TeX output 2014 02 20_193611

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CVGA - [U2] Tarefa: Teorias 1 e 2
1. (15 pontos) Dividos em
- coordenadas do vetor ~v =
−−→
AB = (4− 3,−1− 1, 1− (−2)) = (1,−2, 3) : 2.5 pontos
- ~u + 3~v = (2,−3, 1) + 3(1,−2, 3) = (5,−9, 10): 5 pontos
- ~v − 2~u = (1,−2, 3)− 2(2,−3, 1) = (−3, 4, 1): 5 pontos
- (~u + 3~v) · (~v − 2~u) = −15− 36 + 10 = −41: 2.5 pontos
2. (15 pontos) Uma forma de fazer:
|~u+~v|2 = (~u+~v) · (~u+~v) usando as propriedades distributiva e comutativa do produto
escalar temos:
|~u + ~v|2 = |~u|2 + 2~u · ~v + |~v|2 = |~u|2 + 2|~u‖~v| cos(60o) + |~v|2 = 37. Logo, |~u + ~v| = √
37.
3. (25 pontos: itens a, b e c valendo 5 e item d valendo 10 pontos)
(a) Você estudarão em Álgebra Linear de que ao se resolver este problema temos
um sistema com infinitas soluções e grau de liberdade dois. Este exerćıcio pode ser feito
no chute, mas fazendo uma resposta geral, temos:
Seja ~u = (x, y, z) um vetor não nulo ortogonal ao vetor dado ~v = (2,−1, 1). Então,
~u · ~v = 0 ⇔ (x, y, z) · (2,−1, 1) = 0 ⇔ 2x− y + z = 0 ⇔ y = 2x + z.
Dáı, ~u = (x, 2x + z, z) = (x, 2x, 0) + (0, z, z) = x(1, 1, 0) + z(0, 1, 1). Assim, para cada
valor real atribúıdo a x e a z temos vetores ortogonais a ~v. Por exemplo, tomando
x = 0 e z = 1 temos ~u = (0, 1, 1).
(b) basta tomar o versor do vetor do item (a).
(c) basta multiplicar por 4 o vetor do item (b).
(d) Sejam α, β e γ, respectivamente, os ângulos diretores de ~v com os eixos x, y e
z respectivamente. Sejam ~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0) e ~j = (0, 0, 1) vetores paralelos aos
eixos coordenados. Então,
α = arccos(
~v ·~i
|~v||~i|) =
2√
6
; β = arccos(− 1√
6
); γ = arccos(
1√
6
)
. Obs.: Vale observar que o produto escalar com estes vetores,~i = (1, 0, 0), ~j = (0, 1, 0)
e ~j = (0, 0, 1), é, respectivamente, a abcissa, a ordenada e a cota das coordenadas do
vetor ~v. Assim, a partir das coordenadas de um vetor, já dá para afirmar se os ângulos
diretores são agudos ou obtusos. Embora, por definição, os cossenos diretores são a
partir da base canônica, sempre que posśıvel recorram ao livro texto desta disciplina!
4. (20 pontos) Seja ~v = (x, y, z). Temos
~v ⊥ ~u ⇔ ~v · ~u = 0 ⇔ x + 2y = 0 ⇔ x = −2y(∗) : (5 pontos)
~v ⊥ ~w ⇔ ~v · ~w = 0 ⇔ 2x + z = 0 ⇔ z = −2x = 4y(∗∗) : (5 pontos)
De (∗) e (∗∗) temos que ~v = (−2y, y, 4y). Agora
|~v| =
√
21 ⇔
√
4y2 + y2 + 16y2 =
√
21 ⇔
√
21y2 =
√
21 ⇔ |y| = 1. : (5 pontos)
Dáı temos duas possibilidades para ~v, como o ângulo diretor com ~j é agudo, significa
que a ordenada de ~v é positiva, ou seja, y = 1. Logo, ~v = (−2, 1, 4).(5 pontos)
5. (25 pontos: 15 para a projeção e 10 para a decomposição)