,40 m – vão 
 0,80 m – apoio 
- hf laje inferior: 0,12 m – vão 
 0,25 m – apoio 
3.2. Laje do tabuleiro: 
(b) Dimensões mínimas: 
- cargas ferroviárias: cmhf 20≥ 
- cargas rodoviárias: cmhf 15≥ 
- Passarelas, ciclovias e outras cargas: cmhf 12≥ 
 
(b) Dimensões usuais: 
 
3.3. Pavimentação: 
(a) Laje reta: 
 23
 
(b) Laje inclinada (pavimento com espessura constante): 
 
 
 
 
4. VIGA PRINCIPAL 
Cargas Permanentes: 
4.1. Esquema estrutural: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P2P1
8,25 16,50 16,50 8,25
g
PE PEPI
1B 0 1 3 5
PI PI
 24
PE = carga na ponta de cada balanço devido as cortinas, alas, aterros... 
PI = carga das transversinas 
= seções para cálculo das envoltórias 
4.2. Cargas: 
(a) Cargas uniformemente distribuídas: (de acordo com seção transversal apresentada 
anteriormente) 
- Barreira: 
0, 2125 25 5,31 / b b cg S kN mγ= × = × = 
Onde: bS é a área da seção transversal da barreira 
 cγ é o peso específico do concreto armado 
- Laje: 
2,2645 25 56,61 / l l cg S kN mγ= × = × = 
- Peso próprio da viga principal: 
1,38 25 34,50 / vp vp cg S kN mγ= × = × = 
 
- Pavimentação: 
0,8388 22 18, 45 / p p pg S kN mγ= × = × = 
Onde: pγ é o peso específico do pavimento asfáltico 
5,31 56,61 34,50 18, 45
114,9 / 
b l vp pg g g g g
g kN m
= + + + = + + +
=
 
(b) Cargas concentradas: 
- Transversinas: 
0,84 7,40 25
2 2
77,7 
I C
I
I
S l
P
P kN
γ× × × ×
= =
=
 
- Carga na extremidade do balanço: 
• Cortina: 
 25
 
0,755 14,90 25
140,62
2 2
 C cE C
S l
P kN
γ
−
× × × ×
= = = 
• Ala: 
 9,049 0,25 25 56,56 E A A cP S e kNγ− = × × = × × = 
• Mísula da laje superior: 
 
0,075 7, 40 25
6,94
2 2
 M cE M
S l
P kN
γ
−
× × × ×
= = = 
• Placa de transição: 
2 2 2 2 2 2
PT c c PT s s PT rev rev
E PT
S e S e S e
P
γ γ γ
−
× × × × × ×
= + +
× × ×
 
59,40 0,30 25 59, 40 0,30 18 59,40 0,131 22
2 2 2 2 2 2E PT
P −
× × × × × ×
= + +
× × ×
 
234,36E PTP kN− = 
 
140,62 56,56 6,94 234,36E E C E A E M E PTP P P P P− − − −= + + + + = + + + 
438, 48EP kN= 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
P 2P 1
8 ,2 5 1 6 ,5 0 1 6 ,5 0 8 ,2 5
4 3 8 ,4 8 k N
1 B 0 1 3 5
4 3 8 ,4 8 k N7 7 ,7 k N 7 7 ,7 k N7 7 ,7 k N
1 1 4 ,9 k N /m
4 ,1 2 5 3 ,3 0 3 ,3 0 3 ,3 03 ,3 0 3 ,3 0
 26
4.3. Esforços / Diagramas: 
4
3
8
,4
8
 k
N
4
3
8
,4
8
 k
N
7
7
,7
0
 k
N
7
7
,7
0
 k
N
7
7
,70
 k
N
114,90 kN114,90 kN114,90 kN114,90 kN
8,25 16,5 8,2516,5
DMF: [kNm] 
8754.1 kNm
7527.6 kNm 7527.6 kNm
 
 
DEC: [kNm] 
- 4 3 8 . 8 0 k N
- 1 3 8 6 . 4 0 k N
- 1 9 3 4 .7 0 k N
3 8 .9 0 k N
- 4 3 8 . 8 0 k N
1 3 8 6 .4 0 k N
1 9 3 4 . 7 0 k N
- 3 8 .9 0 k N
 
 27
 
5. CARGAS MÓVEIS: 
5.1. Carregamentos especiais: 
No projeto de pontes, além das normas referentes a materiais e fundações (NBR 6118, 
NBR 8800, NBR 6122), devem ser atendidas as seguintes normas especificas: 
• NBR 7187 – “Projeto e execução de pontes em concreto armado e protendido”. 
• NBR 7188 – “Cargas móveis em pontes rodoviárias e passarelas de pedestre”. 
• NBR 7189 – “Cargas móveis para projeto estrutural de obras ferroviárias”. 
Outros carregamentos: metrô / cargas de equipamentos e veículos pesados. 
5.1.1. NBR 7188: 
(a) Classes: 
CL 45 – veículo-tipo de 450 kN 
CL 30 – veículo-tipo de 300 kN 
CL 12 – veículo-tipo de 120 kN 
 
 
 
 
 
(b) Cargas de utilização: 
 
 Veículo-tipo (kN) p (kN/m²) 
 28
CL 45 450 5 
CL 30 300 5 
CL 12 120 4 
 
 
 
 
• CL 45 / 30 
 
 P (kN) b1 (m) 
CL 45 75 0,50 
CL 30 50 0,40 
 
• CL 12 
 29
 
(c) Disposição das cargas: 
 - O veículo-tipo é colocado sempre na direção do tráfego e na posição mais desfavorável 
possível (não se considera carga de eixo ou roda que diminuam as solicitações). 
 - A carga “p” (carga de multidão) é colocada em toda a pista de rolamento, desde que 
seja desfavorável. 
 - Nos passeios de pontes rodoviárias considera-se uma carga p’= 3 kN/m², desde que 
seja desfavorável (sem impacto). 
 - Barreiras: 
 
 � Nos elementos transversais (transversinas, cortinas): eixo único com o peso total do 
veículo-tipo. 
CL 45: 
 30
 
(d) Passarelas de pedestres: 
p = 5 kN/m² (sem impacto) 
5.1.2. NBR 7189: 
Classes de trens-tipos: 
• TB-360: ferrovias sujeitas a transporte de minério de ferro ou carregamentos 
equivalentes. 
• TB-270: ferrovias sujeitas a transporte de carga geral. 
• TB-240: para ser adotado na verificação da estabilidade e para reforço de obras 
existentes. 
• TB-170: vias sujeitas exclusivamente ao transporte de passageiros em regiões 
metropolitanas e suburbanas. 
 
 Q (kN) q (kN/m) q’ (kN/m) a (m) b (m) c (m) 
TB-360 360 120 20 1,00 2,00 2,00 
TB-270 270 90 15 1,00 2,00 2,00 
TB-240 240 80 15 1,00 2,00 2,00 
TB-170 170 25 15 11,00 2,50 3,00 
 
 
 
 
5.1.3. NBR 7187: 
Ações a serem consideradas: 
(a) Ações permanentes: 
 31
- Peso-próprio. 
- Pavimentação, barreira, lastro, etc. 
- Empuxo de terras e líquido. 
- Forças de protensão. 
- Deformações impostas (retração, deformação lenta ou fluência). 
(b) Ações Variáveis: 
- Cargas móveis verticais. 
- Efeito dinâmico das cargas móveis. 
- Força centrífuga. 
- Choque lateral (pontes ferroviárias) – choque lateral das rodas da composição no 
trilho. 
- Frenação e aceleração (por atrito, gerando força horizontal). 
- Cargas de construção. 
- Ação de vento. 
- Pressão dinâmica das águas. 
- Deformações impostas devido a variação de temperatura. 
(c) Ações excepcionais: 
- Choques de objetos móveis. 
- Outras ações excepcionais. 
(d) Efeito dinâmico das cargas móveis: 
Considerar as cargas móveis verticais majoradas de um coeficiente de impacto (φ): 
• Pontes rodoviárias: 1,4 0,007 1,0l= − × ≥ϕ 
• Pontes ferroviárias: 0,001 (1600 60 2,25 ) 1, 2l lϕ = × − × + × ≥ 
“l” é o vão em metros 
� Vigas bi-apoiadas: 
 32
 
� Vigas contínuas: Um coeficiente de impacto para cada vão, admitindo-se usar um 
“φ” único calculado com a media aritmética dos vãos, desde que o menor vão seja maior que 
70% do maior vão. 
lb l1 l2 l1 lb
1 2 12 2
5
1,4 0,007
b b
médio
médio
l l l l l
l
l
+ + + +
=
φ = − ×
 
� Balanços: 
l
 
 
lleq ×= 2 
5.2. Trem-tipo: 
Chama-se trem-tipo o carregamento mais desfavorável possível que as cargas de 
utilização no tabuleiro geram sobre as vigas principais. 
5.2.1. Distribuição transversal das cargas: 
 (a) Seção transversal com 2 vigas principais: 
 33
 
É usual considerar que a laje do tabuleiro esteja simplesmente apoiada sobre as vigas 
principais. 
Obs.: Essa é uma simplificação. Na realidade a seção transversal é monolítica (não há 
aparelho de apoio entre tabuleiro e vigas como há entre vigas e pilares, porém esta 
simplificação é usual e introduz pouco erro). 
 
1° � Linha de distribuição transversal para V1. 
2° � Linha de distribuição transversal para V2. 
 (b) Seção celular: 
 34
 
Grande rigidez à torção (função da área “Ae” delimitada pela linha média das paredes). 
Pode ser admitido que todo o efeito da excentricidade seja absorvido por torção na seção 
celular. Condição: dimensões longitudinais (vão da viga) maiores que dimensões transversais 
(largura da seção celular) – ordem de grandeza = 4 vezes maior. 
Viga caixão é a única sujeita a torção. 
 
(c) Tabuleiro com vigas múltiplas: 
 
Distribuição transversal para V1 
• Processo de Engesser-Courbon 
• Processo de Guyon-Massonet-Bares � “Analysis of beam grids and orthotropic 
plates”. 
 35
5.2.2. Cálculo dos trens-tipo: 
(a) Seção com 2 vigas principais: 
Para V1: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Corte A-A: 
 36
 
Corte B-B: 
 
Corte C-C: 
 
 
 
 
 
Trem-tipo: 
 37
 
(d) Seção celular: 
• Tabuleiro todo carregado: carga vertical máxima, torção concomitante. 
 
 
Vmáx 
 
 38
Tconc 
Corte A-A: 
 
Corte B-B: 
 
Corte C-C: 
 
• Tabuleiro meio carregado: carga vertical concomitante, torção máxima. 
 39
 
 
Vconc 
 
Tmáx 
 
 
 
 
 
Corte A-A: 
 40
 
 
Corte B-B: 
 
Corte C-C: 
 
 
5.2.3. Exemplo numérico: 
 41
V1
V2
B
B
A
A
C
C
RRR
q1=r1
q2 = r2
1,50 1,50 1,50 1,50
f p
f P
f P
f P
f P
f P
f P
f p'
1
p/ V1
 
2 8,25 33,00 2 8, 25
22,00
3médio
l
× + + ×
= = 
1,4 0,007 1,246médiolϕ = − × = 
93,45fP P kNϕ= × = 
26,23 /fp p kN m= × = ϕ 
2' ' 3,0 /fp p kN m= = 
 
Corte A-A: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(7,6 9,6)
8
R Pϕ
+
= × × 
fp
fp'
1,20 0,90 1,60 7,10 3,70
0,500,40
fPfP
 42
200,92R kN= 
Corte B-B: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2
1 7,1
7,1 ' 1,2 11,1
8 2
r p pϕ
 
= × × × × + × × 
 
 
2 24,62 /r kN m= 
 
Corte C-C: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1
1 10,1
10,1 ' 1,2 11,1
8 2
r p pϕ
 
= × × × × + × × 
 
 
1 44,71 /r kN m= 
5.2.4. Exemplo numérico – seção celular: 
Classe 45 
 
• Tabuleiro todo carregado: 
f p
f p'
1,20 7,10 3,702,50 0,90
f p
f p'
1,20 3,702,10
0,40
8,00
 43
 
 
Vmáx 
 
Tconc 
 
 
 
 
 
Corte A-A: 
 44
 
Corte B-B: 
 
• Tabuleiro meio carregado: 
 
 45
 
Vconc 
 
Tmáx 
Corte A-A: 
 
Corte B-B: 
 
 46
5.3. Linhas de Influência: 
5.3.1. Introdução: 
 
- O diagrama de estado mostra o valor do momento fletor despertado em cada seção 
quando a carga P = 1 está atuando em uma determinada seção. 
- Para uma carga concentrada unitária se deslocando de um extremo a outro da viga, 
pode-se fixar uma seção e marcar em cada posição da carga o valor do momento fletor 
despertado naquela seção. 
Linha de influência para a seção 15: 
 
- As linhas de influência podem ser traçadas para momentos fletores, esforços cortantes, 
momentos de torção, reações de apoio. 
- Traçado das L.I.: 
• Processo espontâneo 
• Método das forças 
• Programas 
 47
• Tabelas 
- Tabelas de Anger: L.I. de vigas contínuas 
• Momentos fletores 
• Esforços cortantes 
• Reações de apoio 
� Vigas de 2 vãos: 1:1 a 1:2,5 
� Vigas de 3 vãos: 1:0,8:1 a 1:2:1 
� Vigas de 4 vãos: 1:0,8:0,8:1 a 1:2:2:1 
5.3.2. L.I de momentos fletores – tabelas de Anger: 
Na tabela de Anger: 
• Linha – Diagrama de estado 
• Coluna – Linha de influência 
Anger trabalhou com vãos l1 = 1. Sendo assim, é só multiplicar os valores da tabela pelo 
vão l1 real. 
 
 (a) Influência dos balanços: 
 - Processo gráfico: prolongamento pela tangente. 
 - Processo aproximado: prolongamento pela secante. 
 48
1
110
l
ylb ××=η- Processo espontâneo: 
 
(b) Cálculo dos esforços: 
 ( ) ( )5 1 2 3 2 1 1 2 3 4 1máxM R q q lξ ξ ξ = + + + ×Ω + Ω + Ω + Ω ×  
( ) ( )5min 4 5 6 2 5 1 6 7 8 9 1M R q q lξ ξ ξ = + + + ×Ω + Ω + Ω + Ω + Ω ×  
• Ordenadas ξ – interpolação linear. 
• Áreas Ω – aproximação por triângulos, trapézios e parábolas, ou através da 
formula de Simpson. 
 (c) L.I. das seções do balanço: 
 
 
 49
5.3.3. L.I de esforços cortantes – Tabelas de Anger: 
 As tabelas fornecem as linhas de influência de V0D e V10D. As demais linhas são obtidas 
a partir dessas somando-se [-1] às ordenadas da extremidade até a seção considerada, e 
mantendo-se as demais. 
 
LIV0D : 
 
LIV 4: 
 50
 
 
 
 
 
 
Exemplo: 
LIV13: 
 
LIV0D: 
 
 51
LIRA0: 
 
(a) Influência dos balanços: 
- Processo gráfico: tangente 
- Processo aproximado: secante 
- Processo espontâneo 
 
 
(b) Cálculo dos esforços: 
( ) ( )13 1 2 3 2 1 1 2 3 4máxV R q qξ ξ ξ= + + + ×Ω + Ω + Ω + Ω 
( ) ( )13min 4 5 6 2 5 1 6 7V R q qξ ξ ξ= + + + ×Ω + Ω + Ω 
(c) L.I. das seções do balanço: 
LIV0E: 
 
LIV1b: 
 52
 
5.3.4. L.I de momentos de torção: 
- Engastamento a torção sobre cada apoio 
 
 53
 
LIT0D: 
 
 
LIT3: 
 
 
LIT0E: 
 54
 
5.3.5. Exemplo numérico: 
Trem-tipo: 
 
 
 
 
- Linhas de influência: 
-4,125
LIM -1B
 
-1,0
LIV -1B
 
-8,25
LIM - 0
 
 
 55
-1,0
LIV -0E
 
1,0
LIV -0D
0,25
-0,25
 
2,97
LIM - 1
-7,425
-0,825
 
-0,1LIV - 1
0,25
-0,25
0,9
 
6,93
LIM - 3
-5,775
-2,475
 
-0,3
LIV - 3
0,25
-0,25
0,7
 
 56
8,25
LIM - 5
-4,125 -4,125
 
-0,5
LIV - 5
0,25
-0,25
0,5
 
- Esforços nas seções devido às cargas móveis: 
- Seção 1B: ( ) ( )
'max 01
'min 200,92 4,125 2,625 1,125 24,32 8,5041
'min 1791,71
Mk B
Mk B
M kNmk B
=
= × − − − + × −  
= − 
 
( ) ( )
'max 01
'min 200,92 1,0 1,0 1,0 24,62 4,1251
'min 704,321
Vk B
Vk B
V kNk B
=
= × − − − + × −  
= − 
 
- Seção 0: 
( ) ( ) ( )
'max 00
'min 200,92 8,25 6,75 5,25 24,62 27,0 44,71 7,0310
'min 5048,00
Mk
Mk
M kNmk
 
  
=
= × − − − + × − + × −
= − 
 
( ) ( ) ( )
'max 00
'min 200,92 1,0 1,0 1,0 24,62 4,5 44,71 3,750
'min 881,210
V Ek
V Ek
V E kNk
 
  
=
= × − − − + × − + × −
= − 
 
 57
( ) ( ) ( )
( )
'max 200,92 1,0 0,955 0,909 24,62 4,205 0,036 44,71 12,307 1,0390
'max 1274,30
'min 200,92 0,25 0,201 0,159 24,62 0,818 44,71 0,2130
'min 152,90
V Dk
V D kNk
V Dk
V D kNk
     
          
          
= × + + + × + + × +
=
= × − − − + ×− + ×−
= −
 
 
 
- Seção 1: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
'max 200,92 2,970 2,820 2,670 24,62 15,795 44,71 31,752 1,4581
'max 3573,51
'min 200,92 7, 425 6,075 4,725 24,62 24,300 44,71 6,328 3,4031
'min 4694,91
'max 200,91
Mk
M kNmk
Mk
M kNmk
Vk
 
  
 
  
= × + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
=
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 0,900 0,855 0,809 24,62 3,743 44,71 9,622 1,031
'max 1083,51
'min 200,92 0, 250 0, 205 0,159 24,62 0,818 44,71 0,213 0,16511
'min 160,31
V kNk
Vk
V kNk
 
  
 
  
× + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
 
 
 
 
- Seção 3: 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
'max 200,92 6,930 6, 48 6,03 24,62 37,755 44,71 51,894 24,6963
'max 8259,83
'min 200,92 5,775 4,725 3,675 24,62 18,900 44,71 4,922 10,2093
'min 3989,73
'max 200,93
Mk
M kNmk
Mk
M kNmk
Vk
 
  
 
  
= × + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
=
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
2 0,700 0,655 0,609 24,62 2,843 44,71 5,231 1,031
'max 745,03
'min 200,92 0,300 0, 255 0, 209 24,62 1,043 44,71 0,442 1,0313
'min 244,973
V kNk
Vk
V kNk
 
  
 
  
× + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
 
 
 
- Seção 5: 
 58
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
'max 200,92 8,250 7,500 7,500 24,62 45,00 44,71 45,563 45,5635
'max 9853,55
'min 200,92 4,125 3,375 2,625 24,62 12,500 44,71 3,516 17,0165
'min 3284,75
'max 200,5
Mk
M kNmk
Mk
M kNmk
Vk
 
  
 
  
= × + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
=
 
 
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )
92 0,500 0, 455 0, 414 24,62 1,954 44,71 2,210 1,031
'max 465,55
'min 200,92 0,500 0, 455 0, 414 24,62 1,954 44,71 2,210 1,0315
'min 465,55
V kNk
Vk
V kNk
 
  
 
  
× + + + × + × +  
=
= × − − − + ×− + × − −  
= −
 
 
 
- Resumo dos esforços nas seções devido às cargas móveis: 
Seção Momento fletor 
Mínimo (kNm) 
Momento fletor 
Máximo (kNm) 
Esforço Cortante 
Mínimo (kN) 
Esforço Cortante 
Máximo (kN) 
1B -1791,7 0 -693,72 0 
0-E 
-5048,0 0 
-881,21 0 
0-D -152,9 1274,3 
1 -4694,9 3573,5 -160,3 1083,5 
3 -3989,7 8259,8 -244,9 745,0 
5 - E -3284,7 9853,5 -465,5 465,5 
 
 
 
 
 
6. ENVOLTÓRIAS: 
6.1. Envoltórias de momentos fletores: 
Com as cargas permanentes definidas, traçamos o DMF das cargas permanentes. 
 59
 
6.2. Envoltórias de esforços cortantes: 
 
6.3. Exemplo numérico: 
- Envoltória dos esforços: 
 
 60
Seção 
Momento Fletor 
Mínimo (kNm) 
Momento Fletor 
Máximo (kNm) 
Esforço 
Cortante 
Mínimo (kN) 
Esforço 
Cortante 
Máximo (kN) 
1B -4578,0 -2786,3 -1606,1 -912,4 
0-E -12575,6 -7527,6 -2254,6 -1386,4 
0-D -7527,6 -7527,6 1781,8 3209,0 
1 -6463,7 1804,7 1395,2 2639,0 
3 2005,5 14255,0 552,3 1542,2 
5 - E 5469,8 18605,0 -504,4 504,4 
 
- Envoltória dos Momentos Fletores: 
 
-4,578 MNm
-12,575 MNm
-6,463 MNm
2,005 MNm
5,466 MNm
-4,578 MNm
-12,575 MNm
-6,463 MNm
2,005 MNm
1,804 MNm
14,255 MNm
18,605 MNm
14,255 MNm
1,804 MNm
-2,786 MNm
-7,527 MNm -7,527 MNm
-2,786 MNm
1B
0 1 3 5
 
 
 
 
- Envoltória dos Esforços Cortantes: 
 61
 
-0,438 MN
-0,639 MN
-0,912 MN
-1,606 MN
-1,386 MN
-2,254 MN
1,781 MN
3,209 MN
2,639 MN
1,395 MN
1,542 MN
-0,5 MN-0,426 MN
0,552 MN
0,5 MN
-1,542 MN
-1,395 MN
-2,639 MN
-3,209 MN
-1,781 MN
-0,552 MN
0,426 MN
2,254 MN
1,386 MN
1,606 MN
0,912 MN
0,639 MN
0,438 MN
1B 0
1 3
5
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 62
7. TREM-TIPO DE ALÍVIO: 
Para V1: 
 
 
 63
Corte A-A: 
 
Corte B-B: 
 
� Quando se deve fazer a verificação com trem-tipo de alivio? 
1. Vigas principais muito próximas uma da outra e com balanços 
proporcionalmente grandes. 
 
2. A viga principal bi-apoiada 
 64
 
Só tem momento positivo. Para momento mínimo é então necessário considerar o trem-
tipo de alívio. 
3. Tabuleiro com vigas múltiplas: 
 
Linha de dist. transversal para V1 
8. COMBINAÇÃO DAS AÇÕES (NBR 6118, NBR 8681): 
Para concreto armado: combinação ultima para dimensionar e combinação de serviço 
para verificação. 
Combinações últimas normais: 
1
2
n
d g gk g gk q q k oj qjk q o qk p pk
j
F F F F F F Fε ε ε ε εγ γ γ ψ γ ψ γ
=
 
= × + × + × + × + × × + × 
 
∑
 (i) gkF – ações permanentes 
gγ � 1,35 ou 1,00 
Para grandes pontes gγ = 1,30 
(ii) gkFε - deformações impostas permanentes (retração, deformação lenta) 
 65
gεγ � 1,20 ou 0 
(iii) pkF - protensão 
pγ � 1,20 ou 0,90 
(iv) kqF 1 - ação variável principal 
 qjkF - outras ações variáveis 
qγ � 1,5 ou 0 (cargas móveis) 
oψ � 0,6 (vento) 
• Cargas móveis: 
 oψ = 0,6 (passarelas) 
oψ = 0,7 (rodoviárias) 
oψ = 0,8 (ferroviárias não especializadas) 
oψ =1,0 (ferroviárias especializadas, pontes rolantes) 
(v) qkFε - deformações impostas variáveis (temperatura) 
qεγ = 1,20 ou 0 
εψ o =0,6 
9. COMPORTAMENTO DA VIGA DE CONCRETO ARMADO À FLEXÃO / 
FORÇA CORTANTE: 
 66
 
9.1. Estádio 1: 
IPP <≤0 
O concreto se comporta como material homogêneo; as armaduras nem chegam a ser 
solicitadas. 
 
O comportamento homogêneo acontece até que P gere tensão máxima de tração igual à 
resistência à tração do concreto: 
fctP tI =→ σ 
9.2. Estádio 2: 
RI PPP <≤ 
 67
 
- Seção idealizada 
As é transformada em área equivalente de concreto = α×As 
 α é a relação entre os módulos de elasticidade do aço e do concreto (~15).Temos a viga fissurada. 
 O dimensionamento é feito no estado limite último (carga de ruptura) com as cargas 
majoradas e resistências dos materiais minoradas. As peças, em serviço, trabalham no estádio 2. 
9.3. Tipos de ruptura: 
RPP = 
 
A - Ruptura por flexão - compressão: 
Esmagamento da região comprimida (viga “estoura”). Atinge-se a situação de estado 
limite último: C Cfσ > . 
Causas: 
- Insuficiência de seção de concreto sujeita às tensões de compressão oriundas da flexão: 
 68
 
A área comprimida ( xb × ) não é mais capaz de produzir a reação Rcc a compressão. 
Típica de seção superarmada: viga de base “b” pequena e armadura As 
proporcionalmente grande. A armadura trabalha abaixo de sua resistência máxima. 
- Insuficiência da armadura longitudinal: 
Seção subarmada: Se As é insuficiente e M cresce, Rst também aumenta � aumentam 
as fissuras que começam a entrar na região de concreto acima da LN.As regiões fissuradas 
deixam de trabalhar, a área resistente a compressão diminui, as tensões de compressão 
aumentam � rompe por esmagamento. No final a ruptura é por flexão-compressão, com a 
diferença que a causa foi a fissuração. 
B - Ruptura por força cortante – compressão: 
 Esmagamento da biela de compressão (região de concreto íntegro entre duas fissuras 
consecutivas) 
C - Ruptura por força cortante – tração: 
Insuficiência da armadura transversal. Ocorre o deslizamento de uma seção em relação à 
outra. 
D - Ruptura por força cortante – compressão: 
Insuficiência da armadura transversal causa fissuras que atingem o concreto comprimido 
antes de ocorrer o deslizamento da ruptura C, fazendo com que a viga estoure como em A. 
E - Ruptura por falha de ancoragem da armadura longitudinal: 
O comprimento de ancoragem é insuficiente para transmitir os esforços de tração por 
aderência ao concreto no apoio. 
10. FLEXÃO: 
 69
10.1. Estados limites últimos: 
10.1.1. Hipóteses de dimensionamento: 
 (a) As seções permanecem planas até a ruptura. 
 (b) Alongamento máximo permitido da armadura de tração: 00010=smáxε . 
 (c) Encurtamento de ruptura do concreto: 
 0005,3=cmáxε � Seções não inteiramente comprimidas 
 00025,3 acmáx =ε � Seções inteiramente comprimidas 
10.1.2. Diagrama dos estados limites últimos: 
 
Reta a: Tração centrada gera mesmo alongamento nas armaduras. No Estado limite 
último 00010=sε : 
 70
 
 
 
 → Domínio 1: 
 Tração não-uniforme,sem compressão (dentro do NCI): 
 
→ Domínio 2: 
 Flexão simples ou composta, com máximo alongamento permitido. O momento vai 
aumentando, a LN vai descendo para aumentar a área resistente. 
 71
 
 � Domínio 3: flexão simples (seção sub-armada) ou composta, com yds εε > . 
 ���� Domínio 4: flexão simples (seção super-armada) ou composta, com yds εε < . 
 � Domínio 4a: flexão composta com ambas armaduras comprimidas. 
 � Domínio 5: Compressão não-uniforme, sem tração. 
 � Reta b: compressão uniforme. 
 � Reta a até domínio 2: deformação plástica excessiva. 
 � Domínio 3 até reta b: ruptura. 
10.1.3. Diagramas tensão-deformação: 
 (a) Concreto: 
 - Diagrama parábola-retângulo: 
 
 Admite-se a substituição por um diagrama retangular: 
 72
 fcdc ×= 85,0
*σ 
 (Largura da seção medida paralelamente à linha neutra não diminua a partir desta até a 
borda comprimida) 
 fcdc ×= 80,0
*σ 
 (Nos outros casos) 
 - Classes: C10 / C15 / C20 / C25 / C30 / C35 / C40 / C45 / C50 
 
c
fck
fcd
γ
= , com 4,1=cγ 
 (b) Aço: 
 - Classe A: 
 
 73
 
 - Classe B: 
 
 
s
fyk
fyd
γ
= , com 15,1=sγ 
 210.000tg Es MPaΨ = = 
 fydfycd = 
 (Na falta de resultados experimentais admite-se a tensão de escoamento na compressão 
do aço igual à de tração, que normalmente é a resistência ensaiada). 
10.2. Dimensionamento de seções retangulares: 
 
 74
zRstzRccMd
RstRcc
×=×=
=
 
10.2.1. Expressões para o dimensionamento: 
xbfcdybfcdRcc ×××=×××= 68,0085 
)( ssdsd fAsRst εσσ =∴×= 
dkxxkxdx
sc
c
sc
c ×=∴
+
=∴×
+
=
εε
ε
εε
ε
1
1
1
1 
( ) ( )kxkzdkzzkxdxdz ×−=∴×=∴×−=×−= 4,014,014,0 
 
kzkxdbfcdMd
zxbfcdzRccMd
×××××=
××××=×=
2068
068
 
kzkxkmd
fcddb
Md
kmd ××=∴
××
= 68,0
2
 
kmd � Dado de entrada das tabelas 
sdsd
sd dkz
Md
As
z
Md
Rst
Rst
AsAsRst
σσ
σ
××
=∴=∴=∴×= 
1cs ou
kmd
εε
 ���� 
sc
ckx
kxkz
kzkxkmd
εε
ε
+
=
×−=
××=
1
1
041
68,0
 ���� 
kz
kx
ou sc εε 1
 
Obs.: Expressões para kx e kz: 
2,5 6, 25 14,706
2
1 1 2,353
2
kmd
kx
kmd
kz
− − ×
=
+ − ×
=
 
10.2.2. Armadura simples: 
 Seção transversal hdhb 95,0)( ≅→× 
 Dados: fydfcdMd −− 
 sdsckzkxtabela
fcddb
Md
kmd σεε ,,,, 12 →∴××
= 
 75
 
sddkz
Md
As
σ××
= 
 
0,95 2,80 2,65
20
50
1, 4
d m
fck MPa
aço CA
cγ
= × =
=
=
 
(1) Md = 4,4 MNm 
 
2
4,4 1,4
0,110
0,40 2,65 20
kmd
×
= =
× ×
 ���� 
²/48,43
10
1,2
930,0
174,0
00
0
00
0
1
cmkN
kz
kx
sd
s
c
=
=
−=
=
=
σ
ε
ε 
DOM 2 
0,259²06,41
48,43
1786
φ→== cmAs 
(2) Md = 14,0 MNm 
 76
 349,0=kmd ���� 
²/89,27
33,1
5,3
710,0
725,0
00
0
00
0
1
cmkN
kz
kx
sd
s
c
=
=
=
=
=
σ
ε
ε 
Se o momento é maior, a linha neutra deve estar mais baixa para que a área resistente à 
compressão seja maior e capaz de gerar a força Rcc necessária. 
 
 
DOM 4 
0,2555²72,266 φ→= cmAs 
A armadura encontrada é muito grande. (tensão para o aço abaixo do limite de tensão de 
trabalho). Anti-econômico (seção superarmada). 
10.2.3. Armadura dupla: 
 
Parte do momento resistente ao momento Md é transferida para a armadura As’ e uma 
armadura de tração As2, podendo subir à L.N. e diminuir a área de concreto necessária para 
gerar Rcc. 
 77
É usual no dimensionamento com armadura dupla trabalhar na reta limite entre os 
domínios 3 e 4, com a deformação do concreto em 0005,3 na compressão e do aço em εyd na 
tração ( 00007,2 ). Isso fixa o kmd. 
 
Reta limite Dom 3 / Dom 4 � kmdLIM 
 
1
1 ²
MdMdMd
fcddbkmdMd LIM
−=∆
×××=
 
1
1 2 '
Md Md
As As As
kz d fyd c fyd
∆
= ∴ = =
× × ×
 
mMNMd
mMNMd
159,1841,120,14
841,12
4,1
20
²65,240,0320,01
=−=∆
=×××=
 
0,2533²44,159
48,4350,2
10159,1
48,4365,2749,0
10841,12 33
21 φ→=
×
×
+
××
×
=+= cmAsAsAs 
0,253²66,10
48,4350,2
10159,1
'
3
φ→=
×
×
= cmAs 
Generalizando (para outros casos): 
1
1 2 ' 'yd yd sd
Md Md Md
As As As
kz d f c f c σ
∆ ∆
= ∴ = ∴ =
× × × ×
 
10.3. Vigas com seção “T”: 
10.3.1. Largura de contribuição da laje: 
(item 3.2.2.2 – NBR 6118) 
 78
 






×
×
≤
2
1 5,0
10,0
b
a
b 3
4
0,10 a
b
b
× 
≤  
 
 
la = � Viga simplesmente apoiada 
la ×=
4
3
 � Tramo com momento em uma extremidade 
3
5
a l= × � Tramo com momento nas duas extremidades 
la ×= 2 � Balanços 
 
10.3.2. Linha neutra cortando a mesa: 
 79
 
 Neste caso a viga pode ser calculada como uma viga de seção retangular cheia, de largura bf. 
3
2 2
14,0 14 10
0,042
3,30 2,65 20
Md
kmd
bf d fcd
−× ×
= = =
× × × ×
 
Pela tabela: 
²/48,43
0,10
82,0
970,0
076,0
00
0
00
0
1
cmkN
kz
kx
sd
s
c
=
=
−=
=
=
σ
ε
ε 
okhfmymx →<=→= 161,0201,0 
0,2526²26,125
48,4365,2970,0
100,14 3
φ→=
××
×
= cmAs 
10.3.3. Linha neutra cortando a alma: 
� Viga “T” real 
kmd com a largura bf � tabela � kx 
hfxydkxx >×=→×= 8,0 
Exemplo: Md = 22,35 MNm 
Linha neutra tem que ser recalculada porque se hfy > kmd utilizado não representa a 
realidade, ele considera um trecho da viga inexistente. 
 80
 
( ) hfbwbffcdRcabas ×−××= 85,0 






−×=
2
hf
dRcM abasabas � Momento resistido pelas abas 
abasMMdM −=∆ � (bw x d) 
( ) MNRcabas 043,720,040,030,34,1
20
85,0 =×−××= 
mMNM abas 96,172
20,0
65,2043,7 =





−×= 
mMNM 39,496,1735,22 =−=∆ 
109,0
2065,240,0
4,139,4
2
=
××
×
=kmd ���� 
²/48,43
0,10
1,2
930,0
174,0
00
0
00
0
1
cmkN
kz
kx
sd
s
c
=
=
=
=
=
σ
ε
ε 
50,2930,0
439,0174,0
=→=
=→=
zkz
xkx
 
MNRst
MNRcRst abas
781,1
50,2
39,4
043,7
2
1
==
==( ) ( )
3
1 2
1 10
7,043 1,781 202,95 ² 41 25.0
43, 48sd
As Rst Rst As cm= × + → = × + = → ϕ
σ
 
 81
 
11. FORÇA CORTANTE: 
11.1. Treliça de Ritter-Mösch: 
Analogia da treliça de Ritter-Mösch: a viga fissurada de concreto armado pode ser 
assimilada a uma treliça com um dos aspectos seguintes: 
 
(a) Estribos a 90°: (b) Estribos inclinados ou barras dobradas: 
 
 
 82
11.2. Verificação em estado limite último: 
VswdVcVrdVsd
VrdVsd
+=≤
≤
3
2 
2Vrd � Resistência relativa à ruína das bielas de compressão. 
VswdVcVrd +=3 � Resistência à tração diagonal. 
Vc � Mecanismos complementares ao da treliça. 
dVsw � Resistência da armadura transversal. 
Modelo de cálculo I (θ = 45°): 
2 2 20, 27 1 250V V
fck
Vrd fcd bw d fck MPaα α
 
= × × × × ∴ = − → = 
 
 
3 dVrd Vc Vsw= + 
( )0,9 cosd
Asw
Vsw d fywd sen
s
α α= × × × × + 
435
70%
fyd estribos
fywd MPa
fyd barras dobradas
− 
= ≤ 
− 
 
 VcoVc = (flexão simples) 
 
2/3
.inf 0,70,inf
0,60 ; ;
0,30
fctk fctmfctk
Vco fctd bw d fctd fck MPa
c fctm fckγ
= 
= × × × ∴ = = 
= × 
 
Modelo de cálculo II (30° ≤θ <45°): 
� norma pág.45 
11.3. Seções próximas aos apoios: 
Para cálculo da armadura transversal pode-se considerar um esforço cortante reduzido 
V* dado por: 
 83
 
11.4. Disposições construtivas: 
Bitola mínima: mmmínt 0,5. =φ (Ø 4,2 mm � telas soldadas) 
Bitola máxima: 
10
.
bw
máxt =φ 
Espaçamento “s”: 
mmdsVrdVd
mmdsVrdVd
MÁX
MÁX
2003,067,0
3006,067,0
2
2
≤=→×>
≤=→×≤
 
Espaçamento entre ramos do estribo (st): 
2
2
0,20 800
0, 20 0,6 350
MÁX
MÁX
Vd Vrd st d mm
Vd Vrd st d mm
≤ × → = ≤
> × → = ≤
 
11.5. Armadura mínima: 
fywk
fctm
sensbw
Asw
SW ×≥
××
= 2,0
α
ρ 
� Exceções: 
1 – Elementos lineares com bw > 5 x d. 
2 – Nervuras de lajes nervuradas com espaçamento menor que 60 cm. 
3 – Pilares e elementos submetidos à compressão. 
VcVsd
fctkc
≤
≤σ
 
 84
11.6. Exemplo numérico: 
- Esforços característicos devido a cargas móveis: 
Seção 
Momento Fletor 
Mínimo (kNm) 
Momento Fletor 
Máximo (kNm) 
Esforço 
Cortante 
Mínimo (kN) 
Esforço 
Cortante 
Máximo (kN) 
1B -1791,7 0 -693,7 0 
0-E -5048,0 0 -881,2 0 
0-D -152,9 1274,3 
1 -4694,9 3573,5 -160,3 1083,5 
3 -3989,7 8259,8 -244,9 745,0 
5 - E -3284,7 9853,5 -465,5 465,5 
 
- Esforços característicos devido a cargas permanentes: 
Seção 
Momento Fletor 
(kNm) 
Esforço 
Cortante (kN) 
1B -2786,3 -912,4 
0-E -7527,6 -1386,4 
0-D -7527,6 1934,7 
1 -1768,8 1555,5 
3 5995,2 797,2 
5 - E 8751,5 -38,9 
 
- Esforços de cálculo: 
- Seção 1B: 
1
1
1,35( 2786,3) 1,5( 1791,7) 6.449,06
1,35( 912, 4) 1,5( 693,7) 2.272,32
B
d
B
d
M kNm
V kN
= − + − = −
= − + − = −
 
 
 
- Seção 0: 
0
0
0
1,35( 7.527,6) 1,5( 5.048,0) 17.734, 26
1,35( 1.386,4) 1,5( 821,2) 3.103, 44
1,35(1934,7) 1,5(1.274,3) 4.523,3
d
E
d
D
d
M kNm
V kN
V kN
= − + − = −
= − + − = −
= + =
 
 
 
 
- Seção 1: 
1
1
1
( ) 1,35( 1.768,8) 1,5( 4694,9) 9430, 23
( ) 1,00( 1.768,8) 1,5(3573,5) 3591,45
1,35(1.555,5) 1,5(1.083,5) 3725,18
d
d
d
M máx negativo kNm
M máx positivo kNm
V kN
= − + − = −
= − + =
= + =
 
 
 
 
- Seção 3: 
 85
3
3
3
( ) 1,00(5995,2) 1,5( 3989,7)
( ) 1,35(5995, 2) 1,5(8259,8) 20.483, 22
1,35(797, 2) 1,5(745,0) 2193,72
d
d
d
M máx negativo positivo
M máx positivo kNm
V kN
= + − =
= + =
= + =
 
 
 
 
- Seção 5: 
5
5
5
( ) 1,00(8751,5) 1,5( 3284,7)
( ) 1,35(8751,5) 1,5(9853,5) 26.594,78
1,35( 38,9) 1,5( 465,5) 750,77
d
d
d
M máx negativo positivo
M máx positivo kNm
V kN
= + − =
= + =
= − + − = −
 
 
 
 
- Cálculo da armadura longitudinal: 
Dados: 
35
500 ( 50)
30 ( )
2,75
 
 
 
 
ck
yk
f MPa
f MPa CA
cobrimento mm Classe de agressividade II
h m
=
=
=
= 
 
 
 
- Seções: 
Momento positivo: Seção “T” 
 
 
 
 
 86
 
 
 
3
50,10. 0,10 ( ) 33,00 1,981
0,5 6,6 3,30
a m
b
m
= × × =
≤ 
× = 
3
50,10. 0,10 ( ) 33,00 1,983
3,70
a m
b
m
= × × =
≤ 
 
1,13 1,98 1,98 5,09bf m= + + = 
 
 
Momento negativo: Seção retangular 
 
 
 
 
 
 
- Área de aço: 
2. .
Md
Kmd
b d fcd
= 
0,95 2,75 2,61 d m≈ × = 
35
25
1, 4 1, 4
 ckcd
f
f MPa= = =
 
0,60
2,
75
 87
. .s z sd
Md
A
k d σ
=
 
Seção Md (kNm) bw ou bf (cm) d (cm) fcd (Mpa) 
1B -6449,06 60 261 25 
0 -17734,26 60 261 25 
1 
-9430,23 60 261 25 
3591,45 509 261 25 
3 20483,22 509 261 25 
5 - E 26594,78 509 261 25 
 
- Tabela de dimensionamento: 
Seção kmd kx y (cm) hf = 25 cm kz σs 50 As (cm²) 
1B 0,063 0,097 - - 0,961 43,48 59,11 
0 0,174 0,289 - - 0,885 43,48 176,67 
1 (neg) 0,092 0,144 - - 0,942 43,48 88,18 
1 (pos) 
0,004 0,006 1,3 
Corta a 
mesa 0,998 43,48 31,73 
3 0,024 0,035 7,4 
Corta a 
mesa 0,986 43,48 183,08 
5 - E 0,031 0,046 9,6 
Corta a 
mesa 0,982 43,48 238,75 
 
- Cálculo da armadura transversal: 
2 2
3
2
2
0,27. . . .
35
0,27 0,86 .10 0,60 2,61
1,4
9.090,63 
Rd v cd w
Rd
Rd
V f b d
V
V kN
α=
= × × × ×
= 
2
35
1 1 0,86
250 250v
fck
α
   
= − = − =   
   
 
3
0
3
0,6. . .
0,6 1,605.10 0,60 2,61
1508,06 
d Rd c swd
c c ctd
c
c
V V V V
V V f bw d
V
V kN
= = +
= =
= × × ×
= 
2
3
,inf
2
3
0,7. 0,7 0,3.( )
0,7 0,3.(35)
1,605
1,4
 
ctk ctm ck
ctd
c c c
ctd
f f f
f
f MPa
γ γ γ
×
= = =
×
= =
 
( )2
.0,9. .
( )
0,9. .
sw
swd ywd
d ccm
msw
ywd
A
V d f
s
V V
A
d f
=
−
=
 
2
50
1,15
43,48 / 
yk
ywd
s
ywd
f
f
f kN cm
γ
= =
=
 
 
 88
Vd (kN) VRd2 (kN) 
Vd < VRd2 
(kN) Asw (cm²/m) 
2272,32 9090,63 OK! 7,50 
3103,44 9090,63 OK! 15,64 
4523,30 9090,63 OK! 29,54 
3725,18 9090,63 OK! 21,73 
2193,72 9090,63 OK! 6,73 
750,77 9090,63 OK! 0 
 
12. FADIGA DAS ARMADURAS 
12.1. Fenômeno da fadiga: 
 Fadiga é um fenômeno associado a ações dinâmicas repetidas (periódicas ou alternadas), 
que pode ser entendido como um processo de modificações progressivas e permanentes da 
estrutura interna de um material submetido à oscilação de tensões decorrentes dessas ações. 
 
Nas barras de aço em peças de concreto armado verifica-se que a resistência à fadiga 
depende apenas do curso de tensões “c” dado por: 
( )MINMÁXc σσ −= 
Os valores limites para a variação de tensões decorrente da fadiga estão fixados para 
uma repetição de 2 milhões de ciclos (2x106). 
12.2. Combinações de ações a considerar: 
 Para estado limite de utilização. 
� Combinação freqüente das ações: 
FqjkjkFqFgikFd
n
j
m
i
SER ×+×+= ∑∑
== 2
21
1
1 ψψ 
Fgik � Ações permanentes, valor característico. 
Fqik×1ψ � Fator de combinação freqüente multiplicando a ação variável de maior 
intensidade. 
 89
j2ψ � Fator de combinação quase-permanente. 
Fqjk � Demais ações variáveis. 
NBR 8681: 
• Pontes rodoviárias: Vigas: 5,01 =ψ 
 Transversinas: 7,01 =ψ 
 Lajes: 8,01 =ψ 
• Pontes ferroviárias: 0,11 =ψ 
• Pontes rolantes: 1 0,8ψ = 
• Passarelas de pedestres: 1 0,4ψ = 
12.3. Valores limites da resistência à fadiga: 
NBR 6118 / 2003 – Tab. 23.2 
� FADfsd ,∆ - aço CA 50 – em MPa 
Φ (mm) 10,0 12,5 16,0 20,0 25,0 
Barras retas ou dobradas com 
D > 25Φ 
190 190 190 185 175 
Barras dobradas com D < 25Φ: 
D = 5Φ para Φ< 20 
D = 8Φ para Φ≥ 20 
105 105 105 105 95 
Estribos com D = 3Φ 
(D ≤ 10 mm) 
85 85 85 
 
12.4. Modelo de cálculo: 
12.4.1. Armaduras longitudinais: 
 Verificação: 
( ) ,s FADMÁX MÍN fsdσ σ σ∆ = − ≤ ∆ 
Tensões 
MÁX
σ e 
MÍN
σ calculadas no Estádio II (com 10
Es
Ec
α = = ) 
 90
 
Seção ideal da viga: 'AsAsAcA ×+×+= αα (homogeneizada) 
Obs.: Sussekind, José Carlos – “Concreto Armado” – Vol.1 
(Dedução das expressões do Estádio II) 
( ) ( )[ ] ( ) ( ) xdAsdAsbwbfhfAsAsbwbfhfxxbw →×+×××+−×=+×+−×××+× ''2²'2² αα 
( ) ( )
2 3
2 2³
' '
12 2 3
bf hf hf bw hf
J bf hf x As d x As x dα
× ×   = + × × − + + × × − + × −    
 
Tensões máximas: 
( )
JxdM
J
xM
S
C
−×
×=
×
=
ασ
σ
 
Deformações específicas: 
( )
JEc
xdM
JEc
xM
S
C
×
−×
=
×
×
=
ε
ε
 
� Para ( ) FADMÍNMÁX fsds ,∆>−=∆ σσσ , majorar As de 
FADfsd
s
k
,∆
∆
=
σ
 
12.4.2. Armaduras transversais: 
Modelo I: 
Considerar Vc com fator redutor de 0,5. 
4,1=cγ ; 0,1=sγ 
 91
Calcular 
MÁXSW
,σ e 
MÌNSW
,σ pela expressão: 
VswVcVrd +=3 
( )αασ cos9,0 +××××= send
s
Asw
Vsw SW 
12.5. Processo aproximado: 
12.5.1. Armaduras longitudinais: 
Coeficiente de fadiga K: 
2
1
1 1
300
Mfyk
M
 
Κ = × − ≥ 
 
 
M1 – valor algébrico do momento de maior valor absoluto. 
M2 – valor algébrico do momento de menor valor absoluto. 
12.5.2. Armaduras transversais: 
2
1
1 1
150V
Vfyk
V
 
Κ = × − ≥ 
 
 
Se 021 <×VV , fazer 02 =V 
12.6. Exemplo numérico: 
- Fadiga das armaduras: 
→ Verificação: 
,( )s máx mín sd fadfσ σ σ∆ = − ≤ ∆ 
Armadura longitudinal: 
Barras retas: 
 ,
25,0 175 sd fadmm fφ ⇒ ∆ = 
- Determinação do coeficiente de fadiga “K”: 
Armadura longitudinal: 
2
1
1 1,0
300
ykf MK
M
 
= − ≥ 
 
 
Armadura transversal: 
 92
2
1
1 1,0
150
ykf VK
V
 
= − ≥ 
 
 
Esforços: 
- Seção 1B: 
( )
( )
1
1
1
2
1
1
1
2
2786,3 0,5 1791,7 3682,15
2786,3
912,4 0,5 693,7 1259,26
912,4
B
B
B
B
M kNm
M kNm
V kN
V kN
= − + × − = −
= −
= − + × − = −
= −
 
 
 
 
- Seção 0: 
( )
( )
( )
( )
0
1
0
2
0
1
0
2
0
1
0
2
7.527,6 0,5 5048,0 10051,60
7.527,6
1.386,4 0,5 821,2 1797,00
1.386,4
1934,7 0,5 1274,3 2571,85
1934,7 0,5 152,9 1812,25
E
E
D
D
M kNm
M kNm
V kN
V kN
V kN
V kN
= − + × − = −
= −
= − + × − = −
= −
= + × =
= + × − =
 
 
 
 
 
 
 
- Seção 1: 
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
1
1
1
2
1768,8 0,5 4694,9 4116, 25
1768,8 0,5 3573,5 17,95
1555,5 0,5 1083,5 2097,25
1555,5 0,5 160,3 1475,35
M kNm
M kNm
V kN
V kN
= − + × − = −
= − + × =
= + × =
= + × − =
 
 
 
 
 
- Seção 3: 
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
1
1
1
2
5995, 2 0,5 8259,8 10125,10
5995, 2 0,5 244,9 5872,75
797, 2 0,5 745,0 1169,70
797, 2 0,5 244,9 674,75
M kNm
M kNm
V kN
V kN
= + × =
= + × − =
= + × =
= + × − =
 
 
 
 
 
- Seção 5: 
 93
( )
( )
( )
( )
1
1
1
2
1
1
1
2
8751,5 0,5 9853,5 13678, 25
8751,5 0,5 3284,7 7109,15
38,9 0,5 465,5 271,65
38,9 0,5 465,5 193,85
M kNm
M kNm
V kN
V kN
= + × =
= + × − =
= + × = −
= + × − =
 
 
 
 
 
- Armadura longitudinal: 
Seção M1 (kNm) M2 (kNm) K As (cm²) K.As (cm²) 
1B -3682,15 -2786,30 1,000 59,11 59,11 
0 -10051,60 -7527,60 1,000 176,67 176,67 
1 (neg) -4116,25 17,95 1,674 88,18 147,61 
1 (pos) -4116,25 17,95 1,674 31,73 53,11 
3 10125,10 5872,75 1,000 183,08 183,08 
5 13678,25 7109,15 1,000 238,75 238,75 
 
- Armadura transversal: 
 
Seção V1 (kNm) V2 (kNm) Kv Asw (cm²/m) K.Asw (cm²/m) 
1B -1259,26 -912,40 1,000 7,50 7,50 
0-E -1797,00 -1386,40 1,000 15,64 15,64 
0-D 2571,85 1812,25 1,000 29,54 29,54 
1 2097,25 1475,35 1,000 21,73 21,73 
3 1169,70 674,75 1,410 6,73 9,50 
5 - E -271,65 193,85 5,712 0,00 0,00 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 94
13. VIGA PRINCIPAL – DETALHAMENTO DAS ARMADURAS 
13.1. Diagrama resistente das armaduras: 
 
13.2. Condições a serem satisfeitas: 
13.2.1. Decalagem do diagrama: 
 - Modelo de cálculo I: 
( )
( ) 





−+×
−×
×= αα gg
VcVsd
Vsd
dal
MÁX
MÁX cotcot1
2
 
 95
Para °= 90α : 
( )




−×
×=
VcVsd
Vsd
dal
MÁX
MÁX
2
 
dal ×≥ 5,0 � No caso geral 
dal ×≥ 2,0 � Estribos inclinados a 45° 
Exemplo: 
Cortante 0D: ( )
mal
mal
65,1
90,012
91433142
3314
375,2
90
45
=
=





−×
−×
×=
°
°
 
13.2.2. Fadiga 
13.3. Detalhes complementares: 
13.3.1. Ancoragem: 
 - Sem gancho (alternância de solicitação): 
 
fbd
fyd
lb ×=
4
φ
 










≥×=
mm
lb
As
As
lblb
EFET
CALC
NEC
100
10
3,0
,
,
φ 
fctdfbd ×××= 321 ηηη 
( )
( )
( )








=
5025,2
604,1
250,1
1
CA
CA
CA
η 
( )
( )





=
ZMA
ZBA
7,0
0,1
2η ( ) 





≥−
<
=
0,32/132
0,32/0,1
3 φφ
φ
η
p
p
 
13.3.2. Emendas por traspasse: 
 Proporção máxima de barras emendadas em uma mesma seção: 
• Em uma camada – 100% 
• Em mais camadas – 50% 









 ××
≥×=
mm
lb
lblb
OT
NECOTOT
200
15
3,0
φ
α
α 
 Barras emendadas na mesma seção 
 96
OTα %20≤ %25 %33 %50 %50> 
1,2 1,4 1,6 1,8 2,0 
 
- Barras emendadas na mesma seção 
 
13.3.3. Cobrimento: 
CAA I II III IV 
cNOM (mm) 25 30 40 50 
 
13.3.4. Espaçamento das barras: 
 
( )








×
≥
máxagreg
mm
ah
φ
φ
2,1
20
 
( )








×
≥
máxagreg
mm
av
φ
φ
5,0
20
 
13.3.5. Barras levadas até o apoio: 
 
 
VÃOAPOIO
AsAs
3
1
≥ , para 
VÂOAPOIO
APOIO
MM
M
5,0
0
<
=
 � apoio extremo 
 97
 VÃOAPOIO AsAs 4
1
≥ , para 0,5APOIO VÂOM M> � apoio central 
13.3.6. Armadura de pele: 
h > 60 cm 
0,1%PELEAs bw h= × × � Por face 
Espaçamento 






≤
cm
d
20
3/
 
13.3.7. Armadura mínima: 
Tab. 17.3 – NBR 6118 
13.3.8. Ancoragem em apoios extremos: 
NdVd
d
al
Rsd +×= 
Vd – cortante do apoio 
Nd – força de tração 
13.3.9. Armadura transversal: 
- Variação de espaçamento entre as seções 
 
13.3.10. Lista de ferros: 
Lista de ferros 
Posição Φ Quant. Comprimentos 
 Unit.(cm) Total (m) 
 
Resumo do aço 
Aço CA-50 
Φ Comp. total Massa (kg) 
 
13.4. Exemplo numérico: 
Disposições da NBR-6118: 
(1) Armadura longitudinal: 
Armadura mínima: 
,min min
2
,min
. . 0,19 60 275
31,35 
s
s
A b h
A cm
ρ= = × ×
=
 
 98
Resultado: 
Seção K.As (cm²) Φ 25.0 mm 
1B 59,11 13 
0 176,67 36 
1 (neg) 147,61 31 
1 (pos) 53,11 11 
3 183,08 38 
5 238,75 49 
 
- Espaçamentos das barras: 
max
2
2,5
1, 2. 1,2 1,9 2,3
 
 
 
h
cm
e cm
d cm
φ


≥ =
 = × = max
2
2,5
0,5. 0,5 1,9 0,8
 
 
 
v
cm
e cm
d cm
φ


≥ =
 = × = 
2,5
2,5
 
 
h
v
e cm
e cm
≥
≥ 
- Número de barras longitudinais por camada: 
2. 4. . ( 1) 60
2 3,0 4 0,8 .2,5 ( 1)2,5 60
10,7
10
est hcob n n e
n n
n
n barras por camada
+ + + − ≤
× + × + + − ≤
≤
= 
φ φ
 
- Comprimento de ancoragem: 
 
.
4
yd
b
bd
f
l
f
φ
=
 1 2 3. . .bd ctdf fη η η= 
 
 
 
Região de boa aderência: Região de má aderência: 
 
3 20, 21 35
2, 25 1,0 1,0 3,61
1, 4bd
f
 
= × × × = 
 
  
2,5 434,8
. 75
4 3,61
 bl cm= =
 
3 20,21 35
2,25 0,7 1,0 2,53
1,4
2,5 434,8
. 108
4 2,53
 
bd
b
f
l cm
 
= × × × = 
 
 
= =
 99
- Emendas das barras: 
,
20
15
0,3
ot ot b nec
ot b
cm
l l
l
α φ
α


= ≥ 


 
 
Com otα igual a 1,2 (na mesma seção se terá no máximo 20% das barras emendadas). 
Região de boa aderência: Região de má aderência: 
1,2 75 90otl cm= × = 1,2 108 130otl cm= × = 
- Decalagem do diagrama: 
( ) ( )
,max
,max
4499,34
2,61
2 4499,34 1508,162
1,96 
sd
sd c
V
al d
V V
al m
   
= =   
−−    
= 
- Armadura de pele: 
,
2
,
0,1% 0,001 60 275
16,5
s pele c
s pele
A A
A cm
= = × ×
=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
- Diagrama de envoltória com sobreposição da decalagem e majoração do efeito de fadiga: 
 100
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 101
 
 
- Diagrama resultante mais comprimento de ancoragem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(2) Armadura transversal: 
Armadura mínima: 
,min ,min
2
,min
. 0,13 60
7,8 
s w w
s
A b
A cm
ρ= = ×
=
 
Seção K.As(cm²) As (adot) cm² 
1B 7,12 7,80 
0-E 14,84 14,84 
0-D 28,04 28,04 
1 20,62 20,62 
3 9,01 9,01 
5 - E 0,00 7,80 
 
- Espaçamentos das barras: 
Longitudinal: 
 102
2
,max
2
,max
2
,max
0,6. 30 , 0,67
0,3. 20 , 0,67
4499,34
0,67. 0,67 9090,63 6090,72
30
 
 
 
d Rd
l
d Rd
d
Rd
l
d cm seV V
s
dcm seV V
V kN
V kN
s cm
≤ ≤
≥ 
≤ >
=
= × =
= 
Transversal: 
2
,max
2
,max
2
,max
80 , 0,20
0,6. 35 , 0,20
4499,34
0, 2. 0,2 9090,63 1818,13
35
 
 
 
d Rd
t
d Rd
d
Rd
t
d cm seV V
s
d cm seV V
V kN
V kN
s cm
≤ ≤
≥ 
≤ >
=
= × =
= 
Obs: o espaçamento máximo transversal dos ramos sucessivos dos estribos poderia ser 
maior nas seções 3 e 5, mas será adotado estribo duplo em todo comprimento da viga 
principal. 
- Cálculo do espaçamento: 
1100 4 s
l
sw
A
s
A
φ× ×=
 
Seção As (adot.) cm² SI (ø 6.3mm) SI (ø 8.0mm) SI (ø 10.0mm) 
1B 7,80 15 25 40 
0-E 14,84 8 13 21 
0-D 28,04 4 7 11 
1 20,62 6 9 15 
3 9,01 13 22 34 
5 - E 7,80 15 25 40 
 
- Espaçamento adotado: 
Seção Espaçamento adotado 
1B ø 8,0mm c/25cm 
0-E ø 8,0mm c/13cm 
0-D ø 8,0mm c/7cm 
1 ø 8,0mm c/9cm 
3 ø 8,0mm c/22cm 
5 - E ø 8,0mm c/25cm 
 
- Detalhamento da viga principal: 
Armaduras levadas até o apoio 
 103
1 . , 0,5.3
1 . , 0,5.4
17,12
0,5. 0,5 26,89 12,45
1, .4
 
 
 
apoio vão apoio vão
apoio vão apoio vão
apoio
vão
apoio vão
As As se M M
As As se M M
M
M
então As As
 ≥ ≤

≥ >
=
= × =
≥
 
Verificação do número de camadas: 
10% 27,5
7 5 7 10 7 15 7 20 7 25 7 30 6 35 2 40
50
20,5 !
cg
cg
cg
y h cm
y
y OK
≤ =
× + × + × + × + × + × + × + ×
=
= →
 
 
 
 
- Diagrama Resistente: 
 
14. LAJES 
 104
Bibliografia: 
[1] Rüsch,H – “Berechnungstafeln für Rechtwinklige Farbahnplatten von 
Strabenbrücken”. 
[2] Homberg, H – “Fairbahnplatten Mit Veranderlich Dicke” 
 “Dalles D’epaisseur Variable” 
[3] Ottoni, Ignacio L. B. – “Lajes” 
[4] Mason, Jayme – “Pontes em Concreto Armado e Protendido” 
14.1. Introdução: 
 Tabuleiros de pontes são constituídos de lajes com diferentes tipos de ligação com os 
demais elementos da superestrutura. 
- Lajes com uma dimensão predominante (transversinas desligadas da laje): 
 
- Lajes com apoio nos quatro bordos (transversinas ligadas à laje): 
 105
 
• Lajes devem ser consideradas como contínuas (transversal e longitudinalmente). 
• Métodos aproximados: cálculo dos esforços nas lajes isoladas e consideração 
aproximada da continuidade (Bib. [3]; tabs. Rüsch). 
• Cálculo dos esforços nas lajes: 
1 – Método elástico (teoria da elasticidade)� clássico 
2 - Método da ruptura (teoria das linhas de ruptura ou charneiras plásticas) 
 Johansen, R. W.- “Linhas de Ruptura” 
 Langendock,T. – “Método das charneiras plásticas” 
 
14.2. Cálculo dos esforços nas lajes: 
14.2.1. Considerações gerais: 
 106
 
Obs.: Estruturas Laminares: 
 - Placas (lajes) 
 - Chapas (vigas-parede → altura da viga > ½ vão) 
- Equação Geral das Placas: 
( )4 4 4
4 2 2 4
,
2
p x yw w w
x x y y D
∂ ∂ ∂
+ × + =
∂ ∂ ∂ ∂
 
( )2112
³
ν−×
×
=
hE
D 
Onde: E – módulo de elasticidade 
 h – espessura 
 ν - coeficiente de Poisson 
A determinação da posição mais desfavorável das cargas móveis implica em uma 
sistematização do cálculo. 
� Superfícies de Influência 
� Tabelas de Rüsch 
14.2.2. Superfícies de influência: 
- Análogas às linhas de influencia. 
- Superfície de influência de um determinado esforço (momento fletor) em um dado 
ponto é o efeito produzido por uma carga unitária em outro ponto qualquer da placa. 
Escala da superfície de influência: 8cm � lL (vão entre vigas) 
O veículo-tipo é desenhado na escala da superfície. 
→ Definir número par de seções 
 107
 
 
( )43210 4243
Ω+Ω×+Ω×+Ω×+Ω×
∆
=
x
Vi 
Viqimi ×= � ∑= mim 
14.3. Tabelas de Rüsch: 
14.3.1. Definição das solicitações: 
 
/2
/2
h
h
Mx x z dzσ
−
= × ×∫ 
/2
/2
h
h
My y z dzσ
−
= × ×∫ 
 108
 
 
14.3.2. Convenções: 
 
- Momentos calculados: 
 
Ponto central da placa: Mxm 
 Mym 
Centro do bordo engastado: Mxe 
 Mye 
Mxr – meio do bordo livre � momento positivo importante 
Mxer – canto do bordo livre � momento negativo importante 
• Dados de entrada para tabela que fornece o número da placa: 
- condições de bordo; 
 109
- ly/lx; 
- direção de tráfego (x ou y). 
14.3.3. Dados de entrada: 
Relações: lx/a 
 t/a 
Onde: a = distância entre rodas do veículo-tipo (a = 2,00 m); 
 lx= direção principal 
 t = lado do quadrado de área equivalente a área de contato da roda tomado no 
plano médio da laje. 
Exemplo: Classe 45 � roda = 0,20m x 0,50m 
50,020,00 ×=t 
hfett P +×+= 20 
 
14.3.4. Cálculo dos momentos: 
Carga permanente � 2lxgkMg ××= 
Onde: k = tabela 
 g= carga permanente uniformemente distribuída 
Carga móvel � ( ) ϕ××+×+×= pMpMPMMq PPL ' 
Onde: ML = contribuição das cargas de roda do veículo-tipo tomadas com valor unitário 
no momento 
 P = carga de roda 
 ϕ = coeficiente de impacto 
 110
 Mp = contribuição da carga uniformemente distribuída à frente e atrás do 
veículo-tipo, tomada com valor unitário 
 M’p = contribuição da carga uniformemente distribuída dos dois lados do 
veículo-tipo, tomada com valor unitário 
 p = carga uniformemente distribuída da classe da ponte 
Na tabela: 
• SLW – veículo muito pesado (classe 30 e 45) 
• LKW – veículo pesado (classe 12) 
 
 t/a 
lx/a 
0,250 0,300 0,500 
3,00 0,415 ⇔ 0,370 
3,75 
� 
ML � 
4,00 0,520 0,485 
 
p p’ 
MP MP’ 
 
 
14.3.5. Diagramas limites: 
� Variação dos momentos ao longo da placa. 
14.3.6. Método aproximado para consideração da continuidade: 
 � No caso de transversinas ligadas à laje. 
 111
 
 Calcular as lajes isoladas substituindo os apoios contínuos por engastes. 
• Momento de carga permanente – os mesmos da placa isolada 
• Momentos de carga móvel – momentos da placa isolada multiplicados por um 
coeficiente α dado por: 
0
100
1
2,1
αα ×
+
=
lx
 , com lx em metros e 0α tirado na tabela 
14.4. Consideração do engastamento elástico: 
 
M1 – Momento de engastamento do balanço (tabela 98) 
M2 – Momento de engastamento da laje central (tabela 27) 
Se M1 = M2 � engastamento perfeito 
No caso geral � M1 ≠ M2 � 12 MMM −=∆ 
O momento de desequilíbrio M∆ que produz uma rotação no nó, vai se distribuir entre a 
laje central e a viga principal: 
 112
 
O M∆ tende a girar o nó: o balanço acompanha a rotação, a viga principal e a laje 
central recebem os seguintes momentos: 
 
Mi’ – Flexão adicional na laje 
Mi’’ – Torção na viga principal 
' ''M Mi Mi∆ = + 
 
Hipótese simplificadora � o momento Mi’’ varia senoidalmente entre duas 
transversinas consecutivas. 
Ponto central do painel (“O”) � valores específicos � M’ e M’’ 
Sistema Principal: 
 
Onde: α = rotação devido ao M’ = 1 
 113
 ε = rotação devido ao M’’ = 1 
Quando M’ e M’’ atingirem seus verdadeiros valores, as rotações serão dadas por α×'M 
e ε×''M , respectivamente. 
Como o nó é rígido: εα ×=× ''' MM 
''' MMM +=∆ 
εα ×=× ''' MM 
MM
MM
∆×
+
=
∆×
+
=
εα
α
εα
ε
''
'
 
� α = rotação da laje central para M’=1 
12
³0,1
3
hf
J
EJ
l ×
=∴=α 
³
4
hfE
l
×
×
=α 
� ε = rotação da viga principal para M’’ = 1 (variação senoidal) 
 
12
³bwE
N
N
c
k
×
=∴×=ε 
³
12
bwE
c
k
×
×
×=ε 
Tabela de Bleich: 
c/h 1 2 3 4 5 6 7 8 
k 0,159 0,163 0,188 0,221 0,300 0,343 0,388 0,436 
 
 114
M
kcl
l
M
M
kcl
kc
M
∆×
××+×
×
=
∆×
××+×
××
=
3³
³
''
3³
3
'
ρ
ρ
ρ
 com 
hf
bw
=ρ 
14.4.1. Esforços finais na laje: 
(a) Carga móvel no balanço (laje central descarregada): 
 
−∆=− MMM 12 
(b) Carga móvel na laje central: 
 
M1,g ou M2,g � momento gerado apenas por carga permanente. 
14.4.2. Esforços na viga principal e nas transversinas: (devido a M’’) 
• A viga recebe um carregamento de momentos de torção de variação senoidal. 
 115
 
c
y
senMMi
×
×=
π
'''' 
dy
c
y
senMTT
c
BA ×
×
××=−= ∫
0
''
2
1 π
 





 ×
×
×
××=−= ∫ c
y
d