Problemas de Combinatória

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48. Problema: Quantos números de 7 algarismos podem ser formados usando os 
algarismos 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9, se os algarismos pares devem ser maiores que os 
ímpares? 
 Resposta: Podemos resolver este problema considerando as posições pares e ímpares 
como dois conjuntos independentes. Para as posições pares, temos \( P(5,4) \) maneiras 
de organizar os algarismos pares, e para as posições ímpares, temos \( P(5,3) \) maneiras 
de organizar os algarismos ímpares. Assim, o número total de números possíveis é \( 
P(5,4) \times P(5,3) \). 
 
49. Problema: Quantos anagramas da palavra "PARALELEPIPEDO" têm as letras "A" juntas 
e as letras "P" juntas? 
 Resposta: Podemos considerar as letras "A" e "P" como duas letras distintas. Assim, 
temos \( P(12,12) \) arranjos possíveis, e as letras "A" e "P" podem ser permutadas entre si. 
Portanto, o número total de anagramas é \( P(12,12) \times 2! \). 
 
50. Problema: Quantas maneiras diferentes existem para organizar as letras da palavra 
"MATHEMATICA" de modo que as duas letras "A" estejam juntas? 
 Resposta: Podemos considerar as duas letras "A" como uma única letra. Assim, temos \( 
P(10,10) \) arranjos possíveis, e as letras "A" podem ser permutadas entre si. Portanto, o 
número total de arranjos é \( P(10,10) \). 
 
51. Problema: Se 10 livros distintos devem ser divididos em 2 prateleiras distintas, 
quantas maneiras diferentes existem para fazer essa divisão? 
 Resposta: Podemos resolver este problema usando combinações. O número de 
maneiras diferentes de dividir 10 livros em 2 prateleiras distintas é \( C(10,5) \). 
 
52. Problema: Quantos anagramas da palavra "INDEPENDENTE" têm todas as letras 
diferentes? 
 Resposta: Como a palavra "INDEPENDENTE" tem 12 letras diferentes, o número de 
anagramas é \( 12! \). 
 
53. Problema: Quantos subconjuntos de um conjunto com 15 elementos têm tamanho 
par? 
 Resposta: Podemos contar o número de subconjuntos de tamanho par somando o 
número de subconjuntos de tamanho 0, 2, 4, 6, 8, 10, 12 e 14. Assim, o número de 
subconjuntos é \( 2^{15- 
 
1} \).