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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS Formulário DERIVADAS Constante 𝑓(𝑥) = 𝑎 𝑓′(𝑥) = 0 Afim 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 + 𝑏 𝑓′(𝑥) = 𝑎 Identidade 𝑓(𝑥) = 𝑥 𝑓′(𝑥) = 1 Potência 𝑓(𝑥) = 𝑥𝑛 (𝑥 ∈ 𝑅+ ∗ 𝑒 𝑛 ∈ 𝑅) 𝑓′(𝑥) = 𝑛. 𝑥𝑛−1 Logarítmica 𝑓(𝑥) = log𝑎(𝑥) (𝑥 ∈ 𝑅+ ∗ 𝑒 0 < 𝑎 ≠ 1) 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 ∙ ln(𝑎) Logarítmica (Base Natural) 𝑓(𝑥) = ln(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1 𝑥 Exponencial (Base qualquer) 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 (𝑎 > 0) 𝑓′(𝑥) = 𝑎𝑥 ∙ ln(𝑎) Exponencial (base Natural) 𝑓(𝑥) = 𝑒𝑥 𝑓′(𝑥) = 𝑒𝑥 Seno 𝑓(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓′(𝑥) = cos (𝑥) Cosseno 𝑓(𝑥) = cos (𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑠𝑒𝑛(𝑥) Tangente 𝑓(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑠𝑒𝑐²(𝑥) Cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐²(𝑥) Secante 𝑓(𝑥) = sec (𝑥) 𝑓′(𝑥) = 𝑡𝑔(𝑥) ∙ sec (𝑥) Cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓′(𝑥) = −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) ∙ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) Arco-seno 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = 1 √1 − 𝑥² Arco-cosseno 𝑓(𝑥) = arccos (𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = − 1 √1 − 𝑥² Arco-tangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = 1 1 + 𝑥² Arco-cotangente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) 𝑓′(𝑥) = − 1 1 + 𝑥² Arco-secante 𝑓(𝑥) = arcsec (𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = 1 𝑥 ∙ √𝑥² − 1 Arco-cossecante 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑟𝑐𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) 𝑓 ′(𝑥) = − 1 𝑥 ∙ √𝑥² − 1 Produto de funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣(𝑥) 𝑓´(𝑥) = 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) + 𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) Divisão de funções 𝑓(𝑥) = 𝑢(𝑥) 𝑣(𝑥) 𝑓`(𝑥) = 𝑣(𝑥). 𝑢´(𝑥) − 𝑢(𝑥). 𝑣´(𝑥) (𝑣(𝑥)) 2 Regra da Cadeia 𝑦 = 𝑓(𝑔(𝑥)) 𝑦′ = 𝑔′(𝑥). 𝑓′(𝑔(𝑥)) CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS Formulário INTEGRAIS Integral Indefinida Função Primitiva ∫[𝑓(𝑥) ± 𝑔(𝑥)]𝑑𝑥 = ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ± ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝐹(𝑥) ± 𝐺(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝐶1 𝑑𝑥 𝐶1. 𝑥 + 𝐶 ∫ 𝐶. 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝐶. ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑛𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑚 𝑛 ≠ −1 𝑥𝑛+1 𝑛 + 1 + 𝐶 ∫ 1 𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑥−1𝑑𝑥 ln|𝑥| + 𝐶 ∫ 𝑒𝑥𝑑𝑥 𝑒𝑥 + 𝐶 ∫ 𝑎𝑥𝑑𝑥 𝑎𝑥 ln(𝑎) + 𝐶 ∫ 𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑑𝑥 − cos(𝑥) + 𝐶 ∫ cos(𝑥) 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑥) + 𝐶 ∫ sec2(𝑥)𝑑𝑥 𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐2(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥) + 𝐶 ∫ sec(𝑥) 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 sec(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥). 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) + 𝐶 ∫ 𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 −ln|cos(𝑥)| + 𝐶 = 𝑙𝑛|sec(𝑥)| + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑛(𝑥)| + 𝐶 ∫ sec(𝑥) 𝑑𝑥 𝑙𝑛|sec(𝑥) + 𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 ∫ 𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥)𝑑𝑥 𝑙𝑛|𝑐𝑜𝑠𝑠𝑒𝑐(𝑥) − 𝑐𝑜𝑡𝑔(𝑥)| + 𝐶 ∫ 1 √𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 𝑠𝑒𝑛−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝐶 ∫ 1 𝑎2 + 𝑥2 𝑑𝑥 𝑡𝑔−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝐶 ∫ 1 𝑥. √𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥 1 𝑎 . 𝑠𝑒𝑐−1 ( 𝑥 𝑎 ) + 𝐶 ∫ 1 𝑎2 − 𝑥2 𝑑𝑥 1 2𝑎 𝑙𝑛 | 𝑥 + 𝑎 𝑥 − 𝑎 | + 𝐶 ∫ 1 √𝑥2 − 𝑎2 𝑑𝑥 𝑙𝑛 |𝑥 + √𝑥2 − 𝑎2| + 𝐶 ∫ 𝑓(𝑢)𝑑𝑢 𝑜𝑛𝑑𝑒 𝑢 = 𝑓(𝑥) 𝐹(𝑢) + 𝐶 ∫ 𝑢. 𝑑𝑣 𝑢. 𝑣 − ∫ 𝑣. 𝑑𝑢 CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS Formulário 𝑑𝑧 𝑑𝑡 = 𝜕𝑧 𝜕𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑡 + 𝜕𝑧 𝜕𝑦 . 𝑑𝑦 𝑑𝑡 𝜕𝑤 𝜕𝑠 = 𝜕𝑤 𝜕𝑥 . 𝑑𝑥 𝑑𝑠 + 𝜕𝑤 𝜕𝑦 . 𝑑𝑦 𝑑𝑠 + 𝜕𝑤 𝜕𝑧 . 𝑑𝑧 𝑑𝑠 𝜕𝑧 𝜕𝑥 = 𝑧𝑥 = − 𝐹𝑥 𝐹𝑧 𝑧 − 𝑓(𝑥0, 𝑦0) = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 (𝑥0, 𝑦0)[𝑥 − 𝑥0] + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 (𝑥0, 𝑦0)[𝑦 − 𝑦0] ∇𝑓 = 𝜕𝑓 𝜕𝑥 𝑖 + 𝜕𝑓 𝜕𝑦 𝑗 + 𝜕𝑓 𝜕𝑧 �⃗⃗� �⃗⃗� = �⃗� |�⃗�| 𝑑𝑓 𝑑𝑠 = ∇𝑓. �⃗⃗� Classificação de pontos críticos Para P(a,b) com 𝑓𝑥(𝑎, 𝑏) = 𝑓𝑦(𝑎, 𝑏) = 0. Seja o determinante 𝐷 = | 𝑓𝑥𝑥 𝑓𝑥𝑦 𝑓𝑦𝑥 𝑓𝑦𝑦 | = 𝑓𝑥𝑥𝑓𝑦𝑦 − (𝑓𝑥𝑦) 2 i. Se D>0 e 𝑓𝑥𝑥(a,b)>0, então P é mínimo local ii. Se D>0 e 𝑓𝑥𝑥(a,b)<0, então P é máximo local iii. Se D<0, então P é ponto de sela. INTEGRAIS MULTIPLAS Região D do tipo I: Região D do tipo II: Coordenadas Polares Coordenadas Cilíndricas CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL A VÁRIAS VARIÁVEIS Formulário Coordenadas Esféricas