Problemas de Cálculo Matemático

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27. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo da função \( f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x 
+ 2 \). 
 Resposta: O ponto de máximo é \( x = 1 \) e o ponto de mínimo é \( x = 3 \). Calculamos a 
derivada primeira e segunda para encontrar os pontos críticos. 
 
28. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{\sin(x)}{\cos^2(x)} \, dx \). 
 Resposta: A integral é \( -\frac{1}{\cos(x)} + C \), onde \( C \) é a constante de integração. 
Utilizamos substituição trigonométrica. 
 
29. Problema: Encontre os pontos de interseção entre as curvas \( y = e^x \) e \( y = \ln(x) \). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (1, 0) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
30. Problema: Determine os valores de \( a \) para os quais a função \( f(x) = ax^3 - 9x + 2 \) 
tem um ponto de inflexão. 
 Resposta: A função tem um ponto de inflexão para \( a \neq 0 \). Calculamos a segunda 
derivada e igualamos a zero. 
 
31. Problema: Calcule a derivada da função \( f(x) = \ln(x^2) \). 
 Resposta: \( f'(x) = \frac{2}{x} \). Utilizamos a regra da cadeia para encontrar a derivada. 
 
32. Problema: Encontre a área da região delimitada pelas curvas \( y = \sqrt{x} \) e \( y = x^2 
\) no intervalo \( 0 \leq x \leq 1 \). 
 Resposta: A área é \( \frac{1}{6}(2\sqrt{2} - 1) \) unidades quadradas. Calculamos a 
integral da função que representa a diferença entre as duas curvas. 
 
33. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = e^x \) e \( y = 2 - x 
\). 
 Resposta: O ponto de interseção é \( (0, 1) \). Igualamos as duas equações e resolvemos 
para \( x \). 
 
34. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos(x) \, dx \). 
 Resposta: A integral definida é 1. Usamos a propriedade da integral definida para 
calcular a área sob a curva.