Relações e Funções em Matemática

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Matemática e Estatística para computação
Relações e Funções
Objetivos de aprendizagem
ao término desta aula, vocês serão capazes de:
•	 entender e compreender as funções e relações e, também, saber diferenciar cada uma delas;
•	 definir relações, identificar funções, reconhecer a notação de funções, determinar domínio, contradomínio e imagem 
de funções.
Nesta aula, aprenderemos um pouco mais sobre Funções e 
Relações e vamos entender as diferenças entre elas.
Bons estudos!
2º Aula
17
Seções de estudo
1 – Relações
2 – Funções
1 - Relações
 
Relação: dados dois conjuntos a e B, dá-se o nome de 
relação R de a em B a qualquer subconjunto de a x B.
R é a relação de A em B ↔ R ∩ a x B
Par ordenado
É um par de elementos (x ; y) onde a ordem é importante, 
de modo que o par ordenado (x ; y) é considerado diferente 
do par ordenado (y ; x).
Plano Cartesiano
Dados dois conjuntos não vazios a e B, denomina-se 
produto cartesiano (indica-se: a x B) de a por B o conjunto 
formado pelos pares ordenados nos quais o primeiro elemento 
pertence a a e o segundo pertence a B.
a x B = {(x, y)| x a e y B}
Sobre um plano, podemos adotar dois eixos 
perpendiculares OX e OY, de origem comum O, de modo que, 
a cada ponto do plano, podemos associar um par ordenado de 
números reais. Por exemplo, na figura abaixo, o ponto P pode 
ser representado pelo par ordenado (3 ; 15) onde 3 é a abscissa 
e 15 é a ordenada do ponto:
Fonte: autoria própria.
CONCEITOS DE RELAÇÃO R DE A EM B
Considere os conjuntos;
a = {1, 2, 5}
B = {2, 4}
Formemos o produto cartesiano de a por B:
a x B = {(1,2), (1,4), (2,2), (2,4), (5,2), (5,4)}
a sentença x é menor que y, onde x a e y B, determina 
um conjunto de pares ordenados:
R = {(1,2), (1,4), (2,4)}
temos, dessa forma, 
R ∩ a x B
a relação R pode ser representada pelo diagrama:
Fonte: autoria própria.
uma relação de a em B é qualquer subconjunto de a x 
B.
**Veja que podemos ter mais de um elemento do 
conjunto a se relacionando a apenas um elemento do 
conjunto B. 
Vejamos alguns exemplos:
Sejam a = {1, 2, 3} e B = {5, 6}, os subconjuntos de a 
x B:
R1 = {(1,5), (2,6), (3,6)}
R2 = {(2,6), (3,5)}
R3= {(1,6), (2,6), (3,5), (3,6)}
Perceba que todos esses conjuntos (R1, R2 e R3) são 
relações de a em B, pois utilizam todos os valores de a e 
ligam a um valor de B.
Sejam os conjuntos a = {0, 1, 2, 3}, B = {0, 2, 4, 6, 8, 
10} e a relação R de a em B, tal que y = 2x, x a e y B. 
Escrever os elementos dessa relação:
Vamos à resolução?
Como x a: 
x = 0 → y = 2 * 0 = 0, par (0,0)
x = 1 → y = 2 * 1 = 2, par (1,2)
x = 2 → y = 2 * 2 = 4, par (2,4)
x = 3 → y = 2 * 3 = 6, par (3,6)
Então, R = {(0,0), (1,2), (2,4), (3,6)}
Essa representação pode ser feita também pelo diagrama 
ou pelo plano cartesiano, conforme veremos a seguir.
Diagrama
A B
R
0 •
1 •
2 •
3 •
• 0
• 2
• 4
• 6
• 8
• 10
 Fonte: autoria própria.
18Matemática e Estatística para computação
y
6
4
2
0 1 2 3 x
Fonte: autoria própria.
Podemos observar que, em uma relação R de a em B, o 
conjunto R é formado pelos pares (x,y) em que o elemento 
x a é associado ao elemento y B mediante uma lei de 
associação, y = 2x.
Ficou entendido o conceito de relação? É fácil! Basta 
relacionar os valores de a em B e obter os pares ordenados. 
Bem. agora precisamos avançar no conteúdo e ver o que a 
relação ajuda a entender o conteúdo de Função. Vamos lá?!
2 - Funções
uma relação de a em B é determinada de função ou 
aplicação quando associa a todo elemento de a um único 
elemento em B.
a função pode ser definida como um tipo especial de 
relação:
Sejam a e B dois conjuntos não vazios e f uma relação 
de a e B. Essa relação f é uma função de a em B quando a 
cada elemento x do conjunto a está associado a um e apenas 
um elemento y do conjunto B.
** Perceba que em Relação podemos ter mais de um 
elemento do conjunto a se relacionando com apenas um 
elemento do conjunto B, mas em FuNÇÃO isso não pode 
acontecer..
isso não é função!
X Y
1
2
3
a
b
c
d
e
Fonte: autoria própria.
X Y
1
2
3
a
b
c
d
e
Fonte: autoria própria.
A AB B
1
2
• 5
• 6
• 7
1 •
2 •
3 •
• 6
• 8
Fonte: autoria própria.
São exemplos de funções de a em B, as relações 
representadas nos diagramas a seguir:
A AB B
1 •
2 •
• 5
• 6
1 •
2 •
• 5
• 6
• 7
Fonte: autoria própria.
A AB B
1 •
2 • 
3 •
• 5
• 6
• 7
• 5
• 6
• 7
1 •
2 • 
3 •
Fonte: autoria própria.
Observe:
Para ser função é necessário seguir os itens abaixo:
- Em a, não sobra elementos, em B pode sobrar;
- Em A, de cada elemento “parte” uma única flecha;
- Em B, um elemento pode receber mais de uma flecha.
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BONEttO, g. a. Fundamentos de matemática para 
engenharias e tecnologias. São Paulo: Cengage Learning, 2016.
gENtiL, N.; SaNtOS, C. a. M. dos; gRECO, S. E. 
Matemática. Volume único. Série Novo Ensino Médio. Ed. 
Reformulada. São Paulo: Ática, 2003.
Vale a pena
Vale a pena ler
DOMÍNIO CONTRADOMÍNIO E CONJUNTO 
IMAGEM DE UMA FUNÇÃO
Você já viu que numa função o domínio é constituído 
por todos os valores que podem ser atribuídos à variável 
independentemente. Já a imagem da função é formada por 
todos os valores correspondentes da variável dependente. 
Não entendeu?! Então vamos verificar o exemplo a seguir.
Seja f uma função de a em B.
A B
1 •
2 •
3 •
•2
 •4
•6
•3
 
 •5
•7
Fonte: autoria própria.
f = {(1,2), (2,4), (3,6)}
O conjunto a é o domínio da função, ou seja, o conjunto 
de onde as flechas saem.
No exemplo temos:
Domínio = {1, 2, 3}
Já o conjunto B é o contradomínio da função, ou seja, 
onde as flechas podem chegar.
No exemplo, temos:
contradomínio = {2, 3, 4, 5, 6, 7}
a imagem da função é formada por todos os elementos 
de B que ficam associados a elementos de a (elementos de 
B que recebem flechas), ou seja, a imagem são somente os 
valores do conjunto B que recebem as flechas.
No exemplo temos:
imagem = {2, 4, 6}
Portanto, podemos concluir que: O conjunto imagem é 
um subconjunto do contradomínio.
Entenderam? Para fixar melhor o conteúdo, vamos 
verificar mais um exemplo:
Dados os conjuntos a = {-3, -1, 0, 2} e B = {-1, 0, 1, 
2, 3, 4}, determine o conjunto imagem da função f: A→B 
definida por f(x) = x + 2.
Primeiramente devemos substituir os valores do 
conjunto a na função para resultarmos em quais valores as 
flechas chegarão em B.
Dessa forma temos:
f(-3) = (-3) + 2 = -1 
f(-1) = (-1) + 2 = 1 
f(0) = (0) + 2 = 2 
f(2) = (2) + 2 = 4 
A B
-3•
-1•
0 •
2 •
• -1
• 0
• 1
• 2
• 3
• 4
Fonte: autoria própria.
Observando o diagrama, podemos verificar que o 
conjunto imagem é:
im = {-1, 1, 2, 4}
acredito que tenham entendido o conteúdo. agora resta 
praticar nas atividades disponibilizadas na plataforma. Vamos 
lá?
Retomando a aula
antes de encerrar a aula 03, é importante que 
retomemos os conteúdos estudados:
1 – Relações 
Nesta seção, aprendemos as características das relações. 
Foi apresentado o plano cartesiano com seus respectivos eixos. 
Em seguida, foram introduzidos conceitos e construções de 
pares ordenados e relações existentes entre eles.
2 – Funções
aprendemos a identificar e reconhecer a notação de 
uma função. Descrever a lei de formação de funções reais e, 
também, determinar seu Domínio, Contradomínio e imagem.
20Matemática e Estatística para computação
Só matemática. Disponível em: <www.somatematica.
com.br>. acesso em: 10 jul. 2017.
Funções e Relações. Disponível em: <http://www.
matematica.pucminas.br/profs/web_walter/oficinas/
Oficina022005.pdf>. acesso em: 10/07/2017.
Vale a pena acessar
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