Permutação Simples e Anagramas

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Permutar é sinônimo de trocar a ordem, embaralhar, trocar 
objetos de posição. Quando calculamos a permutação de um 
número de objetos, estamos calculando quantos 
agrupamentos são possíveis de formar com esses elementos, 
usando todos em cada agrupamento. 
 
A permutação simples é igual à fatorial de um número. Dado 
um número inteiro, a permutação simples desse número será 
a multiplicação dele mesmo e de seus antecessores inteiros 
até o número 1. 
PERMUTAÇÃO 
A partir do que chamamos de árvore de possibilidades, 
podemos, por exemplo, saber quantos números de 3 algarismos 
podemos formar com os algarismos 1, 2 e 3, sem repeti-los num 
mesmo número. Permutação simples 
Assim, temos: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Pelo princípio 
fundamental da contagem, são 3 . 2 . 1 = 6 possibilidades. 
Observe que a ordem dos algarismos é algo importante, ou seja, 
todos os números diferem entre si pela ordem de seus algarismos. 
Usamos a permutação simples para: resolver exercícios que 
pedem anagramas; organizar objetos em diferentes lugares; 
formar números naturais de algarismos distintos, entre 
outros problemas que troquem a ordem de todos os objetos do 
conjunto. 
 
O que é permutação simples? 
Se temos n elementos distintos, então o número de 
agrupamentos ordenados (diferentes pela ordem) que podemos 
obter com todos esses n elementos é dado por: 
 
Pn = n . (n – 1) . (n – 2) . … . 3 . 2 . 1 = n! 
Exemplos 
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120; 
P2 = 2 . 1 = 2; 
P8 = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320. 
De quantas maneiras uma família de 5 pessoas pode se 
sentar num banco de 5 lugares para tirar uma foto? 
Resolução: 
Nesse exercício, vamos utilizar a permutação simples 
P5 para descobrir: 
P5 = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 maneiras. 
Em Matemática, mais precisamente nos conteúdos de análise 
combinatória, permutações entre as letras de uma palavra, 
entre os números de uma sequência, entre os elementos de 
um conjunto e assim por diante são chamadas de anagramas. 
Dessa maneira, os cálculos que 
envolvem anagramas geralmente terão o objetivo de 
descobrir de quantas formas é possível reordenar os 
elementos de um conjunto no qual a ordem desses 
elementos tem relevância. Por exemplo: de quantas maneiras 
é possível escolher a senha para um cartão de crédito 
sabendo-se que podem ser escolhidos quatro algarismos de 0 
a 9 sem que se repita. 
ANAGRAMAS 
Quantos anagramas podemos formar com a palavra GATO? 
 
Resolução: 
 
Podemos variar as letras de lugar e formar vários 
anagramas, formulando um caso de permutação simples. 
P = 4! = 24 
Quantos anagramas existem 
da palavra azul? 
 
Anagramas são todas as 
palavras formadas, com ou 
sem sentido, pelas letras da 
palavra dada, embaralhando 
a sua ordem. 
A maneira mais fácil de 
construir todas as 
possibilidades é pelo 
“diagrama de árvores”. 
Observe: 
MATEMÁTICA, 9º Ano 
Pontos no plano cartesiano/pares ordenados 
9 
Com relação a palavra BRASIL, 
quantos anagramas podemos formar: 
a) No total ? 
Resolução: __ __ __ __ __ __ 
 
b) Começados por BR nessa ordem? 
Resolução: 4! = 24  |BR| 4.3.2.1 
 
c) Começando por vogal e terminando em consoante ? 
 
Resolução: ___ ___ ___ ___ ___ ___ 
 Vogal consoante 
 
 
d) Com as letras BR juntas nesta ordem? 
 
Resolução: BR juntas significa que formarão uma única 
letra, 
logo o anagrama será composto de 5 letras, portanto a 
resposta é 5! = 120 
 
e) Com as letras BR juntas em qualquer ordem? 
Resolução: 
Em qualquer ordem, teremos 5! . 2 = 240 
Exemplo 1 
 
Vamos determinar os anagramas da palavra: 
 
a) ESCOLA 
A palavra possui 6 letras, dessa forma, basta determinarmos o 
valor de 6! (seis fatorial). 
 
 
b) ESCOLA que inicia com E e termina com A. 
 
6! = 6 * 5 * 4 * 3 * 2 * 1 = 720 
E ___ ___ ___ ___ A 
Vamos permutar as 4 letras não 
fixas. 
4! = 4 * 3 * 2 * 1 = 24 
 
Anagramas de palavras com letras repetidas 
Agora que já aprendemos a calcular a quantidade de anagramas 
com letras distintas, vamos aprender a calcular quando a palavra 
apresenta letras repetidas. O cálculo é muito simples, basta 
contar a quantidade de repetições. 
Veja o exemplo: 
Calcular a quantidade de anagramas da palavra JABUTICABA. 
Temos 10 letras. Se todas fossem diferentes, a quantidade de 
anagramas seria igual a 10!. Mas não é tão simples assim pois 
temos algumas repetições: 
 
A letra A aparece 3 vezes 
A letra B aparece 2 vezes 
 
Devemos descontar as repetições para que a contagem dos 
anagramas seja feita da forma correta. 
Para que isto seja feito, vamos dividir o 10! pelo fatorial de cada 
uma das repetições. Veja: 
 
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra 
MARAJOARA, aplicando a permutação teremos: 
Portanto, com a palavra MARAJOARA podemos formar 7560 
anagramas. 
 
Quantos anagramas podem ser formados com a palavra 
ITALIANA, aplicando a permutação teremos: 
Portanto, com a palavra ITALIANA podemos formar 3360 
anagramas 
Exemplo 1: 
Exemplo 2: 
Em uma prova composta de 20 questões envolvendo V ou F, 
de quantas maneiras distintas teremos doze respostas V e 
oito respostas F? 
Podemos ter 125.970 maneiras distintas de respostas 
envolvendo doze questões V e oito F. 
Ao preencher um cartão da loteria esportiva, André optou 
pelas seguintes marcações: 4 coluna um, 6 coluna do meio e 3 
coluna dois. De quantas maneiras distintas André poderá 
marcar os cartões? 
Os cartões poderão ser marcados de 60.060 maneiras 
diferentes. 
(ENEM) Para cadastrar-se em um site, uma 
pessoa precisa escolher uma senha 
composta por quatro caracteres, sendo dois 
algarismos e duas letras (maiúsculas ou 
minúsculas). As letras e os algarismos 
podem estar em qualquer posição. Essa 
pessoa sabe que o alfabeto é composto por 
vinte e seis letras e que uma letra maiúscula 
difere da minúscula em uma senha. 
 
O número total de senhas possíveis para o 
cadastramento nesse site é dado por: 
___ ___ ___ ___ 
 N N L L 
10 10 52 52 = 10² . 52² 
___ ___ ___ ___ 
___ ___ ___ ___ 
___ ___ ___ ___ 
___ ___ ___ ___ 
___ ___ ___ ___ 
___ ___ ___ ___ 
N N L L 
N L N L 
N L L N 
L L N N 
L N L N 
L N N L 
. 6 
= 10² . 52² . 4! 
 2! 2! 
ou 
(ENEM) Um banco solicitou aos seus clientes a criação de uma 
senha pessoal de seis dígitos, formada somente por algarismos de 
0 a 9, para acesso à conta corrente pela internet. 
Entretanto, um especialista em sistemas de segurança eletrônica 
recomendou à direção do banco recadastrar seus usuários, 
solicitando, para cada um deles, a criação de uma nova senha com 
seis dígitos, permitindo agora o uso das 26 letras do alfabeto, 
além dos algarismos de 0 a 9. Nesse novo sistema, cada letra 
maiúscula era considerada distinta de sua versão minúscula. Além 
disso, era proibido o uso de outros tipos de caracteres. 
Uma forma de avaliar uma alteração no sistema de senhas é a 
verificação do coeficiente de melhora, que é a razão do novo 
número de possibilidades de senhas em relação ao antigo. 
O coeficiente de melhora da alteração recomendada é: 
___ ___ ___ ___ ___ ___ 
10 Algarismos Possíveis 
 10 10 10 10 10 10 = 106 
10 Algarismos Possíveis, 
26 letras com maiúscula diferindo da minúscula 
___ ___ ___ ___ ___ ___ 62 62 62 62 62 62 
10 + 52 = 62 
= 626 
R = 626 
 106