Problemas de Cálculo Matemático

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Resposta: \( a = \frac{5}{4} \) e \( a = -\frac{5}{4} \). Explicação: Use a segunda derivada 
para encontrar os valores de \( a \) que mudam a concavidade em \( x = 1 \). 
 
50. Problema: Calcule a integral definida de \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx \). 
 Resposta: \( \int_0^{\frac{\pi}{4}} \sin(2x) \, dx = \frac{1}{2} \). Explicação: Avalie a função 
integrada de \( 0 \) a \( \frac{\pi}{4} \). 
 
51. Problema: Determine os pontos de interseção entre as curvas \( y = x^3 + 2 \) e \( y = 
\frac{1}{x^2} \). 
 Resposta: \( (1, 3) \) e \( (-1, 3) \). Explicação: Igualar as duas expressões para \( y \) e 
resolver para \( x \). 
 
52. Problema: Resolva a equação \( \log_5(x - 2) = 3 \). 
 Resposta: \( x = 127 \). Explicação: Use a definição de logaritmo para resolver. 
 
53. Problema: Determine o intervalo de crescimento da função \( f(x) = x^5 - 10x^3 \). 
 Resposta: \( (-\infty, -\sqrt{5}) \) e \( (\sqrt{5}, \infty) \). Explicação: Encontre onde a 
primeira derivada é positiva. 
 
54. Problema: Calcule a área da região limitada pelas curvas \( y = x^4 \) e \( y = 16 - x^2 \). 
 Resposta: \( \frac{3072}{5} \). Explicação: Subtraia as duas áreas sob as curvas. 
 
55. Problema: Encontre a equação da reta normal à curva \( y = \sec(x) \) no ponto \( 
(\frac{\pi}{3}, 2) \). 
 Resposta: \( y = -x + 2 + \frac{\pi}{3} \). Explicação: A inclinação da reta normal é o 
inverso negativo da inclinação da tangente. 
 
56. Problema: Calcule a integral indefinida de \( \int \frac{1}{x^5} \, dx \). 
 Resposta: \( \int \frac{1}{x^5} \, dx = -\frac{1}{4x^4} + C \). Explicação: Use a integração 
por substituição. 
 
57. Problema: Determine os pontos de máximo e mínimo relativos da função \( f(x) = x^5 - 
20x^3 \). 
 Resposta: Máximo relativo em \( (-\sqrt{5}, 125) \) e mínimo relativo em \( (\sqrt{5}, -125) 
\). Explicação: Encontre os pontos críticos e aplique o teste da derivada segunda.