Problemas de Cálculo Matemático

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207. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = e^{2x} \sin(3x) \). 
 Resposta: Não tem solução em termos de funções elementares. 
 Explicação: Esta equação diferencial não pode ser resolvida usando métodos usuais de 
cálculo. 
 
208. Problema: Determine o valor de \( \log_2(32) \). 
 Resposta: \( \log_2(32) = 5 \). 
 Explicação: O logaritmo de 32 na base 2 é 5, pois \( 2^5 = 32 \). 
 
209. Problema: Calcule a área da região delimitada pelas curvas \( y = e^x \) e \( y = \sin(x) 
\) no intervalo \( [0, \frac{\pi}{2}] \). 
 Resposta: A área é aproximadamente 1,696 unidades quadradas. 
 Explicação: Calculamos a integral da função que representa a diferença entre as duas 
curvas no intervalo dado. 
 
210. Problema: Determine a derivada de \( f(x) = \cos(x) \sin^2(x) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \sin^2(x)(\cos(x) - 2\sin(x)\cos(x)) \). 
 Explicação: Utilizamos a regra do produto para derivar esta função trigonométrica 
composta. 
 
211. Problema: Encontre a integral indefinida de \( \int \cos^2(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( \frac{1}{2}(x + \sin(x)\cos(x)) + C \). 
 Explicação: Aplicamos a integração por partes para resolver esta integral. 
 
212. Problema: Resolva a equação diferencial \( \frac{dy}{dx} = \cos^2(x) \). 
 Resposta: A solução é \( y = \frac{x}{2} + \frac{1}{4}\sin(2x) + C \), onde \( C \) é uma 
constante. 
 Explicação: Integramos ambos os lados da equação diferencial para encontrar a função 
\( y \). 
 
213. Problema: Determine o valor de \( \log_3(27) \). 
 Resposta: \( \log_3(27) = 3 \).