EQUAÇÕES DIFERECIAIS E CALCULO VETORIAL

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EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
CONTEÚDO PROGRAMÁTICO
Modelagem com equações diferenciais 
Equações diferenciais ordinárias lineares
Técnica de resolução de EDOs por separação de variáveis (EDOs
homonêneas)
Técnica de resolução de EDOs pelo fator integrante (EDOs não-
homonêneas)
Equações exatas
Campos vetoriais 
Gradiente, rotacional, divergente e laplaciano
OBS.: ao final deste arquivo existem diversos complementos
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
Bibliografia básica
BOYCE, Willian E. ; DIPRIMA, Richard C. Equações diferenciais elementares e
problemas de valores de contorno. Rio de Janeiro: Guanabara, 1988.
FLEMMING, Diva Marília ; GONÇALVES, Mirian Buss. Cálculo A: funções, limite,
derivação, integração. São Paulo: Pearson Education, 2007.
GUIDORIZZI, Hamilton Luiz. Um curso de cálculo. Rio de Janeiro: LTC, 2000. v. 1 e 2.
STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, c2008. v.1 e 2.
Conceitos básicos de equações diferenciais
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Aplicações de equações diferencias
Conceitos básicos de equações diferenciais
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Aplicações de equações diferencias
Conceitos básicos de equações diferenciais
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Aplicações de equações diferencias
Conceitos básicos de equações diferenciais
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Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo
menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação
diferencial.
Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas
totais é denominada de equação diferencial ordinária.
Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada
parcial é denominada de equação diferencial parcial.
Conceitos básicos de equações diferenciais
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Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da
derivada que aparece na equação.
Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior
ordem envolvida na equação.
Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação
diferencial em um ponto.
Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é
chamada problema de valor inicial (PVI).
Resolução de equações diferenciais
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Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que
satisfazem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial
que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam
soluções são chamadas curvas integrais. Existem 3 tipos de soluções:
Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes
arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração;
Solução particular: é a solução deduzida da solução geral
atribuindo-se valores particulares às constantes;
Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e
que só existe em alguns casos.
Resolução de equações diferenciais
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Família de soluções y(t) no intervalo IExemplo:
Resolução de equações diferenciais
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Resolução de equações diferenciais
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Resolução de equações diferenciais
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Resolução de equações diferenciais
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EXERCÍCIOS
Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial
correspondente e determinar as constantes de modo que a solução
particular satisfaça a condição dada:
Resolução de equações diferenciais
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Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da
equação:
EXERCÍCIOS
Resolução de equações diferenciais
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Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da
equação:
EXERCÍCIOS
Resolução de equações diferenciais
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Em cada caso, determinar e a constante de integração c,
de modo que y satisfaça a condição dada:
EXERCÍCIOS
Resolução de equações diferenciais
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EXERCÍCIOS
Equações diferenciais ordinárias de 1ª ordem e 1° grau
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Equações diferenciais ordinárias separáveis
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Apresentam-se ou são transformáveis em uma equação do tipo
Mdx Ndy 0, onde M e N podem ser: funções de uma variável,
produtos com fatores de uma só variável ou constantes.
São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e
integrar.
Resolução de equações diferenciais
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Resolução de equações diferenciais
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equações diferenciais de variáveis separáveis
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Exemplos:
EXERCÍCIOS
Equações diferenciais de variáveis separáveis
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EXERCÍCIOS
Dica: usar técnica da substituição (final deste arquivo)
Equações diferenciais de variáveis separáveis
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Exemplos:
Encontre uma expressão para a corrente
em um circuito onde a resistência é 12
ohms, a indutância é de 4 H, uma bateria
dá uma tensão constante de 60 V, e o
interruptor é ligado quando t=0. Qual é o
valor limite da corrente?
Dica: usar técnica da substituição (final deste arquivo)
Equações diferenciais de variáveis separáveis
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Exercícios: Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais.
Equações diferenciais de variáveis separáveis
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Exercícios: Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):
Equações diferenciais separáveis
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EXEMPLOS
Equações diferenciais separáveis
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EXEMPLOS: aplicação
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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As equações (diferenciais ordinárias) lineares de 1ª ordem
são equações que podem ser escritas como:
A resolução desse tipo de equação diferencial se dá de duas formas:
Equações em que p(t) = 0
Equações em que p(t) 0
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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Equações em que p(t) = 0
Se a função p(t) = 0, tem-se:
A solução é calculada como uma equação separada:
Exemplo:
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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Equações em que p(t) 0
Define-se uma função auxiliar, u(t), de forma que ao multiplicarmos a
equação geral por esta função, a equação obtida é uma equação linear
com p(t) = 0, ou seja, do tipo anterior. Uma função com esta propriedade
é chamada fator integrante da equação linear.
A função u(t) é calculada conforme se segue:
Onde:
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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Equações em que p(t) 0
Após o cálculo de u(t), multiplica-se na equação geral:
Mas o lado esquerdo dessa equação é a derivada de um produto o 
que faz com que ela possa ser reescrita na forma:
Integrando dos dois lados da equação:
Exemplo
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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Equações em que p(t) 0
OBSERVAÇÃO: ao invés de efetuar todos os procedimentos
anteriores, pode-se aplicar diretamente a solução direta,
conforme equação abaixo
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equaçõesdiferenciais lineares de 1ª ordem
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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EXEMPLOS
RESOLVIDOS
Equações diferenciais lineares de 1ª ordem
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Equações diferenciais lineares
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EXEMPLOS
Campos de Direção
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Em geral, suponha que temos uma equação diferencial de primeira ordem
da forma:
Infelizmente, é impossível resolver a maioria das equações diferenciais no
sentido de obter uma fórmula explícita para a solução. Apesar da ausência
de um solução explícita, ainda podemos aprender muito sobre a solução
através de uma abordagem gráfica (campos de direção) ou uma abordagem
numérica (método de Euler).
Onde F(x,y) é uma expressão em x e y. A equação diferencial diz que a
inclinação de uma curva de solução num ponto (x,y) da curva é F(x,y). Se
desenharmos segmentos de linha curtos com inclinação F(x,y) em vários
pontos (x,y), o resultado é chamado de campo de direção. Esses segmentos
de linha indicam a direção na qual uma curva da solução está. O campo de
direção nos ajuda a visualizar a forma geral dessas curvas.
Campos de Direção
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STEWART, James. Cálculo. São Paulo: Cengage Learning, c2008. v.1 e 2.
Campos vetoriais
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GRADIENTE
Chamamos de campos vetoriais, basicamente, as
funções que associam vetores a pontos no plano ou
no espaço. Podemos associá-los a várias grandezas
físicas, como velocidade, temperatura, força,
eletricidade etc. Em geral, um campo vetorial é uma
função com domínio: pontos em R2 ou R3 e imagem:
vetores em V2 ou V3.
Campos vetoriais
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Campos vetoriais
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GRADIENTE
O operador diferencial ( ) é definido como:
O vetor gradiente é obtido aplicando o operador
em um campo escalar.
Campos vetoriais
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DIVERGENTE ROTACIONAL
Rotacional e divergente são duas operações essenciais nas
aplicações de cálculo vetorial em mecânica dos fluidos, eletricidade e
magnetismo, entre outras áreas.
Em termos gerais, o rotacional e o divergente lembram a derivada
mas produzem, respectivamente, um campo vetorial e um campo
escalar.
Ambas operações são descritas em termos do operador diferencial .
Campos vetoriais
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DIVERGENTE
Fisicamente, o divergente é interpretado como um fluxo pontual.
Campos vetoriais
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ROTACIONAL
Fisicamente, o rotacional é interpretado como uma circulação no espaço.
Campos vetoriais
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EXEMPLOS
Campos vetoriais
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LAPLACIANO
O operador Laplaciano é um escalar definido como divergente
de um campo gradiente.
Fisicamente, o Laplaciano é interpretado como a concavidade no
comportamento da função .
Uma função escalar é harmônica se essa função for de classe 
R² e se satisfizerem a Equação de Laplace:
Equações diferenciais exatas
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Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. Mdx + Ndy = 0 
é diferencial exata se, e somente se,
Exemplo: Verificar se a equação (x² - y²)dx 2xydy 0 é diferencial exata.
Integrais de linha
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Nesta seção, definimos uma integral que é semelhante a uma única
integral, exceto que em vez de integrar ao longo de um intervalo [a,b],
nós integramos sobre uma curva. Essas integrais são chamadas
Integrais de linha. Elas foram inventados para resolver problemas
envolvendo fluxo de fluidos, forças, eletricidade e magnetismo.
Esse assunto não será cobrado 
nesta edição de PRA
Integrais de linha
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Integrais de linha
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Para calcular uma integral de linha, é necessário conhecer a
equação da curva C, a qual pode ser dada na forma cartesiana ou
paramétrica. A forma cartesiana é mais utilizada, quando a curva C
é o gráfico de uma função y=g(x). Já a forma paramétrica, abrange
o caso geral, tanto para gráficos de função ou não.
Integrais de linha
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Integrais de linha
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Integral de linha para 2 coordenadas:
Integral de linha para 3 coordenadas:
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
1
2
3
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
4
Continuação:
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
5
Continuação:
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
Integrais de linha
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Continuação:
Exercícios propostos:
Integrais de linha
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Continuação:
Exercícios propostos:
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
Integrais de linha
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Continuação:
Exercícios propostos:
Integrais de linha
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Exercícios propostos:
Calcule a integral de linha, onde C é a curva dada 
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MATERIAL COMPLEMENTAR
DERIVADAS
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Derivada de uma função
Conceitos básicos de derivada
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Exemplo 1. Suponhamos que a temperatura de uma sala seja f(x) = x2
hCxf
x
xx
x
x
f
x
xx
/º2)1(lim)1('
1
)1)(1(
lim
1
1
lim)1('
1
1
2
1
0
0
0
0
)()(
limlim)('
0 xx
xfxf
x
y
xf
xxx
Conceitos básicos de derivada
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Exemplo 2 Determinar a derivada da função f(x) = 2x2 no ponto x0 = 3,
ou seja, 3).
Temos: x0 = 3 e f(x0) = f(3) = 2.32 = 18
Conceitos básicos de derivada
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Exemplo 3 Determinar a derivada da função f(x) = x2 - 6x no ponto
x0 = 2, ou seja, 2).
Temos: x0 = 2 e f(x0) = f(2) = 22 6.2 = -8
Conceitos básicos de derivação
Regras de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO CONSTANTE:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
a)
b)
c)
a) 
b) 
c)
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ALGÉBRICA:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO ALGÉBRICA:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO EXPONENCIAL:
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
Seja f(x) = ax, sua derivada é: ax . ln(a)
Seja f(x) = ex, sua derivada é a própria x.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO LOGARÍTMICA
Seja f(x) = lnx, sua derivada é; .
Seja f(x) = loga(x), sua derivada é; ln(a)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III 
EXEMPLO DA DERIVADA DE UMA FUNÇÃO TRIGONOMÉTRICA:
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
Regra da soma
Regra do produto
Regra da divisão
Regra da cadeia
Regra da multiplicação por escalar
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
Regra da soma
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
Regra da multiplicação por escalar
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra do produto
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra do produto
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra da divisão
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra da cadeia
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra da cadeia
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Regra da cadeia
Conceitos básicos de derivação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III
Propriedades de derivação
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MATERIAL COMPLEMENTAR
VETORES
Conceitos básicos álgebra vetorial
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Notação vetorial
Conceitos básicos álgebra vetorial
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Produto escalar
CONCLUSÃO:
Conceitos básicos álgebra vetorial
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Produto vetorial
Duas regras práticas: determinante da matriz
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MATERIAL COMPLEMENTAR
ÁLGEBRA
Conceitos básicos de álgebra
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
RADICIAÇÃOEXPONENCIAÇÃO
Conceitos básicos de álgebra
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
FUNÇÃO EXPONENCIAL
y = ex se, e somente se, x = ln(y)
ln(ex) =x
ex+y= ex.ey
ex-y = ex/ey
ex.k = (ex)k
Conceitos básicos de álgebra
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
PRODUTOS NOTÁVEIS
EQUAÇÃO DO SEGUNDO GRAU: FÓRMULA DE BHÁSKARA
ax² + bx + c = 0
Conceitos básicos de álgebra
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a
c
xx 21
EQUAÇÃO DO TERCEIRO GRAU: Relações de Girard
Conceitos básicos de álgebra
EQUAÇÕES DIFERENCIAIS E CÁLCULO VETORIAL 
IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS
Conceitos básicos de álgebra
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EXEMPLOS DE AVALIAÇÃO
QUESTÃO 1
Seja a equação diferencial não-linear de segunda ordem mostrada baixo, verifique se a 
função y indicada é solução da equação diferencial e determine o valor dos coeficientes A e B 
por meio das condições iniciais e . 
QUESTÃO 2
Resolver a EDO de 1ª ordem homogênea ao lado
com a condição inicial y( ) = 5.
QUESTÃO 3
Calcule o rotacional do campo vetorial F abaixo e aplique no ponto P(1,-1,2).
+3y²z²
QUESTÃO 4
Calcule o divergente do campo vetorial F abaixo e aplique no ponto P(1,2,-2).
+3xz²
QUESTÃO 1
Determine qual ou quais das funções y1 e y2 abaixo são soluções da equação diferencial.
Aquela que for solução, calcule o valor da constante C para a condição y(2)=8.
QUESTÃO 2
Resolver a EDO de 1ª ordem homogênea ao lado
com a condição y(1) = 4.
QUESTÃO 3
Calcule o rotacional e o divergente da função F abaixo e aplique no ponto P(1,-1,2).
+3x²y²z²
QUESTÃO 4
Calcule a integral sobre a curva C, onde C representa uma superfície circular cujas equações
paramétrica são: , entre os pontos P1(1,0,0) e P2(1,2; ).
MATERIAL COMPLEMENTAR
INTEGRAIS
Antiderivação e Integração
Antiderivação é uma operação que consiste em encontrar uma
função F(x), cuja derivada é uma função conhecida f(x). Se a
função F(x) existir, ela é chamada antiderivada de f(x).
Exemplo
Seja . Uma antiderivada de f(x) é:
, pois
Costuma-se chamar a operação de antiderivação também
por integração e a antiderivada de integral.
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Antiderivação e Integração
Todas as integrais indefinidas devem ter o complemento
+C em sua solução pois muitas funções têm a mesma
derivada;
A integral indefinida é aquela para a qual não foi definida
um intervalo de valores, portanto, ela é uma função ou
família de funções;
A integral definida é aquela definida dentro de um certo
intervalo e calculada neste intervalo, portanto, ela é um
número.
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Integral Indefinida
A operação que envolve uma integral indefinida consiste em achar sua 
primitiva, ou seja, é a mesma operação que consiste em achar uma 
antiderivada. O que muda então?
A notação!
Para denotar a integral de uma função passaremos a utilizar a seguinte 
notação:
Seja . Uma primitiva de f é:
Pois . Assim, a nova notação estabelece que:
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Exemplo
A integral de é:
A integral de é:
A integral de é:
A integral de é:
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Definição simbólica
Se F(x) é uma primitiva de f(x), a expressão F(x) + C
é chamada integral indefinida da função f(x) e é
representada pela expressão:
O símbolo dx que aparece na fórmula serve para
identificar a variável sobre a qual se processa a
integração.
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Exemplo
Significa que a operação de integração incide sobre a
variável x .
Significa que a operação de integração incide sobre a
variável y .
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
Sabemos que a derivada é um dos conceitos mais
importantes do Cálculo. Outro conceito também muito
importante é o de Integral. Existe uma estreita relação
entre estas duas ideias.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Resumindo:
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Qual o significado da constante C?
Resumindo:
Conceitos básicos de integração
Integral de uma função
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Observe: após resolver o cálculo da integração, os símbolos
da integral e a diferencial não são copiados no resultado!
Resumindo:
Conceitos básicos de integração
Regras de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
INTEGRAIS IMEDIATAS PROPRIEDADES
Conceitos básicos de integração
Resumo
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
(Multiplicação por uma constante: coloca-se a constante fora da integral)
(A integral de uma soma de função pode ser calculada pela soma da integral de cada função)
(A derivada de uma integral resulta na própria função do integrando)
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Calcular 
EXEMPLO
Integral de uma função constante
Uma primitiva de uma função constante f(x) = k, é a 
função linear F(x) = k.x, pois k.x . 
Logo:
Exemplo
Conceitos básicos de integração
Regras de integração: exemplos de aplicação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Integral de uma função potência
Seja, por exemplo, f(x) = x4.
Uma primitiva de f(x) é pois = x4.
Logo:
Portanto, uma primitiva da função f(x) = xn, com
n -1, é a função
Conceitos básicos de integração
Regras de integração: exemplos de aplicação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Caso especial de Integral de uma função potência
Seja, por exemplo, f(x) = x-1 = 1/x.
Uma primitiva de f(x) = 1/x é a função F(x) = ln|x|, 
portanto:
Conceitos básicos de integração
Regras de integração: exemplos de aplicação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Propriedades
Integral da soma
Exemplo
2
2x+ + + C
Conceitos básicos de integração
Regras de integração: exemplos de aplicação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Propriedades
Integral da diferença
Exemplo
- + C
Conceitos básicos de integração
Regras de integração: exemplos de aplicação
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLOS RESOLVIDOS
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
CÁLCULO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃOConceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Dada uma função y = F(x), em que f '(x) é sua derivada, sabemos
que a integral da derivada de f'(x) é uma função F(x), sendo a
integral dessa função igual a F(x) + C.
Deste modo, temos infinitas funções que se diferenciam através
da constante C, sendo que se for dado F(x0) = y0, poderemos
determinar o valor da constante.
CÁLCULO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Seja F(x) uma função onde sua derivada
Calcular o valor de F(x) que satisfaça a condição inicial F(-1) = 1.
Passo 1: integrar a função
CÁLCULO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Passo 2: aplicar a condição inicial F(-1) = 1.
Passo 3: apresentar a função:
CÁLCULO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO: EXEMPLOS
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Determine o valor da constante das integrais das equações abaixo:
F(4) = 0 F(4) = 0
CÁLCULO DA CONSTANTE DE INTEGRAÇÃO: EXEMPLOS
Conceitos básicos de integração
Propriedades de integração
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Determine o valor da constante das integrais das equações abaixo:
INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLO
INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLO
INTEGRAL DEFINIDA
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
EXEMPLO
Resultado:
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Integração por substituição
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Essa método é geralmente utilizado quando há função composta no
integrando, cuja resolução não se dá de forma direta.
Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral função
da função composta f(g(x)).
Passo 2. Calcule du = dx.
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = dx para converter a integral em
uma outra envolvendo apenas u.
Passo 4. Calcule a integral resultante.
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x.
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO
Passo 1. Considere u = g(x), onde g(x) é parte do integrando, em geral função da função
composta f(g(x)).
No caso acima, tem-se:
Passo 2. Calcule du = dx.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Passo 3. Use a substituição u = g(x) e du = dx para converter a integral em
uma outra envolvendo apenas u.
Passo 4. Calcule a integral resultante.
Passo 5. Substitua u por g(x) para obter a solução final como função de x.
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO
CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL III PRA 
Conceitos básicos de integração
Técnicas de integração Substituição: EXEMPLO