matemática 1-Introdução ao estudo das funções Produto Cartesiano, relação, definição de função-25-03-2021-

Prévia do material em texto

1 
Matemática 
 
Introdução ao estudo das funções: Produto Cartesiano, relação, 
definição de função 
 
Objetivo 
Entender a relação que estabelece uma função. Aprender o que é um produto cartesiano e como isso se aplica 
em funções 
Se liga 
Para mandar bem nessa aula é legal lembrar dos conceitos de conjuntos. Caso queria recordar temos um 
QQD muito legal e rápido onde você pode revisar o tema em 4 minutos. Clique aqui para conferir. 
Curiosidade 
Você já jogou Batalha Naval? É um jogo antigo e clássico que simula uma batalha de navios e ele se baseia 
em localizar o navio dos inimigos. O que você talvez não saiba é que usamos pares ordenados para localizar 
esses navios! Sim, a posição é dada por um ou mais pares ordenados, o que iremos aprender agora neste 
material. 
Teoria 
 
Antes de definirmos funções, é fundamental que tenhamos conhecimentos prévios sobre alguns pontos 
importantes, como, por exemplo: 
 
Par ordenado 
Um par ordenado (𝑥, 𝑦) é um par de coordenadas que serve para localizar um determinado ponto num sistema 
de eixos coordenados. 
A coordenada 𝒙 se chama abscissa e mede a distância do ponto ao eixo 𝒚. Por convenção, dizemos que o 
valor de 𝑥 é positivo quando o ponto está a direita do eixo 𝑦 e negativa quando está a esquerda. 
Já a coordenada 𝒚 se chama ordenada e mede a distância do ponto ao eixo 𝒙. A ordenada 𝑦 é positiva quando 
o ponto está acima do eixo 𝑥 e é negativa quando está acima. 
 
 
Produto Cartesiano 
O Produto cartesiano entre dois conjuntos A e B é o conjunto de todos os pares ordenados (𝑥 , 𝑦) que podem 
ser formados, sendo 𝑥 pertencendo a A e 𝑦 pertencente a B. 
 𝐴 × 𝐵 = { (𝑥, 𝑦) | 𝑥 𝜖 𝐴 𝑒 𝑦 𝜖 𝐵 } 
Ex: Sendo 𝐴 = { 1, 2 } e 𝐵 = { 3, 4, 5 } 
𝐴 𝑥 𝐵 = { (1,3), (1,4), (1,5), (2,3), (2,4), (2,5) } 
https://www.youtube.com/watch?v=ZZmPGJ6IRyU
 
 
 
 
 
2 
Matemática 
 
𝐵 𝑥 𝐴 = { (3,1), (3,2), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2) } 
 
Obs: 
1. Nota-se que o produto cartesiano de 𝐴 × 𝐵 ≠ 𝐵 × 𝐴. 
 
2. Nota-se também que a quantidade de pares ordenados do produto cartesiano é a multiplicação da 
quantidade de elementos de cada conjunto. 
 
𝑛(𝐴 × 𝐵) = 𝑛(𝐴) × 𝑛(𝐵), que no nosso exemplo é 6 = 2 × 3. 
 
 Representações: 
a) Diagrama 
 
b) Gráfico 
 
Relação 
Uma relação é um conjunto de pares ordenados cujas coordenadas obedecem a uma lei de formação. 
Ex: 𝐴 = {0,1,2,3} e 𝐵 = {0,1,2,3,4} e 𝑅 = { (𝑥, 𝑦) 𝜖 𝐴 𝑥 𝐵 | 𝑥² = 𝑦 }. Assim temos que 𝑅 = {(0,0), (1,1), (2,4)} 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3 
Matemática 
 
 
Função 
Uma função é um caso particular muito especial de relação. Uma relação é dita função de A em B se todos 
os elementos de A possuírem exatamente uma imagem em B. O conjunto A é chamado Domínio da função e 
o conjunto B é chamado Contradomínio. Os valores encontrados em B (contradomínio) mediante os cálculos 
(utilizando a lei de formação) pertencem a um subconjunto de B chamado Imagem da função. 
Ex: Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3, 4) e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} e a relação de A em B definida 
por 𝑓(𝑥) = 2𝑥. Observe que: 
𝑥 = 0 → 𝑦 = 0 
𝑥 = 1 → 𝑦 = 2 
𝑥 = 2 → 𝑦 = 4 
𝑥 = 3 → 𝑦 = 6 
𝑥 = 4 → 𝑦 = 8 
 
𝐷𝑜𝑚(𝑓) = 𝐴 
𝐶𝐷(𝑓) = 𝐵 
𝐼𝑚(𝑓) = {0, 2, 4, 6, 8} 
 
 
Obs: 
 
Esta relação, por exemplo, não é uma função, já que todos os elementos do domínio possuem 3 imagens, 
cada. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4 
Matemática 
 
Exercícios de Fixação 
 
 
1. Dados os conjuntos 𝐴 = [−3,2 ] e 𝐵 = {4}, represente no plano cartesiano 𝐴 × 𝐵. 
 
 
 
2. Dados os conjuntos 𝐴 = [1, 2 ] e 𝐵 = {5}, represente no plano cartesiano 𝐵 × 𝐴. 
 
 
 
3. Um conjunto 𝐴 possui 5 elementos e um conjunto 𝐵 tem 6 elementos. Calcule o número de elementos 
do conjunto 𝐴 × 𝐵. 
 
 
 
4. Dados os conjuntos 𝐴 = {0, 2, 4, 6, 8} e 𝐵 = {1, 3, 5, 9}, enumere os elementos da seguinte relação: 𝑅 =
 {(𝑥, 𝑦) ∈ 𝐴 × 𝐵 | 𝑦 = 𝑥 + 1} 
 
 
 
5. Sabendo-se que (𝑥 + 3, 𝑦 − 4) = (7𝑥, 2𝑦 + 5), determine o valor de 𝑥 e de 𝑦. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 
Matemática 
 
Exercícios de Vestibulares 
 
 
1. Qual dos seguintes gráficos não representa uma função f: ℝ→ ℝ? 
a) c) e) 
b) d) 
 
 
 
 
 
 
2. As atividades de comunicação humana são plurais e estão intimamente ligadas às suas necessidades 
de sobrevivência. O problema de contagem, por exemplo, se confunde com a própria história humana 
no decorrer dos tempos. Assim como para os índios mundurucus, do sul do Pará, os waimiri-atroari, 
contam somente de um até cinco, adotando os seguintes vocábulos: awynimi é o número 1, typytyna é 
o 2, takynima é o 3, takyninapa é o 4, e, finalmente, warenipa é o 5. 
(Texto Adaptado: Scientific American – Brasil, “Etnomatática”. Edição Especial, Nº 11, ISSN 1679-5229) 
 
Considere A o conjunto formado pelos números utilizados no sistema de contagem dos waimiriatroari, 
ou seja, 𝐴 = {1,2,3,4,5}. Nestas condições, o número de elementos da relação 𝑅1 = {(𝑥, 𝑦) ∈
𝐴 × 𝐴|𝑦 ≥ 𝑥} é igual a: 
a) 5. 
b) 10. 
c) 15. 
d) 20. 
e) 25. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
6 
Matemática 
 
3. Considerando K = {1, 2, 3, 4}, marque a opção cuja figura representa o produto cartesiano K × K. 
a) b) 
c) 
d) 
 
 
 
 
4. Considere a função real definida por 
24 x , se x 1 
f(x) .
2(x 1), se x 1
 − 
= 
+  
Então o valor da razão 
f(3) f(1)
f(2) f(0)
−
+ é igual a: 
a) 0,5 
b) 1,0 
c) 1,5 
d) 2,0 
 
 
5. Em um certo dia, três mães deram à luz em uma maternidade. A primeira teve gêmeos, a segunda, 
trigêmeos e a terceira, um único filho. Considere, para aquele dia, o conjunto das 3 mães, o conjunto 
das 6 crianças e as seguintes relações: 
I. A que associa cada mãe ao seu filho. 
II. A que associa cada filho à sua mãe. 
III. A que associa cada criança ao seu irmão. 
 
São funções 
a) somente a l. 
b) somente a ll. 
c) somente a lll. 
d) somente a I e II. 
e) todas. 
 
 
 
 
 
7 
Matemática 
 
6. Considere a relação f de M em N representada no diagrama abaixo: 
 
Para que f seja uma função de M em N, devemos: 
I. apagar a seta 1 e retirar o elemento s. 
II. apagar as setas 1 e 4 e apagar o elemento k. 
III. retirar os elementos k e s. 
IV. apagar a seta 4 e retirar o elemento k. 
V. apagar a seta 2 e retirar o elemento k. 
 
Assinale a alternativa correta: 
a) Apenas as afirmações I e III estão corretas. 
b) Apenas as afirmações IV e V estão corretas. 
c) Apenas as afirmações II e V estão corretas. 
d) Apenas a afirmação III está correta. 
e) Apenas a afirmação IV está correta. 
 
 
7. Considerando 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/0 < 𝑥 ≤ 5}, e sendo R a relação em A formada pelos pares (𝑥, 𝑦) tais que𝑦 =
2𝑥 − 1 , o domínio e a imagem dessa relação correspondem, respectivamente, a 
a) {0, 1, 2, 3} e {1, 3, 5, 7} 
b) {1, 2, 3, 4} e {3, 5, 7, 9} 
c) {0, 1, 2, 3, 4} e {0, 2, 4, 6, 8} 
d) {1, 2, 3, 4, 5} e {1, 3, 5, 7, 9} 
e) {1, 2, 3, 4, 5} e {0, 2, 4, 6, 8} 
 
 
8. Os pares ordenados (1, 2), (2, 6), (3, 7), (4, 8) e (1, 9) pertencem ao produto cartesiano A×B. Sabendo-se 
que A×B tem 20 elementos, é correto afirmar que a soma dos elementos de A é 
a) 9 
b) 11 
c) 10 
d) 12 
e) 15 
 
 
 
 
 
 
8 
Matemática 
 
9. Os conjuntos A e B têm, respectivamente, 5 − 𝑥 e 3𝑥 elementos e 𝐴 × 𝐵 tem 8𝑥 + 2 elementos. Então, 
se pode admitir como verdadeiro que: 
a) A tem cinco elementos 
b) B tem quatro elementos 
c) B tem seis elementos 
d) A tem mais de seis elementos 
e) B tem menos de três elementos 
 
 
10. A função “f” é definida no conjunto dos inteiros positivos por: 
( )
, se n for par
2
3 1, se n for ímpar
n
f n
n


= 
 + 
O número de soluções da equação f(n) = 25 é 
a) 0. 
b) 1. 
c) 2. 
d) 3. 
e) Infinito.Sua específica é exatas e quer continuar treinando esse conteúdo? 
Clique aqui para fazer uma lista extra de exercícios 
https://dex.descomplica.com.br/enem/matematica/exercicios-introducao-ao-estudo-das-funcoes-produto-cartesiano-relacao-definicao-de-funcao
 
 
 
 
 
9 
Matemática 
 
Gabaritos 
 
Exercícios de fixação 
 
 
1. 𝐴 × 𝐵 = {(−3,4), (2,4)} 
 
2. 𝐵 × 𝐴 = {(5,1), (5,2)} 
 
3. O conjunto 𝐴 × 𝐵 tera como elementos os pares ordenados formados pelos elementos do conjunto 𝐴 e 
do conjutno 𝐵, logo o número de elementos do conjunto 𝐴 × 𝐵 é dado pelo produto 5 × 6 = 30. Logo, o 
conjunto 𝐴 × 𝐵 terá 30 elementos. 
 
4. Para atender a relação, os pares ordenados precisarão fazer parte dos conjuntos A e B e atender à 
função y=x+1, substituindo os elementos de A pelo valor de x, temos: 
𝑦 = 0 + 1 = 1 
𝑦 = 2 + 1 = 3 
𝑦 = 4 + 1 = 5 
𝑦 = 6 + 1 = 7 (repare que o 7 não faz parte do conjunto B, logo esse par não pertence à relação) 
𝑦 = 8 + 1 = 9 
 
Logo, temos que os elementos desta relação são: 
𝑅 = {(0.1), (2,3), (4,5), (8,9)} 
 
5. Se os pares ordenados são iguais logo 
𝑥 + 3 = 7𝑥 e 𝑦 − 4 = 2𝑦 + 5 
 
Calculando as expressoes, temos 
𝑥 + 3 = 7𝑥 
6𝑥 = 3 
𝑥 = 3/6 = 1/2 
 
𝑦 − 4 = 2𝑦 + 5 
𝑦 = −9 
 
 
Exercícios de Vestibulares 
 
1. E 
Para ser função, todo valor de x deve ter um único correspondente em y. Se ao passar uma reta vertical 
no gráfico e mais de dois pontos interceptarem a curva não é função. Isso ocorre na alternativa E. 
 
2. C 
Podemos ver que o resultado pedido é dado por 5 4 3 2 1 15.+ + + + = 
 
 
 
 
 
10 
Matemática 
 
3. A 
Em um produto cartesiano, todos os elementos precisam estar associados a todos os elementos do 
conjunto de chegada. Assim, a única resposta é a alternativa da letra A. 
 
4. A 
f(3) = 8; f(1) = 3; f(2) = 6; f(0) = 4 
Logo: 
𝟖−𝟑
𝟔+𝟒
= 
𝟓
𝟏𝟎
= 𝟎, 𝟓 
 
5. B 
Uma função apresenta domínio e imagem, onde cada valor do domínio está associado a um único 
elemento da imagem. No caso de: 
I. A mãe seria o domínio e os filhos seriam a imagem, logo a mãe está relacionada com todos os seus 
filhos. Assim, um elemento do domínio está associado a mais de um elemento da imagem, o que não 
caracteriza uma função. 
II. Os filhos são o domínio e a mãe é a imagem, desta forma, cada elemento do domínio está associado 
a um único elemento da imagem, pois todos os filhos estão relacionados a sua mãe, o que caracteriza 
uma função. 
III. No caso do filho único, ele não teria associação nenhuma, pois não tem irmãos, logo esta não é uma 
função. 
 
6. E 
O que impede a relação f de ser uma função é o fato de o elemento x estar associado a dois elementos 
em N e o fato de k não estar associado a ninguém. Dessa maneira, precisaríamos apagar uma das setas 
de x, 1 ou 4, e retirar o elemento K. 
 
7. D 
Como 𝐴 = {𝑥 ∈ ℤ/0 < 𝑥 ≤ 5}, temos que 𝐴 = {1,2,3,4,5}, que é o domínio. Agora, precisamos achar as 
imagens, que são dadas por 𝑦 = 2𝑥 − 1: 
Imagem = {2(1) − 1,2(2) − 1,2(3) − 1,2(4) − 1,2(5) − 1} = {1,3,5,7,9}. 
 
8. C 
Como A×B tem 20 elementos, temos que 𝑛(𝐴) ⋅ 𝑛(𝐵) = 20 . Analisando os pares ordenados dados no 
enunciado, vemos que, no mínimo, 𝐴 = {1,2,3,4} e 𝐵 = {2,6,7,8,9}. Assim, de acordo com esses dados, 
temos que 𝑛(𝐴) ⋅ 𝑛(𝐵) = 20 ⇒ 4 ⋅ 5 = 20, o que é verdadeiro. Por fim, 1 + 2 + 3 + 4 = 10. 
9. C 
Sendo 𝑥 ∈ 𝑅 e sabendo que n(A B) n(A) n(B), =  temos: 
28x 2 (5 x) 3x 3x 7x 2 0
x 2.
+ = −   − + =
 = 
Portanto, n(B) 3 2 6.=  = 
 
 
10. B 
Testando para as duas sentenças, temos: 
( )25 50 
2
n
n V=  =
 
( )3 1 25 8 n n F+ =  = , pois n deveria ser um número ímpar. 
Assim, temos apenas uma solução.