01 - Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico Para Tomada de Decisão_ Introdução à linguagem lógica

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UNESA - CAMPUS PRESIDENTE VARGAS
HEMERSON SANTIAGO D A SILVA
MATRÍCULA: 202301528241
RELAÇÕES INTERNACIONAIS - COMÉRCIO EXTERIOR - DIREITO INTERNACIONAL
Raciocínio Lógico, Crítico e Analítico Para Tomada de Decisão
● Introdução à linguagem lógica
Descrição
Você vai aprender os princípios lógicos, estruturas e tabelas-verdade, equivalência
lógica, leis do pensamento aristotélico e relações entre proposições. Também verá
exemplos de operações de conjuntos e a conexão entre lógica e as operações
básicas.
Propósito
A lógica tem aplicação direta em campos como ciência da computação, filosofia,
matemática, direito e ciências sociais, capacitando os alunos a tomar decisões
fundamentadas e identificar falácias. Ter uma compreensão sólida dos princípios
lógicos e estruturas fundamentais para analisar, avaliar e construir argumentos de
forma racional é de extrema importância para o desenvolvimento de habilidades de
pensamento crítico.
Objetivos
Módulo 1: Introdução aos princípios lógicos
Identificar os princípios lógicos que regem o pensamento humano e investigar a
importância do princípio da não contradição, bem como o princípio da identidade.
Módulo 2: Principais estruturas lógicas e tabelas-verdade
Formular as principais estruturas lógicas e suas tabelas-verdade e conhecer as
propriedades da conjunção, disjunção, condicional e bicondicional.
Módulo 3: Equivalência lógica
Identificar as principais regras de equivalência lógica.
Módulo 4: Principais regras e relações lógicas
Reconhecer as implicações lógicas entre proposições, incluindo implicações,
equivalências, tautologias e contradições.
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Introdução
A lógica permeia diversas áreas do conhecimento e está presente em nosso
cotidiano de maneira mais profunda do que imaginamos. Vamos explorar os
fundamentos dessa ciência, que nos permite analisar, avaliar e construir argumentos
de forma racional.
Abordaremos os princípios lógicos que regem o pensamento humano, investigando
a importância do princípio da não contradição (uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo) e da identidade, que nos permitem
desenvolver um pensamento mais claro e coerente.
Exploraremos as principais estruturas lógicas e suas tabelas verdade.
Conheceremos as propriedades da conjunção, disjunção, condicional e
bicondicional; aprenderemos a construir tabelas-verdade e veremos como essas
estruturas se relacionam entre si.
A equivalência lógica nos permite simplificar e transformar expressões lógicas sem
alterar seu significado. Veremos suas principais regras, como a lei da dupla negação
e a regra de Morgan, e aprenderemos a aplicá-las na simplificação de argumentos
complexos.
Exploraremos ainda as relações entre proposições, incluindo implicações,
equivalências e contradições. Veremos quando uma proposição implica em outra,
quando duas proposições são equivalentes, bem como detectar tautologias e
contradições lógicas.
Utilizaremos exemplos de linguagem lógica simbólica e nossa linguagem corrente.
Você verá que a lógica pode ser uma ferramenta poderosa para analisar e resolver
problemas complexos, além de desenvolver habilidades de pensamento crítico,
valiosas em sua carreira profissional.
A lógica está presente em todos os aspectos da vida. Aqui você será capaz de
compreender seus princípios básicos e introdutórios à linguagem e aplicá-la de
maneira eficaz.
1 - Introdução aos princípios lógicos
Ao nal deste módulo, você será capaz de identificar os princípios lógicos que regem
o pensamento humano e investigar a importância do princípio da não contradição,
bem como o princípio da identidade.
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Introdução à lógica e sua importância em áreas do conhecimento
A lógica permeia diversas áreas do conhecimento, desde a filosofia e a matemática
até a ciência da computação e a linguística. Ela nos permite analisar argumentos de
forma sistemática, identificar falhas de raciocínio e construir pensamentos
coerentes. Ao dominar seus conceitos básicos, desenvolvemos habilidades
essenciais, como o pensamento crítico, a capacidade de avaliar informações e
resolver problemas.
O pensamento lógico também ajuda a analisar e compreender estruturas e relações
entre as proposições. Por meio dos conectivos e estruturas lógicas (como a
negação, a conjunção, a disjunção, a disjunção exclusiva, a condicional e a
bicondicional), podemos combinar proposições simples e criar proposições
compostas.
A lógica é a ciência da razão e do raciocínio válido.
A lógica nos possibilita distinguir entre argumentos válidos, ou seja, aqueles cujas
conclusões são logicamente inferidas a partir de suas premissas, e argumentos
inválidos, que contêm falhas lógicas. Ao compreender as leis do pensamento e os
princípios lógicos, somos capazes de avaliar a validade de um argumento e
identificar possíveis erros de raciocínio.
Dica
A construção e interpretação de tabelas-verdade nos permite determinar os valores
lógicos dessas proposições compostas em diferentes cenários. Isso é
particularmente importante em áreas como a matemática e a ciência da
computação, em que a lógica é usada para estabelecer as bases do raciocínio
dedutivo e da programação.
Além de sua aplicação direta em várias disciplinas, a lógica também promove o
pensamento crítico e a argumentação, auxiliando na tomada de decisão; ensina a
formular perguntas claras, a examinar evidências de forma imparcial e avaliar
argumentos com base em critérios objetivos. A habilidade de pensar logicamente
nos capacita a tomar decisões e a evitar falácias e vieses cognitivos que podem
levar a conclusões equivocadas.
Na filosofia, a lógica desempenha papel fundamental na análise e avaliação dos
argumentos, permitindo identificar os válidos e inválidos, examinando a estrutura
lógica subjacente. Além disso, a lógica nos ajuda a evitar falácias comuns e
construir argumentos mais sólidos e convincentes.
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Veja a seguir como a lógica se aplica nestes aspectos.
➢ Filosofia: Desempenha papel fundamental na análise e avaliação dos
argumentos, permitindo identificar os válidos e inválidos, examinando a
estrutura lógica subjacente. Além disso, a lógica nos ajuda a evitar falácias
comuns, e construir argumentos mais sólidos e convincentes.
➢ Matemática: É essencial para o raciocínio dedutivo e a demonstração de
teoremas. Os conceitos de verdade e falsidade são cruciais para a
construção de provas lógicas e a resolução de problemas matemáticos. Por
meio da lógica, estabelecemos uma base sólida para a compreensão das
estruturas e relações matemáticas.
➢ Ciência da computação: É amplamente utilizada na programação e no
design de algoritmos. Os conectivos lógicos (como a negação, conjunção,
disjunção, condicional e bicondicional) permitem a construção de expressões
lógicas complexas. Por meio das tabelas-verdade, podemos determinar os
valores lógicos dessas expressões e garantir o correto funcionamento dos
programas.
➢ Linguística: Aplicada no estudo da semântica e da análise de argumentos
linguísticos, ajudando a identificar ambiguidades e contradições na
linguagem, permitindo uma análise mais precisa da estrutura e do significado
das sentenças.
O estudo dos conceitos básicos da lógica (como proposições lógicas, princípio da
não contradição, princípio do terceiro-excluído, sentenças abertas, verdade e
falsidade) é fundamental para o desenvolvimento do pensamento crítico e racional.
Resumindo
Os conceitos básicos da lógica são a base para a construção de argumentos
sólidos, resolução de problemas complexos e tomada de decisões. Ao dominar
esses fundamentos, estamos preparados para explorar os aspectos mais
avançados da lógica e suas aplicações em diferentes áreas do conhecimento.
Conceitos básicos: proposição lógica, sentença, verdade, falsidade
A lógica é essencial para a compreensão do raciocínio e da estrutura dos
argumentos. Para adentrar nesse campo, é fundamental familiarizar-se com alguns
conceitos básicos que servem como alicerce para a lógica e suas aplicações.
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Proposição lógica
Frase declarativa que pode ser classificadacomo verdadeira ou falsa. É importante
ressaltar que nem todas as frases se enquadram nessa categoria.
Atenção, essas sentenças não são consideradas proposições lógicas! Veja!
● Frases exclamativas: Frases como "Que dia maravilhoso!" não podem ser
consideradas proposições lógicas, pois não têm valor lógico definitivo.
● Frases imperativas: Frases como "Feche a porta!" não são proposições
lógicas, pois não expressam uma afirmação que pode ser verdadeira ou
falsa.
● Frases interrogativas: Frases como "Você vai viajar?" não são proposições
lógicas, pois expressam uma pergunta e não uma afirmação com valor lógico
determinado.
Uma proposição lógica é uma frase declarativa, uma afirmação que pode ser
categorizada como verdadeira ou falsa. Deve ser formulada de maneira clara e
inequívoca, permitindo a determinação de seu valor lógico.
Exemplo
"O sol nasce no leste" é uma proposição lógica verdadeira. "Os pássaros cantam
todas as manhãs" é uma proposição lógica falsa.
Notação
Para reforçar a representação das proposições lógicas verdadeiras e falsas,
podemos utilizar as letras V (verdadeiro) e F (falso) para atribuir valores de verdade
a elas. Essa convenção permite uma representação clara e padronizada dos valores
lógicos das proposições.
Ao analisar uma proposição, podemos atribuir o valor V quando ela é verdadeira e o
valor F quando é falsa, facilitando a compreensão e a avaliação das afirmações
lógicas. Essa representação é especialmente útil ao trabalhar com tabelas-verdade,
em que as diferentes combinações de valores V e F para proposições e conectivos
lógicos podem ser exploradas para determinar resultados lógicos de expressões
mais complexas.
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Curiosidade
Alguns autores utilizam a representação numérica, usando "1" para representar
verdadeiro e "0" para representar falso. Essa notação é comumente empregada em
contextos em que a lógica é aplicada em sistemas digitais, como a lógica booleana
e a programação de computadores.
A representação numérica da notação, usando "1" e "0", tem a vantagem de ser
facilmente mapeada para conceitos de verdadeiro e falso, sendo especialmente útil
em circuitos digitais, nos quais os valores lógicos são representados
eletronicamente. Além disso, essa notação se alinha à representação binária,
utilizada em sistemas computacionais.
Tanto a representação com "V" e "F" quanto a representação com "1" e "0"
são formas válidas e amplamente utilizadas para atribuir valores de verdade
às proposições lógicas. A escolha entre essas convenções depende do
contexto e da preferência do autor ou da área de estudo.
Portanto, ao estudar lógica, é importante estar ciente das diferentes formas de
representação dos valores de verdade e adaptar-se ao padrão utilizado na fonte
consultada ou definido no curso em questão. Deve-se compreender a relação entre
os símbolos adotados e os conceitos de verdadeiro e falso.
Sentença aberta
Além das proposições, outro conceito importante é o de sentença aberta. Estrutura
com variáveis não pode ser classificada como verdadeira ou falsa até que valores
específicos sejam atribuídos a elas.
Exemplo
A sentença aberta "x + 2 = 5" só pode ser avaliada como verdadeira ou falsa
quando um valor é atribuído à variável x. Se x = 3, a sentença se torna
verdadeira, mas se x = 4, a sentença se torna falsa.
Verdade x Falsidade
Os conceitos de verdade e falsidade estão intrinsecamente relacionados às
proposições lógicas. Uma proposição é considerada verdadeira se está em
conformidade com os fatos e a realidade, é falsa se entra em contradição com eles.
Determinar a verdade ou falsidade de uma proposição é aspecto crucial da análise
lógica.
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Além desses conceitos básicos, há outros termos relevantes na lógica, como
premissa, conclusão, conectivos lógicos e tabelas-verdade.
A lógica facilita a análise do raciocínio e a tomada de decisões, e nos capacita para
distinguir entre informações válidas e falaciosas, tomar decisões embasadas em
fundamentos sólidos, identificar erros de raciocínio e contradições, permitindo uma
análise crítica mais precisa.
Resumindo
A introdução à lógica é fundamental para uma compreensão profunda das
estruturas do pensamento e da argumentação. Ela nos permite analisar, avaliar e
construir argumentos de forma racional, desenvolvendo habilidades de pensamento
crítico cruciais em diversas áreas do conhecimento.
Leis do pensamento aristotélico
As leis do pensamento aristotélico são fundamentais para a lógica clássica, e têm
influência significativa na forma como entendemos o raciocínio e a validade dos
argumentos. Essas leis, formuladas por Aristóteles, são compostas por 3 princípios
que fornecem a base para construção de argumentos lógicos e análise rigorosa de
proposições. Conheça esses princípios!
● Princípio da identidade: Afirma que uma coisa é idêntica a si mesma. Em
termos lógicos, uma proposição é verdadeira se, e somente se, ela se refere
a algo verdadeiro. Por exemplo, se afirmarmos "O céu é azul", essa
afirmação será verdadeira apenas se o céu for, de fato, azul. Esse princípio é
intuitivo e serve como base para a consistência do raciocínio. Sem ele, seria
impossível estabelecer qualquer forma de comunicação lógica, pois não
poderíamos confiar na validade das afirmações.
● Princípio da não contradição: Afirma que uma proposição não pode ser
verdadeira e falsa ao mesmo tempo, no mesmo sentido e no mesmo
contexto. Algo não pode ser e não ser ao mesmo tempo. Esse princípio,
essencial para a coerência lógica e a consistência do pensamento, nos
permite identificar contradições e inconsistências nos argumentos e
descartá-los como inválidos. Exemplo: É logicamente impossível afirmar que
"Um gato é um cão" e que "Um gato não é um cão", pois são proposições
verdadeiras ao mesmo tempo.
● Princípio do terceiro excluído: Estabelece que uma proposição só pode ser
verdadeira ou falsa, não havendo uma terceira opção. Não pode haver
meio-termo entre verdadeiro e falso. Esse princípio é crucial para determinar
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valores de verdade das proposições e permite a tomada de decisões lógicas
com base na exclusão de opções inviáveis, essencial para análise e
construção de argumentos lógicos válidos. Exemplo: "A água está quente ou
não está quente", pois não há uma terceira possibilidade além de estar
quente ou não.
A importância dessas leis do pensamento aristotélico está na sua aplicação
generalizada em diversas áreas do conhecimento. Elas fornecem um alicerce sólido
para o raciocínio lógico, permitindo análise crítica e avaliação de argumentos.
Os princípios das leis do pensamento aristotélico são usados não apenas na
filosofia e na lógica formal, mas também na matemática, na ciência, no direito
e em outras disciplinas. Eles nos capacitam a reconhecer argumentos válidos
e não válidos, identificar falácias e contradições, e estabelecer um padrão de
pensamento consistente e confiável.
As leis do pensamento também têm implicações práticas no dia a dia. Ao aplicá-las,
podemos evitar inconsistências em nossas afirmações, promover a coerência em
nossos argumentos e tomar decisões mais fundamentadas.
Resumindo
As leis do pensamento aristotélico, representadas pelos princípios da identidade, da
não contradição e do terceiro excluído são fundamentais para a lógica e a razão.
Elas fornecem as bases para a validade dos argumentos, a consistência do
pensamento e a tomada de decisões informadas. Ao compreender e aplicar esses
princípios, somos capazes de desenvolver habilidades de pensamento crítico e
analítico essenciais para diversas áreas do conhecimento e para a busca da
verdade.
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: Considere as seguintes afirmações:
I. “Dizer que uma proposição lógica ou é verdadeira ou é falsa é sempre
verdadeiro”.
II. “Dizer que uma proposição lógica é verdadeira e falsa ao mesmo tempo é sempre
falso”.
III. “Dadas duas proposições p e q, a proposição: (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) é uma
tautologia”.
a. Somente I e II são corretas.
b. Somente I e III são corretas.
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c. Somente II e III são corretas.d. Somente I e II são falsas.
e. Somente I e III são falsas.
A alternativa “A” está correta: I. “Dizer que uma proposição lógica ou é verdadeira
ou é falsa é sempre verdadeiro”. Essa afirmação está de acordo com o princípio
fundamental da lógica clássica, conhecido como o princípio do terceiro excluído,
segundo o qual uma proposição lógica só pode ser verdadeira ou falsa, não pode
haver uma terceira opção. Portanto, a afirmação I é correta.
II. "Dizer que uma proposição lógica é verdadeira e falsa ao mesmo tempo é sempre
falso." Essa afirmação está de acordo com o princípio da não contradição, segundo
o qual uma proposição não pode ser verdadeira e falsa simultaneamente. Portanto,
a afirmação II também é correta.
III. “Dadas duas proposições p e q, a proposição: (p ∧ q) ∧ ~(p ∨ q) é uma
tautologia”. Construindo a tabela-verdade da proposição lógica composta (p ∧ q) ∧
~(p ∨ q) e analisando sua última coluna, concluímos que ela é uma contradição, e
não uma tautologia. Portanto, a afirmação III é falsa.
Questão 2: Considere a sentença aberta S(x): "x é um número primo maior do
que 10". Determine se as seguintes afirmações são verdadeiras ou falsas:
I. S(7) é verdadeira.
II. S(12) é falsa.
III. Existe um valor de x para o qual S(x) é verdadeira.
a. Apenas a afirmação I é verdadeira.
b. Apenas a afirmação II é verdadeira.
c. Apenas a afirmação III é verdadeira.
d. Apenas as afirmações II e III são verdadeiras.
e. Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.
A alternativa “D” está correta: Com base na sentença aberta S(x): "x é um
número primo maior do que 10", vamos analisar cada proposição:
I. S(7) é verdadeira. Essa afirmação diz que 7 é um número primo maior do que 10.
No entanto, 7 não é maior do que 10, portanto, a proposição I é falsa.
II. S(12) é falsa. Essa afirmação diz que 12 é um número primo maior do que 10. No
entanto, 12 não é um número primo, pois é divisível por 2, 3, 4, 6 e 12. Portanto, a
proposição II é verdadeira.
III. Existe um valor de x para o qual S(x) é verdadeira. A sentença aberta S(x) afirma
que existe um número primo maior do que 10. De fato, existem números primos
maiores do que 10, como 11, 13, 17, 19 etc. Portanto, a proposição III é verdadeira.
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2 - Principais estruturas lógicas e tabelas verdade
Ao final deste módulo, você será capaz de formular as principais estruturas lógicas e
suas tabelas-verdade e conhecer as propriedades da conjunção, disjunção,
condicional e bicondicional.
Conectivos e estruturas lógicas básicas
Agora vamos abordar as principais estruturas lógicas básicas e suas
tabelas-verdade. Uma tabela-verdade mostra possíveis combinações de valores
lógicos para as proposições envolvidas. Vamos explorar os conectivos lógicos
fundamentais, incluindo a negação, conjunção, disjunção, e as estruturas
condicional e bicondicional.
Negação (~)
Conectivo que inverte o valor lógico de uma proposição. Se uma proposição p é
verdadeira (V), a negação de p (~p) ou (Øp) será falsa (F), e vice-versa.
P ~P
V F
V V
Exemplo: Se p representa "O Sol é amarelo", a negação de p (~p) seria "O Sol não
é amarelo". Ou “Não é verdade que o Sol é amarelo”. Ou “É falso que o Sol é
amarelo”.
Conjunção ( ∧ )
Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo essa terceira
proposição verdadeira apenas quando as anteriores também são. Em linguagem
corrente, o sentido dessa nova estrutura é dado pelo conectivo “e”, cuja lógica
correspondente na linguagem simbólica é do conectivo (∧). Veja a tabela-verdade
para conjunção (∧) a seguir.
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p q p∧q
V V V
V F F
Exemplo 1: A proposição "Maria estuda matemática" pode ser representada por p.
A proposição "Pedro estuda física" pode ser representada por q. A conjunção das
duas proposições seria "Maria estuda matemática e Pedro estuda física",
representada por p ∧ q.
Exemplo 2: A proposição "O Sol está brilhando" pode ser representada por p. A
proposição "O céu está claro" pode ser representada por q. A conjunção das duas
proposições seria “O Sol está brilhando e o céu está claro”, representada por p ∧ q.
Disjunção ( ∨ )
Conectivo que une duas proposições e resulta em uma nova, sendo verdadeira
quando pelo menos uma delas for verdadeira. Em linguagem corrente, o sentido
dessa nova estrutura é dado pelo conectivo “ou”, cuja lógica correspondente na
linguagem simbólica é do conectivo (∨). Veja a tabela-verdade para disjunção (∨) a
seguir.
Exemplo 1: A proposição "Hoje é segunda-feira" pode ser representada por p. A
proposição "Hoje é sexta-feira" pode ser representada por q. A disjunção das duas
proposições seria "Hoje é segunda-feira ou sexta feira", representada por p ∨ q.
Exemplo 2: A proposição "João gosta de futebol" pode ser representada por p. A
proposição "Maria gosta de basquete" pode ser representada por q. A disjunção das
duas proposições seria "João gosta de futebol ou Maria gosta de basquete",
representada por p ∨ q.
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p q p∨q
V V V
V F F
F V F
F F F
Disjunção excludente ( ⊻ )
Também conhecida como disjunção exclusiva, indica que apenas uma das
proposições pode ser verdadeira, excluindo a possibilidade de ambas serem
verdadeiras ou falsas. O símbolo utilizado para representar a disjunção excludente é
o "⨁" ou "⊻". Quando p e q têm o mesmo valor lógico (ambas verdadeiras ou falsas),
a disjunção excludente resulta em proposição falsa. Somente quando p e q têm
valores lógicos diferentes é que a disjunção excludente é verdadeira.
Exemplo 1: A proposição "O carro é vermelho" pode ser representada por p. A
proposição "O carro é azul" pode ser representada por q. A disjunção excludente
das duas proposições seria "O carro é vermelho ou azul, mas não ambos",
representada por p ⨁ q. Alternativamente, poderíamos utilizar a forma “Ou o carro é
vermelho, ou o carro é azul”.
Exemplo 2: A proposição "Hoje é sábado" pode ser representada por p. A
proposição "Hoje é domingo" pode ser representada por q. A disjunção excludente
das duas proposições seria "Hoje é sábado ou domingo, mas não ambos",
representada por p ⨁ q. Alternativamente, poderíamos utilizar a forma “Ou hoje é
sábado, ou hoje é domingo”.
Condicional ( → )
Relaciona duas proposições, estabelecendo uma implicação lógica entre elas. A
proposição p → q afirma que, se p for verdadeira, então q também será. Na
estrutura condicional, chamamos p de antecedente e q de consequente da estrutura
condicional, respectivamente. Temos quatro formas distintas de verbalizar a relação
entre p e q. Vejamos!
● p implica em q
● se p, então q (mais usada)
● p é condição su ciente para q
● q é condição necessária para p
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p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Exemplo 1: A proposição "Se está chovendo, então a rua está molhada" pode ser
representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro (“está chovendo”),
então q também será (“a rua está molhada”).
Exemplo 2: A proposição "Se a temperatura cai, então faz frio" pode ser
representada por p → q. Isso significa que, se p for verdadeiro (“a temperatura cai”),
então q também será (“faz frio”).
Bicondicional (⬌ )
Estabelece relação de equivalência entre duas proposições. A proposição p ⬌ q
será verdadeira quando p e q possuírem o mesmo valor lógico, e falsa em caso
contrário. Você vai encontrar nos livros e questões envolvendo essa estrutura a
expressão se, e somente se. Como veremos no exemplo a seguir, “O número é par
se, e somente se, for divisível por 2.”
p q p↔q
V V V
V F F
p q p↔q
F V F
F F V
Exemplo 1: A proposição "O número é par se, e somente se, for divisível por 2"
pode ser representada por p⬌ q. Isso significa que p implica em q (“se o número é
par, então é divisível por 2”) e q implica em p (“se o número é divisível por 2, então é
par”).
Exemplo 2: A proposição “Uma figura é um quadrado se, e somente se, tiver quatro
lados iguais e quatro ângulos retos” pode ser representada por p⬌ q. Isso significa
que p implica em q (“se a figura é um quadrado, então tem quatro lados iguais e
quatro ângulos retos”) e q implica em p (“se a figura tem quatro lados iguais e quatro
ângulosretos, então é um quadrado”).
Resumindo: Conectivos, estruturas e tabelas-verdade nos permitem analisar a
validade de argumentos e construir demonstrações lógicas.
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Relações entre proposições
● Implicação lógica: Dada pela estrutura condicional, é uma relação entre
duas proposições em que a veracidade de uma implica necessariamente na
veracidade da outra. Representamos a implicação lógica com o símbolo "→"
ou "Þ". Por exemplo, se temos a proposição "Se chove, então a rua fica
molhada", podemos deduzir que, “se chove” (proposição antecedente) é
verdadeiro, então “a rua ficará molhada” (proposição consequente).
● Equivalência lógica: Relação entre duas proposições em que ambas
possuem o mesmo valor lógico em todas as circunstâncias. Representamos a
equivalência lógica com o símbolo "⬌" ou "⟺"". Por exemplo, se temos a
proposição "O número é par se, e somente se, ele for divisível por 2", as duas
partes da proposição são equivalentes, pois, se uma é verdadeira, a outra
também é, e vice-versa.
● Tautologia: Proposição sempre verdadeira, independentemente dos valores
lógicos das proposições componentes. Em outras palavras, é uma expressão
lógica verdadeira em todas as linhas de sua tabela verdade. Por exemplo, a
proposição "p ∧ ~p" é uma tautologia, pois a disjunção entre uma proposição
e sua negação sempre resultará em uma proposição verdadeira.
A tautologia é um caso especial de equivalência lógica, em que uma
proposição é equivalente à proposição verdadeira ("V") em todas as
circunstâncias. Ela é amplamente utilizada em lógica, pois nos permite
estabelecer verdades absolutas e identificar padrões de validade em
argumentos.
Ferramenta essencial na demonstração de teoremas em todas as áreas da
matemática, ao identificar uma proposição como tautologia, podemos usá-la
como base para deduções lógicas decorrentes e garantir a validade de
nossos argumentos.
● Contradição: Relação entre duas proposições opostas e que não podem ser
verdadeiras simultaneamente. Quando duas proposições são contraditórias,
uma é a negação da outra. A proposição "p ∧ ~p" é uma contradição, pois a
conjunção entre uma proposição e sua negação sempre resultará em uma
proposição falsa.
Exemplo: As proposições "A Terra é plana" e "A Terra não é plana" são
contraditórias, pois não podem ser verdadeiras ao mesmo tempo.
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● Contrariedade: Relação entre duas proposições em que não é possível que
ambas sejam verdadeiras ao mesmo tempo, mas podem ser falsas
simultaneamente.
Exemplo: As proposições "O céu está azul" e "O céu está vermelho" são
contrárias, pois não podem ser verdadeiras simultaneamente, mas podem ser
falsas ao mesmo tempo.
● Subcontrariedade: Relação entre duas proposições em que ambas não
podem ser falsas simultaneamente, mas podem ser verdadeiras
simultaneamente.
Exemplo: As proposições "Está chovendo" e "Está nevando" são
subcontrárias, pois não podem ser falsas simultaneamente, mas podem ser
verdadeiras ao mesmo tempo.
Em síntese, ao compreender essas relações entre proposições, podemos analisar a
validade de argumentos, simplificar expressões lógicas complexas e identificar
equivalências que nos auxiliam no processo de raciocínio lógico.
Esses conceitos são fundamentais para o estudo da lógica e têm aplicações
práticas em diversas áreas, como ciência da computação, matemática, filosofia,
entre outras.
Linguagem lógica e conjuntos
A linguagem lógica e as operações básicas de conjuntos (como a união, a
interseção, a relação de inclusão e a igualdade entre eles) nos permitem analisar e
descrever várias relações entre elementos e conjuntos, bem como propriedades
importantes acerca de equivalências lógicas. Ao compreender a conexão entre
essas duas áreas, podemos aprofundar nosso entendimento sobre a lógica e sua
aplicação no campo de estudo dos conjuntos.
Conjuntos e proposições
Muitos livros e professores omitem que a linguagem lógica nos permite expressar
proposições fortemente relacionadas a propriedades e operação entre conjuntos.
Por exemplo, podemos representar a proposição "x pertence ao conjunto A" usando
a linguagem lógica como p(x), "x pertence ao conjunto B" usando a linguagem lógica
como q(x), e assim por diante.
Dependendo da complexidade da relação que estamos estudando, ou do quão
sofisticada é a proposição composta que precisamos representar, pode ser
necessário utilizar vários outros conjuntos (C, D, E...) e proposições (r, s, t...).
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Podemos estabelecer conexões entre linguagem lógica e operações básicas que
fazemos quando estudamos conjuntos, explorando como a conjunção, a disjunção,
a condicional e o bicondicional se relacionam com essas operações.
Conjunto interseção e a conjunção
Podemos estabelecer uma conexão entre interseção de conjuntos e conjunção
lógica. Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a interseção A ∩ B representa os
elementos que pertencem tanto a A quanto a B. Veja no diagrama!
Podemos expressar essa interseção usando a conjunção lógica como p(x) ∧ q(x),
em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a
proposição "x pertence a B".
Conjunto união e a disjunção
Da mesma forma, a união de conjuntos pode ser relacionada à disjunção lógica.
Veja no diagrama!
Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a união A ∪ B representa os elementos
que pertencem a A, a B ou a ambos. Podemos expressar essa união usando a
disjunção lógica como p(x) ∨ q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence
a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B".
Relação de inclusão e condicional
Já a relação de inclusão entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura lógica
dada pela condicional. Nesse caso, se temos os conjuntos A e B, a inclusão A ⊂ B
significa que todo elemento de A também pertence a B. Observe!
Podemos expressar essa relação usando a condicional lógica como p(x) → q(x), em
que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x
pertence a B".
Igualdade entre conjuntos e bicondicional
A igualdade entre conjuntos pode ser relacionada à estrutura lógica dada pela
estrutura bicondicional. Por exemplo, se temos os conjuntos A e B, a igualdade A =
B significa que todos os elementos de A pertencem a B, e todos os elementos de B
pertencem a A.
Do ponto de vista lógico, poderíamos expressar essa igualdade usando a estrutura
lógica da bicondicional representada por p(x) ⟷ q(x), ou por meio do símbolo da
dupla seta (⟺), que dá o mesmo sentido a essa relação e também é usado por
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diversos livros e autores. Assim, p(x) ⟺ q(x), em que p(x) representa a proposição
"x pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B".
Alguns exemplos para cada caso
A simples observação de alguns exemplos para cada caso pode nos ajudar a
ilustrar de forma mais concreta a conexão entre linguagem lógica e operações
básicas de conjuntos. Veja!
➔ Conjunto interseção e conjunção: Sejam os conjuntos A = {1, 2, 3} e B =
{2, 3, 4}. Como vimos, a intersecção A B representa os elementos que
pertencem tanto a A quanto a B. Podemos expressar essa interseção usando
a conjunção lógica como p(x) ∧ q(x), em que p(x) representa a proposição "x
pertence a A" e q(x) representa a proposição "x pertence a B". Nesse caso, a
interseção A ∩ B será {2, 3}.
➔ Conjunto união e disjunção: A união de conjuntos pode ser relacionada à
disjunção lógica. Por exemplo, se temos os conjuntos A = {1, 2, 3} e B = {3, 4,
5}, a união A ∪ B representa os elementos que pertencem a A, a B ou a
ambos. Podemos expressar essa união usando a disjunção lógica como p(x)
∨ q(x), em que p(x) representa a proposição "x pertence a A" e q(x)
representa a proposição "x pertence a B". Nesse caso, a união A ∪ B será
{1, 2, 3, 4, 5}.
➔ Relação de inclusão e condicional: A relação de inclusão entre conjuntos
pode ser relacionada à condicional lógica.
Vamos a um exemplo não numérico agora!
Considere os conjuntos de animais A = {cachorro, gato, pássaro} e B =
{cachorro, gato, pássaro, peixe}. Nesse caso, a inclusão A ⊂ B significa que
todos os animais emA também estão em B.
Podemos expressar essa inclusão usando a estrutura condicional lógica p(x)
→ q(x), em que p(x) representa a proposição "x é um animal em A" e q(x)
representa a proposição "x é um animal em B". Por exemplo, podemos dizer
que "Se um animal é um cachorro, um gato ou um pássaro, então ele
também é um animal em B".
➔ Igualdade entre conjuntos e bicondicional: A igualdade entre conjuntos
pode ser relacionada à estrutura bicondicional.
Vamos a um exemplo não numérico agora!
17
Suponha que temos os conjuntos de frutas A = {maçã, banana, laranja} e B =
{laranja, banana, maçã}. A igualdade A = B significa que todos os elementos
de A estão em B, e todos os elementos de B estão em A.
Podemos expressar essa igualdade usando o bicondicional lógico p(x) ⬌
q(x), em que p(x) representa a proposição "x é uma fruta em A" e q(x)
representa a proposição "x é uma fruta em B". Por exemplo, podemos afirmar
que "Uma fruta é uma maçã, uma banana ou uma laranja se, e somente se,
ela também é uma fruta em B".
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: Considere as seguintes proposições:
I. Salvador é capital da Bahia ou a Lua é plana.
II. Se 21 é primo, então 6 é par.
III. x2 = 1⟺ x = 1
Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente,
a. F, F, F.
b. F, V, F
c. V, V, V.
d. V, F, V.
e. V, V, F.
A alternativa “E” está correta
Vamos analisar cada uma das proposições:
I. “Salvador é capital da Bahia ou a Lua é plana”. A proposição I é verdadeira, pois a
primeira parte, "Salvador é capital da Bahia", é verdadeira. Não importa se a
segunda parte, "a Lua é plana", é falsa, pois, em uma disjunção (∨), apenas uma
das partes precisa ser verdadeira para que a proposição seja verdadeira.
II. “Se 21 é primo, então 6 é par”. Essa proposição é verdadeira. A primeira parte,
"21 é primo", é falsa, pois 21 é divisível por 3 e 7. Portanto, a implicação é
considerada verdadeira de acordo com a terceira linha da tabela-verdade da
condicional.
18
III. “x2 = 1⟺ x = 1”. Essa proposição é falsa. Embora seja verdade que x = 1 implica
em x2 = 1, a recíproca não é verdadeira. Existem outros valores de x, como -1, que
também satisfazem a equação x2 = 1.
Questão 2: Considere as seguintes proposições:
I. Todos os gatos são mamíferos ou todos os cachorros voam.
II. Se 4 é um número ímpar, então 9 é um número primo.
III. x2 = 16⟺ x = 4 ou x = -4.
Pode-se dizer que os valores lógicos dessas proposições são, respectivamente,
a. V, F, F.
b. F, V, V
c. V, V, V
d. F, F, V.
e. V, V, F.
A alternativa “C” está correta.
Vamos analisar cada uma das proposições:
I. “Todos os gatos são mamíferos ou todos os cachorros voam”. Essa proposição é
verdadeira, pois a primeira parte, "Todos os gatos são mamíferos", é verdadeira. Na
disjunção (∨), apenas uma das partes precisa ser verdadeira para que a proposição
como um todo seja verdadeira.
II. “Se 4 é um número ímpar, então 9 é um número primo”. Essa proposição é falsa,
pois a primeira parte, "4 é um número ímpar", é falsa. Nesse caso, uma implicação
com uma premissa falsa é considerada verdadeira de acordo com a terceira linha da
tabela verdade da condicional.
III. “x2 = 16⟺ x = 4 ou x = -4”. Essa proposição é verdadeira. A primeira parte, "x2 =
16 ⟹ x = 4 ou x = -4", é verdadeira, pois, quando o quadrado de x é igual a 16, as
soluções são x = 4 ou x = -4. A segunda parte, "x = 4 ou x = -4⟹ x2 = 16", também
é verdadeira, pois, quando x é igual a 4 ou -4, o resultado do quadrado de x é igual
a 16.
19
3 - Equivalência lógica
Ao final deste módulo, você será capaz de identi car as principais regras de
equivalência lógica.
Conceito de equivalência lógica
A equivalência lógica é um importante conceito na lógica matemática que descreve
a relação entre duas proposições com o mesmo valor lógico em todas as situações
possíveis. Quando duas proposições são equivalentes, elas são indistinguíveis do
ponto de vista da sua veracidade ou falsidade. Em outras palavras, se uma
proposição é verdadeira, então a outra também será, e vice-versa.
Para entender melhor o conceito de equivalência lógica, é necessário compreender
o valor lógico das proposições.
Exemplo
Uma proposição é uma sentença declarativa que pode ser classificada como
verdadeira (V) ou falsa (F). A proposição "2 + 2 = 4" é verdadeira, enquanto a
proposição "2 + 2 = 5" é falsa
Quando duas proposições são equivalentes, são representadas pelo símbolo "≡" ou
⟺, que denota essa relação de equivalência. Por exemplo, se P e Q são
proposições compostas, podemos escrever “P ≡ Q” ou “P⟺ Q” para indicar que P e
Q são equivalentes.
A equivalência lógica é uma relação simétrica, ou seja, se P ⟺ Q, então Q ⟺ P.
Além disso, a relação de equivalência também é reflexiva, o que significa que
qualquer proposição é equivalente a si mesma, ou seja, P ⟺ P. Uma maneira de
verificar a equivalência lógica entre duas proposições é construir tabelas-verdade
para ambas e observar se os valores lógicos das duas são sempre os mesmos em
todas as linhas da tabela.
A equivalência lógica não depende do conteúdo específico das proposições,
mas sim da sua estrutura lógica. Ou seja, a equivalência lógica está
relacionada à forma lógica das proposições, não ao seu conteúdo.
Compreender o conceito de equivalência lógica é fundamental para a manipulação e
simplificação de expressões lógicas. Por meio da identificação de proposições
equivalentes, é possível simplificar expressões complexas e obter uma
representação mais clara e concisa do raciocínio lógico.
20
Propriedades e teoremas importantes da equivalência lógica
As propriedades e teoremas que regem a equivalência lógica são fundamentais
para a compreensão e manipulação de expressões lógicas, permitindo-nos
simplificar e transformar proposições de maneira eficiente. Vamos conferir!
Propriedade distributiva
Essa propriedade nos diz como as operações de conjunção e disjunção interagem
entre si, e estabelece que a conjunção distribui sobre a disjunção e vice-versa. Por
exemplo, a expressão "(p ∨ q) ∧ r" é equivalente a "(p ∧ r) ∨ (q ∧ r)". Essa
propriedade nos ajuda a reorganizar e simplificar expressões lógicas complexas.
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p ∨ q) ∧ r⟺ (p ∧ r) ∨ (q ∧ r)"
Da mesma forma, a expressão "(p ∧ q) ∨ r" é equivalente a "(p ∨ r) ∧ (q ∨ r)".
Usando mais uma vez apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p ∧ q) ∨ r⟺ (p ∨ r) ∧ (q ∨ r)"
Absorção
Afirma que, se uma proposição está sendo conjunta ou disjuntamente combinada
com ela mesma, podemos simplificá-la mantendo a equivalência. Por exemplo, a
expressão "p ∨ (p ∧ q)" é equivalente a "p".
Essa propriedade nos permite eliminar termos desnecessários e simplificar a
expressão lógica.
Como fizemos com a propriedade distributiva, se quisermos utilizar apenas a
notação simbólica, podemos escrever que:
"p ∨ (p ∧ q)⟺ p"
Da mesma forma, podemos construir a tabela-verdade da proposição lógica
composta P dada pela expressão "(p ∨ q) ∧ r" e demonstrar que ela é equivalente
a "p". Ou seja, usando mais uma vez apenas a notação simbólica, podemos dizer
que:
"p ∧ (p ∨ q)⟺ p"
21
Essas propriedades, juntamente com outros teoremas, serão exploradas em
detalhes aqui para que você manipule expressões lógicas de forma mais eficiente,
facilitando a resolução de problemas e a demonstração de equivalências lógicas.
Além dessas propriedades, diversos teoremas nos auxiliam na manipulação de
expressões lógicas.
Identidade
O teorema da identidade estabelece que uma conjunção entre uma proposição e
uma proposição tautológica T (sempre verdadeira) resulta na própria proposição. Da
mesma forma, a disjunção entre uma proposição e uma contradição C (sempre
falsa) também resulta na própria proposição.
Ou seja, a proposição "p ∧ T" é equivalente a "p", bem como a proposição "p ∨ C"
é equivalente a "p". Esse teorema nos permite simplificar expressões lógicas
quando temos uma conjunção com uma tautologia (T), ou uma disjunção com uma
contradição (C).
Usando apenas a notação simbólica,podemos dizer que:
"(p ∧ T)⟺ p"
e
"(p ∨ C)⟺ p"
Por analogia, podemos dizer que a proposição "(p ∨ T)", disjunção entre a
proposição p e a tautologia T, resulta em uma tautologia, e é equivalente a "T". Da
mesma forma, a proposição "(p ∧ C)", conjunção entre a proposição p e a
contradição C, resulta em uma contradição, e é equivalente a "C".
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(p ∨ T)⟺ T"
e
"(p ∧ C)⟺ C"
Inversão
O teorema da inversão nos permite negar uma proposição mantendo a sua
equivalência lógica. Por exemplo, se temos a equivalência entre "P" e "Q", então
22
também podemos afirmar a equivalência entre "~P" e "~Q", em que “~” representa a
negação.
Usando apenas a notação simbólica, podemos dizer que:
"(P⟺ Q)" Þ "(~P⟺ ~Q)"
Ao compreender esses princípios, você terá ferramentas poderosas para simplificar
e manipular expressões lógicas, facilitando a análise e a resolução de problemas.
Demonstração de equivalências: tabelas verdade, regras e leis lógicas
Aqui falaremos sobre a importância dos métodos para demonstrar equivalências
lógicas de forma sistemática e rigorosa. Utilizaremos tabelas-verdade, regras e/ou
leis lógicas como ferramentas para justificar a equivalência entre duas proposições.
A demonstração de equivalências lógicas é habilidade essencial para a
compreensão e manipulação de expressões lógicas. Ao demonstrar a
equivalência entre duas proposições, estabelecemos que elas têm o mesmo
valor lógico em todas as situações possíveis. Independentemente dos valores
lógicos atribuídos às proposições componentes, o resultado será sempre o
mesmo.
Uma forma comum de demonstrar equivalências lógicas é por meio de
tabelas-verdade, que apresentam todas as combinações possíveis de valores
lógicos para as proposições envolvidas. Ao comparar as colunas correspondentes
às proposições, podemos verificar se elas têm os mesmos valores lógicos em todas
as linhas da tabela. Caso isso ocorra, podemos concluir que as proposições são
equivalentes.
O exemplo a seguir ajuda a visualizar como as colunas correspondentes às
proposições são comparadas, bem como é feita a verificação dos valores lógicos
em todas as linhas da tabela para concluir a equivalência entre as proposições.
Demonstre que a proposição p ∧ (~p ∨ q) é equivalente à proposição p ∧ q:
Vamos analisar os valores lógicos de p, ~p, q e das proposições lógicas “~p ∨ q”, “p
∧ (~p ∨ q)” e “p ∧ q”. Observe!
p q ¬p
V V F
23
V F F
F V V
F F V
Analisando as colunas correspondentes às expressões, podemos observar que elas
têm os mesmos valores lógicos em todas as linhas da tabela. Portanto, podemos
concluir que a proposição p ∧ (~p ∨ q) é equivalente à proposição p ∧ q.
Essa demonstração utilizando a tabela-verdade permite verificar que as proposições
têm a mesma valoração lógica em todas as combinações possíveis. Dessa forma,
confirmamos a equivalência lógica entre p ∧ (~p ∨ q) e p ∧ q.
Outros recursos utilizados na demonstração de equivalências lógicas
Além das tabelas-verdade, também utilizamos leis e/ou regras lógicas para
demonstrar equivalências. Propriedades estabelecidas na lógica matemática, elas
nos permitem manipular e simplificar expressões lógicas. São fundamentais para
dedução de equivalências porque fornecem diretrizes precisas para a transformação
de uma expressão em outra equivalente.
Aqui você aprenderá a aplicar tanto as tabelas-verdade quanto as leis lógicas na
demonstração de equivalências lógicas. Exploraremos exemplos práticos e
exercícios para desenvolver sua habilidade de analisar e deduzir as equivalências
de forma sistemática.
Recomendação: Ao compreender as estruturas lógicas e usar métodos adequados,
você simplificará expressões lógicas eficientemente e estará preparado para
enfrentar desafios mais avançados e aplicar esse conhecimento em várias áreas.
Como vimos, a capacidade de reconhecer e provar a equivalência entre proposições
é uma habilidade valiosa em campos como ciência da computação, matemática,
filosofia, engenharia e outros. Portanto, você vai adquirir ferramentas necessárias
para demonstrar equivalências lógicas de forma rigorosa, utilizando tabelas-verdade
e/ou leis lógicas.
24
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: Para escrever uma proposição em uma linguagem simbólica, são
usados os seguintes símbolos cujos significados estão ao lado de cada um deles:
~(não); ∨(ou); ∧(e); ⟶(implicação); ⟷(dupla implicação). Assim sendo, seja a
proposição p: “João é alto” e a proposição q: “João é elegante”, então a proposição
“Não é verdade que João é baixo ou que não é elegante”, em linguagem simbólica,
é
a. ~(~p ∨ q).
b. p ∨ (~p ∨ q).
c. ~(~p ∨ ~q).
d. ~(p ∨ q).
e. p ∨ ~q.
A alternativa “C” está correta.
A proposição "Não é verdade que João é baixo ou que não é elegante" pode ser
traduzida para a linguagem simbólica da seguinte forma:
~(~p ∨ ~q)
p representa "João é alto".
q representa "João é elegante".
Ú representa a operação lógica "ou".
~ representa a negação.
Questão 2: Considere as seguintes proposições simples:
p: Pardais adoram frutas.
q: Fazendeiros detestam pardais.
A proposição composta ~p ∧ (p ∨ ~q), em linguagem corrente, é:
a. “Pardais não adoram frutas e que fazendeiros não detestam pardais”.
b. “Fazendeiros detestam pardais ou pardais não adoram frutas”.
c. “É falso que pardais adoram frutas ou que fazendeiros detestam pardais”.
d. “Fazendeiros detestam pardais e pardais adoram frutas”.
e. “Fazendeiros detestam pardais ou pardais adoram frutas”.
A alternativa “A” está correta: A proposição ~p ∧ (p ∨ ~q) equivalente à
proposição a ~p ∧ ~q. A negação de p é "pardais não adoram frutas" e a negação
de q é "fazendeiros não detestam pardais". A conjunção dessas duas negações é
"pardais não adoram frutas e fazendeiros não detestam pardais".
25
4 - Principais regras e relações lógicas
Ao final deste módulo, você será capaz de reconhecer as implicações lógicas entre
proposições, incluindo implicações, equivalências, tautologias e contradições.
Regras de Morgan: negação de uma conjunção ou disjunção
A regra de Morgan é extremamente útil para negação de conjunções e disjunções.
Por meio dela, podemos observar que a negação de uma conjunção é equivalente à
disjunção das negações de seus componentes individuais, e a negação de uma
disjunção é equivalente à conjunção das negações de seus componentes
individuais.
Vamos considerar a proposição "~(p ∧ q)", que representa a negação da conjunção
entre as proposições p e q. De acordo com a regra de Morgan, podemos reescrever
essa proposição como "~p ∨ ~q", que é a disjunção das negações de p e q.
Da mesma forma, se tivermos a proposição "~(p ∨ q)", que representa a negação
da disjunção entre as proposições p e q, podemos aplicar a regra de Morgan para
reescrevê-la como "~p ∧ ~q", que é a conjunção das negações de p e q. Utilizando
apenas a linguagem simbólica, podemos escrever que:
~(p ∧ q)⟺ ~p ∨ ~q
e
~(p ∨ q)⟺ ~p ∧ ~q
A regra de Morgan permite que simplifiquemos expressões lógicas complexas ao
trabalharmos com suas negações. Ela nos ajuda a entender como a negação afeta
as proposições e os conectivos lógicos envolvidos, facilitando a análise e a
manipulação dessas expressões. Ao compreender e aplicar a regra de Morgan,
podemos resolver problemas de lógica de forma mais eficiente e precisa.
As regras de Morgan na lógica e as operações básicas dos conjuntos
Na teoria dos conjuntos, existem operações fundamentais, como a união e a
interseção, que se assemelham às operações lógicas da disjunção e da conjunção,
respectivamente. Assim como as regras de Morgan são aplicáveis à negação de
proposições lógicas, elas também podem ser relacionadas à negação de conjuntos.
Nas operações com conjuntos, a negação de um conjunto é representada pelo
seu complementar. O complemento de um conjunto A em relação a um
conjunto universo U é o conjunto de elementos que estão em U, mas não
estão em A.
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Se pensarmos na negação de uma união de conjuntos, podemos utilizar a primeira
regra de Morgan para reescrevê-lacomo a interseção dos complementares
individuais dos conjuntos. Similarmente, a negação de uma interseção de conjuntos
pode ser expressa como a união dos complementos individuais dos conjuntos,
aplicando a segunda regra de Morgan.
Essa relação entre as regras de Morgan na lógica e as operações de negação de
conjuntos destaca mais uma vez a conexão entre esses dois campos, e como
conceitos fundamentais em um podem ser aplicados no outro.
Reflexão: A interseção entre lógica e teoria dos conjuntos é uma das razões pelas
quais o estudo desses temas é valioso e complementar, permitindo uma
compreensão mais abrangente e a aplicação de conceitos em diversos contextos.
Ao aplicar a negação a uma expressão composta, devemos distribuir a negação
corretamente entre os componentes individuais de acordo com a regra de Morgan.
Dessa forma, podemos obter equivalências lógicas precisas e garantir a correta
simplificação das expressões.
Negação da condicional: leis e regras para negar uma condicional
Vamos explorar agora as leis e regras para negar uma estrutura condicional,
compreendendo como a negação afeta as proposições e os conectivos lógicos
envolvidos. A negação da condicional é aspecto fundamental da lógica, e permite
analisar a relação entre as proposições envolvidas em uma implicação.
Para compreender a negação da condicional, devemos primeiro revisar sua
estrutura. Uma condicional é composta por duas proposições, antecedente e
consequente, conectadas por "se...então". Por exemplo, na condicional "Se chove,
então a rua fica molhada", a proposição "chove" é o antecedente e "a rua fica
molhada" é o consequente.
O estudo da condicional é fundamental para compreender como a negação
afeta as proposições e os conectivos lógicos envolvidos. Uma forma de
abordar a negação da condicional é utilizando a equivalência lógica entre a
implicação e a disjunção.
A implicação lógica "p implica em q" (p⟶ q) pode ser reescrita como "a negação de
p ou q" (~p ∨ q). Portanto, para negar a condicional (p ⟶ q), podemos aplicar a
regra de Morgan, que estabelece uma equivalência entre a negação de uma
disjunção e a conjunção das negações de seus componentes.
Como provar que (p⟶ q)⟺ (~p ∨ q)? Que tal usarmos uma tabela verdade?
27
Vamos usar a tabela-verdade para provar a equivalência entre a condicional (p⟶ q)
e sua forma equivalente (~p ∨ q). Esta é a tabela verdade para a condicional (p⟶
q). Veja!
p q p⟷q
V V V
V F F
F V F
F F V
Agora, vamos construir a tabela-verdade para a forma equivalente (~p ∨ q).
Observe!
p q ~p
V V F
V F F
F V V
F F V
As colunas das proposições (p ⟶ q) e (~p ∨ q) têm os mesmos valores lógicos em
todas as linhas da tabela-verdade. Portanto, podemos concluir que as duas
proposições são equivalentes. Assim, com base na tabela-verdade, podemos
afirmar que(p⟶ q)) é equivalente a (~p ∨ q).
Aplicando a regra de Morgan à condicional(p ⟶ q)), temos que a negação dessa
condicional seria equivalente à negação da sua forma equivalente (~p ∨ q).
Simplificando essa negação, usando Morgan, obtemos "~(~p) ∧ ~q", que é
equivalente a (p ∧ ~q). Assim, concluímos que a negação da condicional(p⟶ q)) é
(p ∧ ~q).
Utilizando apenas a linguagem simbólica, podemos escrever que:
(p⟶ q))⟺ (p ∧ ~q)
28
Essa abordagem nos permite transformar a negação de uma implicação em uma
conjunção, facilitando a análise e a simplificação de expressões lógicas. A negação
da condicional nos permite explorar diferentes aspectos da lógica e compreender
como as proposições se relacionam. A aplicação correta das regras lógicas, como a
regra de Morgan, nos auxilia a identificar equivalências e simplificar expressões de
forma rigorosa e precisa.
A abordagem da negação da condicional (usando a equivalência lógica com a
disjunção e a aplicação da regra de Morgan) amplia nosso repertório de
ferramentas para lidar com proposições condicionais e fortalece nossa
compreensão dos princípios lógicos fundamentais.
A compreensão da negação da condicional é essencial para a análise lógica e a
construção de argumentos válidos. Ao aplicarmos corretamente as regras de
negação, podemos identificar contradições, deduzir conclusões e verificar a validade
de argumentos. A negação da condicional nos permite explorar diferentes
possibilidades e considerar cenários alternativos.
Lei de dupla negação e lei da contrapositiva
Lei de dupla negação
Estabelece que a negação de uma negação de uma proposição resulta na
proposição original. Simbolicamente, ~(~p) é equivalente a p. Essa lei nos permite
eliminar duplas negações e simplificar expressões lógicas.
Exemplo
Pensemos a partir da proposição "Não é verdade que chove", a negação dessa
proposição seria "Não é verdade que não chove". Pela lei de dupla negação,
podemos simplificar essa expressão para "Chove".
Negar a negação da proposição remete à proposição original. Essa lei permite
eliminar as negações desnecessárias e expressar de forma mais clara e simples as
proposições lógicas.
Lei da contrapositiva
Estabelece relação de equivalência entre uma condicional e sua contrapositiva. Seja
a estrutura condicional "Se p, então q" (p ⟶ q), sua contrapositiva é definida como
"Se não q, então não p" (~q ⟶ ~p). Essas duas estruturas condicionais são
logicamente equivalentes, têm o mesmo valor lógico em todas as situações
possíveis.
29
Vamos utilizar uma tabela-verdade para demonstrar a equivalência entre uma
condicional e sua contrapositiva.
(p⟶ q)⟺ (~q⟶ ~p)
p q p→q
V V V
V F F
F V V
F F V
Analisando a tabela-verdade, podemos observar que, em todas as linhas, as
colunas correspondentes à condicional "Se p, então q" (p ⟶ q) e à sua
contrapositiva "Se não q, então não p" (~q ⟶ ~p) têm os mesmos valores lógicos.
Ou seja, a condicional e sua contrapositiva são logicamente equivalentes.
Portanto, por meio dessa tabela-verdade, provamos que a lei da contrapositiva é
válida e que as duas condicionais são equivalentes. Essa lei nos permite reescrever
uma condicional de forma equivalente, o que pode ser útil em várias situações.
Exemplo
Suponha a condicional (p ⟶ q): "Se chove, então a rua fica molhada". Sua
contrapositiva seria (~q⟶ ~p): "Se a rua não fica molhada, então não chove". Essas
duas condicionais são logicamente equivalentes, ou seja, têm o mesmo valor lógico
em todas as situações possíveis.
A lei da contrapositiva nos oferece uma maneira alternativa de expressar uma
condicional, possibilitando a análise lógica de diferentes perspectivas e facilitando a
compreensão e a manipulação de proposições.
30
Vamos praticar alguns conceitos?
Questão 1: Considere a sentença: “Se é feriado, os bancos estão fechados”. A
contrapositiva dessa sentença é:
a. “Se os bancos não estão fechados, não é feriado”.
b. “Se os bancos estão fechados, não é feriado”.
c. “Se não é feriado, os bancos estão fechados”.
d. “Se os bancos estão fechados, é feriado”.
A alternativa “A” está correta.
A contrapositiva da sentença "Se é feriado, os bancos estão fechados" é "Se os
bancos não estão fechados, não é feriado".
Questão 2: Considere a seguinte sentença: “Não é verdade que, se os impostos
baixarem, então haverá mais oferta de emprego”. Pode-se concluir que
a. haverá mais oferta de emprego se os impostos baixarem.
b. se os impostos baixarem, não haverá mais oferta de emprego.
c. os impostos baixam e não haverá mais oferta de emprego.
d. os impostos baixam e haverá mais oferta de emprego.
e. se os impostos não baixarem, não haverá mais oferta de emprego.
A alternativa “C” está correta.
A sentença "Não é verdade que, se os impostos baixarem, então haverá mais oferta
de emprego" é a negação da estrutura condicional (p ⟶ q): se os impostos
baixarem, então haverá mais oferta de emprego. Como sabemos que a negação da
condicional se obtém por meio da equivalência lógica ~(p ⟶ q) ⟺ (p ∧ ~q),
concluímos que (p ∧ ~q): os impostos baixam e não haverá mais oferta de
emprego.
Considerações Finais
Aqui vimos diversos conceitos fundamentais e ferramentas analíticas essenciais
para a compreensão e aplicação dalógica formal. Desenvolvemos habilidades de
raciocínio lógico e capacidade de análise crítica por meio do estudo das
proposições, conectivos lógicos e equivalências lógicas.
Iniciamos com uma introdução às proposições, unidades básicas da lógica, e
aprendemos a identificar suas características e representá-las de forma simbólica.
31
Em seguida, exploramos os principais conectivos lógicos. Em relação às
equivalências lógicas, estudamos importantes teoremas, como o teorema da
identidade, que nos permite simplificar expressões lógicas quando temos uma
conjunção ou disjunção com uma proposição tautológica (sempre verdadeira) ou
uma contradição (sempre falsa). Além disso, abordamos a lei de dupla negação,
que estabelece que a negação de uma negação resulta na proposição original.
Exploramos também as regras de Morgan, que auxiliam na negação de expressões
lógicas complexas, fornecendo equivalências entre a negação de uma expressão
composta e a negação de seus componentes individuais. Discutimos a negação da
condicional e a lei da contrapositiva. Por meio de exemplos e análise da
tabela-verdade, demonstramos a equivalência entre uma condicional e sua
contrapositiva.
Vimos que a lógica é uma ferramenta poderosa para a argumentação, a tomada de
decisões e a resolução de problemas. Com as habilidades adquiridas aqui, você
está apto a aplicar conceitos e princípios da lógica em diversas áreas da vida
cotidiana, pois os estudos na área da lógica está presente em diversos campos do
conhecimento e pode contribuir para o desenvolvimento do pensamento crítico e da
clareza na comunicação.
Explore +
Confira no artigo Lógica: uma ferramenta indispensável na programação de
computadores, da DevMedia, os conceitos fundamentais de lógica de
programação, como estruturas de controle, tipos de dados e algoritmos, bem como
exemplos práticos para ilustrar a aplicação desses conceitos.
32